Zusammenfassung der Vorlesung

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1 Zusammenfassung der Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) WS 2013/2014 (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

2 Klausurinformationen Hauptklausur Datum: Zeit: 14:00 s.t. - 16:00 Uhr Räume: Material: A E HZO-30 F I HZO-40 J N HNB O Z HNA Taschenrechner Stifte (nicht rot, kein Bleistift) Lineal/Geodreieck Studentenausweis Bonuspunkte: in der Übung für die Klausur ab 50 % 1 %.. ab 90 % 9 % ab 95 % 10 % keine zusätzliche Anmeldung nötig keine Formelsammlung erlaubt Zum Bestehen der Klausur reichen 50 % (inkl. Bonus) Nachschreibeklausur: Pfingstprüfung: (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

3 Übersicht Einheiten Mechanik Kinematik Kreisbewegung Newton sche Axiome Reibung Gravitation Arbeit Leistung/Energie Impuls/Stöße Schwingungen starre Körper Drehmoment Rotationsenergie Drehimpuls Zentripetalkraft Elastizität Hydrostatik/Hydrodynamik Druck Schweredruck Kompressibilität Auftrieb Kontinuitätsgleichung Bernoulli-Gleichung Viskosität/Hagen-Poiseuille Wärmelehre Temperatur Zustandsgleichung thermische Ausdehnung Wärmekapazität latente Wärme (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

4 Einheiten Jede zusammengesetzte Einheit lässt sich in die 7 SI-Basisgrößen zerlegen. Größe Einheit Abkürzung Masse Kilogramm kg Länge Meter m Zeit Sekunde s Stoffmenge Mol mol Temperatur Kelvin K Stromstärke Ampere A Lichtstärke Candela cd Beispiel: Kraft [F] = [m a] = Newton = N = kg m s 2 (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

5 Mechanik (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

6 Kinematik Bewegung einer Punktmasse (= die Masse eines Körper ist in einem Punkt konzentriert und hat keine Ausdehnung) gleichförmige Bewegung v(t) = konstant [v] = m/ s Beispiel Freier Fall: mittlere Geschwindigkeit v(t) = (x 2 x 1 )/(t 2 t 1 ) = x/ t momentane Geschwindigkeit v(t) = dx/dt gleichförmig beschleunigte Bewegung a(t) = konstant 0 [a] = m/ s 2 v(t) = a t + v 0 x(t) = 1/2 a t 2 + v 0 t + x 0 Schiefer Wurf x- und y-komponenten können unabhängig voneinander behandelt werden (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

7 Winkel ebener Winkel: Gradmaß Vollkreis 360 Bogenmaß Vollkreis 2π Einheit [ϕ] = rad ϕ = Kreisbogenlänge Radius = s r Vollkreis = 360 = 2π r r Umrechnung: Dreisatz: ϕ = 360 2π = 2π ϕ rad (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

8 Kreisbewegung s = r ϕ s = r ϕ Tangentialgeschwindigkeit v T = ds dt = r dϕ dt }{{} ω v T = r ω [ω] = s 1 = rad/ s Tangential- (a T ) und Winkelbeschleunigung ( ω): a T = r ω [ ω] = s 2 = rad/ s 2 Umlaufzeit T: Zeit für eine Umdrehung ϕ = 2π ω T = 2π T = 2π ω Frequenz f: Anzahl der Umdrehungen pro Zeit f = 1/T [f] = s 1 = Hz ω = 2π f (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

9 Ursachen der Bewegung / Newton sche Axiome Durch eine Kraft wird eine Änderung der Geschwindigkeit erreicht Die Kraft ist eine vektorielle Größe 1. Newton sche Axiom: Ohne äußere Einflüsse verbleibt jeder beliebige Körper in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung a = d v dt = 0 für v = 0 m/ s oder v = const. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

10 Ursachen der Bewegung / Newton sche Axiome 2. Newton sche Axiom: Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eine Beschleunigung, die der Kraft proportional ist und deren Richtung besitzt F = m a 3. Newton sche Axiom: [F] = [m a] = Newton = N = kg m s 2 Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus (actio), so übt auch B auf A eine entgegengesetzt gleichgroße Gegenkraft (reactio) aus. FA B = F A B (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

11 Reibung Reibungsarten Haftreibung (µ H ) Gleitreibung (µ G ) Rollreibung (µ R ) Die Reibung hängt von der Beschaffenheit der Oberfläche ab (µ), jedoch nicht von der Größe der Auflagefläche. Reibungszahl: µ = Reibungskraft Normalkraft = F R F N Schiefe Ebene: F R = µ F N µ H > µ G F H = F G sin α F N = F G cos α F H = sin α = tan α = µ F G cos α H (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

