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1 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Mathematik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unterjährliche Renten Aufgabe 9.1 Jemand hat Anspruch auf eine 25 Jahre befristete, jährlich nachschüssig zu zahlende Rente von GE Die jährlichen Renten sollen in eine monatliche vorschüssige Rentenzahlung umgewandelt werden. Wie hoch sind die monatlich gleich bleibenden Raten? (Zinsfuß 4% p.a.) Lösung: 407,83 GE Aufgabe 9.2 Ein Vater möchte für seine Tochter über 10 Jahre einen Betrag von GE ansparen. Bei einem Zinsfuß von 5% p.a. zahlt er jeweils am Monatsanfang einen Betrag von GE 80 auf ein Sparbuch ein. a) Welchen Betrag muss er am Ende der 10 Jahre noch einzahlen, damit GE zur Verfügung stehen? b) Wie lange kann er aus den GE jährlich nachschüssig einen Betrag von GE abheben? (Zinsfuß wie oben)? Lösung: a) 7 598,20 GE b) 14 Jahre Aufgabe 9.3 Eine Studentin erhält monatlich nachschüssig GE 360 Ausbildungsdarlehen. Der Betrag ist später mit 4% Zinsen zurückzuzahlen, die Zinsen werden jährlich nachschüssig berechnet. a) Wie hoch ist der Betrag nach Abschluss eines Studiums von vier Jahren? b) Wie hoch ist der Betrag nach Abschluss eines Studiums von sechs Jahren? c) Der unter a) berechnete Betrag soll innerhalb von sechs Jahren in vorschüssigen vierteljährlichen Raten zurückgezahlt werden. Wie hoch ist die zu zahlende vierteljährliche Rate bei 4% nachschüssigen Zinsen pro Jahr? d) Der Betrag unter b) wird in halbjährlichen nachschüssigen Raten von GE 2 755,64 zurückgezahlt. Nach wie vielen Jahren ist der Betrag bei 4% nachschüssigen Zinsen pro Jahr zurückgezahlt? 1

2 Lösung: a) ,04 GE Schulden nach vier Jahren b) ,79 GE Schulden nach sechs Jahren c) 869,18 GE vorschüssige vierteljährliche Rente d) nach sechs Jahren Aufgabe 9.4 Herr E. möchte seine Rente, die ihm durch 14 vorschüssige Jahresbeträge von GE zukommen soll, in eine nachschüssige Jahresrente über 11 Jahre umwandeln. Die Zinsen betragen 5% p.a. a) Wie hoch ist der Barwert der 14-jährigen vorschüssigen Rente? b) Wie hoch sind die neuen Jahresauszahlungen? c) Wie hoch wären monatlich vorschüssig ausgezahlte Beträge über diese 11 Jahre? d) Welchen Betrag könnte Herr E. sofort abheben, wenn die zu Beginn eines jeden Monats fälligen Beträge über diese 11 Jahre nur GE betragen sollen? Lösung von Aufgabe 9.1: = r U (12 + 6,5 0,04) r U = ,26 = 407,823 Lösung von Aufgabe 9.2: a) Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : r J = 80 (12 + 6,5 0,05) = 12, = 986 Rentenendwert nach 10 Jahren: R 10 = 986 1, = ,80 0,05 R 10 + x = x = 7 598,20 b) Laufzeit bei bekanntem Barwert: n = ln [ ,05] ln 0,5 = ln 1,05 ln 1,05 = 14,21 Lösung von Aufgabe 9.3: a) Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : r J = 360 (12 + 5,5 0,04) = 12, = 4 399,20 Rentenendwert nach 4 Jahren: R 4 = 4 399,20 1,044 1 = ,04 0,04 b) Rentenendwert nach 4 Jahren: R 6 = 4 399,20 1,046 1 = ,79 0,04 2

3 c) Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : ,04 = r J 1, ,04 1,04 r 6 J = 3 563,6307 Unterjährliche Rente r U : 3 563,6307 = r U(4 + 2,5 0,04) r U = 3 563,6307 = 869,18 4,1 d) Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : r J = 2 755,64 (2 + 0,5 0,04) = 2, ,64 = 5 566,39 Laufzeit [ bei bekanntem Barwert: ] ,79 ln 1 0, ,39 ln 0,7903 n = = ln 1,04 ln 1,04 = 6 Lösung von Aufgabe 9.4: a) R 0 = ,05 1, ,05 b) ,46 = r J 1, ,05 1, ,46 = r J 8,3064 r J = ,86 1 = ,46 1,0514 c) ,86 = r M (12 + 6,5 0,05) = 12,325r M r M = 1 746,20 d) r J = 1 600(12 + 6,5 0,05) = R 0 = , = ,49 0,05 1, , , ,97 d.h. Herr E. könnte sofort GE ,97 von seinem Konto abheben. 3

