Einführung in die deskriptive Statistik

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1 Eführug de dekrptve Stattk Übercht: 1. Grudlage: Mee, Skalere, edeoale Häufgketverteluge 1.1. Mee 1.. Skaleveau 1.3. Mewertklae 1.4. Uvarate Häufgketverteluge 1.5. Graphche Dartellug vo uvarate Häufgketverteluge 1.6. Type vo Häufgketverteluge der eprche Forchug. Kewerte der edeoale Häufgketvertelug.1. Kezahle der zetrale Tedez.. Kezahle der Dpero / Streuug.3. Verglech vo Mew erte au verchedee Meuge: z-werte 3. Korrelato zweer Varable 3.1. Zw edeoale Häufgketverteluge 3.. Graphche Dartellug zw edeoaler Häufgketverteluge 3.3. Da Kozept de tattche Zuaehag (Korrelato, Aozato) 3.4. Korrelato zwche etrche Varable (Itervall- ud Ratokaleveau) De Kovaraz zw eer Varable Pearo Produkt-Moet-Korrelatokoeffzet 3.5. Wetere Korrelatoaße Korrelato zweer dchotoer Varable (Ph-Koeffzet Φ) Korrelato zweer oaler Varble (Kotgezkoeffzt C) Korrelato zweer ordaler Varable (Speara Ragkorrelatokoeffzet r ) Korrelato eer etrche ud eer echt dchotoe Varable (r pb ) 4. Grudzüge der Regreorechug Lteratur: Bortz, Jürge (1999): Lehrbuch der Stattk. Für Sozalwechaf tler, 3., 4. oder 5. Auf l. Berl, Kaptel 1, 3 ud 6 (Auzüge) Hoppe, Segf red / Detlef Lepa (1974): Eführug de Stattk f ür de Verhaltewechafte. Tel I: Dekrptv e Stattk, Stuttgart, Kaptel 1, ud 3.

2 Eführug de dekrptve Stattk (Tel 1) 1. GRUNDLAGEN: MESSEN, SKALIEREN, EINDIMENSIONALE HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN Zel der dekrptve Stattk (bechrebede Stattk) t e, de erhobee Date zu trukturere ud zu bechrebe. Ert de chleßede Stattk (Ifereztattk) bechäftgt ch t der Frage, w ewet ch de a eer Stchprobe erhobee Date auch darüber hau auagekräftg ud gültg d. Nachde de Mewerte eer Dateatr ageordet w urde, köe de Häufgkete der better Mew erte erttelt ud graphch dartellt werde (Abchtt 1). Soda w erde Zuaehäge erhalb der Date t verchedee tattche Kew erte bechrebe. De edeoale oder uvarate Datebechrebug bezeht ch auf de Meug jew el eer ezele Varable, w obe Maßzahle zur Kezechug der zetrale Tedez ud zur Streuug der Mew erte u de zetrale Tedez gebldet w erde (Abchtt ). Zw edeoale oder bvarate Datebechrebug verucht de Bezehug zweer Varable zueader t bette Kewerte zu charakterere (Abchtt 3) Mee Wederholug: De Fragetellug eer eprche Uteruchug bezeht ch auf e oder ehrere Merkale eer Gruppe vo Uteruchugehete (z.b. Peroe). De Gruppe aller Uteruchugehete, dee Merkale vo Iteree d, et a Grudgeathet oder Populato. Da a cht alle Eleete der Populato uteruche ka, befat a ch ete t eer Auwahl au der Grudgeathet, eer Stchprobe. De Eleete der uteruchte Stchprobe (z.b. Objekte, Peroe oder Erege) werde auch Merkalträger geat. De Merkale, de verchedee Aupräguge aehe, et a Varable; de Merkalaupräguge elbt w erde Varablew erte oder Kategore geat. Be Mee w rd jede Merkalträger der Stchprobe geau e Mew ert zugeordet ud zw ar dergetalt, da dee Zuordug de Verhälte der Merkalträger bezüglch der Merkalaupräguge utereader w edergbt. Mee heßt alo: Zuorde vo Zahle zu Merkalträger ach bette Regel. Der Mevorgag behaltet de Abbldug ee eprche Relatv (Merkalaupräguge be Merkalträger) e uerche Relatv (Zahle). E Re latv t ee Mege vo Eleete (z.b. Merkalträger oder Zahle), erhalb derer e Bezehuge zw che de Eleete bezüglch ee Merkal (z.b. Gechlecht oder Körpergröße) gbt (z.b. de Bezehuge: glech uglech, kleer al ).

