E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

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1 E6 WECHSELSPANNNGSMESSNGEN PHYSIKALISCHE GRNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe: elektrische Spannung, Gleichspannung, Wechselspannung, Frequenz, Amplitude, Phase, Effektivwert, Spitzenwert, Oszilloskop, Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Größen gesetzt. Bei diesem Versuch soll vor allem der dafür vorgesetzte sachgerechte und zweckmäßige mgang mit diesen elektrischen Messmitteln erlernt werden, wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschränken wollen. Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung e elektrische Spannung, die sich zeitlich periodisch ändert. Je nach dem zeitlichen Verlauf von (t) kann man verschiedene Formen unterscheiden, von denen Sinus, Rechteck, Dreieck und Sägezahn die sicherlich geläufigsten und begrifflich selbsterklärend sind. Eine sinusförmige Wechselspannung lässt sich ganz allgem beschreiben mit der Funktion ( t) S sin( ω t +ϕ ). () Hier ist S die sog. Spitzenspannung, φ die Phase und ω die Kreisfrequenz. Für die Kreisfrequenz kann man die Beziehung π ω π f () mit der Frequenz f und der Periodendauer aufstellen. Das in Europa übliche Wechselspannungsnetz hat e Frequenz f 5 Hz; damit e Periodendauer von ms und e Kreisfrequenz von ω 34 s -. Spannung (rel. Einh.) eff S SS Zeit t Abb. Sinusförmige Wechselspannung mit Kenngrößen Die eben geführte Spitzenspannung ist weniger gebräuchlich zur Kennzeichnung er Wechselspannung; praktisch bevorzugt man den Effektivwert, der wie folgt definiert wird: eff ( t) dt. (3) Im Englischen wird für den Effektivwert die Abkürzung RMS gebraucht, was Root Mean Square (svw. Wurzel dem Mittelwert des Quadrates) bedeutet und genau der Beziehung (3) entspricht. Alternativ kann der Effektivwert er Wechselspannung auch definiert werden über den Gleichspannungswert, der in em Ohmschen Widerstand die gleiche Leistung (Joulesche Wärme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte Wechselspannung. 39

2 E6 WECHSELSPANNNGSMESSNGEN Für den Fall er sinusförmigen Wechselspannung gemäß () ist die Integration in () recht fach und liefert die Beziehung eff S. (4) Der Proportionalitätsfaktor zwischen S und eff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet, der (nur) für sinusförmige Wechselspannungen beträgt. Im bei uns gebräuchlichen Wechselspannungsnetz mit eff 3 V Effektivwert (Kennzeichnung 3 V~) bedeutet das, dass Spitzenwert von S 35 V auftritt. Die Spitze-Spitze-Spannung ist definiert über SS S und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb er Periodendauer. Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (z.b. Kondensatoren, Spulen, Widerständen) verbunden bzw. in Bauelementegruppen (z.b. Verstärker) am Eingang gespeist werden. Man wird am Ausgang der Schaltung e Spannung messen, die sich vom Eingangssignal z.b. in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann. Als Beispiel möge Abb. genügen, wo links facher Spannungsteiler gezeigt ist. Zur Betrachtung von häufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite, Spannung und Strom auf der Ausgangsseite). Z Abb. Elektrischer Vierpol (links facher Spannungsteiler, rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur passiven (nicht verstärkenden) Bauelementen wie Widerständen, Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist, wird er als passiver Vierpol bezeichnet. Als praktisches Beispiel soll Hochpass-Filter (s. Abb. 3) betrachtet werden. C R Abb. 3 Passiver Hochpassfilter Im Versuch E4 Wechselstromwiderstände werden wir später lernen, dass der komplexe Widerstand es Kondensators der Kapazität C durch Z C (5) i ω C beschrieben wird, wobei i die imaginäre Einheit ist. Es sei hervorgehoben, dass dieser Widerstand frequenzabhängig ist. In völliger Analogie zu em Spannungsteiler (r reellen) Ohmschen Widerständen lässt sich die Schaltung in Abb. 3 als komplexer und frequenzabhängiger Spannungsteiler betrachten, indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz für Wechselströme, Maschensatz für Wechselspannungen) anwendet. Man erhält das Ergebnis i ω R C. (6) + i ω R C Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung frequenzabhängiges Verhalten: Man sieht leicht, dass lim und lim ist; für zunehmende Frequenz der Wechselspannung ω ω wird die Schaltung durchlässiger (daher die Bezeichnung als Hochpass). Für hinreichend 4

