Statistik 1: Einführung

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1 Seite Stat- Statistik : Einführung Die mathematische Disziplin der Stochastik, die die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik umfaßt, beschäftigt sich mit der Beobachtung, Aufzeichnung und mathematischen Modellierung "zufälliger" Erscheinungen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt mathematische Grundlagen, Methoden und Hilfsmittel zur Konstruktion mathematischer Modelle für Systeme, in denen Zufall eine Rolle spielt, zur Verfügung. In der mathematischen Statistik im engeren Sinne arbeiten wir mit solchen Modellen, entwickeln Methoden zum Vergleich zwischen mathematischen Modellen und beobachteter Realität sowie Techniken zur Analyse und Prognose zufallsbestimmter Erscheinungen anhand mathematischer Modelle. Der Statistik liegt die Erfahrungstatsache zugrunde, die besagt, daß zufallsbestimmte Erscheinungen dem empirischen Gesetz der großen Zahl unterliegen, das wir gleich formulieren werden. Zuvor müssen einige Begriffe eingeführt werden: Zufallsexperiment. Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir ein unter reproduzierbaren Bedingungen wiederholbares Experiment mit mehreren möglichen Ausgängen, dessen Ausgang im Einzelfall nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden kann. Das heißt nicht, daß nicht im Prinzip der Ausgang des Zufallsexperimentes durch physikalische oder sonstige Gesetzmäßigkeiten bestimmt wird. Aber die Möglichkeiten der exakten Vorhersage finden auch bei physikalischen Experimenten irgendwann eine Grenze, wenn die Fülle der dabei Einfluß nehmenden Effekte oder Parameter und deren Messung die Möglichkeiten der praktischen Untersuchung übersteigt. Zum Beispiel ist es unmöglich, alle Effekte beim Wurf einer Münze derart genau zu erfassen, daß man mit Sicherheit vorhersagen kann, ob die Münze auf der Kopf- oder Zahlseite landen wird. Ereignis. Mit dem Begriff Ereignis wollen wir einen Ausgang eines Zufallsexperimentes kennzeichnen, der durch ein oder mehrere festgelegte Merkmale gekennzeichnet ist. Beim Wurf eines Würfels sind mögliche Ereignisse beispielsweise "gerade Zahl" oder "Würfeln einer Sechs". Häufigkeit. Führt man ein bestimmtes Zufallsexperiment n-mal durch, so kann man die Anzahl derjenigen Versuche, die einen bestimmten Ausgang E hatten, zählen. Die Anzahl der Versuche mit Ausgang E wird als absolute Häufigkeit H n (E) des Ereignisses E in der betrachteten Versuchsreihe bezeichnet. Damit können wir auch die relative Häufigkeit des Ereignisses h n (E)=H n (E)/n ermitteln. Empirisches Gesetz der großen Zahl. Eine Erfahrungstatsache besagt, daß die relative Häufigkeit eines Ereignisses E in einer Versuchsreihe aus n Zufallsexperimenten für ausreichend großes n nahezu unabhängig von n ist, wir also schreiben können h n ( E) E) für ausreichend großes n. Die Zahl E) wollen wir sodann Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E nennen. Die hier formulierte Definition der Wahrscheinlichkeit ist nicht als mathematischer Satz aufzufassen, als