Implementierung einer aktiven Dämpfung bei einem Gleichstrommotor zur Untersuchung der haptischen Wahrnehmung von viskoser Reibung
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- Henriette Bösch
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1 Hefei Heilbronn Workshop on Research an Eucation in Mechatronics June 17 th 18 th 2010, Heilbronn, Germany Implementierung einer aktiven Dämpfung bei einem Gleichstrommotor zur Untersuchung er haptischen Wahrnehmung von viskoser Reibung Manuel Kühner, Jörg Wil Institut für Kraftfahrzeugtechnik un Mechatronik (IKM), Hochschule Heilbronn Schlüsselwörter: viskose Reibung, aktive Dämpfung, Gleichstrommotor, Valiierung, Haptik, haptische Wahrnehmung Kurzfassung Im Rahmen er Haptik-Forschung es IKM wir im Bereich er menschlichen haptischen Wahrnehmung geforscht. Eines er Ziele ist es, ie Wahrnehmungs- un Unterschiesschwellen für viskose Reibung bei rotatorischen Drehstellern zu ermitteln. Hierfür wir eine aktive Dämpfung bei einem Gleichstrommotor, er Teil eines haptischen Simulators ist, implementiert. Neben en theoretischen Überlegungen weren ie Implementierung un eren Valiierung aufgezeigt. Hintergrun Im Rahmen er Haptik-Forschung es IKM wir im Bereich er menschlichen haptischen Wahrnehmung geforscht vor allem bei rotatorischen un translatorischen Beienelemente. Die bisherigen Ergebnisse sin in [1] zusammengetragen. Um systematisch Parameterstuien an Probanen urchführen zu können, wure u. a. ein rotatorischer Haptik-Simulator entwickelt. In er Literatur wir häufig er Begriff haptisches Display afür verwenet. Der Simulator ist in Abb. 1 argestellt. Die Ansteuerung erfolgt urch ein xpc- Target-Systems von The Mathworks, einer I/O-Karte von National Instruments un eigener Leistungs- un Schnittstellenelektronik. Zukünftig soll auch er Einfluss er viskosen Reibung auf ie Haptik von rotatorischen Beienelementen untersucht weren. Um viskose Reibung erzeugen zu können, wir er bestehene Simulator um eine aktive Dämpfung erweitert. ➄ ➃ ➂ Abbilung 1: Verweneter haptischer Simulator. ➀ Kappe, ➁ Drehmomentsensor, ➂ DC-Motor, ➃ inkrementeller Winkelencoer, ➄ Vorwierstan R v Aktive Dämpfung kommt häufig zum Einsatz, um ie Stabilität ynamischer Systeme zu verbessern, z. B. [2]. Dieser Aspekt spielt hier aber eine untergeornete Rolle. ➁ ➀ Moell es Gleichstrommotors Ein Gleichstrommotor lässt sich näherungsweise urch ie Maschengleichung es Ankerkreises (1), er ersten (2) un zweiten (3) Funamentalgleichung er Gleichstrommaschine un en Drallsatz (4) beschreiben. Vernachlässigt weren abei u. a. Haft- un Gleitreibung un er Einfluss er Kommutierung auf en ohmschen Wierstan bei bürstenbehafteten Gleichstrommotoren.
