o Der Endwert der Rente beträgt CHF 198' Aufgabe 19.1 (Seite 649) 6%% ~ Jahre qn_1 q-1 7' (vorschüssig)

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1 Aufgabe 19.1 (Seite 649) CD Berechnen von Bar- und Endwerten a) Die Laufzeit einer jeweils Anfang Jahr ausbezahlten Rente von CHF 7' beträgt 16 Jahre. Wie hoch ist der Endwert der Rente, wenn die Verzinsung zu 6 % % erfolgt? 4) Analyse ~ 6%% ~ Jahre 7' (vorschüssig) 6 Formel festlegen qn_1 Ed n we rt,vorsc h usslg: Rn = r q -- q-1 Ausrechnung R = 7' n Rn = 7' Rn = 198' o Der Endwert der Rente beträgt CHF 198' Rentenrechnungen 303

2 Aufgabe 19.1 (Seite 649) b) Berechnen Sie jeweils die Endwerte: Rente Zins- Laufzeit Zahlungs- Berechnung Endwert satz termin b1) 3' % 9 Jahre Anfang 3' ' Jahr b2) 5' % 15 Jahre Ende 5' " ' Jahr b3) 4' "Y:1% 11 Jahre Ende 4' " ' Jahr b4) - 7' % 20 Jahre Anfang 7' " ' Jahr c) Anstelle von alljährlich am 1. Januar fälligen Zahlungen möchte Martin heute einen einmaligen Betrag bei seiner Pensionskasse einzahlen. Wie hoch ist dieser einmalige Betrag, wenn Martin nach 10 Jahren über einen Betrag von CHF 135' verfügen möchte? Die Verzinsung beträgt 5 %. 0 Analyse oll! 5% <2> ~ ~ Formel festlegen q-1 r = Rn e q.. (qn -1) - - Ausrechnung ' " ( ) r e. Ro = r e qn -1 qn-1. (q-1) -+ r = 10' , _1 R 0 = " ----,-10, e (1.05-1) (» Martin müsste heute CHF 83' einzahlen. -+ Ro = 83' Zur Kontrolle: Zinseszinsrechnung K _ 135' o Ko = 83' Rentenrechnungen

3 Aufgabe 19.1 (Seite 649) d) Berechnen Sie jeweils die Barwerte: c: - 'E... C' Q) c: N c: tj) :::: CS Q)... c:.s::... :!::Q) C' c: t Q) tj) N.s:: :::: (,.)... tj) _CS c: c: ::::1-,... ~ N Q) Q) :c ~ CS c: CS Q) CS...J,_ N d1 ) 3' % 5 Anfang Jahr 3' (5-1 (1.03-1) 18' d2) 8' '2% 15 Ende Jahr 8' ( ) 85' d3) 7' %% 10 Ende Jahr 7' ( ) 55' d4) 5' % 13 Anfang Jahr 5' (1.05-1) 55' Rentenrechnungen 305

4 Aufgabe 19.2 (Seite 650) CD Berechnen von Rentenzahlungen a) Berechnen Sie jeweils die Einzahlungen, um den gewünschten Endwert zu erreichen:.5 E Cl C> t: t: f/) ::::l 1: N ;!:!C> Cl t: C> ca C>... t: ~ _ ca f/) N~ ~ ::::l (J C> f/) "0 ::::l. ~... t: t: t: ca t: ca C> C> LU N N!ll 0::: C>... a1 ) 40' % 9 Ende ' Jahr ' a2) 179' % 17 Ende ' Jahr ' a3) 88' %% 12 Anfang ' Jahr ( ) 5' a4) 167' % 20 Anfang ' Jahr ( ) 4' b) Berechnen Sie jeweils die Rentenzahlungen: t: E... "- Cl C> t: t: f/) ::::l N 1:... Cl t: C> ca ~~ t: ~ f/) ::::l (J C> f/) ~ J::!~ C>... ::::l. ~... t: ca t: ca t: ca C> C>!ll N N!ll 0::: b1 ) 62' % 14 Anfang 62' (1.06-1) 6' Jahr b2) 89' %% 18 Ende 89' ( ) 7' Jahr b3) 25' % 8 Anfang 25' ( ) 4' Jahr b4) 74' % 22 Ende 74' (1.04-1) 5'183,55 Jahr Renten rech nu ngen

