Variationen Permutationen Kombinationen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Variationen Permutationen Kombinationen"

Transkript

1 Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert die mühsame Zählarbeit von Anzahl der Günstigen bzw. Möglichen.. Variationsregel (Anzahl der Variationen) Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei jedem Versuch auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen k n verschiedene Ereignisabfolgen. Beispiel : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel bei 5 Würfen 5 Mal die Sechs zu würfeln? Gedankengang: Die einzelnen Ereignisse (, 2, 3, 4, 5 und 6) sind einander ausschließend und gleich wahrscheinlich. Ergebnis: Anwenden der. Variationsregel: Es gibt k n = 6 5 = 7776 mögliche Variationen. Das eine günstige Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, = auf. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,029%. Anmerkung: Analog erhält man das Ergebnis durch folgenden Rechengang: 5 = 0, (Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse) Beispiel 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Fragebogen mit dichotomen (zweikategoriellem) Antwortformat und 0 Fragen die Antwortfolge zu erhalten? Ja Ja Ja Nein Ja Nein Nein Ja Nein Ja Gedankengang: Die zwei möglichen Ergeinisse Ja Nein sind einander ausschließend und treten (theoretisch) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Ergebnis: Anwenden der. Variationsregel: Es gibt k n = 2 0 = 024 mögliche Variationen. Das eine günstige Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, = auf. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0977%.

2 Anmerkung: Analoger Rechenvorgang: 2 0 = 0, Anmerkung: Natürlich treten auch alle anderen 2 0 = 024 möglichen Antwortmuster mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. 2. Variationsregel (Anzahl der Variationen) Werden n voneinander unabhängige (ev. verschiedene) Zufallsexperimente durchgeführt und besteht das. Zufallsexperiment aus k möglichen (Elementar)-Ereignissen und das 2. Zufallsexperiment aus k 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen... n. Zufallsexperiment aus k n möglichen (Elementar)-Ereignissen dann sind k... k2 kn die möglichen verschiedenen Ereignisvariationen. Beispiel : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einer Münze Zahl mit einem Würfel Zwei und aus 32 Karten die Herz As zu ziehen? Gedankengang: 3 voneinander unabhängige Zufallsexperimente. Zufallsexperiment (Münze) besteht aus k = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen 2. Zufallsexperiment (Würfel) besteht aus k 2 = 6 möglichen (Elementar)-Ereignissen 3. Zufallsexperiment (Karten) besteht aus k 2 = 32 möglichen (Elementar)-Ereignissen Aus k k2 k3 = = 384 resultieren die möglichen verschiedenen Ereignisabläufe. Ergebnis: Das eine günstige Ereignis ( Zahl und Zwei und Herz As ) kann unter 384 möglichen Ereignissen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also = 0, 0026 bzw. 0,26% 384 Anmerkung: Analog erhält man das Ergebnis durch folgenden Rechengang: = 0, (Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse) Beispiel 2: Eine Maus läuft durch ein Labyrinth mit insgesamt 4 Weggabelungen. Es gibt nur einen richtigen Weg bis ans Ziel. Bei der ersten Weggabelung gibt es 2 bei der zweiten 4 bei der dritten 2 und bei der vierten 3 mögliche Wege. Gedankengang:. Zufallsexperiment (. Weggabelung) besteht aus k = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen 2. Zufallsexperiment (2. Weggabelung) besteht aus k 2 = 4 möglichen (Elementar)-Ereignissen 3. Zufallsexperiment (3. Weggabelung) besteht aus k 2 = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen 4. Zufallsexperiment (4. Weggabelung) besteht aus k 2 = 3 möglichen (Elementar)-Ereignissen