Grundlage der mathematischen Modellierung von zufälligen Ereignissen ist sie ungeeignet. Wir suchen daher einen mathematischen Zugang zum Begriff "Wahrscheinlichkeit". Der mathematische Wahrscheinlichkeitsbegriff soll jedoch so definiert werden, daß er mit der anschaulichen empirischen Vorstellung von Wahrscheinlichkeit nicht im Widerspruch steht. Grundlagen aus der Mengenlehre. Um zu einer mathematischen Definition von Wahrscheinlichkeit zu kommen, müssen wir zunächst einen kleinen Exkurs in die

2 Seite Stat-2 Mengenlehre unternehmen. Mit Hilfe der Mengenlehre können wir präzise mathematische Definitionen der oben anschaulich eingeführten Begriffe geben. Ergebnis, Ergebnismenge. Im Sinne der Mengenlehre sehen wir jedes mögliche Ergebnis eines Zufallsexperimentes als Element einer Menge Ω an. Die Menge Ω aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes wird als Ergebnismenge oder Ergebnisraum bezeichnet. Für ein einzelnes Element einer Ergebnismenge verwenden wir das Zeichen ω. Ein einzelnes Element einer Ergebnismenge wird entweder als Ergebnis oder auch als Elementarereignis bezeichnet. Beim Würfeln mit einem Würfel könnte man beispielsweise die Ergebnismenge Ω = {,2,3,4,5,} verwenden, wobei die Zahlen für die erzielte Augenzahl des jeweiligen Ergebnisses stehen. Diese Ergebnismenge enthält endlich viele Elemente und wird daher als endliche Ergebnismenge bezeichnet. Beim Wurf einer Münze bietet sich die Ergebnismenge Ω = { K, Z} an, wobei das Ergebnis K für den Wurf der Kopfseite und das Ergebnis Z für das Resultat "Zahl" steht. Würfelt man mit zwei Würfeln gleichzeitig und interessiert man sich für die Augensumme der beiden Würfel, so könnte man die Ergebnismenge Ω = {2,3,...,2} verwenden. Sind die beiden Würfel unterscheidbar, z.b. rot und blau, und interessiert man sich für die jeweils einzelne Augenzahl jedes Würfels, so wäre die Ergebnismenge Ω = {(,), (,2),...,(,), (2,),...,(,)} zur Beschreibung der möglichen Ausgänge des Zufallsexperimentes geeignet, wobei die jeweils erste Zahl jeweils die Augenzahl des roten und die zweite Zahl die Augenzahl des blauen Würfels bezeichnen möge. Will man beispielsweise die Lebensdauer einer Glühbirne beschreiben, so umfaßt die Ergebnismenge alle nichtnegativen reellen Zahlen, also unendlich viele Elemente. Man spricht von einer unendlichen Ergebnismenge, die überabzählbar unendlich viele Elemente enthält. Häufig treten auch Ergebnismengen auf, die zwar nur diskrete Elemente enthalten, aber unendlich viele davon. Dieser Fall liegt beispielsweise vor, wenn man das Zufallsexperiment "Solange würfeln, bis eine Sechs kommt", beschreiben will. Dann ist Ω = {,2, K}, enthält also abzählbar unendlich viele Elemente. Ereignis. Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes. Auch ein einzelnes Element einer Menge ist eine Teilmenge der Menge. Ein Ereignis, das aus nur einem einzigen Element einer Ergebnismenge besteht, wird als Elementarereignis bezeichnet. Würfelt man mit einem Würfel und verwendet man die Ergebnismenge Ω = {,2,3,4,5, }, so wären die Ereignisse, 2,..., Elementarereignisse. Das Ereignis A="Wurf einer geraden Zahl" könnten wir mit Hilfe der Mengenlehre beschreiben als A={2,4,}. Das Ereignis B="Wurf einer Zahl größer drei" könnten wir mathematisch formulieren als B={4,5,}. Disjunkte Ereignisse. Zwei Ereignisse, deren Ergebnismengen keine gemeinsamen Elemente enthalten, werden als disjunkt bezeichnet. Zum Beispiel sind beim Würfeln mit einem Würfel die beiden Ereignisse A="Wurf einer geraden Zahl" und B="Augenzahl 5" disjunkt, denn die Mengen A={2,4,} und B={5} haben kein gemeinsames Element. Unmögliches Ereignis. Das unmögliche Ereignis ist ein Ereignis, das niemals eintreten kann. Es wird mit den Mitteln der Mengenlehre durch die leere Menge {} bezeichnet. Sicheres Ereignis. Ein Ereignis, das auf jeden Fall bei jeder Durchführung des Zufallsexperimentes eintreten wird, wird als sicheres Ereignis bezeichnet. Mathematisch können wir das sichere Ereignis S schreiben als S = Ω. Potenzmenge. Die Menge aller möglichen Teilmengen einer Ergebnismenge Ω wird als Potenzmenge bezeichnet. Sie hat bei einer endlichen Menge Ω mit n Elementen (bei einer

3 Seite Stat-3 Menge der Mächtigkeit n) genau 2 n Ω Elemente. Wir schreiben die Potenzmenge auch als 2. Zum Beispiel haben wir beim einmaligen Würfeln mit einem Würfel folgende möglichen Ereignissse: {,2},{,3},{,4},{,5},{,}, { },{2},{3},{4},{5},{} {2,3},{2,4},{2,5},{2,}, {3,4},{3,5},{3,}, {4,5},{4,} {5,} {,2,3},{,2,4},{,2,5},{,2,}, {,2,3,4},{,2,3,5},{,2,3,}, {,3,4},{,3,5},{,3,}, {,4,5},{,4,}, {,5,}, {2,3,4},{2,3,5},{2,3,}, {2,4,5},{2,4,}, {2,5,}, {3,4,5},{3,4,}, {3,5,}, {4,5,} {,2,3,4,5}, {,2,3,4,}, {,2,3,5,}, {,2,4,5,}, {,3,4,5,}, {,2,4,5},{,2,4,}, {,2,5,}, {,3,4,5},{,3,4,}, {,3,5,}, {,4,5,} {2,3,4,5},{2,3,4,}, {2,3,5,}, {2,4,5,} {3,4,5,} {,2,3,4,5,} {} {2,3,4,5,} Das sind insgesamt 2 =4 mögliche Ereignisse. Zum Beispiel steht {2,4,} für das Ereignis "Würfeln einer geraden Zahl", während wir {,2,3,4,5,} als "Würfeln einer Zahl kleiner 7" verbal beschreiben können. Verbundereignisse. Ereignisse sind Teilmengen des Ergebnisraums und können durch die folgenden logischen Operatoren verknüpft werden: A B Vereinigungsmenge der Mengen A und B Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind. Beispielsweise ist die Vereinigung von A={2,4,} ("gerade Augenzahl beim Würfeln") und B={5} ("Augenzahl 5") die Menge A B = {2,4,5, }. A B Schnittmenge der Mengen A und B Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die in A und zugleich in B enthalten sind. Zum Beispiel ist beim Würfeln die Schnittmenge von A={2,4,} ("gerade Augenzahl") und B={4,5,} ("Augenzahl größer drei") gegeben durch A B = {4,}. A Komplement (Negation) des Ereignisses A Das Komplement von A enthält alle Elemente, die nicht in A enthalten sind. Mit Hilfe der BOOLESCHEN Operatoren können aus einzelnen Ereignissen neue gebildet werden. Wir bezeichnen solche Ereignisse als Verbundereignisse. Disjunkte Ereignisse können wir jetzt also bezeichnen als Ereignisse, deren Schnittmenge leer ist: A B = {} A und B sind disjunkt.