5 Aufgabe 19.2 (Seite 650) c) Die Vermögensverhältnisse von Elisabeth erlauben es ihr, heute einen Betrag von CHF 35' zugunsten einer Vorsorgeeinrichtung einzuzahlen. Dieser Betrag soll dazu verwendet werden, ihr während 20 Jahren eine immer gleich bleibende Rente zu vergüten. Die Auszahlung soll jeweils zu Beginn des Jahres erfolgen. Wie hoch ist die Jahresrente bei einem Zinssatz von 5 % %? «) Analyse 5%%... ~ o >Jahre ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ o 35'500 vorschüssig f} Formel festlegen Rente bei Barwert, vorschüssig: r = R o G qn-1 G (q -1) qn Ausrechnung r = 35'500 G G ( ) r = 2' e Die Rente beträgt CHF 2' Rentenrechnungen 307

6 Aufgabe 19.3 (Seite 651) CD Berechnen der Laufzeit von Rentenzahlungen a) Christian zahlt immer Ende Jahr einen Beitrag von CHF 6' zur Altersvorsorge bei einer Vorsorgeeinrichtung ein. Heute erhält er einen Versicherungsausweis, welcher den Stand des jetzt verfügbaren Kapitals von CHF 223' bescheinigt. Dieses Kapital basiert auf einem Zinssatz von 6 'Y:1 %. Während wie vieler Jahre hat Christian sein Geld der Vorsorgeeinrichtung überwiesen? o Analyse (Beispiel mit 8 Jahren) 6 Yz % ~ ~ V > Jahre ] ] ] ] ] ] ] ] ~ ~ ~ 223' ' Formel festlegen Anzahl Jahre, nachschüssig: n = g(r n 0 r(q-1) + 1) gq ~ Ausrechnung (223' ( ) + 1) g 6' n = ' '- g1.065 n 18.0 o Die Gelder wurden während 18 Jahren an die Vorsorgeeinrichtung überwiesen. 308 Rentenrechnungen

7 Aufgabe 19.3 (Seite 651) b) Berechnen Sie jeweils die Laufzeit der Renten: c:: (!) c::....c:: E... ca C)..., (!)... c:: ::: c:: f/) 1:... N C) c::... (!) ca c::.c:: '(i) (!) f/) (,,)... ~ ::: f/) (!) ~ c:: "C c:: ::t:... ::: (!) c:: ca (!) ca 0:: w N N aj..j b1) 7' ' Anfang 3%% Jahr (56'199.90" ( ) + 1) g 1' g b2) 3' ' ~% Ende Jahr (60'584.35" ( ) + 1) 9 3' g1.075 b3) 5' ' Ende 5% Jahr C 28'828.05" (1.05-1) + 1) 9 5' g1.05 b4) 6' ' Anfang 6% Jahr C30' (1.06-1) + 1) g 6' g1.06 Rentenrechnungen 309

8 Aufgabe 19.4 (Seite 652) CD Gemischte Aufgaben a) Ein Kredit wird wie folgt zurückbezahlt: sofortige Zahlung von CHF 5' Jahresraten zu CHF 3'225.--, fällig am 1. Januar (Start der Ratenzahlung zu Beginn des 2. Jahres) Wie hoch ist der ursprünglich gewährte Kredit bei einem Zinssatz von 7 ~ %? o Analyse 7%% ~ ~ o >Jahre : l() l() l() l() l() l() :5'000 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~,: (f) (f) (f) (f) (f) (f), i i~ /, ", y,, ::,, vorschüssig 0 :: 6 Jahre,? ~? li 1 Jahr:ß 6 Jahre: Rentenrechnung Zinseszinsrechnung ~ Formel festlegen Barwert, vorschüssig (Rentenrechnung): qn -1 R o = r 0 qn-1 0 (q-1) Barwert (Zinseszinsrechnung) CD ~ Ausrechnung o Berechnung K o K n qn Berechnung des Barwertes (Rentenrechnung): R o = 3' G ( ) Ro = 16' des Barwertes (Zinseszinsrechnung): Barwert der Rente: 16' K o = 16'273 ~ K o = 15' Barwert Kredit: 5' ' ~ Ro = 16'273 ~ Ko = 15' ~ 20' o Der ursprünglich gewährte Kredit beträgt CHF 20' Rentenrechnungen