3 Aus k k 2 k3 k4 = 2423 = 48resultieren die möglichen verschiedenen Ereignisabläufe. Ergebnis: Das eine günstige Ereignis (richtiger Weg bei allen 4 Weggabelungen bis ans Ziel) kann unter = 48 möglichen Ereignissen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also = 0, 0208 bzw. 2,08%. 48 Anmerkung: das gleiche Ergebnis erhält man mittels Entscheidungsbaum bzw. Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse. Da unabhängige Ereignisse folgt: = = 0, Permutationsregel (Anzahl der Reihenfolgen) ohne Wiederholung / Zurücklegen n verschiedene Objekte können in n! = n( n )( n 2)...2 ( n Fakultät ) verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden. Beispiel : Aus einer Urne sollen 5 Kugeln hintereinander entnommen werden. Die Kugeln haben Nummern von bis 5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass die Kugeln exakt nach der Reihenfolge ihres Zahlenwertes gezogen werden, beginnend mit der Eins? Gedankengang: Ziehen ohne Zurücklegen bei 5 einander ausschließenden Zufallsexperimenten:. Zufallsexperiment (. Ziehung) aus 5 möglichen Kugeln 2. Zufallsexperiment (2. Ziehung) aus 4 möglichen Kugeln 3. Zufallsexperiment (3. Ziehung) aus 3 möglichen Kugeln 4. Zufallsexperiment (4. Ziehung) aus 2 möglichen Kugeln 5. Zufallsexperiment (5. Ziehung) aus möglichen Kugel

4 Die Anzahl der Möglichkeiten bei 5 Kugeln ist demnach = nn ( )( n 2) 2 = n! = 20 Ergebnis: Das eine günstige Ereignis (Ziehung der einen richtigen Reihenfolge) kann unter 20 möglichen Reihenfolgen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0, = bzw. 0,833%. 2. Permutationsregel mit Wiederholung / Zurücklegen bzw.. Kombinationsregel (Anzahl der Kombinationen) Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt man hierbei die n n! Reihenfolge außer acht, ergeben sich für k Objekte k = mögliche k!( n k)! Kombinationen / Reihenfolgen. Beispiel : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen Lotto-Sechser zu erzielen? Gedankengang: k = 6 richtige Zahlen aus n = 45 möglichen Zahlen, wobei die Reihenfolge nicht relevant ist ! Ergebnis: = = sind die möglichen Kombinationen von 6 aus !(45 6)! Zahlen mit beliebiger Reihenfolge. Das eine günstige Ereignis (Ziehung der 6 richtigen Zahlen) kann unter möglichen Kombinationen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0, = bzw. 0,000023%. Beispiel 2: Wie viele verschiedene Mannschaften zu je 5 SpielerInnen lassen sich aus n = 23 SchülerInnen aufstellen? Gedankengang: k = 5 SpielerInnen aus n = 23 möglichen Personen, wobei die Reihenfolge nicht relevant ist ! Ergebnis: = = sind die möglichen Kombinationen von 5 aus !(23 5)! Personen mit beliebiger Reihenfolge.

5 Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zuteilung ist also 0, = bzw. 0,00297%. 2. Kombinationsregel Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig - mit einer bestimmten n! Reihenfolge - aus, ergeben sich für k Objekte mögliche Kombinationen der ( n k)! Objekte k. Im Gegensatz zur ersten Kombinationsregel wird hier die Reihenfolge berücksichtigt! Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit aus 32 Karten der Reihe nach Herz As Herz König Herz Dame und Herz Bube zu ziehen? Gedankengang: Die Reihenfolge spielt eine Rolle und aus n = 32 möglichen Karten werden k = 4 günstige gezogen. Ergebnis: 32! (32 4)! = mögliche Kombinationen stehen zur Verfügung. Das eine günstige Ereignis (Ziehung der 4 Karten in richtiger Reihenfolge) kann unter möglichen Kombinationen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0, = bzw. 0,0006%. 3. Kombinationsregel Sollen n Objekte in k Gruppen der größe n, n 2,...n k, eingeteilt werden n! (wobei n + n n k = n), ergeben sich mögliche Kombinationen. n! n!... n! 2 k Beispiel: Ein Hotel hat für 0 Personen zwei 3-Bett-Zimmer und ein 4-Bett-Zimmer. Wie viele verschiedene Raumzuweisungen sind bei den 0 Personen möglich? Gedankengang: 0 Personen sollen in Zimmer mit n = 3, Zimmer 2 mit n = 3 und Zimmer 3 mit n = 4 Betten eingeteilt werden.

