0 1 2 T. - Annuitäten, die den gleichen Barwert wie ein in t=t gegebener Geldbetrag haben

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1 2.4 Die Annuität 1.Annuität 2.Annuität T. Annuität T Bei der Ermittlung der Annuität wird eine beliebige Zahlungsreihe in eine uniforme, äquidistante Zahlungsreihe umgeformt, die äquivalent zur Ausgangszahlungsreihe ist. - Annuitäten, die den gleichen Barwert wie ein in t=0 gegebener Geldbetrag haben (Gegenwartswertannuität oder Auszahlungs-/ Einzahlungsannuität) ->... i (1 + i)t A = G 0 (1 + i) T!1 - Annuitäten, die den gleichen Barwert wie ein in t=t gegebener Geldbetrag haben -> A = G T i (1!# + " i) T #!1 $ Rückwärtsverteilungsfaktor - Annuitäten, die den gleichen Kapitelwert wie eine vorgegebene Zahlungsreihe haben (Kapitalwertannuität) -> Ein Investitionsprojekt ist vorteilhaft, falls die Kapitalwertannuität positiv ist!.

2 Zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Kapitalwertannuität 1. Möglichkeit: -> Ermittlung des Kapitalwert des Investitionsprojektes -> Kapitalwert wird mit dem Wiedergewinnungsfaktor (Annuitätenfaktor) multipliziert A t = K 0 WGF(i,t) WGF(i,t) = 1 RBF(i,t) = i (1 + i)t (1 + i) t!1 Der Wiedergewinnungsfaktor gibt an: 1) Wie hoch die Rente sein kann, die man bei einer Anlage von einer Geldeinheit in t=0 t Perioden lang erhalten kann, 2) Welche t Perioden lang gezahlte Rente gleichwertig ist zu einer Geldeinheit heute.

3 2. Möglichkeit: -> Die Annuität der Einzahlungsüberschüsse wird berechnet, die den gleichen Barwert wie die Einzahlungsüberschüsse hat -> Ermittlung der Annuität des Investitionsvolumens, die den gleichen Barwert wie die Anfangsauszahlung hat -> Kapitalwertannuität = Annuität der Einzahlungsüberschüsse - Annuität des Investitionsvolumens A t = BW Einzahlungs!WGF(i,t ) " a 0!WGF(i,t) überschüsse! #" ## $!###" ### $ Wenn dies = konstante e, dann: A t =e"a 0!WGF(i,t ) Kapitaldienst der Anfangsauszahlung

4 Ökonomische Interpretation für den Fall, daß die benötigten Mittel aufgenommen werden müssen: Wird das Projekt durchgeführt, so kann an die Investoren pro Periode die Kapitalwertannuität ausgeschüttert werden. t= Objektzahlungsreihe (e t ) ,00 600,00 400,00 100,00 100,00 K S0 = 51, 38 Kreditaufnahme bzw. Restschuld Zinsen Entnahme A 1.000,00 495,51 { 8 % 80, ,51 150,66 39,64 15,51 78,22 12,05 15,51 0,00 6,26 15,51 A = K S0 iwgf Tilgung 504,49 344,85 72,44 78,23 = 15, 51 Die Objektzahlungsüberschüsse reichen dann aus, um das jeweils gebundene Kapital mit Zinsen und Tilgung zu bedienen.

5 Ökonomische Interpretation für den Fall, daß die Mittel zur Verfügung stehen: Der Kapitalwertannuität ist ein Entnahmemehrbetrag der zu beurteilenden Sachinvestition (bezogen auf T Perioden) im Vergleich zu einer auszahlungsgleichen Finanzinvestition. t= Zahlungsreihe der Sachinvestition Wert der Kapitalanlage am Periodenende , ,00 600, ,00 400,00 535,15 100,00 162,71 100,00 84,48 Entnahme aus der Finanzinvestition -584,49-384,49-84,49-84,49 (=Zahlungsreihe der Sachinvestition - Entnahmemehrbetrag der Sachinvestition, also Kapitalwertannuität ) (600-15,51) (400-15,51) (100-15,51) (100-15,51) Kapitalbestand nach der Entnahme 495,51 150,66 78,22 0,00

6 2.5 Der Vermögensendwert Der Endwert eines Investitionsprojektes ergibt sich durch Aufzinsen der mit dem Projekt verbundenen Zahlungsreihe V T = K 0!(1 + i) T = T " e t!(1+ i) #t t =0!## "## $ K 0 T!(1+ i) T = " e t! (1 + i) T #t = " e t! q T #t t =0 T t =0 Ein Projekt ist vorteilhaft, falls der Endwert positiv ist.