9 Aufgabe 19.4 (Seite 652) b) Lukas hat sich für den Kauf eines Autos entschieden, das CHF 16' kostet. Die Ersparnisse von Lukas erlauben es ihm jedoch nur, einen Teil dieser Kosten aus eigenen Mitteln zu finanzieren. Anstatt dass er bei der Bank einen Kredit von CHF 10' zu einem Zinssatz von 8 Yz % aufnimmt, leiht ihm seine Schwester die gewünschte Summe zu einem Zinssatz von 5 %. Wie hoch sind die einzelnen Raten, wenn das Darlehen in 6 gleich grossen Raten, fällig per 1. Januar jeden Jahres, zurückbezahlt werden soll? (bi) Wie hoch wäre eine Darlehensrate, wenn Lukas auf das Angebot der Bank hätte zurückgreifen müssen? (b2) Welchen Gesamtbetrag kann Lukas durch das Darlehen seiner Schwester einsparen? (b3) o Analyse 8 % % resp. 5 % ~ ~ o > Jahre o i~--- y ~, :10'000 vorschüssig 6 Formel festlegen Berechnung der Rente vom Barwert, vorschüssig: ~ Ausrechnung R o q n-1 e(q-1) qn -1 Berechnung der Ratenzahlung: b1) b2) r = 10'000., (1.05-1) r = 10' ( ) r = 1 ' r = 2' Berechnung der Einsparung: Total der Ratenzahlungen bei der Bank: Total der Ratenzahlungen Darlehen von der Bank 6.. 2' ' Darlehen von der Schwester 6.. 1' ' Einsparung insgesamt o Die jährlichen Darlehensraten bei der Schwester betragen CHF 1' (bi). Die jährlichen Darlehensraten bei der Bank betragen CHF 2' (b2). Durch das Darlehen seiner Schwester kann Lukas insgesamt CHF sparen (b3). Renten rechnungen 311

10 Aufgabe 19.4 (Seite 652) c) Sabrina nimmt bei der Bank einen Kredit von CHF 20' auf. Sie hat mit der Bank die Vereinbarung getroffen, dass die Rückzahlung des Kredits in 8 gleich hohen Raten erfolgen soll. Jede Rate wird jeweils am Ende jeden Jahres fällig. Wie hoch sind die einzelnen Raten bei einem Zinssatz von 7 h %? o Analyse 7;;;% <11 ~ o >Jahre ~_n _y ~ 20'000 nachschüssig 8 Formel Berechnung der Rente vom Barwert, nachschüssig: r R o qn. (q -1) qn -1 Ausrechnung r = 20' ( ) r = 3' o Die jährlichen Kreditraten betragen CHF 3' Rentenrechnungen

11 Aufgabe 19.4 (Seite 652) d) Elvira benötigt CHF 50' Von ihrem Gehalt kann sie an jedem Jahresende CHF 8'750.- zurücklegen. Wie lange dauert es, bis sie ihr Ziel erreicht hat? Sie rechnet mit einem Zinssatz von 4.5%. o Analyse 4~% (V [[ ~ ~ y nachschüssig 50'000 ' Formel festlegen Anzahl Jahre, nachschüssig: n 19(R n.. r(q-1) + 1) g Ausrechnung n 1 (40'000" ( ) 9 8'750 n g ) o Nach 5 Jahren und 72 Tagen hat Elvira mindestens CHF 50' gespart. Rentenrechnungen 313

12 Aufgabe 19.4 (Seite 652) e) Beginnend von seinem ersten eigenen Verdienst als Angestellter zahlt Andreas jeweils am 31. Dezember jeden Jahres einen Betrag von CHF 1' für Notsituationen auf ein separates Konto ein. Die Verzinsung beträgt 4 ~ %, Rückzüge werden keine getätigt. Welcher Betrag steht Andreas zu Beginn des 26. Altersjahres zur Verfügung, wenn davon ausgegangen wird, dass die erste Einzahlung mit 16 Jahren erfolgt? 4) Analyse 4%% ~ ~ > ~~~~~~~~~~ ~---- ~ nachschüssig ~0 Formel festlegen Endwert, Rente nachschüssig Rn = r qn -1 q-1 ~ Ausrechnung R = 1' n Rn = 15' e Zu Beginn des 26. Altersjahres besitzt Andreas ein Guthaben von CHF 15' Rentenrechnungen

13 Aufgabe 19.4 (Seite 652) f) Matthias steht heute auf seinem zu 5 % verzinsten Bankkonto ein Kapital zur Verfügung, das es ihm erlaubt, jedes Jahr einen Betrag von CHF 3' abzuheben. Dies kann während einer Zeitdauer von 12 Jahren geschehen, wobei der Rückzug jeweils am 1. Januar vorgesehen ist. Wieviel könnte Matthias jeweils Anfang Jahr abheben, wenn er sein Kapital nach 8 Jahren vollumfänglich aufgebraucht haben möchte? o Analyse 5%.. o > Jahre o ~ ~ ~ vorschüssig [2J[2J[2J[2J[2J[2J[2J[2J 6 Formel festlegen Berechnung des Barwertes, vorschüssig: Berechnung der Rente vom Barwert, vorschüssig: ~ Ausrechnung <Z> Berechnung des Barwertes: R = 3' a (1.05-1) Ra = 32' qn -1 Ra = r. qn-1. (q-1) Ra qn-1.(q_1) qn Ra = 32' [2J Berechnung der Rente: r = 32' (1.05-1) r = 4' o Damit das ganze Kapital in 8 Jahren aufgebraucht ist, kann Matthias jährlich CHF 4' abheben. Rentenrechnungen 315