6 0! Ergebnis: Die möglichen Kombinationen ergeben sich durch 3! 3! 4! = 4200 Es sind 4200 verschiedene Raumzuweisungen möglich, wobei die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Raumzuweisung = 0, bzw. 0,0238% beträgt. 4200

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Modul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung

Mehr

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln

Mehr

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

Mehr

Wahrscheinlichkeit Klasse 8 7

Wahrscheinlichkeit Klasse 8 7 7 Wahrscheinlichkeit Klasse 8 Ereignisse Seite 8 a) Ω {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass; Eichel 7; Eichel 8; Eichel 9; Eichel 0; Eichel Unter; Eichel Ober; Eichel

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

Statistik 1: Einführung

Statistik 1: Einführung Seite Stat- Statistik : Einführung Die mathematische Disziplin der Stochastik, die die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik umfaßt, beschäftigt sich mit der Beobachtung, Aufzeichnung

Mehr

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II Inhaltsverzeichnis 1 bedingte Wahrscheinlichkeiten 2 2 unabhängige Ereignisse 5 3 mehrstufige Zufallsversuche 7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 28.02.2010 Theorie und

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse

Mehr

y 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

y 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unabhängigkeit

Mehr

Modellierungskonzepte 2

Modellierungskonzepte 2 Modellierungskonzepte 2 Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin WS 2008/09 1 / 50 1 Pfadregeln 2 Begriff Umbewertung von Chancen Bayessche Formel 3 Verwechslungsgefahr Implizite Lotterien 2 / 50 mehrstufige

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Was verstehen Sie unter einem Zufallsexperiment? Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften.

Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Was verstehen Sie unter einem Zufallsexperiment? Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften. Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Was verstehen Sie unter einem Zufallsexperiment? Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften. 2. Geben Sie vier Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen an. 3. In einer Obstkiste

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung KAPITEL 3 Kapitel 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Grundkursabitur 2011 Stochastik Aufgabe III

Grundkursabitur 2011 Stochastik Aufgabe III Grundkursabitur 011 Stochastik Aufgabe III An einem Musikwettbewerb, der aus einer Messehalle bundesweit live im Fernsehen übertragenwird, nehmen zwölf Nachwuchsbands aus ganz Deutschland teil. Genau zwei

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden?

1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden? Aufgaben zur Kombinatorik, Nr. 1 1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden? 2.) Jemand hat 10 verschiedene Bonbons

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEIT. Erinnere dich

WAHRSCHEINLICHKEIT. Erinnere dich Thema Nr.9 WAHRSCHEINLICHKEIT Erinnere dich Zufallsexperiment Ein Experiment, bei dem verschiedene Ergebnisse möglich sind und bei dem das Ergebnis nur vom Zufall abhängt heißt Zufallsexperiment. Beispiele

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 SG15/25D NAME: Lösungen 1. In einer Packung sind Glühbirnen, davon sind zwei

Mehr

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Universität Duisburg Essen Standort Duisburg Integrierter Diplomstudiengang Sozialwissenschaften Skript zum SMS I Tutorium Von Mark Lutter Stand: April

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut. Bei Einbruch gibt sie mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit Alarm. Wenn in einer bestimmten Nacht kein Einbruch stattfindet, gibt sie

Mehr

Stochastik. 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1

Stochastik. 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1 Stochastik 1. Oktober 2007 Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 1.1 Laplace-Experimente................................. 2 1.2

Mehr

3.2. Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten

3.2. Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten .. Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten Aufgabe : Baumdiagramm mit Erwartungswert beim zweimaligen Würfeln Ein ungezinkter sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Zeichne einen repräsentativen

Mehr

3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit

3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit 3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit Aufgabe : Summenregel und bedingte Wahrscheinlichkeit Eine Statistik hat folgende Ergebnisse zutage gebracht: 52 % der Bevölkerung sind weiblich.

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009 EUROPÄISCHES ABITUR 2009 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM: 8. Juni 2009 DAUER DES EXAMENS : 3 Stunden (180 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Europäische Formelsammlung Nicht graphischer und nicht programmierbarer

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-9 7. Semester ARBEITSBLATT 7-9. Was ist Wahrscheinlichkeit

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-9 7. Semester ARBEITSBLATT 7-9. Was ist Wahrscheinlichkeit ARBEITSBLATT 7-9 Was ist Wahrscheinlichkeit "Ein guter Mathematiker kann berechnen, welche Zahl beim Roulette als nächstes kommt", ist eine Aussage, die einfach falsch ist. Zwar befassen sich Mathematiker

Mehr

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP .RPELQDWRULN (für Grund- und Leistungsurse Mathemati) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nach dem Studium dieses Sripts sollten folgende Begriffe beannt sein: n-menge, Kreuzprodut, n-tupel Zählprinzip

Mehr

Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 10.03.2001 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen)

Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 10.03.2001 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen) Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 0.0.00 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen) 0.. Wieviele Möglichkeiten gibt es für Kinder, sich auf einen Schlitten zu setzen, wenn ihn nur davon steuern

Mehr

Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)

Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Name: Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Absolute und relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Voraussagen mit Wahrscheinlichkeit

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf Thema: Facharbeit aus dem Fach Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Schafkopf Inhalt. Ziel der Facharbeit / Einführung. Grundlegende Überlegungen und Berechnungen.. Kartengeben als Laplace-Experiment..

