1. Einfache Zinsrechnung (lineare Verzinsung) Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung) Rentenrechnung...5

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1 Inhalt. Einfache Zinsrechnung (lineare Verzinsung).... Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung)...4. Rentenrechnung Tilgungsrechnung...6 Die Größe p bezeichnet den Zinsfuß (z.b. 0). Die Größe i = p/00 bezeichnet den Zinssatz (z.b. 0% bzw. 0,). K 0 bezeichnet im Fall einer Kapitalanlage den anfänglichen Stand des Kapitals, im Falle einer Kapitalaufnahme den anfänglichen Schuldenstand. K T bezeichnet den Stand des Kapitals bzw. der Schuld am Ende des betrachteten Zeitraums von T Perioden (Endwert). Vorschüssige Zahlungen: Die Zahlungen z0, z,, zt- erfolgen jeweils zu Beginn der Perioden,, T. Nachschüssige Zahlungen: Die Zahlungen z, z,, zt erfolgen jeweils am Ende der Perioden,, T.

2 . Einfache Zinsrechnung (lineare Verzinsung) Aufschlag E- Ein Kapitalbetrag von EUR ist bei einfacher Verzinsung zu 5,5% p.a. ausgeliehen. Wie hoch ist die Rückzahlung, wenn das Geld nach 7 Jahren zurückgefordert wird? E- Ein Schuldner zahlt an den Gläubiger den Geldbetrag von.970 EUR und tilgt damit seine Schuld einschließlich der Zinsen. Wie hoch war die ursprüngliche Schuld, wenn er das Geld vor 4 Jahren mit 6,5% p.a. Zinsen von einem Freund ausgeliehen hat? E- Für ein zu gleichen Teilen vererbtes Grundstück im Wert von EUR zahlt der Nutzer an seinen Miterben, der auf die Nutzung verzichtet hat, zu einem späteren Zeitpunkt einen Betrag von 5.5 EUR. Wann wurde das Grundstück übertragen, wenn 4,5% p.a. Zinsen vereinbart waren? E-4 Bei welcher Laufzeit würde sich ein Kapital bei 8% p.a. und einfachen Zinsen verdoppeln? Abschlag E-5 Eine Erbschaft von EUR, welche in Jahren auszuzahlen ist, wird unter Abzug von 4% jährlichen Zinsen schon heute ausgezahlt. Welcher Betrag kann dem Berechtigten ausgezahlt werden? E-6 Auszug aus den Emissionsbedingungen für Finanzierungsschätze des Bundes vom : () Finanzierungsschätze werden in der Weise verzinst, dass der Erwerber beim Kauf einen geringeren Betrag einzahlt als er später bei der Einlösung am festliegenden Fälligkeitstag zurückerhält. Die Zinsen für die Zeit vom Tag der Zahlung des Kaufpreises bis zum Fälligkeitstag (ausschließlich) werden im Voraus vom Nennwert abgezogen. Die Abschlagsprozentsätze pro Jahr werden als Verkaufszinssätze bezeichnet; sie werden nach der Marktlage festgelegt. () Zinsen und Renditen werden nach der taggenauen Zinsmethode berechnet. (Hinweis: Der Erwerb von Finanzierungsschätzen des Bundes ist seit dem nicht mehr möglich, da keine Ausgaben mehr begeben werden.) a) Welcher Kaufpreis war jeweils zu zahlen für Finanzierungsschätze im Nennwert von 500 EUR a. bei einer Laufzeit von genau Jahr und einem Verkaufszinssatz von,66%, b. bei einer Laufzeit von genau Jahren und einem Verkaufszinssatz von,55%? b) Welche Verzinsung erreichte der Käufer eines Finanzierungsschatzes mit einjähriger Laufzeit?

