n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

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1 Grudlage der mathematische Statistik Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl vo Eizelerscheiuge oder Idividue zu tu. Diese Zahl ka edlich oder uedlich sei. Die Mege aller Eizelerscheiuge ee wir die Grudgesamtheit der Utersuchug. Dabei zeigt es sich, dass diese Masseerscheiuge häufig Gesetzmäßigkeite aufweise, die sich icht auf ihre eizele Messuge oder idividuelle Beobachtuge übertrage lasse. Wir spreche deshalb vo der zufällige Uregelmäßigkeit der Eizelerscheiug ud der statistische Regelmäßigkeit oder Gesetzmäßigkeit der Masseerscheiug. Häufig ist die Azahl der Elemete zu groß, um alle Elemete der Grudgesamtheit messe oder beobachte zu köe. Um trotzdem Iformatioe über mögliche Gesetzmäßigkeite der Grudgesamtheit zu erhalte, etehme wir eie zuverlässig große Azahl vo Elemete aus der Gesamtheit ud ee diese Teilmege eie Stichprobe vom Umfag. Die Etahme dieser Elemete muss zufällig erfolge, d.h. jedes Elemet der Grudgesamtheit muss die gleiche Chace habe, i die Stichprobe eibezoge zu werde. Wir setze voraus, dass usere Ergebisse stets eie reelle Zahl darstelle oder sich durch eie reelle Zahl iterpretiere lasse. Da köe wir die Merkmalswerte der Stichprobe durch die Zufallsvariable X kezeiche. Für eie Stichprobe vom Umfag erhalte wir k verschiedee Werte der Zufallsvariable X: x 1,x 2,x 3,...x k. Jeder dieser Werte wird mit der absolute Häufigkeit 1, 2, 3,..., k i der Stichprobe auftrete. Für die absolute Häufigkeit köe wir auch die relative Häufigkeit eisetze: h 1,h 2,h 3,...,h k, mit h 1 +h 2 +h h k =1. Wir uterscheide die diskrete Stichprobewerte ud die stetige Stichprobewerte. Bei Utersuchuge, bei dee ma misst, d.h. eie kotiuierlich veräderliche Variable beobachtet, trete prizipiell stetige Ergebisse auf. Bei Ergebisse, bei dee ma zählt, trete diskrete Ergebisse auf. Die Erfassug ud Beschreibug der beobachtete Merkmalswerte der "Zufalls"Stichprobe ud ihre Beschreibug durch die Maßzahle Mittelwert ud Variaz ist der Gegestad dieses Kapitels. Offesichtlich bestehe zwische der Wahrscheilichkeitsrechug ud der mathematische Statistik große Gemeisamkeite i der Begriffsbildug Häufigkeit ud Summehäufigkeit eier Stichprobe Gemäß userer Eileitug beschreibe wir eie Stichprobe zuächst durch folgede Begriffe: De Stichprobeumfag, die absolute Häufigkeit H(x i ) eies Stichprobewertes x i ud die relative Häufigkeit h(x i ) eies Stichprobewertes x i, wobei wir die relative Häufigkeit bekatlich so defiiere. Defiitio Relative Häufigkeit eier Stichprobe:

2 62 h(x i ) = Absolute Häufigkeit H(x i) für das Ereigis x i Stichprobeumfag Natürlich folgt stets, dass die relative Häufigkeit eies Stichprobewertes x i kleier oder gleich 1 ist ud dass die Summierug der relative Häufigkeite immer 1 ergibt: 0 h(x i ) 1 ud m " h(x i ) = " h i =1. m Dari stelle die Größe x i, 1 i m, die Gesamtheit aller uterscheidbare Ereigisse i der Stichprobe vom Umfag dar. Machmal ist es zweckmäßig, aus de m diskret - zahlemäßig verschiedee Stichprobewerte x 1, x 2, x 3,..., x m ud ihre m relative Häufigkeite h i =h(x i ), die ustetige Häufigkeitsfuktio f(x) zu kostruiere: " h i für x = x i f(x) = #. % 0 sost Die Häufigkeitsfuktio bestimmt die Häufigkeitsverteilug der Stichprobe. Natürlich gilt auch hier: 0 f(x) 1 ud m " f(x i ) =1, Diese Begriffe habe wir aalog scho i der Wahrscheilichkeitsrechug keegelert. Nebe der Häufigkeitsfuktio f(x) besitzt die Summehäufigkeitsfuktio oder Verteilugsfuktio F(x) der Stichprobe eie besodere Bedeutug. Wir defiiere: Defiitio Verteilugsfuktio eier Stichprobe. F(x)=Summe der relative Häufigkeite aller Stichprobewerte x i, die kleier oder gleich x sid. Beispiel Eie Utersuchug der Körpergröße vo 100 zufällig ausgewählte, achtzehjährige Mädche ergab das folgede Ergebis. Dari sid die ursprüglich stetige Messergebisse durch das Auf- oder Abrude auf gaze Eiheite diskretisiert. Körpergröße [cm] Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit 0,01 0,01 0,02 0,03 0,03 0,05 0,06 0,04 0,05 0,07 0,05 0,05 0,06 Absolute Summehäufigkeit Relative Summehäufigkeit 0,01 0,02 0,04 0,07 0,1 0,15 0,21 0,25 0,3 0,37 0,42 0,47 0,53 Körpergröße [cm] Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit 0,07 0,05 0,04 0,05 0,05 0,06 0,04 0,03 0,02 0,03 0,01 0,01 0,01 Absolute Summehäufigkeit Relative Summehäufigkeit 0,6 0,65 0,69 0,74 0,79 0,85 0,89 0,92 0,94 0,97 0,98 0,99 1