3 Bp.: Wr habe zw e Relatve: Relatv 1 = Stchprobe vo Studete, Glechhet bzw. Uglechhet de Gechlecht Relatv = Mege zweer Zahle (1, ), Glechhet bzw. Uglechhet deer Zahle. Relatv 1 t e eprche Relatv, Relatv e uerche Relatv. Mee t ee Zuordug vo Zahle zu Merkalträger, be der de Relatoe der Merkalträger bezüglch hrer Merkalaupräguge durch de he zugeordete Zahle w edergegebe w erde. Be quattatve Varable d de Merkalaupräguge (Varablewerte, Kategore) abgetuft ud köe durch Zahle w edergegebe w erde. Be qualtatve Varable lae ch de Merkalaupräguge (Varablew erte, Kategore) cht ee abgetufte Rehefolge brge. De Zuordug vo Zahle t daher w llkürlch (Bp. Gechlecht). Dkotuerlche / dkrete Varable betze ee begrezte Azahl vo Varablewerte. I jede Mew erttervall lege ur edlch vele Mew erte. Kotuerlche / tetge Varable habe ee ubegrezte Azahl vo Varablew erte (z.b. phykalche Maße: Dauer, Läge uw.) I jede Itervall zwche zw e Mew erte lege uedlch vele Mew erte. 1.. Skaleveau Je ach der Qualtät der Bezehuge zwche de Merkalträger bezüglch hrer Merkalaupräguge ka de Meug der Varable auf uterchedlche Wee erfolge: (1) Fettellug der Glechhet oder Uglechhet: A = B oder A B (Noalkala). () Bezehug eer Ragordug: A < B < C (Ordalkala). (3) Ragordugbezehug, be der auch de Größe der Uterchede zw che de ezele Räge teader verglche w erde köe: B - A = C B (Itervallkala). Uter eer Sk ala vertehe w r de Mege vo Mew erte eer Varable, de durch de Mevorgag de Merkalträger zugeordet werde köe. Dabe wrd jede Merkalauprägug e Sk alewe r t zugew ee. A.: Natürlch u cht be jede Skalew ert / jeder Merkalauprägug der gegebee Stchprobe auch e oder ehrere Mewerte auftrete. Typologe der Skaleveau: (1) Be Noalkale köe ur Auage darüber getroffe w erde, ob de Mew erte ee Merkal glech oder uglech d. De Skalew erte üte cht ubedgt durch Zahle, oder köte geauo gut adere durch adere Sybole bezechet w erde. Dchoto e Skale betze zw e Skalew erte. Trchotoe Skala betze dre Skalew erte; Mehrkategorale Skala betze ehr al dre Skalew erte. () Be Ordalkale (oder: Ragkale) ka darüber hau augeagt w erde, ob e