4 Seite Stat-4 Sind zwei Ereignisse A und B disjunkt, so wird bei der Bildung der Vereinigungsmenge auch das Zeichen + verwendet: A B = A + B falls A, B disjunkt. Anstelle von A B wird manchmal auch AB geschrieben. Man beachte, daß der Operator "Schnittmenge" eigentlich überflüssig ist, da man das gewünschte Ergebnis auch mit Hilfe der Operatoren "Vereinigung" und "Komplement" erreichen kann: A B = A B. Dennoch wird der Bequemlichkeit halber der Schnittmengenoperator verwendet. Bei der nachfolgenden Definition einer BOOLESCHEN Algebra wird er jedoch nicht benötigt. BOOLESCHE Algebra. Ein System A von Teilmengen A einer Menge Ω heißt BOOLESCHE Algebra über Ω, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind: I. Ω A und {} A, es gibt ein neutrales Element II. A, B A A B A Abgeschlossenheit bezüglich des Vereinigungsoperators III. A A A A Abgeschlossenheit bezüglich des Komplementoperators Die Abgeschlossenheit bezüglich des Schnittmengenoperators muß nicht extra gefordert werden, da die Schnittmenge, wie oben gezeigt, durch Vereinigungsmenge und Komplementbildung erzeugt werden kann. Hintergrund. Die BOOLESCHE Algebra ist ähnlich konstruiert wie beispielsweise die Algebra, die von den ganzen Zahlen bezüglich der Operatoren + (Addition) und (Änderung des Vorzeichens) gebildet wird. Das neutrale Element ist dabei die Null, und die Subtraktion kann durch Addition einer negativen Zahl ersetzt werden. Jedes Ergebnis der Verknüpfung zweier ganzer Zahlen bezüglich der Operatoren + und ist wieder eine ganze Zahl, zu jeder ganzen Zahl gibt es eine zugeordnete Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen. Diese Abgeschlossenheitseigenschaften sind sehr wichtig. Beispielsweise ist die Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Division nicht abgeschlossen. Um eine Algebra zu definieren, die auch die Operation "Division" mit umfaßt, müssen die rationalen Zahlen eingeführt werden. Ereignisse aus einem Ergebnisraum Ω bilden also eine BOOLESCHE Algebra, die im speziellen Fall als Ereignisalgebra bezeichnet wird. Wir sind jetzt in der Lage, eine formale mathematische Definition der Wahrscheinlichkeit zu geben. Die mathematische Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs geht von Axiomen aus. Axiome sind in der Mathematik Grundvoraussetzungen, deren Existenz einfach ohne Beweis gefordert wird. Ob das darauf errichtete Gebäude nachher für praktische Anwendungen nützlich ist, hängt von der Wahl der Axiome ab. KOLMOGOROFF hat nach vergeblichen vorausgegangenen Versuchen anderer Mathematiker 933 die Axiome benannt, die der mathematischen Definition der Wahrscheinlichkeit zugrundeliegen. Sie sind so konstruiert, daß der daraus abgeleitete Wahrscheinlichkeitsbegriff dem empirisch aus dem "Gesetz der großen Zahl" gewonnenen Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht widerspricht und wir überdies auch für unendliche Ergebnismengen Ω einen sinnvollen Wahrscheinlichkeitsbegriff angeben können. KOLMOGOROFF-Axiome. Als Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir eine Funktion P auf der BOOLESCHEN Algebra A der Ereignisse, die folgende Eigenschaften besitzt: I. 0 P ( für alle A A (Positivitätseigenschaft) II. P ( Ω) = (sicheres Ereignis)