2 u = R i + i t L + u in (1) u in = c ϕ (2) M i = c i (3) J ϕ = M i + M k (4) Dabei bezeichnet u ie angelegte Spannung, R en ohmschen Wierstan, i en Strom, L ie Inuktivität, u in ie inuzierte Spannung, c ie Motorkonstante (in Nm /A), M i as innere Motormoment, J as Massenträgheitsmoment, Mk ie Summe er äußeren Drehmomente un ϕ ie Rotorstellung es Motors. Die Spannung u wir pulsweiten-mouliert. Der Motor ist Teil es haptischen Simulators. Das hat zur Folge, ass sich ie Parameter R un J auf as Gesamtsystem beziehen müssen ( bzw. J ges ). Wichtige Kennwerte für ynamische Systeme sin eren Zeitkonstanten. Das betrachtete System besitzt eine elektrische Zeitkonstante T el von T el = L 0, 05 ms (5) un eine mechanische Zeitkonstante T mech von T mech = J ges c 2 50 ms. (6) Aufgrun er kleinen elektrischen Zeitkonstante, kann iese bei en weiteren Betrachtungen vernachlässigt weren. Das innere Motormoment M i M i = c u u in } {{ } i (7) stellt sich somit als reines P-Glie bzgl. er wirksamen Spannung u u in ar. Dabei wure (1) in (3) unter Vernachlässigung er Inuktivität eingesetzt. Dies ist zulässig, a ie elektrischen Zeitkonstante sehr klein ist. Eigenämpfung es Gleichstrommotors Um später eine absolute Vorgabe er Dämpfung machen zu können, muss zunächst ie Eigenämpfung es Gleichstrommotors kompensiert weren. Dreht man en Rotor eines getriebelosen Gleichstrommotors von Han un vergleicht as Verhalten bei verbunenen un nicht verbunenen Klemmen, so kann man ie Eigenämpfung spüren. In (7) sieht man, ass ie Eigenämpfung urch ie inuzierte Spannung u in hervorgerufen wir. Die angelegte Spannung u ist eine Eingangsgröße un wir für ie weiteren Betrachtungen zunächst null gesetzt ies entspricht einem Kurzschluss er Motorklemmen. Die inuzierte Spannung u in ist winkelgeschwinigkeitsproportional (2). Durch Einsetzen in (7) ergibt sich as innere Moment M i in Abhängigkeit er Winkelgeschwinigkeit ϕ zu M i (u in ) = c u in (8) M i ( ϕ) = ϕ c2 } {{ } eigen. (9) Das Drehmoment wirkt entgegen er Drehrichtung, proportional zu ϕ. Die Proportionalitäts- bzw. Dämpfungskonstante eigen ergibt sich zu c2 /. Implementierung er aktiven Dämpfung Kompensiert man ie inuzierte Spannung u in oer befinet sich er Motor im Stillstan, ann ergibt sich aus (7) as innere Moment M i zu M i (u) = c u (10) un ist somit irekt proportional zur angelegten Spannung u. Dabei ist c/ ie Proportionalitäts- bzw. Spannungs- Drehmoment-Konstante. Um ein gewünschtes Drehmoment zu erzeugen, gewichtet man ies mit em Kehrwert er Spannungs- Drehmoment-Konstante un erhält so ie erforerliche Spannung, siehe (11). u(m i ) = c M i (11) Das System soll sich letztenlich so verhalten, ass eine vorgegebene Soll-Dämpfung mit em Parameter soll wirksam ist. Mit en bisher gewonnenen Beziehungen lässt sich ies einfach realisieren. Abbilung 2 zeigt as Blockschaltbil zur Implementierung er aktiven Dämpfung. Die