4 Mew ert größer, kleer oder glech ee adere t. Alle Mew erte köe ee Ragordug gebracht w erde. (3) Be Itervallkale ka darüber hau augeagt w erde, ob der Uterched zw eer Mew erte größer, glech oder kleer al der Uterched zw eer aderer Mew erte t. Ert auf de Skaleveau der Itervallkale köe Skalew erte bezüglch hre Abtade zueader, alo bezüglch hrer Dfferez (ud hrer Sue), teader verglche werde ( glechabtädge Skalew erte); ert her t de Addto oder Subtrakto vo Mewerte zuläg. I eer Itervallkala köe der Nullpukt ud de abolute Größe der Abtäde oder Itervalle fre gew ählt w erde. De auf dee Wee ettadee Skale lae ch durch efache atheatche Traforatoe eader überführe. Darau folgt jedoch: - E köe kee Auage über de abolute Beträge ee Skaletervall bzw. de Uterched zw eer Mew erte getroffe w erde. - E köe kee Auage über da Verhält zw eer Mewerte (= Prozete, Atelw erte) getroffe werde, w el herzu e Nullpukt al Augagpukt otw edg w äre. (4) Ratokale (Verhältkale) betze zude ee atürlche Nullpukt. Dee erlaubt e Multplzere ud Dvdere vo Skalew erte teader. Ratokale d der Pychologe ud Sozologe jedoch augeproche elte. Bp.: phykalche Maße: Läge, Gew cht uw. Beachte: 1. De Skaleveau d herarchch ageordet. D.h. Skale auf ee höhere Skaleveau betze alle Egechafte de ederere Skaleveau.. Da Skaleveau eer Meug w rd durch Plaubltätchlu erttelt. Währed phykalche Größe fat er Itervallkale (oder ogar Ratokale) d, t dee Skaleveau be pychologche oder ozologche Größe ur elte edeutg achw ebar (Auahe: Pychophyk). 3. I der Forchug geht a bwele deoch vo Itervallkale au, obw ohl dee Skaleveau cht achw ebar t. - Aahe ee regeläßge Aufbau der Welt(cht) der ete Meche t glechabtädge Skaletervalle. Be Befraguge olle de Veruchperoe (Merkalträger) dee ere Maßtab glechabtädg auf e uerche Relatv (z.b. Ratgkala) übertrage. 4. Da Skaleveau eer operatoalerte, afete Varable (z.b. Aubldugzet Jahre) etprcht cht autoatch dejege der dahter tehede latete Varable (theoretche Kozept: Bldugtad ). Auch we der Idkator offechtlch tervall- oder ratokalert t, blebt de latete Varable ordalkalert.

5 1.3. Mewertklae Be tetge Varable (beodere be phykalche Meuge) ow e be Varable t eer große Azahl vo Aupräguge werde au Grüde der Achaulchket ud Überchtlchket Mew erte velfach zu Mewertklae (Itervalle, Kategore) zuaegefat. Ma prcht da vo grupperte Date. De Azahl k der Klae / Kategore ollte uter 0 lege. Przpell ka jede Skala vo Mew erte durch Klaebldug verädert werde. Dat da Skaleveau erhalte blebt, d folgede Regel zu beachte: 1. Kategore vo Noalkale köe belebg zuaegefat w erde, ofer de Zuordug der Mew erte edeutg blebt. De Klaebldug ollte haltlch begrüdet e.. Ordalkale köe durch Zuaelege beachbarter Räge vergröbert w erde. Je größer de Varatobrete der Mew erte t, deto größer köe de Klae e. 3. Be der Vergröberug vo Itervallkale t darauf zu achte, da de Klaebrete (kb) der Klae / Itervalle glech d. De eu gebldete Klae w rd durch de Klaette bezechet, da t da arthetche Mttel der utere ud der obere Itervallgreze. 4. Ibeodere be Skale vo phykalche Meuge, de ur elte über de geate theoretch öglche Berech Mew erte lefer, ka e voll e, a obere ud utere Rad der Skala offee Mewertklae zu blde, de alle Mewert b bzw. ab ee bette Mewert falle. Be eer tattche Bechrebug deer Skale u jedoch berückchtgt w erde, da be Ebezehug der offee Klae ke Itervallkaleveau ehr gegebe t Uvarate Häufgketverteluge Nach eer Dateerhebug lege de Mew erte ee Merkal zuächt For eer og. Urlte vor. I deer Zahlelte werde de Mew erte der ezele Uteruchugehete htereader aufgeltet. I eer Dateatr werde de Mew erte vo ehrere Varable Spalte ebeeader zuaegefat. Ee Uteruchugehet (Pero) bldet t hre Mew erte jew el ee Zele der Matr. Alle Mew erte eer bette Varable tehe utereader eer Spalte. Velfach t e voll, vor der tattche Auw ertug der Date - durch Idebldug ehrere Varable zu eue Varable (Idce) zuaezufae; - durch Klaebldug ehrere Kategore ee Klae zuaezufae; - durch Klaebldug ee tetge ee dkrete Varable (t eer edlche Azahl vo Klae/Mew erttervalle) zu traforere. Ege kovetoelle Abkürzuge ud Bezechuge der dekrptve Stattk: Vp = Veruchpero (heute agt a eher: Veruch- oder Uteruchugteleher); = de Azahl der Vp be Stchprobeuteruchuge, Ufag der Meug/Uteruchug. De Größe der Grudgeathet w rd t N bezechet.