7 Wenn die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode gleich hoch sind, so kann der Endwert mit Hilfe von Rentenendwertfaktoren berechnet werden. V T =!a 0 (1 + i) T + e (1 + i) T!t T " t =1 =!a 0 (1 + i) T + e REF(i,T) (1) (2) REF(i,T) = (1 + i) T!1 + (1 + i) T! REF(i,T) (1 + i) = (1 + i) T + (1 + i) T! (1 + i) Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung führt zu: (3) [( 1 + i)!1]ref(i,t) = (1 + i) T!1 REF(i,T ) i = (1 + i) T! 1 REF(i,T ) = (1+ i)t! 1 i! " # RBF# $ REF(i,T ) = RBF(i,T ) " (1+ i) T = (1 + Aufzinsungsfaktor!"$ i)t! 1 " (1 + i) T = (1+ i)t! 1 i " (1+ i) T i Der Rentenendwertfaktor ergibt sich durch Aufzinsung des Rentenbarwertfaktors! Der Rentenendwertfaktor gibt an: Summe der Aufzinsungsfaktoren! 1) Welcher Betrag nach T Perioden zur Verfügung steht, wenn in jeder Periode eine Geldeinheit angelegt wird, 2) Welcher Betrag in t=t gleichwertig ist zu einer t Perioden langen Annuität von einer Geldeinheit je Periode.

8 Zeit t Zahlung der Investition Aufzinsungsfaktor (1+i) T-t bei i=0,08 1, , ,1664 1,08 1 nach T=4 aufgezinste Zahlung -1360,49 755,83 466,56 108,00 100,00 Vermögensendwert in T=4 69,90 Abzinsungsfaktor (1+i) -t bei i=0,08 1 0, , , , nach t=0 abgezinste Zahlungen ,56 342,94 79,38 73,5 Kapitalwert K S0 51,38 Interpretation des Vermögensendwertes: Einzahlungsmehrbetrag in T der Sachinvestition gegenüber einer investitionsvolumensgleichen Finanzinvestition V S T = e S T! e F T, mit e s T = P max " 1+ i ( ) T = ( K S0 + a S0 ) "( 1+ i) T Vollständiger Finanzplan bei Fremdfinanzierung Zeit t Zahlungen der Investition Fremdfinanzierung Kapitalaufnahme 1000 Zinsen -80,00-38,40-9,47-2,23 Tilgung -520,00-361,60-90,53-27,87 Überschuß/Entnahmemöglichkeit in T=4 0,00 0,00 0,00 Mittel in Höhe des Endwertes 69,90 bleiben übrig! Schuldenstand 1000,00 480,00 118,40 27,87 0,00 Vollständiger Finanzplan bei Eigenfinanzierung Zeit T Zahlungen der Investition Eigenfinanzierung Eigenkapitaleinsatz 1000 Anlagezinsen 0,00 48,00 83,84 98,55 Überschuß/Kapitalanlage 600,00 448,00 183,84 198,55 Vermögen bei Durchführung der Guthabenstand 0,00 600, , , ,39 Sachinvestition T e S Guthabenstand bei Anlage Vermögen bei Finanzanlage der T deseigenkapitals auf Kapitalmarkt 1000, , , , ,49 Mittel e F Differenz im Zeitpunkt T=4, Vermögen bei Durchführung der Vermögensmehrung/Vermögensend Sachinvestition ist im Endwert wert (=Vermögensmehrung durch größer als bei Finanzanlage der T Investition) 69,90 Mittel! V S

