33. Wechselstrom II Siebkette und Sperrkreis. Elektrizitätslehre Wechselstrom II. ... sind interessante Beispiele für Wechselstromkreise

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1 33. Wechselstrom II 33.. Siebkette und Sperrkreis... sind interessante Beispiele für Wechselstromkreise Siebkette... ist eine Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator. Wir gehen wieder vom Strom aus Î I 0 e iωt () und betrachten die Spannung als phasenverschoben U 0 e i( ωt+ϕ) () Nach Anwendung des Maschensatzes auf die Siebkette folgt + + Ẑ + Ẑ + Ẑ ) Î (3) Mit Gl. (3-36) erhält man R L C ( R L C R + i ω L Î : Î (4) ω C Umstellen ergibt Î R + i ω L ω C (5a) woraus mit Gl. () und () folgt Î U I 0 0 e iϕ (5b) Diese beiden Gleichungen sind also völlig analog Gl. (3-4) bzw. (3-5), aber in komplexer Schreibweise 96

2 Aus der komplexen Darstellung kann man ablesen den komplexen Gesamtwiderstand Ẑ ges R + i ω L (6) ω C den Scheinwiderstand Z S Z S Ẑ ges R + ωl ωc (7) die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ω L tan ϕ ω C R (8) Für den Spezialfall ω L ω C ω ω L C 0 (9) ist der Stromkreis in Resonanz, d.h. Ẑges R, dies entspricht dem Minimum von Ẑ ges und tan ϕ 0, also keine Phasenverschiebung Eigentlich war der Gesamtwiderstand schon aus Gl. (4) absehbar gewesen 97

3 Dies gilt auch, wenn ein Frequenzgemisch angeboten wird: Der Anteil mit ω ω 0 wird durch das Sieb gelassen, da für ihn der Widerstand minimal wird Sperrkreis... ist eine Parallelschaltung von Spule und Kondensator. Wir wenden den Knotensatz auf Punkt P (oder Q) an: Î Î + Î L C (0) Mit Gl. (3-35) erhält man Î ges Ẑ ges Ẑ L + Ẑ C () und mit Gl. (3-36) Îges + i ω C i ω L durch Umformen ergibt sich Îges L i ω + i ω C Îges i ω C i Ẑ ω L ges () Diskussion: Wir betrachten die Zeigerdarstellung für ein (gerade zufällig) reales Î C läuft um π/ vor, Î L um π/ nach, wie erwartet. Wie Î ges läuft, hängt davon ab, ob < Ẑ L Ẑ C > ist, mit anderen Worten, ob gilt < Ẑ ges > 0 98

4 Für ω C 0 ω L wird Î ges 0 (vgl. Gl. ()). Das heißt aber nicht, dass Î L und Î C gleich Null sind. Sie kompensieren sich nur, was die Wechselwirkung mit der Spannungsquelle betrifft: In einem bestimmten Moment kommt es zum Ladungstransport durch Î L von A B, der genauso groß ist wie der Ladungstransport von C D durch Î C. Es bleibt kein Ladungstransport zur Spannungsquelle mehr übrig Die Kompensation von Î C und Î L betrifft die Wechselwirkung mit der Spannungsquelle. Innerhalb der Masche schwingen Î C und Î L im jeweils gleichen Drehsinn. Die Spule L und der Kondensator C bilden einen Schwingkreis, der für ω C 0 ω L ω ω 0 L C (9) in Resonanz ist, d.h. es kommt zu einem ständigen Hin und Her zwischen magnetischer und elektrischer Feldenergie. Wir können Gl. () auch so schreiben Î ges i ω C ω L Ẑ ges (3) woraus nach Umstellen folgt Ẑges i ω C ω L ω L i ω L C (4) Der Resonanzfall ω ω 0 bedeutet für Ẑges Ẑ ges 99

5 Wellen dieser Frequenz werden durch den Parallelwiderstand L, C nicht durchgelassen. Schwingungen genau dieser Frequenz schaukeln sich innerhalb dieser Masche hoch. Also: In Schwingkreisen erfolgt ein selektives Unterdrücken / Verstärken bzw. ein selektives Durchlassen / Abblocken bestimmter Frequenzen (Abstimmung eines Radios oder Fernsehers). Elektrische Schwingkreise sind den mechanischen Schwingungen analog. Es regieren dieselben Differentialgleichungen. Analoge Größen sind: mechanisch elektrisch Masse m L Induktivität Federkonstante D Reibungskonstante C k R Kapazität - Ort x Q Ladung Geschwindigkeit x& v Q & I Strom OHMscher Widerstand Beschleunigung v& a & d I Strom dt Energie E kin, E pot E elektr E magn (5) Dem Wechselspiel von E kin und E pot entspricht das von E elektr und E magn. Der OHMsche Widerstand erzeugt Verlustwärme und dämpft die Schwingung Drehstrom In <3..> zeigte sich: Eine rotierende Spule im Magnetfeld erzeugt eine Spannung U U 0 sin ωt (3-3) In der Praxis werden oft 3 Spulen im Generator miteinander gekoppelt, die um 0 gegeneinander versetzt sind: 00