6 De Varable, de w r be de Veruchperoe geee habe, w rd geat. t der Mew ert-vektor der verchedee Mew erte. De ezele Uteruchugteleher werde durchuerert: 1,, 3, b. ( bedeutet rgedee belebge Veruchpero). Mt w rd der Mew ert bezechet, der be der Veruchpero Vp bezüglch eer Varable geee w urde. De Urlte t de Aufltug aller Mew erte aller Vp der Rehefolge 1,, 3, b. De ezele Skalew erte der Meug ee w r 1,, 3... l ; de Azahl der Skalew erte. Skaleklae w erde t k 1, k, k 3 uw. bezechet. De Vertelug der Mew erte ( ) eer Varable () auf de Skalew erte ( l ) werde Häufgketvertelug (oder efach: Vertelug) geat Mt f( l ) w rd de Häufgket bezechet, t der e Skalew ert l erhalb der Stchprobe al Mew ert auftrtt (f teht her für eglch frequecy, Häufgket). - Velfach wrd Stattk-Lehrbücher zwche Skalew ert l ud de Mew ert eer Vp cht uterchede. - Mtuter teht tatt f( l ) auch f() oder f (be Klae: f k ). - Be Noal- oder Ordalkale üe de Skalew erte cht ubedgt durch Zahle, oder köe auch durch de Kategoreae bezechet w erde. I eer Häufgkettabelle w erde jede Skalew ert l bzw. jeder Klae k l (1. Spalte) der zw ete Spalte e etprecheder Häufgketw ert f() bzw. f(k) (geauer: f( l ) bzw. f(k l )) zugeordet. De Häufgketw ert ka a auch al Prozetwert audrücke %() bzw. %(k). f ( l ) %( l ) = 100%. Machal öchte a w e, we vele Mewerte gerade b zu ee bette Skalewert vorlege. De Vertelug deer b zu ee Skalew ert agehäufte Mew erte et a kuulerte Häufgketvertelug f ku ( l ) bzw. f ku (k l ) (auch: f c ()). Velfach w rd de kuulerte Häufgketvertelug der Häufgkettabelle al ee drtte Spalte agefügt. Auch de kuulerte Häufgketvertelug lät ch Prozetzahle audrücke (og. Prozeträge, PR): fku ( l ) PR = % ku ( l ) = 100%.

7 1.5. Graphche Dartellug vo uvarate Häufgketverteluge Häufgkettabelle köe auf verchedee Wee achaulch graphch dargetellt w erde. (1) Dagr a e : Streckedagra, Säuledagra. De Häufgkete der ezele Skalew erte bzw. Klae w erde Fläche oder Läge überetzt, oda de Fläche- oder Lägeverhälte de Verhälte der Häufgkete w edergebe. Dee Dartellug t auch be Date au Noalkale voll. Be Ordalkale d ur olche Dagrae voll, dee de Fläche / Läge w aagrecht oder ekrecht ebeeader ageordet d, oda ee Ragfolge graphch abgebldet w rd. Kredagrae ( Tortedagra ) d eher be Noalkale ageee. () De Häufgkete vo kotuerlche Itervallkale werde durch e Htogra oder Polygo dargetellt. Be ee Htogra werde über ee Itervallkala Rechtecke errchtet, wobe dere Brete der Klaebrete ud dere Höhe der jewelge Häufgket der Mew erte erhalb der Klae etprcht. E Polygo (oder Polygozug) etteht, w e a de Itervall- oder Klaette der Htograrechtecke durch gerade Le teader verbdet. (Oft ertellt a e Polygo auch drekt, ohe Uw eg über e Htogra.) Htograe w erde be dkrete Verteluge beutzt, Polygoe dagege auch be tetge Verteluge (bzw. be Meuge, de przpell tetge Mewerte lefer köte, wäre de Metruete ur geau geug). Beachte: - Be der Afertgug ee Htogra oder Polygo ollte a de Maßtab auf der Ordate (ekrechte Ache) ud der Abze (waagrechte Ache) o w ähle, da kee verzerrte oder falche Edrücke der Vertelugfor ettehe. Velehr ollte de Wahl de Maßtabe vo Abze- ud Ordateache ee uverzerrte, achaulche Iterpretato der Ergebe eröglche. Be Ratokale ollte owohl Abze al auch Ordate öglcht Nullpukt aetze. We au Platzgrüde ee Abze- oder Ordateache uterbroche wrd, ollte de durch doppelte Trele a der Ache vererkt w erde Type vo Häufgketverteluge der eprche Forchug Au der graphche Dartellug eer Häufgketvertelug lae ch Auage über de jew el vorlegede Typ der Vertelug ablee: (1) Modaltät der Vertelug: - ohe Gpfel = Glechvertelug - egpflg = uodal - zwegpflg = bodal