9 B e z e i c h n u n g B e z u g s - F o r m e l F r a g e s t e l l u n g z e i t p u n k t A u f z i n s u n g s f a k t o r T E F ( i, t ) = ( 1 + i ) t = q t W e l c h e r B e t r a g i n t = T i s t e i n e E n d w e r t f a k t o r g l e i c h w e r t i g z u e i n e r Z a h l u n g G e l d e i n h e i t i n t = 0? A b z i n s u n g s f a k t o r 0 B F ( i, t ) = ( 1 + i ) - t = q - t W e l c h e r B e t r a g i n t = 0 i s t B a r w e r t z f a k t o r g l e i c h w e r t i g z u e i n e r G e l d e i n h e i t i n t = T? R e n t e n e n d w e r t f a k t o r T R E F ( i, t ) = (( 1 + i ) t - 1 )/ i W e l c h e r B e t r a g i n t = T i s t = = ( q t - 1 )/ i g l e i c h w e r t i g z u e i n e r S u m m e d e r t P e r i o d e n d a u e r n d e n A n n u i t ä t A u f z i n s u n g s f a k t o r e n v o n e i n e r G e l d e i n h e i t? R ü c k w ä r t s v e r t e i l u n g s f a k. 1, 2,..., T R V F ( i, t ) = i /( q t - 1 ) W i e g r o ß i s t d i e t P e r i o d e n A n n u i t ä t = d a u e r n d e A n n u i t ä t, d i e z u e i n e r ( R e n t e ) K e h r w e r t d e s R e n t e n e n d - G e l d e i n h e i t i n t = T g l e i c h w e r t i g n a c h - w e r t f a k t o r s i s t? s c h ü s s i g R e n t e n b a r w e r t f a k t o r R B F ( i, t ) = (( 1 + i ) t - 1 )/( i ( 1 + i ) t ) W e l c h e r B e t r a g i n t = 0 i s t = 0 = ( q t - 1 )/( i q t ) g l e i c h w e r t i g z u e i n e r t S u m m e d e r P e r i o d e n d a u e r n d e n A n n u i t ä t A b z i n s u n g s f a k. v o n e i n e r G e l d e i n h e i t? W i e d e r g e w i n n u n g s f a k. 1, 2,..., T W G F ( i, t ) = ( i ( 1 + i ) t )/(( 1 + i ) t - 1 W i e g r o ß i s t d i e t P e r i o d e n = ( i q t )/( q t - 1 ) d a u e r n d e A n n u i t ä t, d i e z u A n n u i t ä t e n f a k t o r e i n e r G e l d e i n h e i t i n t = 0 g l e i c h w e r t i g i s t? A b b i l d u n g 1 2 : Ü b e r b l i c k ü b e r d i e m a t h e m a t i s c h e n F a k t o r e n

10 Ö k o n o m i s c h e I n t e r p r e t a t i o n b e i r e i n e r F r e m d f i n a n z i e r u n g M a ß g ö ß e B e r e c h n u n g E n t s c h e i d u n g s - ( Ö k o n o m i s c h e I n t e r p r e t a t i o n b e i r e i n e r E i g e n f i n a n z i e r u n g ) k r i t e r i u m T K a p i t a l w e r t e K W > 0 g e t i l g t w e r d e n k a n n.! t " q # t t = 0 A u s z a h l u n g s m i n d e r b e t r a g g e g e n ü b e r e i n e r e i n z a h l u n g s g l e i c h e n F i n a n z i n v e s t i t i o n z u m Z i n s i. M a x i m a l e r B e t r a g, d e r b e i m Z i n s s a t z i z u s ä t z l i c h z u r A n f a n g s a u s z a h l u n g a u f g e n o m m e n u n d ( D i e e i g e n e n M i t t e l k ö n n e n a l t e r n a t i v z u m M a r k t z i n s s a t z a n g e l e g t w e r d e n. K a p i t a l w e r t = B a r w e r t d e r D i f f e r e n z d e r E n d g u t h a b e n b e i d e r A l t e r n a t i v e n ) T Z i n s s a t z, b e i d e m d i e E i n z a h l u n g e n g e r a d e e i n e T i l g u n g u n d V e r z i n s u n g d e s z u r F i n a n z i e r u n g d e r A n f a n g s a u s z a h l u n g a u f - I n t e r n e r Z i n s! e t " q # t = 0 I n t. Z i n s f. > 0 g e n o m m e n e n B e t r a g s e r l a u b e n t = 0 ( b e i n i c h t n e g. K B ) ( Z i n s s a t z, d e n e i n " S p a r b u c h ", a u f d a s d i e A n f a n g s a u s z a h l u n g e i n g e z a h l t w i r d, b i e t e n m ü ß t e, d a m i t A b h e b u n g e n i n H ö h e d e r P r o j e k t e i n z a h l u n g e n m ö g l i c h s i n d ) A n n u i t ä t d e r N e t t o e i n - B e i F i n a n z i e r u n g z u m Z i n s s a t z i k a n n p r o P e r i o d e d i e z a h l u n g e n K a p i t a l w e r t a n n u i t ä t a u s g e s c h ü t t e t w e r d e n. K a p i t a l w e r t - K W A > 0 ( W ü r d e n d i e e i g e n e n M i t t e l a u f e i n S p a r b u c h z u m Z i n s s a t z i a n n u i t ä t - A n n u i t ä t d e s I n v e s t i t i o n s - v o l u m e n s b z w. K a p i t a l w e r t W G F a n g e l e g t, s o k ö n n t e n f u r d i e P r o j e k t d a u e r p r o J a h r A b h e b u n g e n i n H ö h e d e r A n n u i t ä t d e s I n v e s t i t i o n s v o l u m e n s e r f o l g e n. B e i D u r c h f ü h r u n g d e r I n v e s t i t i o n s t e h t z u s ä t z l i c h p r o J a h r e i n B e t r a g i. H. d e r K a p i t a l w e r t a n n u i t ä t z u r V e r f ü g u n g ) T! e t "( 1 + i ) T # t t = 0 B e i e i n e r F i n a n z i e r u n g z u m Z i n s a t z i b l e i b t a m E n d e d e r b z w. L a u f z e i t d e s P r o j e k t e s d e r E n d w e r t ü b r i g. V e r m ö g e n s - K a p i t a l w e r t " ( 1 + i ) T E n d w e r t > 0 ( D i e e i g e n e n M i t t e l k ö n n t e n a l t e r n a t i v z u m K a l k u l a t i o n s z i n s e n d w e r t a n g e l e g t w e r d e n. E n d w e r t = D i f f e r e n z d e r E n d g u t h a b e n b e i d e r A l t e r n a t i v e n ) A b b i l d u n g 1 3 : I n v e s t i t i o n s k r i t e r i e n