3 Unterjährige lineare Verzinsung, zeitproportionale Zinsverrechnung Problemstellung: Wie hoch ist der Zinsbetrag, wenn ein nachschüssiger Jahreszinssatz vereinbart worden ist und x Tage seit der Anlage eines Anfangskapitals K 0 vergangen sind? In unterschiedlichen Anwendungsbereichen sind unterschiedliche Zinskonventionen üblich. 0/60 act/act act/60 Laufzeit (Zinstage) grundsätzlich kalendermäßig kalendermäßig Monat = 0 Tage Jahreslänge 60 Tage kalendermäßig 60 Tage Anwendungsbereich Sparkonten, Kontokorrentkonten, Festgeldkonten, Ratenkredite, langfristige Darlehen Kapitalmarkt, deutsche bürgerliche Zinsrechnung Geldmarkt, Anleihen mit variabler Verzinsung (FRN) E-7 Ein Sparer zahlt am 0.Februar auf seinem Sparkonto, für das % p.a. Zinsen vereinbart sind,.000 EUR ein. Über welchen Betrag kann er verfügen, wenn er das Konto zum 0.September auflöst? E-8 Es soll eine Anleihe (Kapitalmarktpapier) im Nennwert von EUR erworben werden. Sie ist mit einem festen Kupon von 4% ausgestattet, d.h. der Emittent ist verpflichtet, dem jeweiligen Inhaber des Wertpapiers zu jedem Zinstermin 4% des Nennwerts als Zinsen zahlt. Zinstermin ist der jeden Jahres. Die Anleihe wird am Montag,.04.04, also zwischen zwei Zinsterminen, an der Börse erworben. Das Geschäft wird zwei Börsenarbeitstage später erfüllt. Wie hoch sind die anteiligen Zinsen ( Stückzinsen ), die der Erwerber dem Verkäufer der Anleihe zu zahlen hat?

4 . Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung) E- Auf einem Sparkonto werden zu Jahresbeginn 00 EUR angelegt. Über welchen Betrag kann bei einem Zinssatz von,5% p.a. nach 8 Jahren verfügt werden? E- Welchen Betrag müssen Sie zu Jahresbeginn auf einem Sparkonto mit % p.a. Verzinsung anlegen, wenn Sie 5 Jahre später über EUR verfügen wollen? E- Wie hoch ist die Verzinsung Ihres Kapitals, wenn Sie heute.000 EUR anlegen und in genau 6 Jahren 8.57,6 EUR zurück erhalten? E-4 Über wie viel Jahre müssen einen Betrag von EUR anlegen, damit bei einer Verzinsung von 6% p.a. ein Endkapital in Höhe von.09,04 EUR bereitsteht? E-5 In welchem Zeitraum verdoppelt sich ein Kapital bei einer Anlage zu 8% p.a. bei einer Verzinsung mit Zinseszins? E-6 Welche effektive Verzinsung wurde bei Geldanlage in dem -jährigen Finanzierungsschatz aus Aufgabe E-6 erreicht? E-7 Sie erwarten bei einem Kapitalmarktzinssatz von 0% p.a. einen Zahlungsstrom mit folgenden sicheren Zahlungen: In einem Jahr 400, in zwei Jahren 550, in drei Jahren 800. a) Wie hoch ist der Barwert dieses Zahlungsstroms? b) Wie hoch ist der Endwert dieses Zahlungsstroms? c) Welche Verzinsung wird erreicht, wenn beim Erwerb des Zahlungsstroms a. genau der ermittelten Barwert, b. ein Betrag von.00, c. ein Betrag von.450 gezahlt wird? Unterjährige exponentielle Verzinsung E-8 Für Ihren Dispositionskredit gilt ein Sollzinssatz von % p.a. Wie hoch ist der tatsächliche (= effektive ) Jahreszinssatz, wenn das Konto vierteljährlich oder monatlich abgerechnet wird? E-9 Sie haben Ihr Geld auf einem Termingeldkonto geparkt, wo es mit % p.a. verzinst wird. Der Anlagezeitraum beträgt Monat. Mit Ihrer Bank haben Sie vereinbart, dass eine automatische Verlängerung (Prolongation) erfolgt, wenn Sie keine anderslautende Weisung erteilen. Zwischenzeitlich aufgelaufene Zinsen sollen dann dem Kapital zugeschlagen und mit verzinst werden. Welche effektive Verzinsung erreichen Sie bei unverändertem Zinssatz? E-0 Wann sollten Sie ein Sparkonto eröffnen, wenn Sie die maximale Rendite erzielen wollen? 4