8 (Mehrgpflge Verteluge w ee der Pychologe tuter auf Fehler be der Stchprobeauw ahl h. Ma hat u.u. au zw e Gruppe vo Merkalträger z.b. eer 5. ud eer 1. Schulklae ee geeae hergetellt, obw ohl ch bede Gruppe bezüglch eer Varable tark uterchede.) () Lage der Vertelug: Syetre ud Schefe - yetrch (der Gpfel legt der Mtte; auf bede Sete de Gpfel glech tel) - lkchef / rechttel (Gpfel recht vo der Mtte) - rechtchef / lktel (Gpfel lk vo der Mtte) - J-Vertelug, abfalled (Gpfel ehr tark ach eer Sete verchobe) - U-Vertelug (etteht durch Polarerug) (3) Noralvertelug De wahrchelch häufgte Vertelug der eprche Wechaft t de Noralvertelug (vgl. Iterfereztattk): De Noralvertelug t da atheatche Modell eer yetrche, uodale Vertelug, w obe de Häufgkete zu Gpfel h tärker zubzw. abehe al be de Räder (Glockefor).. KENNWERTE DER EINDIMENSIONALEN HÄUFIGKEITSVERTEILUNG Charaktertche Egechafte der Mew ertevertelug eer edeoale (uvarate) Häufgketvertelug köe t Hlfe vo tattche Kew erte oder Maßzahle bechrebe w erde. Beoder w chtg d de Maßzahle der zetrale Tedez eer Vertelug (Lageaße) ow e Maßzahle, de über de Uterchedlchket (Varabltät) der Merkalaupräguge forere (Dpero- oder Streuugaße). Vele deer Kewerte / Maßzahle d pezell für bette Skaleveau etw ckelt w orde; ege w chtge Kew erte (z.b. Mttelwert ud Stadardabw echug) d ur ab de Skaleveau vo Itervallkale zuläg ud ur be tetge Mew erte voll!.1. Kezahle der zetrale Tedez Maße der zetrale Tedez (Lageaße) d Skalew erte, durch w elche de zetrale Tedez vo Häufgketverteluge a bete augedrückt w erde ka bzw. de Skalew erte, w elche de Mew erte ee Merkal a bete repräetere. Abhägg vo Skaleveau gbt e dabe verchedee Möglchkete: (1) Modalw ert oder Modu Der Modu (Mod) eer Vertelug t derjege Skalewert, der a häufgte auftrtt. Der Modu t da ezg volle Maß der zetrale Tedez be Noalkale.