14 Aufgabe 19.5 (Seite 653) CD Gemischte Aufgaben a) Um mit der Konkurrenz Schritt halten zu können, ist in einer Firma spätestens in 5 Jahren die Anschaffung neuer Maschinen notwendig, die technisch auf dem neusten Stand sind. Um in 5 Jahren diese nvestition vornehmen zu können, soll zur Finanzierung jeweils ein Betrag von CHF 50' des Reingewinns auf ein spezielles Konto mit 6 % % Zins überwiesen werden. Die Überweisung soll jeweils zu Beginn des Jahres erfolgen. Einschliesslich der gutgeschriebenen Zinsen steht dann exakt das für die neuen Maschinen benötigte Kapital zur Verfügung. Wie hoch ist der Kaufpreis der Maschinen (a1)? Die Geschäftsleitung sieht jedoch bereits heute eine Möglichkeit, die gesamte für den Maschinenkauf notwendige Summe dem Betrieb zur Verfügung zu stellen, die dann auch 5 Jahre zu 6 Yz % angelegt wird. Wie hoch muss der heute einzuzahlende Betrag sein (a2)? «) Analyse.. ~ 6%% o >Jahre ~~~~~ ~~- y ---)<? vorschüssig? Formel festlegen Endwert, Rente vorschüssig _ Rn = r q. ~ q-1 n Anfangskapital (Zinseszins) ~ Ausrechnung o Berechnung des Endwertes: K o K n qn CD R = 50' n Rn = 303' Berechnung des Anfangskapitals: K _ 303' o Rn = 303' K o = 221' o Der Kaufpreis der Maschinen beträgt CHF 303' (a1). Der heute für die Maschinen aufzuwendende Betrag ist CHF 221' (a2). 316 Rentenrechnungen

15 Aufgabe 19.5 (Seite 653) b) Doris unterstützt einen Tierschutzverein mit einem Betrag von CHF , den sie jeweils Ende Jahr einzahlt. Wieviel beträgt die Summe, die der Verein nur allein von Doris nach 15 Jahren für Projekte einsetzen kann, wenn das Geld auf ein zu 6 % verzinstes Konto fliesst? o Analyse 6% ~ ~ o > J J J J J J J J J J J J J J J ~.-/ ~ nachschüssig, <) Jahre f) Formel festlegen Endwert, Rente nachschüssig Rn == r qn -1 q-1 ~ Ausrechnung R == n Rn == 12' ~ Nach 15 Jahren kann der Verein CHF 12' für Projekte einsetzen. Rentenrechnungen 317

16 Aufgabe 19.5 (Seite 653) c) Alexander spart für die Finanzierung einer Asienreise. Dazu zahlt er jeweils am 31. Dezember jeden Jahres einen Betrag von CHF 1' auf sein zu 4 Yz % verzinstes Konto ein. Nach welchem Zeitraum steht Alexander das benötigte Kapital von CHF 9' für seine Reise zur Verfügung? 0 Analyse (Beispiel für 5 Jahre) 4%% 'i ~ f 1 1 :> Jahre ~ ~ ~ ~ ~i..c'): - 0'..-,' L.J Y nachschüssig 9'870 fj Formel festlegen Anzahl Jahre, Rente vom Endwert, nachschüssig n 19(R n r(q-1) + 1) Ausrechnung (9'870. ( ) + 1) 9 1'050 n = ----'c-- ---'- g1.045 n = (= 8 Jahre und 5.2 Tage) o Nach 8 Jahren und 6 Tagen hat Alexander das Geld für die Asienreise gespart. 318 Rentenrechnungen

17 Aufgabe 19.5 (Seite 653) d) Wolfgang will eine Reise nach Amerika unternehmen, für die er CHF 12' als Kosten schätzt. Zur Finanzierung dieser Reise zahlt er jeweils am 31. Dezember jeden Jahres einen immer gleich bleibenden Betrag auf sein neu eingerichtetes Bankkonto ein, das zu 5 h % verzinst wird. Nach 5 Jahren möchte Wolfgang den benötigten Betrag gespart haben. Welchen Betrag muss Wolfgang jährlich einzahlen, um seine Reisepläne verwirklichen zu können? o Analyse 5%% ~ ~ o >Jahre o 0 ß ß ß ~ J! Y : nachschüssig, 12'000 Formel festlegen Rente vom Endwert, nachschüssig r Rn ~ qn -1 ~ Ausrechnung r = 12' r = 2' o Der Ende Jahr einzuzahlende Betrag ist CHF 2' Rentenrechnungen 319