11 2.6 Methode des internen Zinsfußes Begriff des internen Zinsfußes einer Sachinvestition S mit ihren erwarteten Zahlungen (a S0, e S1, e S2,, e ST ) werden denkbare Kapitalmarkttransaktionen F zu einem (noch zu bestimmenden) Zinssatz gegenübergestellt -> die Kapitalmarkttransaktionen sollen dazu führen, die Zahlungsreihe der Sachinvestition vollständig zu rekonstruieren, so daß (a S0, e S1, e S2,, e ST ) = (a F0, e F1, e F2,, e FT ) gilt. Also es gilt S ~ F K S0 = T " t =0 ( ) e t! 1+ i #t = e! + e S i e ST 1 + i a S 0 ( ) T = 0 Der einheitliche Zinssatz, zu dem die Kapitalmarkttransaktionen abgewickelt werden müßten, um diese vollständige Übereinstimmung der Zahlungsreihen zu erreichen, heißt der interne Zinsfuß r S der Sachinvestition. r = Nullstelle von K S0 (i * ) = 0 K(i) r i

12 Vergleich mit Kapitalwertmethode Bei der Kapitalwertmethode erfolgt bei gegebener Kapitalmarktzinsstruktur eine teilweise Rekonstruktion der Zahlungsreihe der Sachinvestition -> nur bezogen auf die Einzahlungsüberschüsse -> nicht im Hinblick auf die Anschaffungsauszahlung k S0 = a F 0! a S0, bei e St = e Ft, für t = 1,2,...T (e S1, e S2,, e ST ) = (e F1, e F2,, e FT ) Der Kapitalwert ergibt sich dann als Auszahlungsdifferenzgröße bei einem Vergleich der Sachinvestition mit der einzahlungsüberschußgleichen Finanzinvestition

13 interne Zinsfuß Rentabilitätsmaß der Sachinvestition -> soll die Rentabilität des im betrachteten Investitionsobjekt eingesetzten (investierten) Kapitals wiedergeben Gesamtkapitalrentabilität des Investitionsobjekts -> Verhältnis zwischen einer Überschußgröße aus der Kapitalnutzung und dem dafür eingesetzten Kapital Kapitalwertmethode vorgegebener Kalkulationszinsfuß interne Zinsfuß-Methode Ermittlung eines Zinssatzes steht im Mittelpunkt der Betrachtung Entscheidungsregel: Eine Investition wird als vorteilhaft angesehen, wenn ihr interner Zinsfuß r S als imaginärer Kapitalmarktzins größer als der tatsächliche Kapitalmarktzins i ist Durchführung und Unterlassung der Investition werden als äquivalent beurteilt, wenn der interne Zinsfuß r S mit dem Kapitalmarktzins i übereinstimmt Die Investition sollte unterlassen werden, wenn ihr interner Zinsfuß r S kleiner als der Kapitalmarktzins i ist