9 E ka auch zw e oder ehrere Mod gebe (ehrere Gpfel Polygozug): bodale ud polyodale Verteluge. We ehrere Skalew erte zu Klae zuaegefat w urde, glt de Klaette der häufgte Klae al Modalw ert der Vertelug. Be bretgpflge Verteluge (auf Ordal- oder Itervallkaleveau), be dee ehrere Skalewerte t glecher Häufgket ebeeader lege, etprcht der Modu der Mtte zw che dee Itervalle. () Meda Der Meda t der Wert, vo de alle adere Werte Durchchtt a w egte abw eche. Der Meda (Md, Md) eer Vertelug t derjege Wert eer Skala, welcher de der Größe ach geordete Mew erte eer Stchprobe geau zw e glech große Hälfte telt. Der Meda t e Maß der zetrale Tedez auf Ordalkaleveau, d.h. w e alle Mew erte köe ee Ragfolge gebracht werde köe. Be eer ugerade Azahl vo Uteruchugehete t der Meda geau der Mew ert der Uteruchugehet, de der Mtte legt, w e a alle Uteruchugehete der Größe ach aordet. Be eer gerade Azahl vo Uteruchugehete t e de Mtte zw che de bede ttlere Fälle. Der Meda ka auch thlfe der Prozeträge erttelt werde; er t der Wert l, für de glt: fku ( l) % ku ( l ) = 100% = 50 % Be Itervallkale t etree Mew erte auf eer Sete der Skala (Aureßer) t der Meda et ee beere Maßzahl zur Kezechug der zetrale Tedez al da arthetche Mttel. (3) Da arth etche Mttel (, AM) t da gebräuchlchte Maß zur Kezechug der zetrale Tedez eer Vertelug auf Itervall- oder Ratoalkaleveau. E w rd zuet efach Mttelwert geat. Da arthetche Mttel t de Sue aller Mewerte (alo vo erte Mew ert = 1 b zu letzte Mewert =, vgl. da Suezeche) getelt durch de Azahl der Mew erte bzw. de Ufag der Stchprobe. AM = = = 1

10 Fall beret ee Häufgket f( l ) für de ezele Skalew erte vorlegt, köe auch de t hrer Häufgket f( l ) ultplzerte Skalew erte l addert ud achleßed durch de Azahl der Merkalträger getelt w erde. AM = = l = 1 l f ( ) l (Verglechbare Berechugforel gelte für Klae grupperte Skalew erte.) Da arthetche Mttel ( Mttelw ert ) t de Sue der Mew erte bzw. der t hre Häufgkete ultplzerte Skalewerte getelt durch de Ufag der Stchprobe. De Poto vo arthetche Mttel (AM), Meda (Md) ud Modu (Mod) gbt Aukuft darüber, ob ee Vertelug rechttel, lktel oder yetrch t: rechttel/lkchef: AM < Md < Mod lktel/rechtchef: AM > Md > Mod yetrch: AM = Md = Mod Der Uterched vo Modu, Meda ud AM t alo e Kew ert für de Schefe der Vertelug. Be Verteluge t etree Mew erte ( Aureßer ) w erde tuter ur de ttlere der Mew erte zur Bldug de Mttelwerte verw edet (z.b. ur de ttlere 80 %). De retlche Mew erte w erde etw eder cht de Berechug ebezoge oder aber durch de Skalew ert, der de Aureßer a ächte legt, eretzt ( 10%, 10%-Worerte AM). Wetere Kezahle der zetrale Tedez: (4) De arthetche Mttel verchedeer Stchprobeeuge köe zu ee gewchtete arth etche Mttel verbude w erde, w e de ezele Stchprobe glech groß d. Ma addert de Mttelw erte j ud telt de Sue durch de Azahl der Stchprobe. geat j = = 1 j Da gewchtete Geatttel (GAM) w rd verw edet, w e de Kezahle vo verchede großer Stchprobe zuaegefat w erde olle. Da gew chtete arthetche Mttel t de Sue der t de jewelge Stchprobeufag j ultplzerte Mttelw erte, dvdert durch de Sue aller Stchprobeufäge. j