3 urch einen Inkrementalencoer erfasste Rotorstellung ϕ wir zunächst mit einem Tiefpass erster Ornung gefiltert un anschließen iffenziert. Die so gewonnene Winkelgeschwinigkeit wir ann mit er Motorkonstanten c gewichtet, um ie Inuktionsspannung zu kompensieren. ϕ J ges r M reib Weiterhin wir ie Winkelgeschwinigkeit mit er Dämpfungskonstanten soll gewichtet araus ergibt sich as Soll-Drehmoment aufgrun er aktiven Dämpfung. Dieses Drehmoment wir mit em Kehrwert er Spannungs- Drehmoment-Konstanten gewichtet, um so ie erforerliche Spannung zu berechnen. F x, g F m F g = m g ϕ ϕ R ges u soll Motor t c ϕ + Komp. von u c in Abbilung 3: Mechanisches Moell zur Valiierung, mit Hilfe er Bewegungsgleichung für ϕ lässt sich auf ie wirksame Dämpfung schließen Abbilung 2: Blockschaltbil zur Implementierung er aktiven Dämpfung Vorüberlegungen zur Valiierung Die Valiierung er Implementierung erfolgt mit Hilfe einer Parameterschätzung. Dazu wir eine Gewicht mit bekannter Masse an er Kappe es rotatorischen Simulators mit einem ünnen Faen befestigt (Fallversuch). Der gemessene Drehwinkelverlauf lässt sich mit em Drehwinkelverlauf eines mathematischen Moells er Strecke vergleichen aurch lässt sich auf ie wirksame Dämpfung schließen. Abbilung 3 veranschaulicht ie Beziehungen, ie für ie Moellbilung verwenet weren. Die Bewegungsgleichung (12) für ie Position ϕ ergibt sich einfach aus em Drall- un Impulssatz. Dabei wir ie Lagerreibung urch as konstante Reibmoment M reib moelliert. Zusätzlich wuren zur Erhöhung er Übersichtlichkeit as Ersatzmassenträgheitsmoment J ers un as wirksame Drehmoment eingeführt. Um anzueuten, ass ie Momente erst ab em Zeitpunkt t = 0 wirken, wir ie Heavisie-Funktion H(t) verwenet. J ers ( { }} { ϕ Jges + m r 2) + ϕ = (mgr M reib ) H(t) } {{ } (12) Die Übertragungsfunktion G(s) es IT 1 - Glies ergibt sich zu G(s) = 1 J ers s 2 + s. (13) Bei verschwinenen Anfangsbeingungen erhält man als Lösung im Zeitbereich { } ϕ(t) = L 1 1 J ers s 2 + s L {} (14) { } ϕ(t) = L 1 1 J ers s 2 + s Mwirk (15) s J ers e Jers t J ers + t ϕ(t) = 2, 0 1 t 2, = 0. 2 J ers (16) Gleichung (16) gilt für t 0. Für en Fall 0 nähert sich er Verlauf von ϕ(t) asymptotisch einer Geraen mit er Steigung bzw. Winkelgeschwinigkeit /, siehe Abb. (4). Die Winkelgeschwinigkeit wir konstant, wenn as Drehmoment aufgrun er Dämpfung
4 mit em Antriebsmoment im Gleichgewicht ist. Die Steigung enthält neben er wirksamen Dämpfung leiglich as wirksame Drehmoment. Somit eignet sie sich sehr gut, um später ie wirksame Dämpfung zu bestimmen, a sie zeitunabhängig ist un as wirksame Drehmoment einfach bestimmbar ist. Bei konstanter Winkelgeschwinigkeit ergibt sich ie wirksame Dämpfung emnach zu ( ϕ) = ϕ = mgr M reib ϕ (17) Winkelgeschwinigkeit ω in ra/s = 0 0 Position ϕ in ra 0 = 0 0 Asymptote 0 Abbilung 5: Beispielhafter Verlauf er Winkelgeschwinigkeit nach (20), ie Tangente für t = 0 er Lösung für 0 entspricht er Lösung für = 0 Die Steigung er Tangente für en Verlauf von ω 0 (t 0) ergibt sich zu Steigung = = ϕ(t ) Abbilung 4: Beispielhafter Positionsverlauf nach (16), er Positionsverlauf nähert sich für 0 asymptotisch einer Geraen Es ist anschaulich klar, ass ie beien Fälle von (16) für 0 un/oer t 0 ineinaner übergehen müssen. Dennoch unterscheien sich beie Gleichungen strukturell sehr stark. Die Ähnlichkeit er Gleichungen wir allerings eutlicher, wenn man (12) urch ϕ = ω (18) ω J ers + ω = H(t) (19) von einer Differentialgleichung zweiter Ornung bzgl. er Position ϕ in eine Differentialgleichung erster Ornung bzgl. er Winkelgeschwinigkeit ω un somit von einem IT 1 -System in ein PT 1 - System überführt. Die Lösung im Zeitbereich ergibt sich zu