Finanzwirtschaft. Teil II: Bewertung

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1 Sparpläne und Kreditverträge 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Sparpläne und Kreditverträge

2 Agenda Sparpläne und Kreditverträge 2 Endliche Laufzeit Unendliche Laufzeit Zusammenfassung

3 Sparpläne und Kreditverträge 3 Laufendes Beispiel: Problemstellung I Ein Versicherungsvertreter bietet Ihnen folgenden Vertrag an Sie zahlen jährlich für die nächsten 15 Jahre Sie erhalten jährlich für die darauf folgenden 20 Jahre Nehmen Sie an, dass Zinssätze konstant bei 9% p.a. sind. Welchen Barwert hat dieser Vertrag?

4 Sparpläne und Kreditverträge 4 Laufendes Beispiel: Problemstellung II Rechnung: BW ,09 15 t , t 1,09 t , t 1, , , ,09 Wir müssen hier 35 einzelne Zahlungen diskontieren. Das ist sehr aufwendig! Gibt es vielleicht eine Möglichkeit, diese gleich hohen Zahlungen mit einer Formel zu bewerten? Hierzu definieren wir zunächst den Begriff der Annuität und betrachten deren Barwert.

5 Sparpläne und Kreditverträge 5 Was ist eine Annuität? T-1 T Zeit 0 A A A A A ZF Eine Annuität ist ein fester Zahlungsstrom für eine festgelegte Zeitperiode. Die erste Zahlung erfolgt am Ende der ersten Periode.

6 Sparpläne und Kreditverträge 6 Zukunftswert der Annuität Beispiel: Sie sparen über 5 Jahre jährlich bei 5% p.a. Wie viel haben Sie am Ende der Laufzeit?

7 Sparpläne und Kreditverträge 7 Barwert der Annuität Dies kann auch geschrieben werden als Der Term wird bisweilen als Rentenbarwertfaktor, der Term als Annuitätenfaktor bezeichnet.

8 Sparpläne und Kreditverträge 8 Beispiel: ARD Fernsehlotterie (Beschreibung) Nehmen Sie an, Sie hätten gerade in der ARD Fernsehlotterie gewonnen Auf Lebenszeit werden Sie monatlich 5000 erhalten Annahmen: Sie sind 20 Jahre alt. Ihre Lebenserwartung entspricht 85 Jahren. Die Zahlungen fangen nächsten Monat an. Der aktuelle Zinssatz sei 5% p.a. Was ist der Barwert Ihres Gewinnes?

9 Sparpläne und Kreditverträge 9 Beispiel: ARD Fernsehlotterie (Analyse) Wir nehmen an, der unterjährige Zins bestimmt sich durch lineare Anpassung, d.h. der monatliche Zins ist 5%/12. Die Auszahlung laufen 65 Jahre, d.h Monate.

10 Kreditverträge Sparpläne und Kreditverträge 10 Bereitstellung eines Betrages Rückzahlung als Tilgung bezeichnet Verschiedene Formen u.a.: Endfällige Tilgung Annuitätentilgung

11 Sparpläne und Kreditverträge 11 Kreditvertrag mit endfälliger Tilgung Bei einem Kreditvertrag mit endfälliger Tilgung wird anfänglich ein Betrag BW 0 ausgezahlt Danach sind monatlich feste Zinszahlungen in Höhe von K zu leisten und am Ende der Laufzeit der Kreditbetrag zurückzuzahlen Zahlungsflüsse T Zeit K K K K K+N ZF Damit ergibt sich für BW 0 : K r 1 1 N 1 r T 1 r T BW der Kupons BW des Nennwertes

12 Sparpläne und Kreditverträge 12 Beispiel: Kreditvertrag mit endfälliger Tilgung Eine Kreditvertrag mit endfälliger Tilgung sei über 1000 zu 8% p.a. mit einer Laufzeit von 5 Jahren abgeschlossen worden. Die Zahlungsströme sind Jahr Kupons Was ist der Barwert dieses Vertrages? Der Marktzinssatz für vergleichbare Verträge sei 10% p.a. Dann hat der Vertrag den Auszahlungsbetrag 0, ,10 1,10 1 1, ,18