12 Gravitation Massen ziehen sich gegenseitig an, gemäß: F = G m 1 m 2 r 2 Gravitationskonstante G = 6, m 3 kg 1 s 2 Beispiel Die Erde wiegen: (r Erde = 6370 km) F = m g = G m M r 2 M = g r2 G M kg (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

13 Arbeit Die Arbeit erhält man aus dem Produkt von Kraft und Weg W = F s [W] = N m = Joule = J betragsmäßig: W = F s cos ( s, F) Hubarbeit: W = F h = m g h Beschleunigungsarbeit: W = 1 2 m v2 In der Mechanik benutzen man diese Größen ) meist in Form der potentiellen (E pot = mgh) und der kinetischen Energie (E kin = 1 2 mv2. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

14 Leistung, Energie P = W t Leistung = Energie pro Zeit [P] = Watt = W = J s = kg m2 s 3 Energie kann als Vorrat an Arbeitsvermögen gesehen werden. [W]=[E] leistet man am System Arbeit, so fügt man Energie hinzu leistet das System Arbeit, so wird Energie abgeführt die Gesamtenergie im abgeschlossenen System bleibt jedoch konstant. Energieerhaltung: E kin + E pot = E ges = konstant Beispiel Freier Fall: (E kin + E pot) h0 = (E kin + E pot) h=0 m g h 0 = 1/2 m v 2 v max = 2 g h 0 (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

15 Impuls / Stöße Impuls = Masse mal Geschwindigkeit Der Impuls verknüpft die Masse mit der Geschwindigkeit Stoßvorgänge: p = m v a) elastischer Stoß es gilt Impulserhaltung es gilt Energieerhaltung nach dem Stoß gehen beide Stoßpartner ihren eigenen Weg [p] = kg m s Kraftstoß: t 2 p = F dt t 1 F = d p = m d v = m a dt dt b) inelastischer Stoß es gilt Impulserhaltung die Energie in Bezug auf die Translation muss nicht erhalten bleiben nach dem Stoß bewegen sich die Stoßpartner gemeinsam weiter (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

16 Beschreibung von Schwingungen Eine harmonische Schwingung lässt sich darstellen durch x(t) = x 0 sin(ωt + ϕ 0 ) ungedämpfte Schwingungsgleichung Lösung für ẍ(t) + ω 2 x(t) = 0 Federpendel: ω = Fadenpendel: ω = D m g l (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

17 Ausgedehnte starre Körper homogene Körper die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt Dichte: ρ = m V [ρ] = kg m 3 inhomogene Körper die Masse ist ungleichmäßig über das Volumen verteilt Zerteilung des Körpers in Volumenelemente mit homogener Dichte, die mit der Punktmechanik beschrieben werden. ρ i = m i V i m Gesamt = i ρ i V i Die Summierung aller Effekte auf die einzelnen Massenteile, ergibt den Effekt für den gesamten starren Körper. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

18 Kinematik starrer Körper / Drehmoment Ein starrer Körper kann mehrere Bewegungsformen auch gleichzeitig ausführen Translation des Schwerpunktes Rotation um eine oder mehrere Achsen Drehmoment = Hebelarm mal Kraft M = r F = r F sin ( r, F) [M] = N m = Joule = J (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

19 Gleichgewicht Ein Gleichgewicht ist erreicht, wenn alle angreifende Drehmomente sich zu Null summieren i M i = 0 siehe Beispiele aus der Vorlesung: Balken mit Gewichten Wippschaukel... zweiarmiger Hebel Drehachse zwischen den Angriffspunkten der Kräfte einarmiger Hebel Drehachse außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

20 Rotationsenergie Die kinetische Energie eines starren Körpers setzt sich zusammen aus seiner Translationsenergie des Schwerpunktes und aus seiner Rotationsenergie um eine oder mehrere Achsen. E kin = E trans + E rot = 1 2 m v Θω2 Das Trägheitsmoment Θ = r 2 dm hängt sowohl von der Geometrie des Körpers ab, als auch von der Lage seiner Drehachse. [Θ] = kg m 2 Zylindermantel um eine Hauptachse Θ = m r 2 Vollzylinder um eine Hauptachse Θ = 1 2 m r2 Der Steiner sche Satz findet Anwendung wenn die Drehachse parallel verschoben wurde Θ A2 = Θ A1 + md 2 (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

21 Drehimpuls Drehimpuls: j = r p = Θ ω [j] = kg m 2 In einem abgeschlossenen System ist der Drehimpuls erhalten j = const., in Analogie zur Impulserhaltung der Translation. s (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