Mehr

Zentrale Aufnahmeprüfung 2015 für die Handelsmittelschulen des Kantons Zürich. Vorname:... Aufgaben 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total Note

Zentrale Aufnahmeprüfung 2015 für die Handelsmittelschulen des Kantons Zürich. Vorname:... Aufgaben 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total Note Zentrale Aufnahmeprüfung 2015 für die Handelsmittelschulen des Kantons Zürich Mathematik Name:... Vorname:... Prüfungsnummer:... Du hast 90 Minuten Zeit. Du musst alle Aufgaben in dieses Heft lösen. Wenn

Mehr

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse

Kursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Kursthemen 12. Sitzung Folie I - 12-1 Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Spezielle Verteilungen: Warteprozesse A) Die Geometrische Verteilung (Folien 2 bis 7) A) Die Geometrische Verteilung (Folien

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Aufgaben und Lösungen

Aufgaben und Lösungen Aufgaben und Lösungen Aufgabe Aus einer Schulklasse von 3 Schülern soll eine Abordnung von Schülern zum Direktor geschickt werden. Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden? ( ) 3 = 33.649

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

MI - Mission Impossible Sind Sie gut versichert? Ein kurzes Beispiel zur Versicherungsmathematik

MI - Mission Impossible Sind Sie gut versichert? Ein kurzes Beispiel zur Versicherungsmathematik MI - Mission Impossible Sind Sie gut versichert? Ein kurzes Beispiel zur Versicherungsmathematik Seite 1 Vorstellung Organisation: Deutsche Aktuarvereinigung e.v. (DAV) berufsständische Vertretung der

Mehr

Lösungen Zufallsexperimente, Baumdiagramm, Ergebnismenge I

Lösungen Zufallsexperimente, Baumdiagramm, Ergebnismenge I R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 23.09.2013 Lösungen Zufallsexperimente,, I en: 1 1 2 2 3 Was verstehen Sie unter einem Zufallsexperiment? Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften. Ein Zufallsexperiment

Mehr

Vorlesung 13.11.2006: Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung

Vorlesung 13.11.2006: Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung Letzte Vorlesung : Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsbegriff Vorlesung 13.11.2006: Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung kombinatorische

Mehr

Stochastik - Kapitel 1

Stochastik - Kapitel 1 Stochastik - Kapitel 1 Aufgaben ab Seite 9 I. Ereignisräume 1. Ergebnis und Ergebnisraum; Baumdiagramm Experimente werden nach der Vorhersehbarkeit ihres Versuchsausganges unterschieden: - Experimente,

Mehr

Stochastik Wahrscheinlichkeit

Stochastik Wahrscheinlichkeit Stochastik Wahrscheinlichkeit Dies ist ein Detail, das auf dem letzten 1 DM Schein abgebildet war. Es stellt die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaut dar die Normalverteilung. Diese Verteilung

Mehr

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler

Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Fachschaft Mathematik Uni Dortmund Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis Stochastik I Wahrscheinlichkeitsrechnung Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Letzte Änderung: 8. November 00 Gesetzt

Mehr

Einführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte

Einführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte Einführung in die Statistik für Biologen Jörg Witte 1997 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Wahrscheinlichkeitstheorie 3 1.1 Grundbegriffe........................ 3 1.2 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.........