5 Seite Stat-5 III. P ( A + für disjunkte Ereignisse A, B A, d.h. A B = {}. Jede Wahrscheinlichkeitsfunktion, die wir konstruieren, muß sich also an diesen "Minimalforderungen" messen lassen. Rechenregeln. Aus den KOLMOGOROFF-Axiomen ergeben sich direkt einige Rechenregeln, die wir hier zusammenstellen wollen: Komplementärereignisse. Aus A A = Ω (Abgeschlossenheit der Algebra bezüglich Komplementbildung) folgt in Verbindung mit Axiom II sofort: =, und im speziellen Fall A = Ω erhalten wir das unmögliche Ereignis P ({}) = 0. Isotonie. Ist A eine Teilmenge eines Ereignisses B, so läßt sich B darstellen als A (. Damit finden wir +, weil A und A B disjunkte Ereignisse sind (Axiom III). Da P ( 0 (Axiom I), erhalten wir also folgende Regel: A B Summen von Ereignissen. Sind endlich viele Ereignisse A, A 2,..., A n paarweise disjunkt, d.h. A A = {} für i j, so addieren sich die Wahrscheinlichkeiten: i j U n n Ak ) = A k k = k = ) Diese Rechenregel folgt direkt durch rekursive Anwendung aus Axiom III. Additionsregel für beliebige Ereignisse. Für die Vereinigungsmenge beliebiger Ereignisse A und B können wir schreiben: A B = ( ( ( Wir haben also das Ereignis A B durch drei disjunkte Ereignisse dargestellt, auf die wir die Summationsregel anwenden können: A + + Nun beachten wir, daß ( A bzw. ( B. Somit gilt nach der Regel für Isotonie von Teilmengen: + + Setzen wir die somit gefunden Ausdrücke und in unsere Formel ein, so finden wir A + + und somit schließlich: P ( A + LAPLACE-Wahrscheinlichkeit. P. S. LAPLACE ( ) legte 82 in seiner Théorie Analytique des Probabilités die Zusammenfassung des damaligen Standes der Wahrscheinlichkeitstheorie vor; unter anderem gab er eine Definition von Wahrscheinlichkeit an, die die praktische Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten anhand von Rechenvorschriften ermöglichte. LAPLACE zielte auf Zufallsexperimente mit endlicher Ergebnismenge Ω. Läßt

6 Seite Stat- sich eine solche Ergebnismenge aus lauter gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen zusammensetzen, d.h. ω i ) ω) = p = für alle i =,2,..., Ω (hier bezeichnet Ω die Ω Mächtigkeit der Menge Ω, also die Anzahl der in der Menge enthaltenen Elemente), so kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A einfach durch Abzählen der in A enthaltenen Elementarereignisse bestimmen: Anzahl günstiger Fälle P ( = A = Ω Anzahl möglicher Fälle Diese einfache Rechnung ist möglich, da P ( Ω) = vorausgesetzt wurde. Anwendungsbeispiele für LAPLACE-Wahrscheinlichkeiten. Die LAPLACE-Definition eignet sich hervorragend, um Glücksspiele wie Würfeln, Lotto usw. zu untersuchen. Will man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit untersuchen, mit zwei Würfeln ein Pasch zu erzielen (gleiche Augenzahl auf beiden Würfeln), so bietet sich zur Untersuchung dieser Frage folgender Ergebnisraum Ω an, der sich aus gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen zusammensetzt: Ω = {(,),(,2),...,(,),(2,),...,(,)} Es ist wichtig, daß wir in diesem Ergebnisraum die Elementarereignisse (i,k) und (k,i) unterscheiden, auch wenn unsere beiden Würfel unter Umständen garnicht unterscheidbar sind. Sonst haben wir keinen Ergebnisraum aus gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen vorliegen, und die Anwendungsvoraussetzungen für LAPLACE-Wahrscheinlichkeiten sind nicht gegeben! Die Mächtigkeit des Ergebnisraums ist 3. Das uns interessierende Ereignis beschreiben wir nun durch A = {(,),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(,)} Die Mächtigkeit von A beträgt. Somit finden wir P ( = A = = Ω 3 Kombinatorik. Es ist manchmal garnicht so einfach, die Mächtigkeiten der Mengen Ω und A zu ermitteln. Mit dem Abzählen dieser Mengen beschäftigt sich die Kombinatorik. Wir geben hier nur die wichtigsten Formeln aus der Kombinatorik kurz als Referenz an: Permutationen: Es sind n! verschiedene Anordnungen von n Objekten möglich. Kombinationen: Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n Objekten: n n! ohne Zurücklegen: = (sogenannte Binomialkoeffizienten). k k! ( n k)! n + k mit Zurücklegen: k "mit Zurücklegen" bedeutet, daß dieselben Elemente mehrfach in der Auswahl vorkommen können. Variationen: Kombinationen unter zusätzlicher Berücksichtigung der Anordnung: n! n ohne Zurücklegen: = k! ( n k)! k n (es gibt k! Permutationen der Kombinationen) k mit Zurücklegen: k n ω i