3 Klasseeiteilug eier Stichprobe Häufig tritt die Situatio ei, dass umfagreiche Stichprobe vorliege mit viele uterschiedliche Stichprobewerte. Die tabellarische ud auch grafische Auswertug zeigt da das weig aschauliche Bild vo viele verschiedee x i -Stichprobewerte mit kleie Werte der absolute bzw. relative Häufigkeite. Eie Messug ist ei solcher Extremfall, weil bei hireiched hoher Geauigkeit alle Stichprobewerte verschiede sei werde. I solche Fälle köe wir die Darstellug verbesser, idem wir beieiader liegede Stichprobewerte zu Klasse zusammefasse ud aschließed die Azahl der Elemete pro Klasse tabellarisch oder grafisch darstelle. Für eie solche Gruppierug der Stichprobewerte i Klasse beachte wir folgede Merkregel.

4 64 1 Wir wähle für alle Klasse die gleiche Breite Δx. 2 Wir charakterisiere die Klasse durch ihre Klassemitte x i ud sorge dafür, dass die Klassemitte x i möglichst eifache Zahle ergebe. 3 Fällt ei Stichprobewert auf de Rad, so zähle wir ih zur Hälfte für jede der beide agrezede Klasse. 4 Bei der Festlegug der Azahl k der Klasse verwede wir die Faustregel: k ", wori de Stichprobeumfag darstellt. 5 Die absolute Häufigkeit H(x i ) eier Klasse ist durch die Azahl der Stichprobewerte defiiert, die i dieser Klasse liege. 6 Die relative Häufigkeit h(x i ) eier Klasse erreche wir, idem wir ihre absolute Häufigkeit durch de Stichprobeumfag teile: h(x i ) = H(x i ). 7 Die Häufigkeitsfuktio f(x) eier gruppierte Stichprobe ist so defiiert: " h(x i ) für x = x i,worix i die Klassemitte darstellt f(x) = # % 0 sost 8 Die Verteilugsfuktio F(x) ermittel wir aus der Summe der relative Klassehäufigkeite aller Klasse, dere Mitte x i kleier oder gleich x sid: F(x) = # f(x i ), wori x i die Klassemitte darstellt. x i "x Beispiel 1 Für die Druckfestigkeit vo Betowürfel wurde 85 Messuge durchgeführt. Bei diese Messuge wurde eie Geauigkeit vo 1 kg/cm 2 gefordert. Die Messwerte variierte zwische 209 ud 489 kg/cm 2. Druckfestigkeit kg/cm2 Druckfestigkeit kg/cm2 Druckfestigkeit

5 65 Wir bilde k=10 Klasseitervalle ( k " eizele Klasse(i [kg/cm 2 ]: 85 ) ud zähle die Häufigkeite der Date i de Klasseitervalle x i Absolute Häufigkeit H x i ( ) Die Klasse x 1 ethält alle Ergebisse vo [kg/cm 2 ] bis [kg/cm 2 ], die Klasse x 2 alle Werte zwische [kg/cm 2 ] ud [kg/cm 2 ], u.s.w. Beispiel 2 Ei Zufallsgeerator liefert 5000 Zufallswerte zwische x -10 ud x 10. Es hadelt sich wie im vorige Beispiel prizipiell um eie stetige Zufallsvariable. Offesichtlich köe wir stetige Verteiluge zwar theoretisch formuliere, aber weil usere edliche Darstellug der uterschiedliche Dezimalzahle ur edlich viele Uterscheiduge zuläßt, erhalte wir deoch eie (ubeabsichtigte) Diskretisierug des Zahleitervalles für usere Zufallsvariable. I userem Beispiel zerlege wir das stetige Gruditervall vo -10 bis +10, durch die Darstellug der stetige Zufallsvariable mit drei Dezimalzahle ach dem Komma geau, auf isgesamt uterscheidbare Stichprobewerte.