Mehr

Einführung in die schließende Statistik - Von der Wahrscheinlichkeit zur Hypothese mit Beispielen in R und SPSS

Einführung in die schließende Statistik - Von der Wahrscheinlichkeit zur Hypothese mit Beispielen in R und SPSS Einführung in die schließende Statistik - Von der Wahrscheinlichkeit zur Hypothese mit Beispielen in R und SPSS Version 0.9 (7.5.204) Haiko Lüpsen Universität zu Köln Regionales Rechenzentrum (RRZK) Kontakt:

Mehr

Anzahl möglicher Anordnungen bei 3 Elementen

Anzahl möglicher Anordnungen bei 3 Elementen Anzahl möglicher Anordnungen bei 3 Elementen Man kann die Anzahl möglicher Anordnungen der drei Buchstaben A, B und C mit einem Baumdiagramm bestimmen. 3 2 6 verschiedene Anordnungen Permutationen Die

Mehr

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lösungshinweise Aufgabe 7.: Gegeben sei ein Würfel, der die Form eines Tetraeders hat und die Augenzahlen bis aufweist. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Bild Nummer 1: Bild Nummer 2: Seite B 1

Bild Nummer 1: Bild Nummer 2: Seite B 1 Bild Nummer 1: Bild Nummer 2: Seite B 1 Bild Nummer 3: Bild Nummer 4: Seite B 2 Bild Nummer 5: Bild Nummer 6: Seite B 3 Bild Nummer 7: Bild Nummer 8: Seite B 4 Bild Nummer 9: Bild Nummer 10: Seite B 5

Mehr

Kombinatorik Platzierungsproblem 3 Berechnungsarten

Kombinatorik Platzierungsproblem 3 Berechnungsarten Kombinatorik Platzierungsproblem 3 Berechnungsarten 10 Weinflaschen, davon Rotweinflaschen, werden rechteckförmig zufällig angeordnet 7 7 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rotweinflaschen die

Mehr

Vorlesung - Medizinische Biometrie

Vorlesung - Medizinische Biometrie Vorlesung - Medizinische Biometrie Stefan Wagenpfeil Institut für Medizinische Biometrie, Epidemiologie und Medizinische Informatik Universität des Saarlandes, Homburg / Saar Vorlesung - Medizinische Biometrie

Mehr

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik)

Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Skript zur Statistik II (Wahrscheinlickeitsrechnung und induktive Statistik) 1. Einleitung Deskriptive Statistik: Allgemeine und spezielle

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

. Allgemeiner berechnen wir Wahrscheinlichkeiten nach der Formel p =

. Allgemeiner berechnen wir Wahrscheinlichkeiten nach der Formel p = 2 Stochastik Mit p(a bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. p = 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher eintritt, p = 0, dass es niemals eintritt. Es gilt demnach immer 0 p 1. Werfen wir

Mehr

Musteraufgaben für das Fach Mathematik

Musteraufgaben für das Fach Mathematik Musteraufgaben für das Fach Mathematik zur Vorbereitung der Einführung länderübergreifender gemeinsamer Aufgabenteile in den Abiturprüfungen ab dem Schuljahr 013/14 Impressum Das vorliegende Material wurde

Mehr

4b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung

4b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung b. Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung Um was geht es? Häufigkeit in der die Fehlerzahl auftritt 9 6 5 3 2 2 3 5 6 Fehlerzahl in der Stichprobe Wozu dient die Wahrscheinlichkeit? Häfigkeit der Fehlerzahl

Mehr

Allgemeine Definition von statistischer Abhängigkeit (1)

Allgemeine Definition von statistischer Abhängigkeit (1) Allgemeine Definition von statistischer Abhängigkeit (1) Bisher haben wir die statistische Abhängigkeit zwischen Ereignissen nicht besonders beachtet, auch wenn wir sie wie im Fall zweier disjunkter Mengen

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Das Kugel-Fächer-Modell - Arbeitsblätter rür den Unterricht

Das Kugel-Fächer-Modell - Arbeitsblätter rür den Unterricht 38 Das Kugel-Fächer-Modell - Arbeitsblätter rür den Unterricht Heinz Klaus Strick, Leverkusen In (Strick 1994) wurde dargestellt, wie Aufgaben vom Typ "Geburtstagsproblem", "Rosinenproblem", "Problem der

Mehr

Veranstaltung Statistik (BWL) an der FH Frankfurt/Main im WS 2004/05 (Dr. Faik) Klausur 09.02.2005 - GRUPPE A - BEARBEITER/IN (NAME, VORNAME):

Veranstaltung Statistik (BWL) an der FH Frankfurt/Main im WS 2004/05 (Dr. Faik) Klausur 09.02.2005 - GRUPPE A - BEARBEITER/IN (NAME, VORNAME): Veranstaltung Statistik (BWL) an der FH Frankfurt/Main im WS 2004/05 (Dr. Faik) Klausur 09.02.2005 - GRUPPE A - BEARBEITER/IN (NAME, VORNAME): MATRIKELNUMMER: Alte Prüfungsordnung/Neue Prüfungsordnung

Mehr

Übung 1. Legen. Beliebige Anzahl Spieler. Jede Spieler hat 3 Kugeln. Ziel ist es, alle Kugeln in den Kreis zu legen.