7 Seite Stat-7 Diese Rechenregeln werden u.a. in Zusammenhang mit den sogenannten Urnenmodellen (zufälliges Ziehen von Kugeln aus Urnen, wie beim Lottospiel) benötigt. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Zu den wichtigsten Rechenregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung (nicht nur bei LAPLACE-Experimenten) zählt die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter einer Bedingung B versteht man die Wahrscheinlichkeit, daß A eintritt, wenn B bereits eingetreten ist. Solche Situationen kommen insbesondere bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (zum Beispiel beim Entnehmen mehrerer Kugeln hintereinander aus einer Urne) vor. Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen wir auf einer Ereignisalgebra A mit dem Ergebnisraum Ω für zwei Ereignisse A, B A mit >0 nach folgender Formel: A : = Man kann leicht nachprüfen, daß für festes B die so definierte Funktion P auf A die KOLMOGOROFF-Axiome erfüllt. Daraus folgt sofort der sogenannte Multiplikationssatz A Diese Rechenregel kann man sich insbesondere bei der Untersuchung mehrstufiger Zufallsexperimente zunutze machen, wobei man die bedingten Wahrscheinlichkeiten unmittelbar aus dem Versuchsaufbau ablesen kann. Eine weitere wichtige Rechenregel findet man mit A B B und somit für >0, >0 A B = Bedingte Wahrscheinlichkeiten können im Fall von LAPLACEExperimenten öfters direkt durch Abzählen ermittelt werden, wie folgende Beispiele zeigen: Beispiel Würfeln. Ein Beispiel für die Berechnungsformel für die Wahrscheinlichkeit bedingter Ereignisse zeigen wir anhand des Würfelns ( Ω = { ω, ω 2, ω 3, ω 4, ω5, ω } ). Sei das Ereignis A="Würfeln einer geraden Zahl", während das Ereignis B="Würfeln einer Zahl >4" sein soll. Wir wollen die Ereignisse bezeichnen durch A = ω, ω, } und B = ω 5, ω }. { 2 4 ω { 3 Die Wahrscheinlichkeit von A ergibt sich durch Abzählen zu P ( = A = =. Die Ω 2 Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C, eine gerade Zahl und zugleich eine Zahl größer 4 zu würfeln, ergibt sich zu P C) { ω, ω, ω } { ω, ω }) { ω }) /. Damit haben wir ( = / P ( B = = = / 2 3 Wenn wir also über ein Experiment bereits wissen, daß das Experiment zum Wurf einer geraden Zahl geführt hat, so können wir mit der Wahrscheinlichkeit /3 sagen, daß die gewürfelte Zahl größer als 4 gewesen ist. Dieses Ergebnis entspricht natürlich genau der Anschauung. Beispiel Lotto. Beim Lottospiel " aus 49" werden nacheinander sechs Kugeln aus einer Urne gezogen, die anfangs 49 durchnumerierte Kugeln enthält. Die Wahrscheinlichkeit, sechs vorher bestimmte Zahlen (in beliebiger Reihenfolge, ohne Zurücklegen) zu ziehen (also "sechs Richtige zu tippen"), läßt sich mit dem Wahrscheinlichkeitsmodell von LAPLACE in Verbindung mit den Rechenregeln der bedingten Wahrscheinlichkeit bestimmen:

8 Seite Stat-8 Beim ersten Zug befinden sich insgesamt 49 Kugeln in der Urne, von denen für uns "günstig" sind. Wir ordnen dem Ereignis, beim ersten Zug eine "richtige" Zahl zu ziehen, also die Wahrscheinlichkeit P ( A ) = 49 zu. Beim zweiten Zug befinden sich nurmehr 48 Kugeln in der Urne. War das erste Ereignis günstig, so sind unter diesen 48 Kugeln nur noch 5 weitere "Richtige". Dem Ereignis A 2 ="Ziehen einer richtigen Zahl beim zweiten Zug" unter der Bedingung, daß beim ersten Zug bereits eine richtige Zahl gezogen worden ist, also A 2 A, ordnen wir somit wiederum durch Abzählen die Wahrscheinlichkeit 5 P ( A2 A ) = 48 zu. In analoger Weise fahren wir bis zum sechsten Zug fort. Durch Anwendung des Multiplikationssatzes finden wir dann die Formel ! P ( A A2... A ) = = = = & ! 43! 49 Will man nun auch noch die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, bei insgesamt sechs gezogenen Zahlen fünf Richtige, vier Richtige usw. zu erzielen, so muß man einerseits beachten, daß es jeweils Möglichkeiten gibt, k Zahlen aus den Richtigen auszuwählen, k und muß andererseits die Anzahl der Möglichkeiten berücksichtigen, aus den 43 "falschen" Zahlen die restlichen k Zahlen hinzuzuwählen. Exemplarisch wollen wir noch den Fall "Fünf Richtige" erläutern (k=5). Wir haben = Möglichkeiten, 5 richtige Zahlen aus den 5 insgesamt richtigen auszuwählen. Die Möglichkeiten, aus den 43 falschen Zahlen eine 43 auszuwählen, sind = 43. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, genau fünf Richtige zu tippen, gegeben durch 43 = & Analog fährt man mit den übrigen Fällen "genau vier Richtige", "genau drei Richtige" usw. fort. Dabei kann man wiederum für das Ziehen der "falschen" Zahlen den Multiplikationssatz anwenden. Stochastische Unabhängigkeit. Zwei Ereignisse A und B aus einem Ergebnisraum Ω heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt Die bedingte Wahrscheinlichkeit P ( A des Ereignisses A unter der Bedingung B ist im Falle stochastisch unabhängiger Ereignisse also gleich, d.h. das Ereignis B hat auf A keinen Einfluß. Umgekehrt gilt dasselbe für B unter der Bedingung A. Man beachte, daß stochastische Unabhängigkeit und Disjunktheit von Ereignissen verschiedene, nicht austauschbare Begriffe sind! Beispiele für stochastische Unabhängigkeit. Wir gehen davon aus, daß beim Würfeln jeder Wurf des Würfels vom vorausgehenden Wurf unabhängig ist. Somit können wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, bei zweimaligem Würfeln mit einem Würfel beide Male die Sechs zu würfeln, mit Hilfe der Produktformel für stochastisch unabhängige

9 Seite Stat-9 Ereignisse ausrechnnen und erhalten P ( = = bei einmaligem Würfeln eine Sechs zu erhalten. 3, weil die Wahrscheinlichkeit ist, Abzählbar unendliche Ergebnisräume. Es gibt Zufallsexperimente, deren Ergebnisräume unendlich viele Elementarereignisse enthalten, Ω = { ω, ω 2,...}. Um solche Ergebnisräume behandeln zu können, benötigen wir eine erweiterte Version des dritten KOLMOGOROFF- Axioms. III. Seien die Ereignisse A,..., A,... Ω paarweise disjunkt, dann gelte: P ( U Ak ) = A k k = k = ) k Das klassische Beispiel für solche Ergebnisräume ist die Durchführung eines Zufallsexperimentes mit diskreten Merkmalen, das solange durchgeführt wird, bis ein vorher festgelegtes Ereignis eintritt. Beispielsweise kann man solange würfeln, bis man zum ersten Mal eine Sechs erhält. Theoretisch kann dies auch unendlich lange dauern, der Ergebnisraum ist also unendlich: Ω = {" beim. Wurf", " erst beim 2. Wurf", " erst beim 3. Wurf",...} Wir wollen diesen Ereignisraum notieren, indem wir jedes Element mit der Anzahl Würfe bezeichnen, die bis zur Erzielung der Sechs notwendig waren, also Ω = {,2,...