SS 2014 Torsten Schreiber

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1 SS 2014 Torsten Schreiber 204

2 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Bei der Rentenrechnung geht es um aus einem angesparten Kapital bzw. um um das Kapital aufzubauen, die innerhalb definierter Zeitperioden getätigt werden. Diese Rentenraten können oder vorgenommen werden. Innerhalb der Laufzeit einer Rente wird zwischen (Zeit der Auszahlung ist endlich) und Rente (Zeit der Auszahlung ist unendlich) unterschieden. Für die Raten gibt es drei mögliche Varianten: : Rate wird nicht verändert. geometrisch: Anpassung erfolgt mittels. : Veränderung erfolgt anhand eines definierten Betrages. Der beschreibt das erreichte Kapital nach der Laufzeit, während der den Stand zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt. Unter dem anlegen müsste um zum gleichen einer Rente versteht man das Kapital, dass man gelangen zu können. Die Formel für die Rentenberechnung basiert auf der Reihe, d.h. es wird die Summe aller vorhandenen Objekte - den zugehörigen multipliziert. - gebildet und anschließend mit der SS 2014 Torsten Schreiber 205

3 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Aufgaben zu den behandelten Themen vom ? Was ist eine vorschüssige Rente? Worin liegt der Unterschied zwischen vor- und nachschüssig? Was bedeutet eine unterjährige Rentenzahlung? Welche Formen der Zinsperioden gibt es? Was ist eine konforme Ersatzrentenzahlung? Wie kommt man zu einer ewigen Rente? Aufgaben und Übungen zu den benannten Themen. SS 2014 Torsten Schreiber 206

4 Aufgaben 1. Wie lange muss eine nachschüssige Rentenzahlung (Zinssatz 8%) von 2.206,43 erfolgen, um auf einen Endbetrag von ,24 zu kommen? 2. Mit welcher Rate kommt man nach 8 Jahren und 5% Zinsen auf einen Endbetrag von ,25 und welchen Betrag müsste man einmalig nach drei Jahren anlegen, um über das gleiche Kapital verfügen zu können? 3. Sie zahlen jährlich bei einem Zinssatz von 6% ein. Nach 12 Jahren endet diese Zahlung. Welcher Betrag steht Ihnen nach weiteren 8 Jahren zur Verfügung? SS 2014 Torsten Schreiber 207

5 VORSCHÜSSIGE KONSTANTE RENTEN: Der Rentenbetrag wird nun jeweils zu Beginn einer Rentenperiode und damit am Anfang jeden Jahres bezahlt. Da dieser somit ab diesem Zeitpunkt mit dem Zinssatz p verzinst wird, werden die bereits entwickelten Formeln für den Endwert lediglich mit dem Aufzinsungsfaktor q ergänzt. Für den Endwert ergibt sich dadurch: Der Barwert bezieht sich auf das erwirtschaftete Endkapital und wird daher mit der gleichen Formel wie bei nachschüssiger Renten berechnet. SS 2014 Torsten Schreiber 208

6 Beispiel (vorschüssig): Genau 10 Jahre lang wurde jeweils zum Jahresanfang ein Betrag von Euro zum Zinssatz von 4% angelegt. Bestimmen Sie den End- als auch Barwert der Rentenzahlungen. Berechnung mittels nachschüssiger Endwertformel: Für den zugehörigen Rentenbarwert ergibt sich: SS 2014 Torsten Schreiber 209

7 AUFGABEN VORSCHÜSSIGE RENTEN: 1) Wie viele Jahre muss man bei 6% Zins jährlich jeweils am Jahresanfang Euro einzahlen, bis das angewachsene Kapital Euro übersteigt? 2) Vom bis sollen von einem Sparkonto jeweils (Jährlich-vorschüssig) Euro abgehoben werden können. Als Grundlage für diese Auszahlungen wurde Anfang 2009 ein einmaliger Betrag eingezahlt. Wie hoch musste dieser sein, wenn zu 5% verzinst wurde? SS 2014 Torsten Schreiber 210

8 Lösungen: SS 2014 Torsten Schreiber 211

9 UNTERJÄHRIGE KONSTANTE RATEN: Mit unterjährigen, konstanten Raten werden mehrere gleich lange Rentenperioden innerhalb einer Zinsperiode definiert d.h. es finden m Rentenzahlungen pro Jahr (Zinsperiode) statt. Auch diese unterjährigen Zahlungen können vorschüssig oder auch nachschüssig erfolgen. Da innerhalb der Zinsperiode mit einfacher Verzinsung gerechnet wird, ergeben sich vor-/nachschüssige Ersatzbeträge je Jahr, die als konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenraten bezeichnet werden. Durch diese Ersatzrate ergibt sich für den Endwert folgende Formel: SS 2014 Torsten Schreiber 212

10 Beispiel (unterjährig): Genau 10 Jahre lang wurde jeweils monatlich (nachschüssig) ein Betrag von Euro zum Zinssatz von 4% angelegt. Bestimmen Sie die Ersatzrentenraten und den Endwert. SS 2014 Torsten Schreiber 213

11 AUFGABEN UNTERJÄHRIGE RENTEN: Ein Vater zahlt nach der Geburt seiner Tochter, vierteljährlich nachschüssig 20 Jahre lang je Euro auf ein Bankkonto ein. Der angesammelte Geldbetrag soll der Tochter nach Abschluss ihres 20. Lebensjahres als Ausbildungsförderung zur Verfügung stehen. Wie lang wird das ausgezahlte Kapital reichen, wenn sie Euro monatlich (vorschüssig) abhebt und während der gesamten Zeitspanne ein Zinssatz von 5% zugrunde liegt? SS 2014 Torsten Schreiber 214

12 Lösung: SS 2014 Torsten Schreiber 215

13 EWIGE RENTE: Wird für die Rente kein Endtermin und damit bei jährlichen Renten kein endlicher Wert für n vereinbart, so bezeichnet man sie als sogenannte ewige Rente. Da der Endwert einer ewigen Rente nicht existiert, beschränken sich Berechnungsmöglichkeiten auf den Barwert der ewigen Rente. Für einen positiven Zinssatz (q>1) ergibt sich: SS 2014 Torsten Schreiber 216

14 Beispiel (ewige Rente): Beim Lottospielen hat Hugo Euro gewonnen, die er zu einem Zinssatz von 4,5% ewig anlegen möchte. a) Wie hoch ist die jährliche nachschüssig Rente? b) Wie hoch ist die jährliche vorschüssig Rente? SS 2014 Torsten Schreiber 217

15 AUFGABEN EWIGE RENTEN: 1) Jemand erbt Euro und legt das Geld zu 7% an. Welchen Betrag kann er als ewige jährliche-nachschüssige bzw. vorschüssige Rente Jahr für Jahr abheben? 2) Peter gewinnt im Alter von 12 Jahren am Euro und legt diese bis zur Vollendung seines 18. Lebensjahres (31.12.) mit 5% auf einer Bank an. a) Welches Kapital steht Peter am zur Verfügung? b) Mit welchem Zinssatz kann eine ewige Rente von Euro jährlichnachschüssig ausgezahlt werden? c) Wie hoch wäre bei einer Verzinsung von 7,5% und einer halbjährliche nachschüssigen Auszahlung der Betrag? SS 2014 Torsten Schreiber 218

16 Lösung: SS 2014 Torsten Schreiber 219

17 Mit den folgenden Begriffen sollten Sie nun vertraut sein: vorschüssige Rente Zinsperioden unterjährige Rentenberechnung ewige Rente Konforme Ersatzrenten konstante Rente SS 2014 Torsten Schreiber 220

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