6 Mittelwert, Media, Streuug ud Streuugsquadrat Nachdem wir die drei Stichprobe i de Eiführugsbeispiele tabellarisch ud grafisch i de Details aufgearbeitet habe, führe wir für jede Stichprobe (Messug, Beobachtug, Zufallsexperimet) zusätzliche Maßzahle ei, mit dee wir sie gesamtheitlich beschreibe. Diese Zahle heiße Mittelwert, Media ud Streuug ud Streuugsquadrat der Stichprobe. Wir defiiere diese Maßzahle wie folgt. Der Mittelwert eier Stichprobe x 1, x 2,..., x ist das arithmetische Mittel der Stichprobewerte ud wird mit x bezeichet: x = 1 x i = x 1 + x x ". Demgegeüber ist der Media derjeige Stichprobewert der i der Mitte liegt. Dieser existiert stets für eie ugerade Azahl vo Werte. Ist die Azahl der Werte gerade, so defiiere als Media de Mittelwert der beide i der Mitte liegede Werte. Beispiele: 1 Der Media der Stichprobewerte 1,2,5,100,1000 ist 5. 2 Der Media der Stichprobewerte 1,2,5,100 ist 3.5. Für usere drei Eiführugsbeispiele bereche wir für das arithmetische Mittel ud de Media folgede Werte. 3 Als Mittelwert für die Körpergröße der Mädche erreche wir Der Media ist Die mittlere Druckfestigkeit der Betowürfel beträgt [kg/cm 2 ]. Der Media ist 328 [kg/cm 2 ]. 5 Der Mittelwert der Zufallszahle heißt Der Media ist Wir wolle jetzt och eie Maßzahl eiführe, die beschreibt, wie stark die Stichprobewerte x 1, x 2, x 3,..., x um de Mittelwert streue. Schließlich ist es ei Uterschied, ob usere Stichprobe die Werte 1, 5, 9, 2, 8 aimmt, oder die Werte 4.5, 4.9, 5.1, 5, 5.5. Beide Stichprobe habe de gleiche Mittelwert 5; offesichtlich streue die Werte der erste Stichprobe aber wesetlich stärker. Diese Streuug der Stichprobewerte um de Mittelwert beschreibe wir durch das Streuugsquadrat oder auch Variaz. Als Variaz eier Stichprobe defiiere wir de folgede Ausdruck: s 2 = 1 #(x i " x ) 2 Variaz. "1 Die ichtegative Quadratwurzel s der Variaz heißt die Stadardabweichug.

7 67 Wir wede de eue Begriff der Variaz auf usere 4 Beispiele a. Beispiel 1 (Mädchegröße) Die Variaz zur Stichprobe vom Umfag =100 zur Messug der Körpergröße eier Mädcheklasse beträgt 34. Damit liege die Stadardabweichuge vom Mittelwert der Körpergröße bei ca. 5.8 cm. Beispiel 2 (Druckfestigkeit) Die Variaz zur Messug der Druckfestigkeite beträgt Damit liege die Stadardabweichuge vom Mittelwert der Druckfstigkeit bei ca Beispiel 3 (Zufallszahle) Die Variaz zu userem Experimet mit dem Geerator für Zufallszahle beträgt Die Stadardabweichug eier Zufallszahl vom Mittelwert liegt also bei 5.5. Amerkuge 1 Die Variaz ist eie Größe, die sich aus de absolute Werte eier Stichprobe errechet ud hägt demzufolge i ihrer Größe icht ur vo ihrer Streuug um de Mittelwert, soder auch vo de absolute Zahlegröße i der Stichprobe ab. Aus der Größe der Variaz alleie köe wir deshalb ichts über die Streuug der Stichprobewerte sage. 1 2 Es überrascht zuächst, dass i der Formel für die Variaz der Ausdruck "1 statt 1 steht. Dies lässt sich dadurch begrüde, dass wir die Summe der Quadrate stets auf eie Summe vo ( -1) Quadrate reduziere lässt. Ma bezeichet (-1) als die Azahl der Freiheitsgrade der Quadratsumme. Gegestad der bisherige Utersuchuge, war die Überlegug, wie ma statistische Date i eie übersichtliche tabellarische oder grafische Form brigt. Außerdem habe wir die Begriffe Mittelwert ud Variaz defiiert, um die Stichprobeergebisse durch gewisse "summarische" Maßzahle zu kezeiche. Wollte wir ur die Empirie beschreibe, so wäre wir fertig. Das Zufallsexperimet "Zufallszahle" ist gut geeiget eiige Weseszüge der Wahrscheilichkeitsrechug ud der mathematische Statistik zu vergleiche. I der Wahrscheilichkeitsrechug köe wir für dieses stetige Experimet exakt die Wahrscheilichkeitsdichte f(x) = 1 20 ud die Verteilug % 0 für x " #10 ' x +10 F(x) = & für #10 " x "10 ' 20 ( 1 für x +10 bereche ud mit userer Stichprobe vergleiche. Die Stichprobewerte (weiße Symbole) streue um die exakte aalytische Werte (schwarze Symbole). Bei diesem Vergleich dürfe wir da folgedes erwarte: Mit zuehmedem Stichprobeumfag werde die Abweichuge geriger.

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