14 Wahlsituation : Durchführung der Sachinvestition (S) oder Unterlassen (U) S ist besser als U, wenn r s >i, S ist schlechter als U, wenn r s <i oder S ist gleich gut wie U, wenn r s =i S! U S " U S ~ U Im Vergleich zur Finanzinvestition auf der Basis des tatsächlichen Kapitalmarktzinses i ist eine Sachinvestition vorzuziehen, wenn ihr interner Zinsfuß r S größer als die Verzinsung i einer tatsächlichen Finanzinvestition ist. Kapitalaufnahme zur Finanzierung einer Sachinvestition ist nur sinnvoll, wenn die Kapitalkosten k = i für das aufgenommene Kapital geringer als der interne Zins r S der Sachinvestition sind.

15 Berechnung des internen Zinsfußes für ein- und zweiperiodige Investitionen und das Problem der Mehrdeutigkeit des internen Zinsfußes Einperiodige Investition Überschußgröße aus der Kapitalnutzung: Differenz zwischen der Gesamteinzahlung am Periodenende und dem Kapitaleinsatz am Periodenanfang: K S0 = e S1 1 + i! a S0 =! 0 Gesamtkapitalrentabilität bezogen auf die Nutzungsperiode: Quotient aus Überschußgröße aus der Kapitalnutzung und Kapitaleinsatz Der interne Zinsfuß ist im einperiodigen Fall also gleich einem Quotienten, in dem im Zähler die Differenz zwischen der Einzahlung e S1 und dem Investitionsvolumen a S0 und im Nenner das Investitionsvolumen a S0 steht. r S = e S1! a S0 a S0

16 Zeitpunkt 0 Investition -100 Interner Zinsfuß 0, K S0 (i) = e S1 1 + i! a S0 Kalkulationszins Kapitalwert -1, , , DIV/0! -0,99-0, , , ,1 9, ,2 0 0,3-7, ,4 0,5-14, ,6-25 0,7-29, ,8-33, ,9 1-36, ,1-42, ,2-45, Kapitalwert ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 Kalkulationszins Abbildung 6: Kapitalwertfunktion für eine einperiodige Invest.

17 zweiperiodige Investition r s = " 1 2! e ± e ! a S0!e # $ 2 a S0 % &' ( a S0 Die Berechnung ist für den Fall einer zweiperiodigen Investition etwas schwieriger, läßt sich aber noch ohne Näherungsverfahren mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung lösen Außerdem ist auch eine Darstellung möglich, die die formale Struktur einer Rentabilitätskennziffer aufweist -> Es gilt, daß der Minuend der Überschußgröße nur eine künstliche, errechnete, nicht beobachtbare Zahlung darstellt und sowohl positiv als auch negativ sein kann -> Sofern es sich bei den künftigen Zahlungen um echte Einzahlungsüberschüsse, wie unterstellt, handelt, gibt es zwei reelle Lösungen, die beide jedoch durchaus negativ sein können

18 e 1 (1+ r S01 ) + e 2 (1+ r S02 ) 2! a S0 = 0 "(1+r S02 )2 oder wegen r S01 = r S12 = r S02 = r S e 1 "(1+ r S ) + e 2! a S0 " (1+ r S ) 2 = 0 :(! a S0 ) oder Betrachten wir die nun nachfolgende Zweiperiodige Investition: Zeitpunkt Investition Aufgehend von der dafür geltenden Kapitalwertformel erhalten wir: (1+ r S ) 2! e 1 a S0 " (1+ r S )! e 2 a S0 = 0 Quadr. Ergänzung zu (a 2! 2ab + b 2 ) = (a! b) 2 oder (1 + r S ) 2! e 2 2 # 1 e " (1 + r S ) + 1 & % 2 ( $ a S0 4 " a! e 1 S0 ' 4 " a! e 2 = 0 2 S0 a S0 oder # e (1 + r S )! 1 & % ( $ 2 " a S0 ' oder (1+ r S )! oder r S = ± oder 2 e 1 2 " a S0 = ±! e " a S0 2! e 2 a S0 = 0 e " a S0 2 + e 2 a S0 1 e " e e 2 " 4 " a S0 + 1! 1 2 " a S0 2 " a S0 # 1 2! e 1 ± e 2 & # ! a S 0! e 2 " a $ % S 0 ' ( 2 40 ± 40 & "100 $ % ' ( r S = = a S r S1 = 0, r S2 = "1,716515