11 GAM j= 1 = j = 1 j j j Aerkug: De t allerdg ur öglch, w e de Varaze (. Abchtt.) der ezele Stchprobe glech d. (5) Da geoetrche Mttel (GM) ka be der Meug vo Epfdugtärke aufgrud vo pychophyche Geetzäßgkete verwedet werde. GM = Kezahle der Dpero / Streuug Auch w e ch de zetrale Tedeze zw eer Häufgketverteluge ähel, köe de relatve Häufgkete der jew elge Skalew erte tark voeader abweche. De Maßzahle der Dpero, Varato oder Streuug bechrebe dee Uterchedlchket der Häufgketverteluge vo Stchprobe, auch we dee Stchprobe deelbe zetrale Tedez (ud deelbe Größe) betze. (1) Spawete / rage Der rage (Spawete, Varatobrete) t de Dfferez zw che größte ud klete Mew ert ud gbt ot de Größe de Skaleberech a, de alle Mew erte lege. Rage = a - Nachtel: Ezele etree Mewerte ( Aureßer ) erhalte uverhältäßg große Gew cht. Dehalb bett a de Spawete tuter abzüglch der Etrew erte a bede Ede der Vertelug - z.b. ur der tteler 90 % der Werte betrachte, abzüglch der erte füf (0-5%) ud der letze füf Perzetle (95-100%). () Mttlerer Quartlabtad Mt Hlfe der kuulerte Häufgkete bzw. Prozeträge lät ch ee Vertelug lecht ver Quartle (5%-Gruppe) auftele. Ma bette de ttlere Quartlabtad al de Hälfte der Dfferez zwche de Skalewert ach 5% (P 5 ) ud ach 75% (P 75 ) der Merkalträger. Da ch de folgede Dperoaße auf de Abtäde vo Mew erte zu arthetche Mttel bezehe, d e ur be Itervallkale voll, de ur be Itervallkale lae ch de Abtäde zw che Mew erte überhaupt bete. (3) Durchchttlche Abw echug (AD) / ttlere Abw echug (average/ea devato)

12 De ttlere/durchchttlche Abw echug (AD) t de Sue der Abtäde aller Mew erte zu arthetche Mttel getelt durch de Azahl der Mew erte. De Abtäde vo Mew erte ud Mttelw ert werde al Betrag, d.h. t potve Vorzeche, gechrebe. Jeder ezele Mew ert geht da Streuugaß e! AD = = 1 Lege de Häufgkete der ezele Mew erte l vor, o ka a auch reche ( bezeht ch auf de Azahl der Skalew erte l ): f ( l ) l l= AD = 1 (4) Varaz (quadratche Abw echug) ud Stadardabw echug Da e tuter w üchew ert t, beoder große Abw echuge der Mew erte vo Mttelw ert beoder tark gew chtet da Streuugaß ezubrge, ka a auf de Quadrate der Abw echuge zurückgrefe. Durch de Quadrerug bekoe größere Abwechuge e größere Gewcht. Außerde w erde durch de Quadrerug autoatch alle Abtäde potv, d.h. a u cht w e be AD de Beträge der Abtäde addere. De Varaz (quadratche Abwechug) t de Sue der Quadrate aller Abtäde getelt durch de Azahl der Mew erte, bzw.: da arthetche Mttel der Sue aller quadrerte Abtäde zw che Mewerte ud arthetche Mttel. = = 1 ( ) Auch her ka atürlch auf de Häufgkete der Skalewerte l zurückgegrffe w erde: l = = 1 ( ) l f ( ) l De Stadardabwechug (SD, Streuug egere Se) t de Wurzel au der Varaz. = = = 1 ( )

