5. Schließende Statistik Einführung

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1 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen. Hauptrichtungen: Beschreibung von Daten (Deskription) Generierung von Hypothesen (Exploration) Schluss von den Daten (Stichprobe) auf die Grundgesamtheit stochastisches Modell (für die Verhältnisse in der Grundgesamtheit) } } beschreibende Statistik schließende Statistik Aufgaben der schließenden Statistik: möglichst gute Anpassung eines Modells an die Daten ( die Realität ) durch Schätzung Überprüfung von Modellannahmen (Hypothesen) z.b. über die Verteilungen der Merkmalsausprägungen interessierender Merkmale durch Anwendung von Entscheidungsregeln (z.b. Signifikanztests) auf vorliegende Hypothesen und Daten 1

2 Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) Hauptrichtungen: Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Grundgesamtheit), Erwartungswerte (Durchschnittswerte in der Grundheit) bzw. allg. von Verteilungen interessierender Merkmale in der Grundgesamtheit Testen von Hypothesen über diese Parameter bzw. Verteilungen, d.h. über die Angepasstheit eines Modells und damit schließlich über die interessierenden Verhältnisse in der Grundgesamtheit (Population) Jeder Schluss von einer Teilerhebung (Stichprobe) auf die Grundgesamtheit ist mit Unsicherheiten verbunden. Die wahrscheinlichkeitstheoretischen Modelle ermöglichen es, diese Unsicherheiten zu quantifizieren. Beispiel: GSTAT (Fred Böker, Statistik lernen am PC, Vandenhoeck & Ruprecht 1989) enthält (u.a.) für das Jahr 1974 die Altersverteilung aller Personen, die in diesem Jahr in der BRD gemeldet waren, sowie die Möglichkeit, das Ziehen einer Stichprobe zu simulieren und deren Verteilung mit der tatsächlichen (über Histogramme und Mittelwerte) zu vergleichen. 2

3 5.2. Statistische Grundbegriffe Die Grundgesamtheit (Population) ist die Gesamtmenge von Merkmalsträgern (Objekten) über die man z.b. in den Sozialwissenschaften Aussagen machen möchte. Beispiele: Gesamtbevölkerung der Bundesrepublik, Wähler einer Partei, Studenten einer Fachrichtung,... Interessiert ist man an gewissen Merkmalen, die die Merkmalsträger aufweisen. Beispiele: Geschlecht, Höhe des Einkommens, Zufriedenheit mit der Statistikausbildung Kann die Grundgesamtheit nicht vollständig - durch Einbeziehung aller Merkmalsträger (Totalerhebung) - hinsichtlich der interessierenden Merkmale untersucht werden, so versucht man eine möglichst repräsentative Teilerhebung zu verwenden. Liegen keine gesicherten Kenntnisse über die Struktur der Grundgesamtheit hinsichtlich der interessierenden Merkmale vor, so sichert nur das Zufallsprinzip repräsentative Teilerhebungen. Die einbezogenen n Merkmalsträger werden rein zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt ( gezogen ). Dabei hat jeder Merkmalsträger bei jeder Ziehung die gleiche konstante Chance ausgewählt zu werden ( Ziehen mit Zurücklegen ). Die Ziehungsergebnisse beinflussen sich dabei auch nicht gegenseitig. 3

4 Betrachte für ein interessierendes Merkmal die Zufallsgröße X, die die Merkmalsausprägungen - kodiert durch Zahlen - bei einer rein zufälligen Auswahl eines Merkmalsträgers aus der Grundgesamtheit beschreibt, so besitzt sie die i.a. unbekannte Verteilungsfunktion F X der Merkmalsausprägungen dieses Merkmals in der Grundgesamtheit ( zufälliger Bürger ). Das mathematische Modell für das Ziehen einer reinen Zufallsstichprobe ist die mathematische Stichpobe (X 1, X 2,..., X n ) vom Umfang n. X i beschreibt dabei die zufällige Merkmalsausprägung des i-ten ausgewählten Probanden. Nach der Ziehungsvorschrift besitzen alle X i die gleiche Verteilung F X des interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit. Diese Modellvorstellung wird dann zur Berechnung der Unsicherheiten beim Schluß von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit verwendet. Das Resultat einer Datenerhebung ist die konkrete Stichprobe (x 1, x 2,..., x n ). x i steht dabei für die registrierte Merkmalsausprägung des i-ten ausgewählten Probanden. Gemäß der Modellvorstellung sind die Daten eine Realisierung einer mathematischen Stichprobe. Beschreibt man also den Ziehungsprozeß einer mathematischen Stichprobe, so verwendet man Zufallsgrößen X, X i, T (große Buchstaben; der Ziehungsprozeß wird unendlich oft wiederholt ) und beschreibt man die Realisierung einer Ziehung, so schreibt man entsprechend x, x i, t (kleine Buchstaben; Ergebnis einer Ziehung ). 4