ω(t) = (1 e Jers t), 0 t, = 0. J ers (20) ( [ Mwirk ω 0 (t 0) = lim (1 e t)]) Jers t 0 t (21) ( ( )) Mwirk ω 0 (t 0) = lim e Jers t t 0 J ers (22) ω 0 (t 0) = J ers = ω =0 (t). (23) Die Tangentensteigung ist ientisch mit er Steigung von ω =0 (t), was es zu zeigen galt. Ergebnisse er Valiierung Folgene Testfälle wuren zur Valiierung herangezogen. Bei en Testfällen hanelt es sich um Fallversuche mit m = 100 g. 1. Motorklemmen offen - keine Dämpfung wirksam, a i = 0, ie Dämpfung urch ie Lagerung kann vernachlässigt weren 2. Motorklemmen kurzgeschlossen theoretisch Eigenämpfung eigen = c2 = 0, 54 mnms (24) es Motors wirksam, siehe (9)
5 3. Simulator an Steuerung angeschlossen, Dämpfungsvorgabe = 0 mnms es sollte sich er gleiche Positionsverlauf wie bei offenen Motorklemmen ergeben 4. Simulator an Steuerung angeschlossen, Dämpfungsvorgabe = 3 mnms es sollte sich ein Positionsverlauf gemäß em mathematischen Moell ergeben. Eine Dämpfung von = 3 mnms ist von Versuchspersonen eutlich wahrnehmbar. Verglichen weren emnach Testfall 1 mit 3 un zusätzlich 2 un Testfall 4 mit er Vorhersage aus em mathematischen Moell (16). Abbilung 6 zeigt en ersten Vergleich. Bei geschlossenen Motorklemmen stellt sich schnell eine konstante Geschwinigkeit ein. Zwischen em Verlauf mit offenen Klemmen un kompensierter Inuktionsspannung u in ist in ieser Darstellung kein Unterschie mehr zu erkennen. Dies zeigt, ass ie Kompensation sehr gut funktioniert. Position ϕ in ra Klemmen offen u in kompensiert Klemmen geschlossen ab. Dabei wuren Ungenauigkeiten bei er Ermittlung er Werte für m, r, ϕ un M reib mit berücksichtigt. Position ϕ in ra Messung 3 mnms Simulation 3 mnms Simulation ±5% 0,1 0,25 Abbilung 7: Positionsverlauf es Fallversuchs/Testfalls 4 zusammen mit Simulationsergebnissen ie Dämpfungsvorgabe = 3 mnms wir eutlich besser als ±5% eingehalten. In er Simulation wure er Parameter zusätzlich um ±5% variiert, alle aneren Parameter verblieben konstant Zusammenfassung 0 0 0,25 0,5 Abbilung 6: Positionsverläufe er Fallversuche/Testfälle 1, 2 un 3 ie Kompensation er Inuktionsspannung u in funktioniert sehr gut Abbilung 7 zeigt en zweiten Vergleich. Dargestellt ist ein Bereich konstanter Winkelgeschwinigkeit. Es ist zu sehen, ass ie Dämpfungsvorgabe von = 3 mnms eutlich besser als ±5% erreicht wir. Berechnet man ie wirksame Dämpfung unter Anwenung von (17) weicht ie gemessene von er vorgegebenen Dämpfung um ca. ±3% Ausgehen von einem mathematischen Moell er Gleichstrommaschine wir ie Implementierung einer aktiven Dämpfung zur Erzeugung von viskoser Reibung Schritt für Schritt argestellt. Der Gleichstrommotor ist Teil eines rotatorischen Haptik-Simulators. Mit iesem weren Untersuchungen im Bereich er Haptik von Beienelementen urchgeführt. Im Rahmen er Valiierung betrug er Fehler für ie Einhaltung er Dämpfungsvorgabe ca. ±3%. Es hanelt sich abei um eine reine Steuerung; sie könnte in Form einer Vorsteuerung auch in einem geregelten System zum Einsatz kommen.
6 Literatur [1] J. Reisinger. Parametrisierung er Haptik von hanbetätigten Stellteilen. Dissertation, Technische Universität München, [2] A. Schwenger. Aktive Dämpfung von Triebstrangschwingungen. Dissertation, Universität Hannover, 2005.
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