13 Sparpläne und Kreditverträge 13 Eigenschaften der Annuitätentilgung Bei einem Kreditvertrag mit Annuitätentilgung wird anfänglich ein Betrag BW 0 ausgezahlt Danach sind monatlich feste Zahlungen in Höhe von A zu leisten. Die monatliche Zahlungen sind gleich für alle Monate. Der Anteil der Tilgungen an den monatlichen Zahlungen steigt stetig. Der Anteil der Zinszahlungen an den monatlichen Zahlungen fällt stetig.

14 Sparpläne und Kreditverträge 14 Beispiel: Annuitätentilgung Nehmen Sie an, Sie haben ein Haus für gekauft. Sie finanzieren den Kauf durch Eigenmittel und den Rest durch eine 30-jährige Tilgungshypothek zu einem Nominalzinssatz von 8,5% p.a. Zahlungen sind monatlich zu leisten. Für die monatliche Zahlung A gilt (bei linearer unterjähriger Verzinsung) A = 3.075,70

15 Sparpläne und Kreditverträge 15 Beispiel: Annuitätentilgung Monatliche Zahlungen Monat Tilgung Zinsen Summe (Annuität) Verbleibender Kreditbetrag 1 242, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,60 43, , , ,07 21, ,7 0,00

16 Sparpläne und Kreditverträge 16 Laufendes Beispiel: Wiederholung Für die nächsten 15 Jahre zahlen Sie jährlich Danach erhalten Sie jährlich für die folgenden 20 Jahre. Der Zinssatz beträgt 9% p.a. Was ist der Barwert Ihres Vertrages?

17 Sparpläne und Kreditverträge 17 Laufendes Beispiel: Auflösung Zeit ZF Heutiger Wert aller Zahlungen , , ,51

18 Sparpläne und Kreditverträge 18 Zeitlinie einer wachsenden Annuität T Zeit 0 A A(1+g) A(1+g) 2 A(1+g) T-1 ZF Eine wachsende Annuität ist ein Zahlungsstrom, der jede Periode um eine feste Rate wächst Die erste Zahlung erfolgt am Ende der ersten Periode.

19 Sparpläne und Kreditverträge 19 Barwert einer wachsenden Annuität Rentenbarwertfaktor: Annuitätenfaktor

20 Sparpläne und Kreditverträge 20 Beispiel einer wachsenden Annuität: Sparen für die Rente I Nehmen wir an, Sie seien 30 Jahre alt und möchten 2 Millionen im Alter von 65 Jahren für Ihre Rente besitzen Sie möchten jedes Jahr (beginnend nächstes Jahr) einen Betrag sparen, der jährlich um 5% wächst. Wie viel müssen Sie bei einem Zinssatz von konstant 8% p.a. jetzt anfangen zu sparen? Parameter: ZW 35 = ; g=0,05; r=0,08; T=65-30=35

21 Sparpläne und Kreditverträge 21 Beispiel einer wachsenden Annuität: Sparen für die Rente II Berechnung über den Barwert: BW A , ,09 20,8976 0,08 A 6.472,96 0,05 1 1,05 1,08 35

22 Agenda Sparpläne und Kreditverträge 22 Endliche Laufzeit Unendliche Laufzeit Zusammenfassung

23 Sparpläne und Kreditverträge 23 Zeitlinie einer ewigen Rente (Annuität mit unendlicher Laufzeit) Zeit 0 A A A Eine ewige Rente ist eine Annuität mit unendlicher Laufzeit, d.h. eine Annuität, deren Zahlungsfluss A für immer weiter läuft ZF

24 Sparpläne und Kreditverträge 24 Beispiel einer ewigen Rente: Lekdijk Bovendams Eine niederländische Anstalt zur Aufrechterhaltung von Deichen wurde von ihr eine ewige Rente herausgegeben, die bis heute bedient wird Zunächst in Carolus Gulden Danach in Flämischen Pfund, Niederländischen Gulden und jetzt in Euros 2006 wurden 11,34 jährlich gezahlt.