4 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Mathematik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Rentenrechnung (unterjährliche Renten) Arbeitsblatt Aufgabe 1 Ein Auto wird auf Leasingbasis zu folgenden Bedingungen erworben: ˆ Sofortzahlung von GE ˆ drei Jahre lang monatliche Raten (zahlbar jeweils am Monatsende) in Höhe von 340 GE ˆ nach drei Jahren Kauf zum Restwert von GE Kommt der Käufer bei dem vorliegenden Leasingangebot und einem Kalkulationszins von 7% p.a. günstiger, als wenn er sofort den Neupreis in Höhe von GE zahlen würde? (Lösung: Barwert des Leasingmodells ,52 GE) Aufgabe 2 Ein Unternehmen hat eine Maschine für fünf Jahre vermietet. Als Mietzahlungen erhält es zwei Jahre lang vierteljährlich vorschüssige Beträge in Höhe von GE; für den Rest der Mietzeit hingegen werden dem Unternehmen nachschüssig 800 GE je Halbjahr bezahlt. Welcher Betrag steht dem Unternehmen am Ende der Mietzeit zur Verfügung, wenn sämtliche Mieteinnahmen auf Zinseszinsen zu 7% p.a. angelegt werden können? (Lösung: Guthaben am Ende der Mietzeit ,99 GE) Aufgabe 3 (Klausur vom ) Durch jeweils am Jahresanfgang geleistete Einzahlungen von GE spart ein selbstständiger Geschäftsmann über 18 Jahre ein Kapital an, das er dann zunächst ruhen lässt. Vier Jahre nach der letzten Einzahlung will er zu Beginn eines jeden Monats Beträge abheben und zwar 14 Jahre lang. a) Wie hoch sind die monatlichen Abhebungen, wenn für den gesamten Sparvorgang ein jährlicher Zins von 6,5 % gewährt wird? (Lösung: 3 276,74 GE) b) Wie hoch müssen zwei gleich große Einzahlungen zwei bzw. drei Jahre nach der letzten Einzahlung sein, damit die monatlich vorschüssigen Abhebbungen im oben genannten Zeitraum von 14 Jahren genau GE betragen? Der Zins sei wiederum 6,5 % p.a. (Lösung: ,34 GE) 1

5 Aufgabe 4 Eine vier-jährige vorschüssige monatliche Rente über GE soll bei 4% Zins p.a. umgewandelt werden in a) eine drei-jährige nachschüssige monatliche Rente mit demselben Barwert (Lösung: 2 624,62 GE) b) zwei gleich große Zahlungen jetzt und in fünf Jahren (Lösung: ,14 GE) c) eine fünf-jährige vorschüssige vierteljährliche Rente (Lösung: 4 876,33 GE) Berechnen Sie die Höhe der jeweiligen Zahlungen. Aufgabe 5 (Klausur vom ) Durch monatlich nachschüssig eingezahlte Beträge von 350 GE möchte jemand seine Pension aufbessern. Er leistet Einzahlungen ab dem Jahr 2000 bis einschließlich 2008 bei einem Zins von 3,75% p.a. Am zahlt er zusätzlich eine erhaltene Treueprämie von auf dieses Konto ein. a) Welchen Betrag kann er ab Januar 2009 jeweils zu Beginn eines Monats über einen Zeitraum von 15 Jahren abheben? (Lösung: 442,84 GE) b) Unerwartet muss er am einen Betrag abheben, die die geplanten monatlichen Abhebungen auf 395,92 GE reduziert. Wie hoch ist der entnommene Betrag? (Lösung: 6 499,84 GE) Lösung zu Aufgabe 5 a)! Der Zeitraum vom bis beträgt 9 Jahre r jährlich = 350 (12 + 5,5 0,0375) = 4 272,1875 R 9 = 4 272,1875 1, ,0375 = ,271 K 9 = R ,0375 = , = ,27 r jährlich = ,27 1, ,0375 1, = 5 421, ,9766 = r monatlich (12 + 6,5 0,0375) r monatlich = 442,84 b) r jährlich = 395,92 (12 + 6,5 0,0375) = 4 847,5455 x = , ,5455 1, = , ,4316 = 6 499,84 0,0375 1,

6 Unterjährliche Renten r Guthaben nach einem Jahr r ( m + m ± 1 2 p 100 ) + vorschüssige Rente nachschüssige Rente

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