19 Zeitpunkt Investition 1 Interner Zinsfuß 1 Interner Zinsfuß , , Zeitpunkt Investition Fremdkapital FK 01 35, Fremdkapital FK 02 Fremdkapitalzins i max Interner Zins r S1 64, , , Kalkulationszins Kapitalwert ,75-96, ,5-91, ,25-80, ,75-1, , , ,25-1, ,99 DIV/0! ,75-0, ,25 95, , ,25-16,8 0,5 0,75-37, , Kapitalwert ,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 Kalkulationszins Abbildung 7: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 1

20 Zeitpunkt Investition 2 Interner Zinsfuß 1 Interner Zinsfuß ,2 0, Zeitpunkt Investition Fremdkapital 1 FK , Fremdkapital Finanzinvestition FK 1 a F02 01 a F02-446, Maximal zahlbarer Preis P max 399,17 Fremdkapitalzins i Finanzinvestitionszins i Interner Zins r S1 0,1 0,1 0,2 Kalkulationszins Kapitalwert 0,09-1, ,095-1, ,1-0, ,105-0, ,11 0,115-0, , ,12-0, , ,13 0, ,135 0, ,14 0, ,145 0,15 0, , ,155 0, ,16 0, ,165 0, ,17 0, ,175 0, ,18 0,185 0, , ,19 0, ,195 0,2 0, ,205 0,21-0, , ,215 0,22-0, , ,225-0, ,23 0,235-0, , ,24 0,245-1, , ,25-1,6 Kapitalwert 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8-1 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Kalkulationszins Abbildung 9: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 2 Dieses Beispiel sollte zeigen, daß die Vorstellung, ein über dem Kalkulationszins liegender interner Zinsfuß führe zwangsläufig zur Beurteilung als vorteilhafte Sachinvestition, problematisch ist.

21 Drei Fälle bei einer Beurteilung einer Investition (beliebige Zahlungsreihe!) mit Hilfe des internen Zinsfußes unterscheiden: 1. Es gibt keine reelle Nullstelle und damit keinen internen Zinsfuß. - Verläuft die Kapitalwertfunktion im positiven Bereich, so ist die Investition im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft. - Anderenfalls sollte man sie nicht durchführen. 2. In der lokalen Nachbarschaft des geltenden Kapitalmarktzinses gibt es nur eine reelle Nullstelle. Kapitalwertfunktion schneidet die Abszisse von oben nach unten von unten nach oben Verhältnis von geltendem Kapitalmarktzins und lokalem internen Zinsfuß i < r i > r Investition vorteilhaft! Investition nicht vorteilhaft! Investition Investition nicht vorteilhaft! vorteilhaft! 3. Der geltende Kapitalmarktzins liegt zwischen zwei reellen Nullstellen (internen Zinsfüßen). Verhältnis von geltendem Kapitalmarktzins Kapitalwertfunktion und herangezogenem lokalen internen Zinsfuß schneidet die Abszisse i = 0,1 < r S1 = 0,2 i = 0,1 > r S 2 = 0,0625 von oben nach unten von unten nach oben Sachinvestition vorteilhaft Sachinvestition vorteilhaft

22 Zeitpunkt Investition 3 Interner Zinsfuß 1 Interner Zinsfuß ,2 0, Kalkulationszins Kapitalwert 0,05-0, ,055-0, ,06-0, , ,065 0, ,07 0, ,075 0, ,08 0, ,085 0, ,09 0,095 1, , ,1 1, ,105 0,11 1, , ,115 0,12 1, , ,125 0,13 1, , ,135 0,14 1, , ,145 1, ,15 0,155 1, , ,16 0,165 1, , ,17 0,175 0, , ,18 0, ,185 0,19 0, , ,195 0,2 0, ,205 0,21-0, , Kapitalwert 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8-1 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Kalkulationszins Abbildung 10: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 3

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25 Näherungsverfahren zur Ermittlung des internen Zinses: Verfahren der linearen Interpolation r * = i 1 + K 1 K 1! K 2 " (i 2! i 1 ) r * für i 2 einsetzen und weiterrechnen bis K ( 0 r * ) # 0 ; dann r * # r s (interner Zins) Newton-Verfahren r * = i *! K 0 (i* ) K 0 / (i * ) r * für i * einsetzen und weiterrechnen bis ( ) " 0 ; dann r * " r s (interner Zins) K 0 r *