Übung 1. Legen. Beliebige Anzahl Spieler. Jede Spieler hat 3 Kugeln. Ziel ist es, alle Kugeln in den Kreis zu legen. Legen Übung 1 Jede Spieler hat 3 Kugeln Ziel ist es, alle Kugeln in den Kreis zu legen. Nach jedem Wurf wird die Kugel entfernt. Für jede Kugel die innerhalb des Kreises liegt gibt es einen Punkt. Wenn

Mehr

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer

Mehr

2 Grundbegriffe der Stochastik

2 Grundbegriffe der Stochastik 2.0 Grundbegriffe der Stochastik 76 2 Grundbegriffe der Stochastik In der beschreibenden Statistik (Kapitel 1) haben wir die zu analysierenden Daten als gegeben hingenommen und nicht genauer hinterfragt,

Mehr

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen RS 24.2.2005 Zufallsgroessen_i.mcd 1) Zufallsgröße Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zu jedem Zufallsexeriment gehört ein Ergebnisraum Ω. Die einzelnen Ergebnisse ω i können Buchstaben,

Mehr

Anleitung Basisspiel (ohne App)

Anleitung Basisspiel (ohne App) Anleitung Basisspiel (ohne App) Autor: Projekt Team III, Michael Schacht Design: Felix Harnickell, KniffDesign, DE Ravensburger Illustration: Franz Vohwinkel, Torsten Wolber Anleitung: DE Ravensburger

Mehr

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00.

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses

Mehr

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Einführendes Beispiel ( Erhöhung der Sicherheit bei Flugreisen ) Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges ein Sprengsatz an Bord

Mehr

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 8.1 Grundbegriffe 8.1 8.1 Laplace-Experiment Ergebnis Elementarereignis Ergebnismenge Ergebnisraum

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 8.1 Grundbegriffe 8.1 8.1 Laplace-Experiment Ergebnis Elementarereignis Ergebnismenge Ergebnisraum 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Die österreichische Lottoziehung vom 28. September 2003 lieferte nahezu dieselben Zahlen wie die am Vorabend in Deutschland stattgefundene Ziehung: 3, 17, 35,

Mehr

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 23 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 23 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel 4 3 Aufgabe 8 3 Aufgabe 9 3 Aufgabe 30 3 Aufgabe 31 3 Aufgabe 3 4 Aufgabe 33 4 Aufgabe 34 4 Aufgabe 35 4 Aufgabe 36 4 Aufgabe 37 4 Aufgabe 38 5 Aufgabe 39

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Übungsaufgaben - Kombinatorik. Übungsaufgaben - Kombinatorik. Aufgabe 1 Schwierigkeit: X. Aufgabe 3 Schwierigkeit: X

Übungsaufgaben - Kombinatorik. Übungsaufgaben - Kombinatorik. Aufgabe 1 Schwierigkeit: X. Aufgabe 3 Schwierigkeit: X Aufgabe 1 Schwierigkeit: X Aufgabe 3 Schwierigkeit: X Einer Gruppe von 15 Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn sich die Karten auf nummerierte

Mehr

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt Dr. M. Weimar 06.06.2016 Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt Aufgabe 1 (2+2+2+2+1=9 Punkte) In einer Urne befinden sich sieben Lose, darunter genau ein Gewinnlos. Diese Lose werden nacheinander

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Einführung in die Stochastik. Dr. Lothar Schüler

Einführung in die Stochastik. Dr. Lothar Schüler Einführung in die Stochastik für Studierende der Informatik im Bachelorstudiengang TU Braunschweig SS 2007 Dr. Lothar Schüler Institut für Mathematische Stochastik Technische Universität Braunschweig Pockelsstr.

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II. Vorlesungsskript

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II. Vorlesungsskript WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I und II Wolfgang König TU Berlin und WIAS Berlin Vorlesungsskript SS 2005 und WS 2005/06 überarbeitet im WS 2008/09 kleine Korrekturen im März und Juli 2012 und im März 2013

Mehr

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 01.07.2005, 14.00 16.00.