5 Übliche Sprechweise für Modellannahmen: Die Stichprobe (x 1,..., x n ) entstamme einer nach F X verteilten Grundgesamtheit. Praktisch hat man es stets mit der konkreten Stichprobe (x 1,..., x n ) zu tun, mit deren Hilfe man Informationen über die Population gewinnen will. Die mathematische Stichprobe dient zur wahrscheinlichkeitstheoretischen Begründung der Schlussweisen. Werden mehrere Merkmale registriert oder besteht das Anliegen im Vergleich verschiedener Merkmale bzw. verschiedener Populationen, werden entsprechend bei der Modellbildung verschiedene Zufallsvariablen (X, Y,... ) eingeführt und z.b. bivariat (X, Y ) betrachtet. 5

6 5.3. Stichprobenfunktionen Die Anliegen der schließenden Statistik werden mit Stichprobenfunktionen realisiert. Stichprobenfunktion T, eine Funktion von n Veränderlichen (X 1, X 2,..., X n ) T = T (X 1, X 2,..., X n ) math. Stichpr. Zufallsgröße (x 1, x 2,..., x n ) t = T (x 1, x 2,..., x n ) konkrete Stichpr. Zahl Bemerkungen T bzw. t sind allgemein übliche Bezeichnungen, für spezielle Stichprobenfunktionen sind aber auch andere Bezeichnungen üblich. Beispiel: X = 1 n X i x = 1 n x i n n i=1 Stichprobenfunktionen begegnen uns also als Formeln: Setzen wir die Werte der konkreten Stichprobe ein, kommt eine Zahl t heraus. Setzen wir die Zufallsgrößen der mathematischen Stichprobe ein, kommt eine Zufallsgröße T heraus. t kann als Realisierung der Zufallsvariable T verstanden werden. 6 i=1

7 Schätzungen Betrachtung zweier Beispiele: Schätzung des Durchschnitts (Bsp. 4) bzw. eines Anteils (Bsp. 3) in der Grundgesamtheit Gesucht: Durchschnittsgröße µ der Kinder in der Grundgesamtheit (siehe Bsp. 4): Gegeben: Konkrete Stichprobe.: (x 1,..., x n ) Plausibel: x = 1 n als Schätzung für den Durchschnitt µ in der Grundgesamtheit Wie gut ist diese Schätzung? Dazu: Math. Modell: Zufallsgröße X - Körpergröße eines rein zufällig ausgew. Kindes - also mit der unbekannten Größenverteilung F X mit Durchschnittswert µ (X 1,..., X n ) mathematische Stichprobe (alle X i wie X verteilt) vom Umfang n Die Stichprobenfunktion X = 1 n heißt Punktschätzung für µ, n i=1 n i=1 x i X i x : konkrete Punktschätzung 7

8 Wir wissen: Zentraler Grenzwertsatz: X ist für große n näherungsweise normalverteilt. Also: Weitergehende Untersuchung der Genauigkeit der Schätzung möglich. Z.B. kann die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen der Schätzung vom zu schätzenden Durchschnittswert berechnet werden Bemerkung: Allgemein gilt: Sei γ der interessierende Parameter. Berechnet man mit einer Stichprobenfunktion T aus den Werten der konkreten Stichprobe einen Wert für den Parameter γ, so wird dieser Wert ˆγ = t = T (x 1,..., x n ) eine konkrete Punktschätzung und die Zufallsgröße T = T (X 1,..., X n ) eine Punktschätzung für diesen Parameter genannt. Weitere Punktschätzungen, ihre Eigenschaften und Methoden zu ihrer Konstruktion siehe Literatur. Klar ist, dass ein aus einer konkreten Stichprobe berechneter Mittelwert x den zu schätzenden Durchschnittswert µ in der Grundgesamtheit nur sehr selten oder fast nie genau trifft (i.a. ist also x µ). 8