26 Kapitalwert K 1 1 K 1 K 1 - K 2 r * i 2 Zinssatz i 1 r K 2 r * - i 1 K 2 i 2 - i 1 2 Abbildung 8: Ermittlung des internen Zinses durch Interpolation

27 Kapitalwertfunktion C(i) = /(1+ i) C(i* = 0,15) = 17,39 (! i* = 0,15 r* = 0,242 Tangente tg! = r * = i * " C ( i *) = " C ' ( i *) oder r * " i * C ( i *) C ' ( i *) C(i * ) =! = 17, 39 1,15 1 C "(i * ) =!250 # 1,15 =!189,04 2 r * = i *! C(i* ) C "(i * ) = 0,15! 17,39!189, 04 r *! i * =! C(i* ) C "(i * ) n g n mit C ( i *) = # t t $ g t = 0 ( 1 + i *) t und C ' ( i *) = # " t t = 0 ( 1 + i *) t + 1. ( ) = 0,15 + 0,092 = 0,242

28

29

30 Anwendbarkeit der internen Zinsfuß-Methode bei der Wahl zwischen mehreren Sachinvestitionen Ist die Methode des internen Zinsfußes zur Beurteilung verschiedener, vorteilhafter alternativer Investitionsobjekte geeignet? Zielsystem: Möglichst große positive Veränderung des Zahlungsmittelbestands durch die Investition. Werden die alternativen Investitionsobjekte nach ihrer Rendite geordnet, so ist damit nicht gewährleistet, daß die Rangfolge der Investitionsobjekte nach dem internen Zinsfuß mit diesem Ziel übereinstimmt.

31 Alter- Anfangs- Einzahlung Interner Kapitalwert Vermönative auszahlung e S1 Zinsfuß K S0 genswert Nr. a Überschuß S0 Durchschnittseinzahlung aus Kapitalnutzung r S e S1 bei - a S0 i = 0,5 V S1 e S1 /a S0 bei i = 0,5 1 4,5 13,824 2,072 4,716 7, , , , , , , , , , ,25 15, , , , ,5 5,75 16, , , , , , , , ,25 17, , , , , , , , ,5 18, , , , , , , , , ,208 1,744 5, , ,25 7,5 19, , , , , , , , Abbildung 11: Zu beurteilende alternative Investitionsobjekte Wie zu sehen ist, stimmt die Rangfolge der alternativen Investitionsobjekte nach dem internen Zinsfuß 1+ r s = e S1 r S = e S 1! a S 0 = e S 1! 1 a S 0 a S 0 a S0 nicht mit derjenigen nach dem Kapitalwert K S 0 = e S 1 ( 1 + i )! a S 0 überein. Während die Alternative 1 den größten internen Zinsfuß, nämlich r S! =!2,072, aufweist, hat die Alternative 10 den größten Kapitalwert, nämlich K S0 = 5,8158, und größten Vermögenswert, nämlich V S1 = 8,7237. Diese Unterschiede hinsichtlich der Rangfolge alternativer Investitionsobjekte lassen sich erklären, wenn man die in Abbildung 11 dargestellten einperiodigen Investitionsobjekte als Punkte einer stetigen Funktion der Einzahlungen in Abhängigkeit von dem Investitionsvolumen sieht und auf dieser Basis die Bedingungen für den maximalen internen Zinsfuß und für den maximalen Kapitalwert und maximalen Vermögenswert ableitet:

32 1. Bedingung für den maximalen internen Zinsfuß: r S ( a S 0 ) = e S 1! a S 0 a S 0 = e S 1 a S 0! 1 " max!, wenn dr S da S 0 = oder e S # 1 ( a S 0 ) $ a S 0! e S 1 $ 1 = 0 2 a S 0 e # S 1 ( a S 0 ) $ a S 0! e S 1 = 0 oder e # S 1 ( a S 0 ) = e S 1 = 1 + r S ( a S 0 ) a S 0 (Die Grenzeinzahlung der Sachinvestition = Durchschnittseinzahlung der Sachinvestition!) 2. Bedingung für den maximalen Kapitalwert: K S 0 ( a S 0 ) = wenn dk S 0 da S 0 = oder e S 1 ( 1 + i )! a S 0 " max!, 1 ( 1 + i ) # e S $ 1 ( a S 0 )! 1 = 0 1 ( 1 + i ) # e $ S 1 ( a S 0 ) = 1 oder e $ S 1 ( a S 0 ) = 1 + i. (Die Grenzeinzahlung der Sachinvestition = Die Grenzeinzahlung der Finanzinvestition!)