}. Die Frage ist jetzt, wie wir die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, 2, 3,... festlegen sollen, um der erweiterten Version des dritten KOLMOGOROFF-Axioms Genüge zu tun. Wir versuchen einen Zugang über die Formel für unabhängige Ereignisse und schreiben: P ( ) = 5 P ( 2) = 5 P (3) = 2 n 5 P ( n) = für n=,2,... Jetzt sind wir in der Lage, die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis "irgendwann kommt die Sechs" anzugeben über: k 5 = = k = Da unsere Definition der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses im Einklang steht, ist das modifizierte dritte KOLMOGOROFF-Axiom hier erfüllt. Überabzählbar unendliche Ergebnisräume, geometrische Wahrscheinlichkeiten. In der Anwendung im Ingenieurwesen sind jedoch auch überabzählbar unendliche Ergebnisräume von herausragender Bedeutung. Beispielsweise könnten wir ein frei aufgehängtes Rad eines Fahrrades in Drehung versetzen und dann messen, bei welchem Winkel von der Horizontalen gemessen sich das Ventil befindet, wenn das Rad wieder zur Ruhe gekommen ist. Als Ergebnisraum sind dann alle reellen Zahlen im Bereich [ 0;2π ] möglich. Die "Wahrscheinlichkeit" eines Elementarereignisses macht dann keinen Sinn mehr, im Sinne der LAPLACE-Wahrscheinlichkeit müßten wir jedem Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen. Vielmehr müssen wir zur probabilistischen Untersuchung solcher

10 Seite Stat-0 Zufallsexperimente Ereignisse betrachten, denen wir ein gewisses Maß zuordnen können. Als Maß m( eines Ereignisses A kann beispielsweise die Länge eines dem Ereignis zugeordneten Intervalls auf der reellen Zahlenachse, die Fläche eines dem Ereignis zugeordneten Bereichs im zweidimensionalen Raum usw. verwendet werden. (Anmerkung: Streng genommen müßte man an dieser Stelle in die Theorie der BOREL-Mengen und der zugehörigen Algebra einsteigen und sich mit der mathematischen Maßtheorie beschäftigen, insbesondere mit dem sogenannten LEBESQUE-Maß). Das dritte KOLMOGOROFF-Axiom ist dann entsprechend erweitert zu fassen. In unserem Fall könnten wir uns zum Beispiel für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A interessieren, daß das Ventil im Bereich [ 0; 2 3 π ] zur Ruhe kommt. Als "Maß" für dieses Ereignis könnten wir die Länge des zugehörigen Kreisbogens auf dem Umfang des Rades wählen, wie im nachfolgenden Bild dargestellt (der eingezeichnete Radius soll die Position des Ventils andeuten): Fahrradreifen - geometrische Wahrscheinlichkeit Nunmehr liegt es nahe und steht im Einklang mit den KOLMOGOROFF-Axiomen, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A="Ventil kommt im Bereich [ 0; 2 3 π ] zur Ruhe" zu definieren durch: m( P ( = m ( Ω) Die Auswertung dieser Formel ergibt in unserem Fall

11 Seite Stat- 2 Kreisbogen zu A 3 π P ( = = =. Kreisumfang 2π 3 Mehrdimensionales Beispiel zur geometrischen Wahrscheinlichkeit. Im quadratischen Innenhof eines Hauses (Seitenlänge des Innenhofs sei a) steht ein kreisrundes Wasserbecken mit dem Durchmesser d<a/2. Es regnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmter Regentropfen in das Wasserbecken fällt? Gedanklich können wir dieses Experiment auf ein LAPLACE-Experiment zurückführen, wenn wir den Innenhof und das Wasserbecken in n² kleine "Kacheln" zerlegen, vgl. Bild. Es spricht kein vernünftiger Grund dagegen, jeder Einzelkachel dieselbe Wahrscheinlichkeit p = zuzuordnen, von dem Regentropfen getroffen zu werden. Somit können wir die n² Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Tropfen fällt in das Becken" näherungsweise durch Abzählen aller Kacheln, die im Inneren des Beckens liegen, bestimmen: Anzahl der Kacheln innerhalb Becken P ( =. Bei Verfeinerung unserer Kacheleinteilung, n² Flächeninhalt des Beckens πd² / 4 also für n, geht dieser Wert gegen das Verhältnis =. Flächeninhalt des Hofes a² m( Wir erhalten also wieder P ( =. m ( Ω) Eine andere interessante Anwendung der geometrischen Wahrscheinlichkeit stellt das sogenannte BUFFONsche Experiment dar, siehe z.b Prof. Dr.-Ing. Stefan M. Holzer, Institut für Mathematik und Bauinformatik, Universität der Bundeswehr München