18 Aufgabe 19.5 (Seite 653) e) Für den Kauf eines Autos unterbreitet ein Garagist Paul folgende zwei Angebote: + Barzahlung von CHF 15' Jahresraten zu CHF 5'500.--, fällig am 1. Januar Welche Variante ist für Paul vorteilhafter, wenn ein Zinssatz von 5 % vereinbart wurde? 0 Analyse 5% l11li ~ :> Jahre ~ ~ ~ \ ) <> y? Formel festlegen Barwert, Rente vorschüssig Ra = r qn -1 qn-1. Ausrechnung R = 5' a (1.05-1) Ra = 15' Barzahlung Ratenzahlung Vergleich der Barwerte 15' ' o Für Paul ist die 2. Variante mit 3 Ratenzahlungen vorteilhafter. 320 Rentenrechnungen

19 Aufgabe 19.5 (Seite 653) f) Wie lange muss man jeden Monat (Ende) CHF sparen, um CHF 100' zu besitzen? Der Zinssatz soll 4 % % betragen. «) Analyse ~.. 4%% Monate ~~~~~~~~ ~ ~ V 100'000 nachschüssig f} Formel festlegen Anzahl Jahre, nachschüssig: n = 19(Rn 11 (qu -1) + 1) r g qu Ausrechnung q = 1 + P u m = qu qu = (100' ( ) + 1) n = ' '--- g n = (= Anzahl Monate) Anzahl Jahre: = o Nach 12 Jahren und 8 Monaten hat man CHF 100' gespart. Rentenrechnungen 321

20 Aufgabe 19.6 (Seite 654) CD Gemischte Aufgaben a) Franziska hat heute auf einem separaten Sparkonto, das zu 4 % % verzinst wird, einen Betrag von CHF 250' einbezahlt. Nach 7 Jahren hebt sie jeweils am 1. Januar jeden Jahres einen Betrag von CHF 30' ab. Wie hoch ist das Guthaben von Franziska nach 13 Jahren noch? o Analyse 4%% ~ ~ o > Jahre 250' o~~~~~ 000 o b b b b b b (V) (V) (V) (V) (V) (V) J J J J J J vorschüssig 6 Jahre ~ 0 13 Jahre ~ [}] f) Formel festlegen Berechnung des Endkapitals: Berechnung des Endwertes, Rente vorschüssig: (2) K n = K o qn n 1 Rn = r q -q- q-1 ~ Ausrechnung ~ Berechnung des Endkapitals: K n = 250' K n = 443' <2> Berechnung des Endwertes der Rente: CD R = 30' n Guthaben nach 13 Jahren: 443' ' Rn = 210' ' o Nach 13 Jahren beträgt das Guthaben von Franziska CHF 232' Rentenrechnungen

21 Aufgabe 19.6 (Seite 654) b) Barbara will jeweils am 31. Dezember jeden Jahres einen Betrag von CHF 1 ' auf ein zu 5 % % verzinstes Sparkonto überweisen. Sie beabsichtigt, dies vorerst während den nächsten 7 Jahren zu tun. Welchen einmaligen Betrag müsste Barbara heute auf ein zweites, zu 6 Yz % verzinstes Konto einzahlen, damit sie nach 7 Jahren über dasselbe Guthaben verfügen könnte? 4) Analyse <i 5%% 11> ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Y nachschüssig 0~ 6%% ~ J 7 J > Formel festlegen Berechnung des Endwertes, Rente nachschüssig: Berechnung des Anfangskapitals: Rn = r E qn -1 q-1 K K n o qn ) Ausrechnung [2J Berechnung des Endwertes der Rente: R = 1' n Rn = 14' Rn = 14' o Berechnung des Anfangskapitals: 14' K o K o = 9' K o = 9' o Heute müsste Barbara einen Betrag von CHF 9' einzahlen. Rentenrechnungen 323

