Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker

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1 Gerhard Böhm, Günter Zech Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker SUB Göttingen A Verlag Deutsches Elektronen-Synchrotron

2 Inhalt sverzeichnis 1 Einführung Ziel der Statistik Wie definieren wir Wahrscheinlichkeit? Zufallsereignisse und -variable Mathematische Axiome und Sätze Axiome Bayes-Theorem Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen 9 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Eigenschaften Definition Diskrete Verteilungen Kontinuierliche Verteilungen Empirische Verteilungen Erwartungswerte 16 '2.2.1 Definition und Eigenschaften des Erwartungswerts Mittelwert Varianz Schiefe Kurtosis (Exzess) Diskussion Beispiele Momente und charakteristische Funktion Momente Charakteristische Funktion Beispiele Variablentransformationen Berechnung der transformierten Dichte Berechnung der passenden Transformation Multivariate Wahrscheinlichkeitsdichten Wahrscheinlichkeitsdichte von zwei Variablen 41

3 X Inhaltsverzeichnis Momente Variablentransformation Variablenreduktion Berechnung der passenden Transformation 50, Verteilungen von mehr als zwei Variablen Unabhängige, identisch verteilte Variable Einige wichtige Verteilungen Binomialverteilung Multinomialverteilung Poisson-Verteilung Gleichverteilung Normalverteilung Exponentialverteilung x 2 -Verteilung Gammaverteilung Cauchy-Verteilung Extremwertverteilung 72 3 Messfehler Allgemeine Überlegungen Bedeutung der Fehlerbestimmung Überprüfung von zugeordneten Fehlern Angabe von Fehlern Definition des Messwertes und seiner Unsicherheit Bestimmung der Messunsicherheit Statistische Prozesse mit vorgegebener Form der Verteilung Ablesen eines Messgeräts Empirische Ermittlung aus einer Messreihe Fehler der empirischen Varianz Systematische Fehler Lineare Fehlerfortpflanzung Mittelung über mehrere Messwerte Funktionelle Abhängigkeit von einer Messgröße Fehler einer Funktion mehrerer Messgrößen Mehrere Funktionen mehrerer Messgrößen Beispiele Verfälschung (Bias) einer Messung Konfidenzintervalle 92 4 Monte-Carlo-Simulation Einleitung Erzeugung einfacher statistischer Verteilungen Pseudozufallszahlen im Computer 97

4 Inhaltsverzeichnis Erzeugungen einfacher Verteilungen durch _ Variablentransformationen Einfache Wegwerfmethode zur Erzeugung von Verteilungen Majorantenmethode Behandlung additiver Wahrscheinlichkeitsdichten Wichtung der Ereignisse Migrationsmethode Lösung von Integralen Primitive Wegwerfmethode Verbesserte Wegwerfmethode Wichtungsmethode Rückführung auf Erwartungswerte Intervallbildung Allgemeine Bemerkungen 118 Parameterschätzung I Einführung Schätzung bei gegebener Priorwahrscheinlichkeit Diskrete Hypothesen Kontinuierliche Parameter Definition und anschauliche Bedeutung der Likelihood Das Likelihoodverhältnis - Beispiele Die Maximum-Likelihood-Methode zur Parameterbestimmung Das Rezept bei einen unbekannten Parameter Beispiele Likelihoodanpassung für mehrere Parameter Kombination von Messungen Likelihood für Histogramme Erweiterte Likelihood Weitere Beispiele Kurvenanpassung an Messpunkte Komplizierte Likelihoodfunktionen Vergleich von Beobachtungen mit einer Monte-Carlo- Simulation Berücksichtigung von Zwangsbedingungen Reduktion des Variablenraums Das Problem Zwei Variable und ein linearer Parameter Verallgemeinerung auf mehrere Variable und Parameter Nichtlineare Parameter Methode des approximierten Likelihoodschätzers Eliminieren von Störparametern Faktorisierung der Likelihood Parametertransformation, Restrukturierung 162 XI

5 XII Inhaltsverzeichnis Formale Restrukturierung Profillikelihood Integration über den Störparameter Explizite Angabe der Abhängigkeit vom Störparameter Empfehlung Parameterschätzung II Likelihood und Information Erschöpfende Statistiken Das Konditionierungsprinzip Das Likelihoodprinzip Bias von Maximum-Likelihood-Ergebnissen Anwendung von Abbruchregeln Weitere Methoden der Parameteranpassung Momentenverfahren Methode der kleinsten Quadrate Lineare Regression Zusammenfassung und Vergleich der Parameterschätzverfahren Intervallschätzung Einführung Fehlerintervalle Parabolische Näherung Allgemeiner Fall Einseitige Grenzen Allgemeiner Fall Obere Poisson-Grenzen, einfacher Fall Poisson-Grenzen bei Daten mit Untergrund Unphysikalische Parameterwerte Entfaltung Einführung Das Problem Entfaltung durch Matrixinversion Die Transfermatrix Regularisierung Entfaltung von Histogrammen Die Likelihoodfunktion Stärke der Regularisierung Überlegungen zum Binning Wahl der Regularisierungsfunktion Iterative Entfaltung Regularisierung der Transfermatrix Binningfreie Verfahren Iterative Entfaltung 214

6 Inhaltsverzeichnis XIII Migratiorisverfahren Vergleich der Verfahren Fehlerabschätzung für die entfaltete Verteilung Entfaltung von Spektren hoher Statistik Entropieverfahren Signifikanztests Einführung, Der x 2 - Test in verallgemeinerter Form Die Idee des x 2 -Vergleichs Die x 2 -Verteilung und der x 2 -Test Verallgemeinerung auf beliebige Messwerte Die Wahl des Binning Der x 2 -Test bei Anpassung von Parametern x 2 -Test bei kleinen Proben Der Likelihoodverhältnistest für Histogramme Der Kolmogorov-Smirnov-Test Weitere verteilungsfreie Tests ohne Binning Tests der Kolmogorov-Smirnov und Cramer-v.Mises- Familien Der Neymansche Glattheitstest Der Energietest Der Z, 2 -Test Problemangepasste Tests Vergleich unterschiedlicher Testverfahren Univariate Verteilungen Multivariate Verteilungen Vergleich von Proben Die Problemstellung x 2 - und Kolmogorov-Smirnov-Test Der Energietest Statistisches Lernen Einführung Funktionsnäherung Wichtungsmethoden Orthogonalfunktionen Wavelets Splineanpassung Anpassung mit allgemeinen Funktionen Beispiel Hauptkomponentenanalyse, Faktorenanalyse Klassifizierung Diskriminanzanalyse Neuronale Netze 270

7 XIV Inhaltsverzeichnis Wichtungsmethoden 277, Entscheidungsbäume Vergleich der Methoden Hilfsmethoden Dichteschätzung Bootstrap Einführung Definitionen und Varianzschätzung Genauigkeit der Fehlerschätzung Konfidenzintervalle Vergleich von zwei Proben Anhang Allgemeine Sätze, Aspekte der Häufigkeitsstatistik, Allgemeine Eigenschaften von Punktschätzungen Klassische Konfidenzintervalle P-Werte für EDF-Statistiken Extremwertsuche Monte-Carlo-Suche Simplexverfahren Parabelmethode Gradientenabstiegsverfahren Stochastische Elemente bei der Minimumsuche Formeln für B-Splinefunktionen Lineare B-Splines Quadratische B-Splines Kubische B-Splines 315 Sachverzeichnis 323

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