9 Ausweg: Man betrachtet neben Punktschätzungen auch sogenannte Intervallschätzungen (Konfidenzschätzungen, Konfidenzintervalle). Dabei verwendet man das folgende Konstruktionsprinzip: Für eine mathematische Stichprobe ist ein zufälliges Intervall anzugeben, dass den zu schätzenden Parameter - hier den Durchschnittswert µ - mit einer vorgegeben Wahrscheinlichkeit = Konfidenzniveau (1 α) enthält ( überdeckt ). Ist die Verteilung der verwendeten Stichprobenfunktion - hier der arithmetische Mittelwert - bekannt, so lassen sich die Grenzen von Konfidenzintervallen berechnen. Aus der t-verteilung der standardisierten Zufallsgröße X µ S n erhält man z.b. für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 0.95 = 1 α (α = 0.5 für Nichtüberdeckung ) folgende Vorschrift zur Berechnung eines konkreten Konfidenzintervalles für den unbekannten Durchschnittswert µ der Körpergröße in der Grundgesamtheit: [ x t n 1,1 α 2 s n, x + t n 1,1 α 2 ] s n Dabei ist t n 1,1 α 2 das Quantil der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden und Quantilsanteil (1 α/2). Für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95% und einen Stichprobenumfang n = 200 ergibt sich t 199,0.975 = 1.96 und also in Bsp. 4 mit x = und s = das konkrete Konfidenzintervall [ , ] = [142.7; 144.7]

10 Gesucht: Anteil p der PKW-Benutzer in der Grundgesamtheit (siehe Bsp. 3) Gegeben: Konkrete Stichprobe.: (x 1,..., x n ) Plausibel: Die relative Häufigkeit für das interessierende Ereignis (hier PKW ) f = h n als Schätzung für den Anteil (die Wahrscheinlichkeit) p in der Grundgesamtheit Wie gut ist diese Schätzung? Dazu: Math. Modell: Zufallsgröße X - hat Wert 1 falls PKW genannt wird und ist sonst 0 - also mit der unbekannten Verteilung mit P (X = 1) = p und P (X = 0) = (1 p) (X 1,..., X n ) mathematische Stichprobe (alle X i wie X verteilt) vom Umfang n Die Stichprobenfunktion H n = n i=1 X i n heißt Punktschätzung für p, h/n : konkrete Punktschätzung (! n i=1 x i liefert also die absolute Häufigkeit h) Wir wissen: H = n i=1 X i ist binomialverteilt und nach dem Zentralen Grenzwertsatz für große n näherungsweise normalverteilt. 10

11 Also: Weitergehende Untersuchung der Genauigkeit der Schätzung möglich. Z.B. kann die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen der Schätzung vom zu schätzenden Anteilswertwert berechnet werden Klar ist, dass ein aus einer konkreten Stichprobe berechneter Anteilswert h/n den zu schätzenden Anteilswert p in der Grundgesamtheit nur sehr selten oder fast nie genau trifft. (i.a. ist also h/n p). Wieder Ausweg: Man betrachtet neben Punktschätzungen auch Intervallschätzungen Gleiches Konstruktionsprinzip: Für eine mathematische Stichprobe ist ein zufälliges Intervall anzugeben, dass den zu schätzenden Parameter - hier den Anteilswert p - mit einer vorgegeben Wahrscheinlichkeit = Konfidenzniveau (1 α) enthält ( überdeckt ). Ist die Verteilung der verwendeten Stichprobenfunktion - hier der absoluten Häufigkeit - bekannt, so lassen sich die Grenzen von Konfidenzintervallen berechnen. Für größere Stichproben (n > 30) erhält man aus der Normalverteilung z.b. für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 0.95 = (1 α) (α = 0.5 für Nichtüberdeckung ) folgende Vorschrift zur Berechnung eines konkreten Konfidenzintervalles für den unbekannten Anteilswert p der PKW- Benutzer in der Grundgesamtheit: h n z 1 α 2 h n (1 h n ) n, h n + z 1 α 2 h n (1 h n ) n 11

12 Dabei ist z 1 α 2 das Quantil der standardisierten Normalverteilung mit Quantilsanteil (1 α/2). Für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95% und einen Stichprobenumfang n = 100 ergibt sich z = 1.96 und also in Bsp. 3 mit h/n = 53/100 = 0.53 das konkrete Konfidenzintervall [ ] 0.53(1 0.53) 0.53(1 0.53) , = [43.6%; 62.4%] Hinweis: Für die Interpretation von Konfidenzintervallen gilt: Ein konkretes Konfidenzintervall enthält den zu schätzenden Parameter oder es enthält ihn nicht. Die Konstruktion des Konfidenzintervalles sichert aber, dass bei häufiger Wiederholung des Ziehungsvorganges die berechneten Konfidenzintervalle den zu schätzenden Parameter in ca. (1 α)% der Fälle enthalten! 12

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