22 Aufgabe 19.6 (Seite 654) c) Bei der Geburt seines Sohnes hat Alexander ein Sparkonto eröffnet, auf das er sofort einen Betrag von CHF 1 ' einbezahlt hat. Ab Aufnahme der Erwerbstätigkeit (nach Vollendung des 17. Altersjahres) zahlt der Sohn jeweils am 1. Januar jeden Jahres CHF seines Gehalts auf das Sparkonto ein. Der durchschnittliche Zinssatz beträgt für alle Jahre 4 Yz %. Über welchen Betrag kann der Sohn nach Vollendung des 25. Altersjahres verfügen? (& Analyse 4~% <i ~ o > Jahre 0 OOOOOOOOOOOO~ o =' LO LO LO LO LO LO LO LO.,.- vorschüssig ~ Formel festlegen 25 Jahre 8 Jahre o TJ CD Berechnung des Endkapitals: Berechnung des Endwertes, Rente vorschüssig: ~ Ausrechnung [0 Berechnung des Endkapitals: K n = 1'000 G K n = K o G qn n 1 Rn = r G q G ~ q K n = 3' <2> Berechnung des Endwertes der Rente: CD R = 500 G n Guthaben nach 25 Jahren: 3' ' Rn = 4' ' o Nach 25 Jahren hat der Sohn ein Guthaben von CHF 7' auf seinem Konto. 324 Rentenrechnungen

23 Aufgabe 19.6 (Seite 654) d) Ein Darlehen wird wie folgt zurückbezahlt: Während 8 Jahren jeweils am 1. Januar: CHF 2' Schlusszahlung (am Ende des 8. Jahres): CHF 17' Wie hoch war das Darlehen, wenn ein Zinssatz von 8 % vereinbart wurde? o Analyse 8% <l1li ~ > Jahre ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ vorschüssig 8 Jahre: Rentenrechnung +... (:) 8 Jahre: Formel festlegen Barwert, Rente vorschüssig: Ra = r 11 qn -1 qn-1. (q-1) Berechnung des Anfangskapitals: K o K n Ausrechnung Ra = 2' (1.08-1) K o 17' Ra = 17' K o = 9' Darlehen: 17' ' ' o Das gewährte Darlehen beträgt CHF 27' Rentenrechnungen 325

24 Aufgabe 19.6 (Seite 654) e) Markus zahlt den aus einer Erbschaft erhaltenen Betrag von CHF 210' bei einer Vorsorgeeinrichtung ein. n 6 Jahren möchte er sich über den Zeitraum von 15 Jahren jeweils auf den 1. Januar eine Rente auszahlen lassen. Das gesamte Guthaben bei der Vorsorgeeinrichtung soll für die Rente aufgewendet werden. Wie hoch ist die Rente, wenn die Erbschaft auf einem zu 6 :h % verzinsten Konto angelegt wurde? o Analyse 6%% <111 ~ ~ :> Jahre i 210'000, [2J i ~i~::~:ins ~ ~ y 0 ) vorschüssig ~ Formel festlegen Berechnung des Endkapitals: Berechnung der Rente vom Barwert, vorschüssig: K n = K o & qn n-1 r = R o & q & (q -1) qn Ausrechnung [2J Berechnung des Endkapitals: K n = 210'000 & o Berechnung K n = 306' der Rente: r = 306' & ( ) r = 30' K n = 306' r = 30' e Die Rente beträgt CHF 30' Rentenrechnungen

25 Aufgabe 19.7 (Seite 655) CD Gemischte Aufgaben a) Martina zahlt jeweils am 31. Dezember jeden Jahres einen gleich hohen Betrag auf ein Konto ein. Der Zinssatz beträgt 6 %. Nach 10 Jahren hebt sie während 15 Jahren jeweils am 31. Dezember jeden Jahres einen Betrag von CHF 2' ab. hr Konto weist nach allen Rückzügen noch einen Saldo von CHF 1' auf. Wie hoch ist der regelmässig einbezahlte Betrag? o 6%.q ~ o ~DDDDDDDD~~DDDDDDDDDDDDDD Y i -- -, Einzahlungen, nachschüssig <2> Formel festlegen Berechnung des Barwertes, Rente nachschüssig: Rückzüge von 2'000, nachschüssig 15 Jahre: Rentenrechnung, : 15 Jahre: Zinseszins 1 ' :+... ~l = ~ Jahre qn -1 R o = r 11> qn 11> (q -1) Anfangskapital: Berechnung der Rente vom Endwert, nachschüssig: ~ Ausrechnung [2J Berechnung des Barwertes: K o Kll. qn r = Rn 11> q 1 qn -1 Barwert der Rückzüge o Berechnung R o = 2' ~ R o ( ) Barwert des Schluss-Saldos: K o = 1' ~ K o = Total Barwert (= Endwert nach 10 Jahren) der Rente: r = 19'959 11> = 19' ~ 19' ~ ' ~ r = 1' o Der während 10 Jahren regelmässig einbezahlte Betrag ist CHF 1' Rentenrechnungen 327