5 . Rentenrechnung Eine Rente ist eine Zahlungsreihe, die aus gleich hohen Zahlungen besteht, welche in gleichen Zeitabständen lückenlos aufeinander folgen. E- In der Silvesternacht 0/0 fasst Student LUSTIG einen eisernen Sparbeschluss: Weil er im Verlaufe des Jahres 0 sein Studium erfolgreich abzuschließen und anschließend einen gut dotierten Job anzutreten gedenkt, will er künftig Konsumverzicht üben: Er hat beschlossen, ab Anfang 0 jeweils zu Jahresbeginn fünfmal einen gleichbleibenden Betrag in Höhe von 00 EUR auf seinem Sparkonto zu % p.a. anzulegen. Über welchen Geldbetrag könnte er dann Anfang 07 verfügen, wenn er es tatsächlich schafft, sein ehrgeiziges Ziel zu realisieren? E- Über welchen Geldbetrag könnte er Anfang 07 verfügen, wenn er sein Vorhaben eskaliert und seine 5-Jahres-Ansparaktion bereits Anfang 0 beginnt? E- Welchen Betrag müsste er in fünf Jahresraten - beginnend Anfang 0 - anlegen, damit er Anfang 07 über EUR verfügen kann? E-4 Wie hoch wäre die erforderliche Sparrate, wenn er bereits Anfang 0 mit seinem Vorhaben beginnt, um nach Zahlung von 5 Raten und einem Wartejahr Anfang 07 über EUR verfügen zu können? E-5 Weil ihm als Gastgeber der Party momentan sowohl Getränke als auch Geld ausgegangen sind, kommt LUSTIG auf eine noch viel genialere Idee: Viel angenehmer wäre es doch, die künftig möglichen Ersparnisse bereits heute zu verprassen. Seine Kommilitonen unterstützen ihn in diesem Vorhaben, denn ihr Durst ist mindestens so groß wie ihr Vertrauen in LUSTIGs künftige Zahlungsfähigkeit und bereitschaft. Gegen einen jährlichen Zinssatz von % p.a. sind sie bereit, Lustig sofort den Gegenwert für die ab Anfang 0 erwarteten fünf aufeinanderfolgenden Ratenzahlungen in Höhe von je 00 EUR bereitzustellen. Wie viel Geld kommt auf diese Weise zusammen? E-6 Nebenbei: Wie hoch wäre der Barwert der Rente, wenn sie vorschüssig gezahlt werden würde? E-7 Zurück zu LUSTIGs Überlegung in Frage E.-5. Eigentlich reichen für die Beendigung der laufenden Veranstaltung scharf kalkuliert 5,0 EUR. Den Rest des soeben vereinnahmten Geldes könnte LUSTIG verwenden, um einem seiner Mitstudenten aus dessen finanziellem Engpass zu helfen. LUSTIG würde ihm den betreffenden Betrag zu 5% p.a. als Darlehen überlassen. Wie würde LUSTIGS künftige Zahlungsbilanz aussehen, wenn dieses Darlehen durch fünf gleiche Raten bedient werden würde? Die erste Rate wäre Anfang 0 fällig. Auseinanderfallen von Ratentermin und Zinszuschlagtermin E-8 Ein Sparer legt regelmäßig am Monatsende 00 EUR auf einem Sparkonto an, wo das Geld im Verlaufe des Jahres linear mit % p.a. verzinst wird. Zum jeweiligen Jahresende erfolgt die Zinskapitalisierung. Er beginnt damit im Januar des Jahres 0. Wie hoch ist der Kontostand nach erfolgter Zinskapitalisierung am Ende des Jahres 0? Über welches Kapital kann er am Ende des Jahres 0 verfügen.? E-9 Wie hoch wäre sein Endkapital zum Jahresende 0 bzw. 0, wenn er einen Monat früher (also genau zu Jahresbeginn) mit der Realisierung seines Sparplans beginnen würde? 5

6 4. Tilgungsrechnung 4- Ein Darlehen in Höhe von ist innerhalb von Jahren (incl. Zinsen) zurückzuzahlen. Der Zinssatz beträgt 8 % p.a. Stellen Sie für jede der folgenden Kreditkonditionen einen Tilgungsplan auf. a) Tilgung in einem Betrag am Ende des. Jahres, Zinszahlung jährlich, b) Rückzahlung incl. angesammelter Zinsen in einem Betrag am Ende des. Jahres (vorher erfolgen also keinerlei Zahlungen des Kreditnehmers), c) gleichbleibende jährliche Tilgungsbeträge. d) konstante jährliche Ratenzahlungen. zu a) Jahr Restschuld Zins Tilgung Kapitaldienst zu b) zu c) Jahr Restschuld Zins Tilgung Kapitaldienst zu d) Jahr Restschuld Zins Tilgung Kapitaldienst 4- Der Darlehensbetrag beläuft sich auf , der Zinssatz beträgt 0% p.a., die Annuität.000 /Jahr. a) Wie hoch ist die Restschuld nach Zahlung der. Annuität? (Berechnung ohne Tilgungsplan) b) Wie hoch ist die Tilgung im 4. Jahr? (Berechnung ohne Tilgungsplan) c) Überprüfen Sie die Richtigkeit Ihrer Ergebnisse mit Hilfe eines Tilgungsplans. d) Welche Laufzeit hat das Darlehen? e) Nach wie viel Prozent der Gesamtlaufzeit sind 60% des Darlehens getilgt? 6