13 Auch her ka atürlch auf de Häufgkete der Skalewerte l zurückgegrffe w erde: = = l= 1 ( ) l f ( ) l De Varaz ud de Stadardabw echug d de gebräuchlchte Kew erte zur Bechrebug für de Dpero eer Häufgketvertelug der eprche Forchug; w obe de Stadardabw echug hadlcher t, w el e auf derelbe Ehet w e de Mewerte - ud cht auf dere Quadrate - beruht. Allerdg d Varaz ud Stadardabw echug ur be uodale ud (zudet aähred) yetrche Verteluge w rklch auagekräftg. Be de obge Forel w rd de Stadardabw echug zw e Rechechrtte bett w erde: Zuächt u für jede Mew ert de Abw echug zu Mttelwert berechet ud ert achleßed ka der SD-Wert elbt bett werde. De lät ch durch folgede Forel verefache (zur Herletug vgl. Bortz 1999, S. 44). = = 1 Nebebeerkuge: 1. I de Forel für Varaz ud Stadardabw echug, w e e ch vele Stattk- Lehrbücher fdet, w rd cht durch oder durch (-1) getelt: = = 1 ( ) 1 ud = = = 1 ( ) 1 De w rd jedoch ert der Ifereztattk otwedg, u erwartugtreue Kewerte für de Schätzug der Streuug ubekate Grudgeathete zu erhalte.. Bedeutug der Stadardabw echug Für ee Noralvertelug glt, da zw che de Skalew erte + ud - geau 68,6 % (alo ca. zwe Drttel) aller Merkalträger lege. I Berech vo ± befde ch 95,44 % der Merkalträger. Dee Utad acht a ch der Ifereztattk zuutze. (5) Varatokoeffzet Gelegetlch w rd al e wetere Dperoaß der Vartokoeffzet (V, auch: Varabltätkoeffzet) verw edet. Er erlaubt e, Streuuge vo Verteluge t uterchedlche Mttelw erte teader zu vergleche. Der Vartokoeffzet relatvert de

14 Stadardabw echug a Mttelw ert bzw. drückt de Stadardabwechug Mttelw ertehete au (ur be >0): V = Der Varatokoeffzet t allerdg ur be Rato-Skale t ee atürlche Nullpukt voll, w el ur da der abolute Betrag de Mttelw ert fetteht ud ch de Vertelug (tat de Mttelwerte) cht kotuerlch verchebe lät..3. Verglech vo Mew erte au verchedee Meuge: z-werte We de Merkalaupräguge vo Peroe, de au verchedee Stchprobe tae (z.b. Tetote vo Schüler au verchedee Schulklae), teader bezüglch der Poto hrer Merkalauprägug erhalb der jew elge Stchprobe verglche w erde olle, t e voll, de Mewert jeder Pero auf alle Werte der betreffede Meug ( Bepel: der jew elge Schulklae, au der e Schüler tat) zu bezehe. Idvduelle Aupräguge (z.b. chulche Letuge) w erde alo vor de drekte Verglech a jew elge Kollektv relatvert. Herzu betehe zw e Möglchkete: (1) Durch ee Verglech der Prozeträge der Merkalträger: Auf welche Platz der Ragordug befdet ch de Pero erhalb de Kollektv / der Stchprobe? () Oder durch ee Relatverug der Mew erte a der Stadardabw echug jew elge Kollektv. De Abw echug de jewelge Mew ert zu Mttelwert wrd durch de Stadardabw echug der betreffede Stchprobe dvdert. Führt a dee Traforato a alle Mewerte durch, o erhält a de og. z-stadardw erte eer Vertelug. z = U de Abwechuge der Mewerte vo Mttelw ert be uterchedlche Stchprobe beer teader vergleche zu köe, üe e zuvor a der Streuug aller Werte der jew elge Stchprobe relatvert w erde. De gecheht, de de Abwechuge der Mew erte zu arthetche Mttel der Stchprobe durch de Stadardabw echug der Stchprobe dvdert w rd (z-traforato). De z-stadardw erte d cht adere al Stadardabw echuge geeee Abwechugehete uter bzw. über de Mttelw ert. Z-Stadardardwerte forere über de relatve Poto ee Idvduu ee Kollektv. Werde alle Mewerte eer oralvertelte Stchporbe z-traforert, o erhalte wr ee og. Stadard-Noralvertelug, be der glt:

15 Ee z-traforerte Vertelug hat ee Mttelwert = 0 ud ee Stadardabw echug vo = 1. Beachte: 1. De Varaz bzw. Stadardabwechug t ur be oralvertelte Stchprobe auagekräftg. Dee Echräkug glt dehalb auch für de Verglechbarket vo z-stadard- Werte au verchedee Stchprobe!. Meuge, de ch au haltlche Grüde cht vergleche lae, d atürlch auch ach eer z-traforato cht teader verglechbar!

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