6 Die in den 3 Spulen induzierten Spannungen sind R S U 0 sin ωt U 0 sin( ωt 0 ) (6) T U 0 sin( ωt 40 ) Man könnte die 3 Wechselspannungen über je zwei Leitungen verteilen (insgesamt 6). Besser ist jedoch: Verkettung der Spannungen, z.b. als Sternschaltung Also: Zusammenführung dreier Ausgänge auf einen Punkt M (sogenannter Nullleiter). Die Ermittlung der Spannungen U RS, U ST, U TR soll hier nicht über Winkelfunktions-Additionstheoreme erfolgen, sondern - eleganter - graphisch in der komplexen Ebene: Kommentar: Die Längen (Beträge) der rotierenden Zeiger entsprechen den Effektivwerten der Spannung U eff Die gesamte Zeigeranordnung rotiert mit ω. Physikalisch real ist die Projektion auf die Realteil-Achse. 0

7 Man erkennt aus der Geometrie der Anordnung, dass gilt: Elektrizitätslehre Wechselstrom II U RS U ST U TR 3 U RM 3 U SM 3 U TM Im deutschen Stromnetz gilt: U RM USM U TM 0 V (7a) womit man erhält U RS UST U TR 3 0 V 360 V (7b) Die Übertragung des Drei-Phasen-Stromes (Drehstromes) erfordert nur 4 Leiter Die Nutzung kann als Drehstrom (Motoren, die sehr leistungsfähig und robust sind) oder durch Aufgliedern in verschiedene Ein-Phasen-Stromkreise (0V) erfolgen. Diese werden so belegt, dass sich die Spannungen/Ströme im Nullleiter möglichst zu Null kompensieren. Die zweite Möglichkeit der Verkettung ist die Dreieckschaltung: Hinweis: Die beiden Abbildung können auch so verstanden werden, dass sie die Verbraucherkreise beschreiben. Die Stern-Abbildung zeigt dann das Betreiben von Ein-Pasen-Strom-Verbrauchern; in der Dreieck- Abbildung wären L, L, und L 3 die Spulen eines Drehstrommotors Der Transformator... besteht im Prinzip aus zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern. Wir betrachten zunächst den Primärstromkreis. 0

8 Gemäß der Maschenregel findet man U + USI 0 (8) Die Selbstinduktionsspannung U SI ist mit einem Magnetfluss verbunden USI N Φ& m (30- ) Also folgt mit Gl. (8) und Gl. (30 - ) U N Φ& m (9) In der Sekundärspule induziert dasselbe Φ & m die Spannung U N Φ& m (0) Gleichsetzen und umstellen von Gl. (9) und (0) ergibt somit U U N N () Gl. () gibt die Spannungsübersetzung des Transformators an. Das Minuszeichen zeigt die Gegenläufigkeit der Spannungen. Wie sieht die Leistungsbilanz aus? Beim hier angenommenen idealen Transformator ist natürlich P U I U I P Wenn die Spannung U heraufgesetzt wird, wird der Strom I herabgesetzt. Hinweis: Ein realer Transformator hat Verluste. In den Spulen ( R > 0 ), im Eisenkern (Ummagnetisierungsverluste trotz Weicheisen ), durch Streufelder Elektrische Maschinen Alle Elektromotoren beruhen auf der Ausnutzungn der LORENTZ-Kraft zwischen einem Magnetfeld und den bewegten Ladungen eines Stroms - oder was dasselbe ist - auf der abstoßenden Wirkung zweier Magnetfelder. Gl. (30 - ) gilt nur für eine Leiterschleife (N ) N > wird erst in Gl. (30-4) eingeführt. 03

9 Die Ausführungsformen sind sehr verschieden. An dieser Stelle nur zwei Kostproben Gleichstrommotor... verwendet ein stationäres Magnetfeld (Elektro- oder Permanentmagnet) und eine drehbare Spule. Dies führt normalerweise zum Einschnappen in Parallelstellung der Felder? Trick: ständiges Umpolen durch einen Kommutator mehrere gegeneinander verdrehte Spulen Beispiel: Spulen Je mehr Spulen, desto runder läuft der Motor. Umgekehrt kann man mit der gleichen Anordnung einen relativ glatten Gleichstrom erzeugen. ({}, S. 396) r r Dies folgt sofort aus M µ B. 04

10 Drehstrom-Asynchronmotor Vorteile dieses Motors waren mit maßgeblich für die weite Verbreitung des Drehstroms. Grundprinzip: Stationäre Spulenanordnung (Stator), die ein sich drehendes Magnetfeld erzeugt Drehbarer Kurzschlussläufer oder Käfig (aus Kupfer-Stäben), in dem durch das o.g. Magnetfeld Ströme induziert werden, deren Magnetfeld sich gegen das Magnetfeld des Stators stemmt (LENZsche Regel) Es existieren keine Schleifkontakte wie beim Kommutator Der Motor arbeitet asynchron zum Rhythmus des Wechselstroms, verkraftet es also auch, abgebremst zu werden (Beispiel: Handbohrmaschine). 05

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