26 Aufgabe 19.7 (Seite 655) b) Der Verkauf ihrer Eigentumswohnung erlaubt es Bettina, heute über ein Kapital von CHF 531 ' zu verfügen. Diesen Betrag hat sie auf ein neu eröffnetes Konto mit 5 % % Zins einbezahlt. Jeweils am 1. Januar jeden Jahres hebt Bettina einen Betrag von CHF 10' ab, um sich einen längeren Urlaub zu gönnen. Eine Änderung ihrer Vermögensverhältnisse hat zur Folge, dass sie nach Ablauf von 5 Jahren am 1. Januar nur noch CHF 5' für ihren Urlaub abheben will. Wie gross ist das Vermögen von Bettina nach 10 Jahren noch? 4) Analyse ~ o 2 3 o <::> " o <::> '<'"' 5%% 5 o Ln oooo~ 9 o Ln.. 10 ~ Jahre vorschüssig 5 Jahre vorschüssig 5 Jahre 531'000 5 Jahre 5 Jahre: Zinseszins ~... <> G Formel festlegen Endwert, Rente vorschüssig: n Rn = r C q C q -1 q-1 Berechnung des Endkapitals: K n K o qn ~ Ausrechnung K 5 = 531'000 C R = 10' n Vermögen Ende 5. Jahr 685' ' ' K lo = 627' R = 5' C n Vermögen Ende 10. Jahr 810' ' ' o Nach 10 Jahren beträgt das Vermögen von Bettina CHF 781' Rentenrechnungen

27 Aufgabe 19.7 (Seite 655) c) Für geplante Anschaffungen muss Ulrich auf seine Ersparnisse zurückgreifen. n den nächsten 3 Jahren hebt er deshalb jeweils am 1. Januar CHF 4' von seinem Konto ab. Hätte er keine Rückzüge gemacht, hätte es auf seinem Konto nach diesen 3 Jahren einen Saldo von CHF 22' n den nächsten 5 Jahren ist es ihm wieder möglich, regelmässig am 31. Dezember einen Betrag auf sein Sparkonto zu überweisen. Der durchschnittliche Zinssatz ist 5 %. Wie hoch waren seine Ersparnisse am Anfang (vor dem Abheben der Teilbeträge)? (d1) Wie gross ist dieser jährlich einbezahlte Betrag, wenn Ulrich nach 8 Jahren mit den Einzahlungen eine Summe von CHF 20' zur Verfügung steht? (d2) «) Analyse.. 5%.. o >Jahre ~ ~ ~ ß ß ß ß ~ \. /: Ä.. 22'250 Y i V nachschüssig: 'F ,.~ [] vorschüssig --~G)~--+~ - 20'000 f} Formel festlegen Anfangskapital: K o K n qn Berechnung der Rente vom Endwert, nachschüssig: Ausrechnung <2> Berechnung des Anfangskapitals (d1): Endwert (vorschüssig): Rn = r q qn -1 q -1 r Rn.~ qn -1 K = 22'250 ~ K o = 19' o ~ K o = 19' ~ Endwert der dreijährigen Rente: R = 4' Effektiver Saldo nach 3 Jahren: 22'250-13'406 ~ 8' (2) Berechnung der Rente (d2): ~ R 3 = 13' Endwert nach 5 Jahren: 8' ~ 11' Endwert der Einzahlungen: 20'000-11' ~ 8' r = 8' ~ r = 1' o Vor dem Abheben der Teilbeträge waren die Ersparnisse CHF 19' (d1). Die jährlichen Einzahlungen betragen CHF 1' (d2). Rentenrechnungen 329

28 Aufgabe 19.8 (Seite 656) CD Gemischte Aufgaben a) Ein Kredit von CHF 12' muss in 5 Jahren in jährlichen Raten zurückbezahlt werden. Wie hoch ist die Rate bei einem Zinssatz von 11 % 4) Analyse ~ 11 % ' ~ :> Jahre ~ Formel festlegen Tilgungsrechnung, r = K o qn (q -1) qn -1 Ausrechnung r = 12' ( ) r = 3' o Eine Rate beträgt CHF 3' Rentenrechnungen

29 Aufgabe 19.8 (Seite 656) b) Ein Kredit von CHF 45' muss innerhalb von 12 Jahren zurückbezahlt werden. Wie hoch ist die jährliche Rate bei einem Zinssatz von 8 % o Analyse 8% ~ ~ o [ J[ J[ J[ J[ J[ J[ J[ J[ J[ J[ J[ J 45'000 <3> 0.-- ~ Formel festlegen Tilgungsrechnung, r = K o qn (q -1) qn Ausrechnung r = 45' (1.08-1) r = 5' e Eine Rate beträgt CHF 5' Rentenrechnungen 331