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 01.07.2005, 14.00 16.00. 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 01.07.2005, 14.00 16.00. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung 2015. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung 2015. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik Abiturprüfung 2015 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com August 05 Übungsaufgaben:

Mehr

IV. Spieltheorie. H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1

IV. Spieltheorie. H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1 IV. Spieltheorie 1. Gegenstand der Spieltheorie 2. Einführung in Matrixspiele 3. Strategien bei Matrixspielen 4. Weitere Beispiele 5. Mögliche Erweiterungen H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1 1. Gegenstand

Mehr

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes

Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Aufgabe 1: Wetterbericht Im Mittel sagt der Wetterbericht für den kommenden Tag zu 60 % schönes und zu 40% schlechtes

Mehr

Spielen ist etwas Heiteres die Mathematik des Glücksspiels

Spielen ist etwas Heiteres die Mathematik des Glücksspiels FORUM-Themenabend Michael Kleiber Timon Kleiber Spielen ist etwas Heiteres die Mathematik des Glücksspiels Rosmarin & Thymian, 01. März 2014 1 Das Ziegenproblem Marilyn vos Savant 1990 2 Das Ziegenproblem

Mehr

LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK

LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK LM2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK III. In einer Region haben 60 % der Haushalte einen Internetanschluss. Das Diagramm veranschaulicht die Anteile der Zugangsgeschwindigkeiten unter den Haushalten

Mehr

Stochastik Boris Boor 2010

Stochastik Boris Boor 2010 Stochastik Boris Boor 010 Inhaltsverzeichnis S.1 Grundbegriffe... S.1.1 Ergebnisse und Ereignisse... S.1. Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit...4 S.1.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung...5 S.1.4 Mehrstufige

Mehr

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen?

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Innermathematisches Vernetzen von Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung Katharina Klembalski Humboldt-Universität Berlin 20.

Mehr

Monopoly" Gesellschaftsspiel. - Hergestellt von der Spielefabrik Franz Schmidt, München 13, mit Genehmigung der Fa. Parker Bros. Inc.

Monopoly Gesellschaftsspiel. - Hergestellt von der Spielefabrik Franz Schmidt, München 13, mit Genehmigung der Fa. Parker Bros. Inc. Nr. 102/2 Nr. 102/3 Monopoly" Gesellschaftsspiel - Hergestellt von der Spielefabrik Franz Schmidt, München 13, Alle Rechte vorbehalten mit Genehmigung der Fa. Parker Bros. Inc. USA Ges. gesch. Der Sinn

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 0.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Kombinatorik mit einer kurzen Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinatorik mit einer kurzen Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Materialien für TI-Nspire CX Handheld, TI-Nspire CX CAS Handheld TI-Nspire Software Renato Burkart, René Hugelshofer Kombinatorik mit einer kurzen Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Gymnasien

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung a.: Du bearbeitest die Aufgabe in Einzelarbeit. Lies dir die Aufgabe genau durch und überlege dir einen Lösungsansatz. Danach versuche eine Lösung zu erarbeiten. Für diese Phase hast du 10 Minuten Zeit.

Mehr

Kaufhaus-Aufgabe. aus Abiturprüfung Bayern LK (abgeändert)

Kaufhaus-Aufgabe. aus Abiturprüfung Bayern LK (abgeändert) Kaufhaus-Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern LK (abgeändert) 5. a) Ein Kunde eines Kaufhauses benutzt mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% die hauseigene Tiefgarage. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% bleibt

Mehr

Mädchen Jungen Smartphone 42 52 Computer 77 87 Fernsehgerät 54 65 feste Spielkonsole 37 62

Mädchen Jungen Smartphone 42 52 Computer 77 87 Fernsehgerät 54 65 feste Spielkonsole 37 62 Unabhängigkeit ================================================================== 1. Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde in Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von 12 bis

Mehr

6 Kontinente 42 Länder Armeen = Spielsteine

6 Kontinente 42 Länder Armeen = Spielsteine Risiko Ein Strategiespiel um die Befreiung besetzter Länder. Bei diesem Spiel gibt es - wie leider auch in der Realität - Einflußsphären, deren Bestand Besatzungsarmeen zu erhalten versuchen. Ziel von

Mehr