33 3. Bedingung für den maximalen Vermögenswert: V S1 (a 0 ) = e S1! a S0 " (1 + i) # max! wenn dv S1 = e S1 $ (a S0 )! (1+ i) = 0 da S0 oder e S1 $ (a S0 ) = 1 + i Also gleiche Bedingung wie für den maximalen Kapitalwert! (Die Grenzeinzahlung der Sachinvestition = Die Grenzeinzahlung der Finanzinvestition!) Da generell r S (a S0 )! i gilt, sind folglich die Grenzzahlungen, bei denen die Bedingung für den maximalen internen Zinsfuß erfüllt ist, nicht mit denjenigen identisch, bei denen die Bedingung für den maximalen Kapitalwert erfüllt ist.

34 Fazit: Das Kriterium der internen Zinsfußmethode ist nicht mit dem zugrundegelegten Zielsystem kompatibel. Es eignet sich grundsätzlich nicht zur Beurteilung alternativer Investitionsobjekte ->Die Rangfolge nach dem internen Zinsfuß bei alternativen Investitionsobjekten führt nicht zwingend zur optimalen Alternative bezogen auf das zugrunde gelegte Zielsystem. Zu unterschiedlichen Rangfolgen alternativer Normalinvestitionen führen die Methode des internen Zinsfußes und die Kapitalwertmethode immer dann, wenn der geltende Kapitalmarktzins i Kapitalmarkt kleiner oder gleich dem kritischen Zinsfuß i kritisch und dieser wiederum kleiner als die internen Zinsfüße r S der verglichenen alternativen Investitionsobjekte ist, also wenn gilt: i Kapitalmarkt! i kritisch < r S

35 Daß genau dies in bezug auf die Investition 1 und die Investition 10 aus Abbildung 11 zutrifft, wird in der nachfolgenden Abbildung 12 gezeigt, in der die Kapitalwertfunktionen dieser Investitionen in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß dargestellt sind. Zeitpunkt 0 1 Investition 1-4,5 13,824 Investition 10-6, , Kalkulationszinsfuß 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1, Kapitalwert 1 9,324 7, , , ,14 3, , , , ,5 1,0296 1,65 0, , , ,95 0, ,072 2,1 2,25 2,4 2,55 2,7 2, , , , , , , ,044 3,15-1, Kapitalwert 10 12, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Kapitalwert 1 Kapitalwert 10 Abbildung12: Darstellung von Kapitalwertfunktionen alternativer Investitionsobjekte Bis zu einem Kalkulationszinsfuß i < 1, ist der Kapitalwert der Investition 1 kleiner als der Kapitalwert der Investition 10. Beim kritischen Zinsfuß i kritisch!=!1, stimmen die Kapitalwerte beider Investitionen überein. Ist der Kalkulationszinsfuß i > 1,231061, so ist der Kapitalwert der Investition 1 größer als der Kapitalwert der Investition 10. Der interne Zinsfuß der Investition 1 beträgt r S1!=! 2,072 und übersteigt damit den internen Zinsfuß r S10! =! 1, der Investition 10. Als geltender Kapitalmarktzins war in Abbildung 11 i Kapitalmarkt = 0,5 angenommen. Damit liegt der kritische Zinsfuß i kri- tisch = 1, einerseits über dem geltenden Kapitalmarktzins von i Kapitalmarkt S1!=! 2,072 und = 0,5 und andererseits unter den internen Zinsfüßen r r S10!=! 1,

36 Für den Fall beliebig teilbarer Normalinvestitionen und sich nicht gegenseitig ausschließende Investitionsobjekte: kann unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarkts der interne Zinsfuß als Rangfolgekriterium verwendet werden, um zu entscheiden, welche dieser kombinierbaren Investitionen zusammen verwirklicht werden sollen. Es geht dann um die Optimierung des Investitionsvolumens. Alle Investitionen, deren interner Zinsfuß größer oder gleich dem geltenden Kapitalmarktzins auf dem vollkommenen Kapitalmarkt ist, sollten realisiert werden. Auch wenn die Rangfolge der Investitionen nach ihrem internen Zinsfuß und nach ihrem Kapitalwert unterschiedlich ist, ist der Umfang und die Zusammensetzung des zu bildenden Investitionsprogramms unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarkts davon unabhängig.

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