30 Aufgabe 19.8 (Seite 656) c) Marion hat einen Kredit von CHF 20' zur Finanzierung ihres Studiums von ihren Eltern erhalten. Die Eltern stellen sich eine Verzinsung von 5 % vor. Die Rückzahlung soll - von der Kreditgewährung an gerechnet - am Ende des 7. Jahres beginnen und bis zum Ende des 12. Jahres dauern. Wie hoch muss dann die jährliche Rate sein? 4) Analyse ~.. 5% H >Jahre ~~~~~~ 20'000 «> f) Formel festlegen Berechnung des Endkapitals: Tilgungsrechnung K n = K o qn n r = K o 11 q \9 (q -1) qn -1 ) Ausrechnung [2J Berechnung des Endkapitals nach 7 Jahren: K n = 20' K n = 28' K n = 28' <2> Berechnung der Rente: r = 28' e (1.05-1) r = 5' r = 5' o Die jährliche Rückzahlungsrate beträgt CHF 5' Rentenrechnungen

31 Aufgabe 19.8 (Seite 656) d) Ein Kleinkreditinstitut berechnet einen Zinssatz von 12 %. Der Kredit beträgt CHF 30' Berechnen Sie die Monatsrate bei einer Rückzahlung in 2 (d1), 3 (d2) oder 4 (d3) Jahren. «) Analyse 12 % ~ ~ "-.-J, Y :> Jahre i 30' <2> Monatsraten f) Formel festlegen ( 1+ P ron (( 1+ P -1 Tilgungsrechnung, r = K m 1 00 m.100) o 1 ( 1 + P )mon -1 m.100 ~ Ausrechnung 2 Jahre r = 30' )12 2 (( 12) J ( r = 1' )1202_ ( Jahre r = 30' )12 3 (( 12) J ( r = ( ) Jahre r = 30' )12 4 (( 12) J ( CD r = ( )12. 4 _ o Bei einer Laufzeit von 2 Jahren beträgt die Monatsrate CHF 1' (d1). Bei einer Laufzeit von 3 Jahren beträgt die Monatsrate CHF (d2). Bei einer Laufzeit von 4 Jahren beträgt die Monatsrate CHF M (d3). Rentenrechnungen 333

32 Aufgabe 19.8 (Seite 656) e) Bettina muss einen Kredit von CHF 50' aufnehmen. Sie will 4 verschiedene Formen der Rückzahlung miteinander vergleichen: Zinssatz 7 %, Rückzahlung der gesamten Schuld nach 4 Jahren Zinssatz 10 %, Rückzahlung in Jahresraten während 4 Jahren Zinssatz 11 %, Rückzahlung in Halbjahresraten während 4 Jahren Zinssatz 12 %, Rückzahlung in Monatsraten während 4 Jahren Vergleichen Sie die 4 Formen nur aufgrund der Summe der Zinsen (e1), beurteilen Sie die 4 Kreditbedingungen auch auf Grund einer Gesamtbeurteilung (e2). (& Analyse 7%,10%,11%,12%.. ~ > Jahre 50' Variante: 7 % TJ 2. Variante: 10 % TJ TJ TJ TJ 3. Variante: 11 % Variante: 12 % Formel festlegen Tilgungsrechnung n r=k o q (q-1) qn -1 und Ko ( 1+ P mon - (( 1+ P J 1 J m -100 J m -100 ( J mon 1+-m~oo Ausrechnung 7 % Zins, Rückzahlung Gesamtschuld nach 4 Jahren K n = 50' K n = 65' % Zins, Rückzahlung in 4 Jahresraten r = 50' (1.10-1) r = 15' Rentenrechnungen

33 Aufgabe 19.8 (Seite 656) 11 % Zins, Rückzahlung in Halbjahresraten (während 4 Jahren) r = 50' ~ 11)2. 4 (( 1+ 11)) -1 ( _1_) ( r = 7' % Zins, Rückzahlung in Monatsraten (während 4 Jahren) )12. 4 ( (( 1+ 12)) -1, r = ( ) r = 1' Übersicht: Zins Rate Anzahl Raten Total Rückzahlung Zins 7% 65' Einmalzahlung 65' ' % 15' Jahresraten 63' ' % 7' Halbjahresraten 63' ' % 1' Monatsraten 63' ' o Die Zinsen bei den einzelnen Varianten sehen wie folgt aus: (ei) Zinsssatz Zinszahlung 7% 15' % 13' % 13' % 13' Für Bettina ist die Variante mit den 4 Jahresraten bei einem Zinssatz von 10% am günstigsten, da hier der Zins am kleinsten ist (e2). Rentenrechnungen 335

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