22 Zentripetalkraft Bei einer gleichförmigen rotierenden Bewegung ( v = const.) führt die Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors zu einer Beschleunigung des Körpers zum Mittelpunkt hin. Radialbeschleunigung: a R = v2 r = ω 2 r Dies ist verbunden mit einer Kraft, die ebenfalls zum Zentrum hin wirkt und den Körper somit auf der Kreisbahn hält. Zentripetalkraft: F R = m a R = m v2 r = m ω 2 r Für den Körper im rotierenden System existiert eine der Zentripetalkraft gleich große entgegengesetzte Kraft, die Zentrifugalkraft F Z. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

23 Zusammenstellung Translation Rotation Verknüpfung Weg: r Winkel: ϕ s = rϕ Geschwindigkeit: v W.-Geschw.: ω = ϕ v = rω Beschleunigung: a W.-Beschl.: ω = ϕ a = r ω Kraft: F = m a Drehmoment: M = Θ ω M = r F Impuls: p = m v Drehimpuls: j = Θ ω j = r p Energie: E kin = 1 2 mv2 Rot.-Energie: E rot = 1 2 Θω2 F = d p dt M = d j dt Wir sehen, wir können die Rotation eines starren Körpers formal genauso behandeln, wie die Translation einer Punktmasse. Aber es muss das Trägheitsmoment Θ bezüglich der Drehachse bekannt sein. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

24 Quiz Welche Aussage ist zu dem Zeitpunkt richtig, bei dem die maximale Auslenkung aus der Ruhelage einer Schwingung erreicht wird? Die Beschleunigung ist null. Die Geschwindigkeit hat ein Maximum. Die potentielle Energie hat ein Maximum. Ein Mensch der Masse m = 100 kg besteigt einen Hügel der Höhe h = 500 m. Die dabei verrichtete Hubarbeit W ist ( ) 5000 N 500 N/ m 500 kj J Ein Sprinter benötigt für die 100- m-strecke 10 s. Dann beträgt seine mittlere Geschwindigkeit. 1 km/ s 1 m/ min 1/10 m/ s 36 km/ h (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

25 Elastizität Eine Zug bzw. Schubspannung σ an einem Festkörper bewirkt eine Längenänderung Spannung σ = F A [σ] = Pascal = Pa rel. Längenänderung ɛ = l l elastischer Bereich (I) Hook sches Gesetz: σ = E ɛ Proportionalität ist der Elastizitätsmodul E plastischer Bereich (II) Einschnürung und Bruch (III) (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

26 Elastizität Wenn ein Körper in einer Dimension gedehnt oder gestaucht wird, so führt dies auch zu Änderungen in den anderen Dimensionen. Querkontraktionszahl: µ = d/d l/l Scherung Scherspannung: τ = F s/a Scherung: γ = x/l = tan α Schubmodul: G = τ γ = Fs/A tan α (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

27 Hydrostatik und Hydrodynamik (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

28 ideale/reale Flüssigkeit Eine ideale Flüssigkeit... ist inkompressibel hat keine innere Reibung (Viskosität) ist homogen (sie hat überall die gleiche Dichte) fließt immer laminar Eine reale Flüssigkeit muss diese Eigenschaften nicht haben; kann turbulent fließen. Laminar: Turbulent: Strömungslinien können bei turbulenter Strömung abreißen und Wirbel bilden Abschätzung der Strömungsart durch die Reynoldszahl Re = ρ r v η laminar 1000 turbulent (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

29 Druck / Kompressibilität Der hydrostatische Druck verteilt sich gleichmäßig und ist in der gesamten Flüssigkeit gleich groß. Druck: p = Kraft Fläche = F A [p] = Pascal = Pa Eine allseitige Druckausübung auf einen Körper für zu einer Kompression desselben. Kompressionsmodul: K = p V/V [K] = Pa Anwendung: z.b. hydraulischer Lift F 1 A 1 = F 2 A 2 (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

30 kommunizierende Rohre / Schweredruck Gleich hoher Flüssigkeitsstand in offenen Rohren, unabhängig von der Form der Gefäße. Der Schweredruck in einer Flüssigkeit nimmt linear mit der Tiefe zu. Gesamtdruck: p = p 0 + ρ g h Hydrostatischer Druck + Schweredruck * für eine Flüssigkeit mit konstanter Dichte ρ (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

31 Auftrieb Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, und hängt im wesentlichen von dem Volumen ab, welches der Körper verdrängt. Auftriebskraft: F A = ρ flüssig g V = m flüssig g Ob ein Körper schwimmt/steigt, schwebt oder sinkt hängt nun von der Gewichtskraft des Körpers ab. Dies kann man reduzieren auf den Vergleich der beiden Dichten zueinander. F A>FG F A=FG F A=FG F A<F G K < = > fl. K fl. Schwimmt der Körper auf, so gilt F G = F A ; somit verdrängt der Körper genau das gleiche Gewicht an Flüssigkeit wie er selber wiegt! K fl. K fl. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