3 E6 WECHSELSPANNNGSMESSNGEN kle Frequenzen ω << ist i ω R C <<, so dass i ω R C gilt. Das R C Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmäßig) proportional zur Frequenz ω, was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht überrascht. Was bedeutet nun aber der imaginäre Faktor? Bei der späteren genauen Betrachtung zeigt sich, dass e Multiplikation mit der imaginären Einheit i er Phasenverschiebung um 9 entspricht. Demnach führt die Schaltung auch zu er Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung. Die Beziehung (6) lässt sich umformen in die (komplexe) Übertragungsfunktion + ω R C ( ω R C) e i arctan ω R C H i ( ω ) ( ω) e ϕ. (7) Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasenfunktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet. Zweckmäßig verwendet man die Spannungsverstärkung bzw. -dämpfung, die mit V lg (5) und der zugehörigen Einheit db (Dezibel, zehnter eil es Bel; benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird. (Ein Verstärker, der Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstärkt, hat also z.b. e Verstärkung von V db.) In Abb. 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang es Hochpass-Filters gemsam gezeigt: man bezeichnet die gewählte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in db geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode). 9 Spannungsdämpung V (db) Phase ϕ ( ) Normierte Frequenz ω R C Normierte Frequenz ω R C Abb. 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang es Hochpass-Filters In der Darstellung lässt sich jeweils charakteristischer Punkt machen: Für die Frequenz ω g bzw. f g, (8) R C π R C die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird, erreicht die Dämpfung -3 db bzw.,77 und die Phasenverschiebung 45. Für Frequenzen ω << ω g gilt V ~ ω mit em Anstieg von db/dekade bzw. 6 db/oktave. Im Versuch sollen mithilfe es Digitalmultimeters und es Oszilloskops zunächst die wichtigsten Kenngrößen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten es RC-Hochpass-Filters untersucht werden. 4

4 E6 WECHSELSPANNNGSMESSNGEN AFGABEN. Direkte Messung von Effektivwert eff und Frequenz f er am Signalgenerator fest gestellten sinusförmigen Wechselspannung mit em Digitalmultimeter und Ermittelung ihrer Messunsicherheiten.. ntersuchung derselben (!) Wechselspannung mit em Oszilloskop: Bestimmung von Periode und Spitze-Spitze-Spannung SS anhand von Oszillogrammen, anschließend Berechnung von Frequenz f mit Formel () und Effektivwert eff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten. 3. Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe und. 4. Überprüfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters für Wechselspannungsmessungen durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen. 5. ntersuchung des frequenzabhängigen Verhaltens es RC-Hochpass-Filters und Darstellung der Messergebnisse für die Übertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen für V (f) und φ(f). 6. Bestimmung der unteren Grenzfrequenz f g des Hochpass-Filters und Überprüfung des Ergebnisses mit Formel (8) VERSCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeräte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach; beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s. auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort). Benutzen Sie diese Gelegenheit, sich in der Praxis sehr gehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw. elektronischer Messgeräte vertraut zu machen nur ke Scheu! Denken Sie unbedingt daran, jede Schaltung vor Inbetriebnahme (d.h. Ein- bzw. Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer überprüfen zu lassen! Für Aufgabe und ist die in Abb. 5 gezeigte Schaltung zu verwenden. Für die vorzunehmende Messung wähle man e Frequenz von igen Hz. Zur Auswertung der Oszillogramme beachte man insbesondere Abb.. Man überlege sich, wie man am günstigsten die Signalperiode ermittelt! CH I CH II V/Hz Abb. 5 Messung von Wechselspannungen Für Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung zusetzen. Die Frequenz des Sinussignals wird allmählich erhöht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungsanzeige des Multimeters beobachtet. Was stellen Sie fest? Bestimmen Sie die Frequenz f, bei der die Anzeige des Multimeters um -3 db abfällt und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung! Für Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazität des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu überprüfen; anschließend ist die Schaltung nach Abb. 6 aufzubauen. Achten Sie dabei unbedingt darauf, dass das Oszilloskop auf das Generatorsignal synchronisiert wird. (Warum?) Für die Messung ist die Frequenz des Generators 4

5 E6 WECHSELSPANNNGSMESSNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezüglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen. nf CH I CH II kω V/Hz Abb. 6 Messung am Hochpass-Filter Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb. 7 vorgehen: Man bestimmt dem Oszillogramm die Halbperiodendauer ½ und die zeitliche Verschiebung t D zwischen beiden Spannungsverläufen; dazu nimmt man sinnvollerweise die Null- Linie zu Hilfe. Die Phasenverschiebung ergibt sich dar ganz fach mit t D ϕ 8. ½ t D ½ Abb. 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch) 43

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