25 Sparpläne und Kreditverträge 25 Herleitung des Barwertes einer ewigen Rente Eine ewige Rente ist eine Annuität mit unendlicher Laufzeit. Wir wissen bereits: der Barwert einer Annuität A mit Laufzeit T beträgt Den Barwert erhalten wir, wenn wir den Grenzwert T gegen unendlich nehmen und der obige Ausdruck wird dann zu

26 Sparpläne und Kreditverträge 26 Beispiel für die Grenzwertberechnung des Barwertes einer ewigen Rente Nehmen Sie an r = 10% p.a. Sie haben gerade in der Lotterie gewonnen und erhalten jedes Jahr für die nächsten 20 Jahre. Sind Sie Millionär? Was, wenn die Zahlungen 50 Jahre laufen? Was, wenn die Zahlungen für immer laufen? BW 0 = /0,1=

27 Sparpläne und Kreditverträge 27 Barwert einer wachsenden ewigen Rente Eine Annuität, deren Zahlungsfluss A für immer weiter läuft und über jede Periode mit konstanter Rate g wächst. Zeitlinie: Zeit 0 A A(1+g) A(1+g) 2 Barwert einer wachsenden Annuität mit unendlicher Laufzeit, wenn r > g: ZF

28 Sparpläne und Kreditverträge 28 Beispiel wachsende ewige Rente I Die Gesellschaft Sichere Superrendite bietet Ihnen einen Vertrag mit folgenden jährlichen Auszahlungen auf Ewigkeit an: Nächstes Jahr erhalten Sie 2. Die Zahlung wächst jährlich um 5%. Nehmen Sie an, die am Markt verlangte Rendite für vergleichbare (sichere) Verträge betrage 10% p.a. Was ist der heutige Wert des Vertrages? 2 0,1 0,05 40

29 Sparpläne und Kreditverträge 29 Beispiel wachsende ewige Rente II Die Gesellschaft Sichere Superrendite bietet Ihnen einen Vertrag mit folgenden jährlichen Auszahlungen auf Ewigkeit an: Nächstes Jahr erhalten Sie 2. Die Zahlung wächst dann einmalig um 5%, und ist danach für immer konstant. Nehmen Sie an, die am Markt verlangte Rendite für vergleichbare (sichere) Verträge betrage 10% p.a. Was ist der heutige Wert des Vertrages?

30 Sparpläne und Kreditverträge 30 Beispiel ewige Rente: Berechnung Zeit Barwert 2 2(1+0,05) 2(1+0,05) 2(1+0,05) ZF BW 1 = 21

31 Agenda Sparpläne und Kreditverträge 31 Endliche Laufzeit Unendliche Laufzeit Zusammenfassung

32 Sparpläne und Kreditverträge 32 Symbole BW 0 = Barwert, d.h. was zukünftige Zahlungsströme heute wert sind ZW t = Zukunftswert, d.h. was zukünftige Zahlungsströme in der Zukunft wert sind r = Zinssatz (in der Regel jährlich quotiert) T = Gesamtzahl der Perioden t = laufende Periode (von 0 bis T) A = Annuitätszahlung

33 Sparpläne und Kreditverträge 33 Zusammenfassung der Formeln für Annuitäten und ewige Renten I I. ZW von A pro Periode für T Perioden zum Zinssatz r pro Periode: II. BW von A pro Periode für T Perioden zum Zinssatz r pro Periode: III. BW einer ewigen Rente von A pro Periode:

34 Sparpläne und Kreditverträge 34 Zusammenfassung der Formeln für Annuitäten und ewige Renten II IV. BW von A pro Periode für T Perioden zum Zinssatz r, wachsend mit g pro Periode: V. BW einer ewigen Rente von A mit Wachstum g pro Periode:

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