32 Grundgleichungen der Hydrodynamik Der Volumenstrom ist die Menge (Volumen) an Flüssigkeit, die pro Zeit durch eine bestimmte Fläche fließt. Volumenstrom: V = V t = A x t = A υ [ V] = m3 s Aus der Massen- und Energieerhaltung folgen wichtige Beziehungen für die Dynamik einer idealen Flüssigkeit Massenerhaltung Kontinuitätsgleichung A υ = konstant Energieerhaltung Bernoulli-Gleichung p statisch ρυ2 = pges = konstant stau (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

33 Flüssigkeit mit Viskosität Viskosität η beschreibt innere Reibung von Flüssigkeiten und Gasen Reibung von festen Körpern in Flüssigkeiten [η] = Pa s = Poise Reibungskraft eines Objekts, welches durch eine Flüssigkeit gezogen wird: F R = η A dv dx Strömungsprofil in einem Rohr Volumenstrom durch eine Rohr der Länge L und dem Radius R Gesetzt von Hagen-Poiseuille V = π(p 1 p 2 ) 8 η L R 4 (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

34 Physik für Ingenieure (Maschinenbau) Quiz Zwei gleich große Bechergläser sind bis zum Rand mit Wasser gefüllt, wobei in dem einen Glas ein Stück Holz schwimmt. Vergleichen Sie das Gewicht der gefüllten Gläser. Das ohne Holz ist schwerer. Beide sind gleich schwer. Das mit Holz ist schwerer. Ein Taucher taucht in 9 m Wassertiefe unter einen Felsvorsprung, so dass nur noch 3 m Wasser über ihm sind. Wie ändert sich der Schweredruck? Der Druck wird größer, denn über dem Taucher liegen jetzt die 3 m Wasser und der Felsen. Der Druck bleibt gleich. Der Druck wird kleiner, denn über dem Taucher liegen jetzt nur noch 3 m Wasser. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

35 Wärmelehre (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

36 Temperatur Die Temperatur ist eine makroskopische Eigenschaft eines Systems und ein Maß für die mittlere kinetische Energie der enthaltenen Teilchen. E kin = m 2 v2 = 3 2 k B T k B Boltzmannkonstante Gemessen wird die Temperatur über reproduzierbare physikalische Effekte (Gas /Flüssigkeitsthermometer, Bimetalle, elektrischer Widerstand,...) Angabe der Temperatur: Celsius Skala ( C) 0 C = Gefrierpunkt und 100 C = Siedepunkt von Wasser Kelvin Skala ( K) absoluter Nullpunkt bei 0 K; es gilt T K = T C + 273,15... (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

37 Zustandsgleichung für ideale Gase Modellvorstellung ideales Gas Gasteilchen werden als Massepunkte behandelt einatomig (Bsp. Edelgase) Wechselwirkungen der Gasteilchen laufen über ideal elastische Stoßvorgänge ab Zustandsgleichung pv = Nk B T = n R T Nk B = n N A k B = n R 1 mol = 1 N A = 6, Teilchen N: Teilchenanzahl N A : Avogadrokonstante R: allgemeine Gaskonstante n: Anzahl der Mole (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

38 thermische Ausdehnung Erwärmt man einen Körper so dehnt er sich gleichmäßig in alle Richtungen aus, dabei ist die Größenzunahme proportional zur ursprünglichen Größe relative Längenänderung: L L = α T oder L = L(1 + α T) α: linearer Ausdehnungskoeffizient für das Volumen gilt: relative Volumenänderung: V V = β T oder V = V(1 + β T) β: Volumenausdehnungskoeffizient Einheit: [α] = [β] = K 1 Insbesondere gilt für einen isotropen Festkörper β = 3α Flüssigkeiten und Gase besitzen aufgrund ihrer Formeigenschaften nur einen Volumenausdehnungskoeffizienten. (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

39 Wärmekapazität / latente Wärme Das Zu- oder Abführen einer bestimmte Wärmemenge Q resultiert in einer Änderung der Temperatur des Stoffes. (Die Einheit der Wärmemenge ist die der Energie [ Q] = Joule) Q = m c p T Einheit: [c p] = J kg 1 K 1 Bei einem Phasenübergang z.b. fest zu flüssig geht die zugeführte (abgeführte) Wärme nicht in die Erhöhung (Erniedrigung) der Temperatur über. Die Energie dient dazu die Kräfte zwischen den Molekülen zu überwinden. Phasenübergänge: (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40

40 Quiz Die Temperaturdifferenz zweier Körper beträgt in der Celsiusskala 253 C. In der Kelvinskala beträgt diese Temperaturdifferenz -20 K 20 K 273 K 253 K 526 K (Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar / 40