Protokoll zum Grundversuch Wechselstrom

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1 Protokoll zum Grundversuch Wechselstrom Fabian Schmid-Michels Nils Brüdigam Universität Bielefeld Sommersemester 2007 Grundpraktikum II Inhaltsverzeichnis 1 Ziel 2 2 Grundlagen Wechselstrom Eektivspannung Oszilloskop Kondensator Spule Diode Lissajous-Figuren RC-Glieder LC-Schwingkreis Versuch Einfache Wechselspannung und Dioden Lissajous Figuren RC-Glied LC-Kreis Quellen 18 1

2 1 Ziel Die Eigenschaften des Wechselstroms und das Verhalten von Bauelementen im Wechselstromkreis sollen mit Hilfe eines Oszillographen untersucht werden. 2 Grundlagen 2.1 Wechselstrom Wechselstrom ist die Bezeichnung für elektrischen Strom, der seine Richtung periodisch und stetig ändert, meistens sinusförmig. Diese werden durch Ihre Periodendauer T und Ihre Amplitude U 0 charakterisiert. Abbildung 1: Wechselspannung [Quelle 1] Aus der Periodendauer kann die Frequenz f = 1 T und die Kreisfrequenz ω = 2πf berechnet werden. Der Verlauf der Spannung ist gegeben durch: 2.2 Eektivspannung U(t) = U 0 sin ωt (1) Zur Charakterisierung einer Wechselspannung dient auch die eektive Spannung U eff. Sie ist deniert als die Gleichspannung, die an einem ohmschen Widerstand die gleiche Leistung erbringt, wie die vorliegende Wechselspannung. Sie kann durch Mittelung von U 2 über eine Periode errechnet werden: 1 T U eff = U(t) T 2 dt. (2) 0 Fr eine sinusförmige Spannung ergibt sich: U eff = U 0 2 (3) 2

3 2.3 Oszilloskop Grundsätzlich besteht ein Oszilloskop aus einer Braun'schen Röhre, in der senkrecht zum unbeeinussten Strahlenweg zwei zueinander senkrecht stehende Plattenpaare (X und Y) angeordnet sind. Die Elektronen werden von der Kathode K emittiert und durch die Steuerelektrode S fokussiert. Die Intensität des Elektronenstrahls kann durch eine negative Spannung am Wehnelt-Zylinder W variiert werden. Wenn an den Platten X und Y Spannungen angelegt werden, wird der Elektronenstahl aus der Mittellage abgelenkt. Legt man an einem Plattenpaar eine Sägezahnspannung an, so erreicht man eine periodische Ablenkung des Strahls von einem Schirmrand zum anderen. Da die Ablenkung des Elektronenstrahls proportional zur an den Platten angelegten Spannung ist, kann man durch die Wahl der Periode der Sägezahnspannung die zeitliche Auösung wählen. Auÿerdem entsprechen gleichlange Strecken auf dem Schirm auch gleich langen Zeitintervallen. Legt man einen Messstrom, der zunächst durch Verstärkereinrichtungen läuft, am anderen Plattenpaar an, so erreicht man eine zeitliche Auösung der Veränderung der Messspannung. So kann man z.b. die Veränderung eines normalen Wechselstroms aufnehmen. Am Schirm zeigt sich eine Sinusfunktion. Abbildung 2: Eine Sägezahnspannung Abbildung 3: Schema eines Oszilloskops [Quelle 1] 2.4 Kondensator Ein Kondensator ist in der Lage, Ladung zu speichern. Dabei ist die Menge der gespeicherten Ladung abhängig von der angelegten Spannung U und der Bauform des Kondensators, die Einuss auf die Kapazität C des Kondesators hat. Es gilt: Q = CU. Legt man eine Gleichspannung an, so ieÿt nur solange ein Strom, bis der Kondensator aufgeladen ist. Legt man allerdings eine Wechselspannung an, so entlädt sich der Kondensator wieder sobald die Spannung umkehrt. Dann ieÿt wieder ein Strom. Dabei ist die Schwingung des Stroms am Kondensator 3 Abbildung 4: Schaltbild für Kondensatoren

4 der Spannung immer um 90 bzw. π/2 voraus. An einem Kondensator geht keine Leistung verloren, aber die Spannung in einem Wechselstromkreis wird durch die immer entgegengesetzt stehende Spannung des Kondensators beim entladen oder auaden etwas gedämpft. Man bezeichnet daher analog zu dem ohmschen Widerstand R = U die Gröÿe I X C = 1 (4) ωc als kapazitiven Widerstand. Infolge der Phasenverschiebung gilt für die mittlere Leistung P = 0, das heiÿt im Gegensatz zum einem Ohmschen Widerstand geht keine Leistung verloren. Daher wird X C auch als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet. 2.5 Spule Für Gleichstrom stellen Spulen ohmsche Widerstände dar, die durch Querschnitt, Länge und spezischen Widerstand des Materials der Spule bestimmt sind. Ein Wechselstrom I(t) erzeugt in der Spule jedoch ein zeitabhängiges Magnetfeld, das zwischen den Spulenenden eine Spannung U L = L di dt induziert. Die Konstante L wird als (Selbst-)Induktivität der Spule bezeichnet (Einheit: 1 Henry = 1H = 1 Vs/A). Die Induktivität ist durch Geometrie und Anzahl der Windungen bestimmt und kann durch Einbringung eines Spulenkerns aus magnetischen Materialien (z.b. Eisen) vergröÿert werden. Aus Gleichung (5) folgt: (5) Abbildung 5: Schaltbild Spulen für U L = L di dt = L d dt I 0 sin ωt = ωli 0 cos ωt = ωli 0 sin ωt + π/2 (6) D.h. bei einer Spule eilt die Spannung dem Strom um π/2 voraus. Analog zum Kondesator deniert man den von der Kreisfreuenz ω abhängigen induktiven Widerstand: X L = ωl (7) Auch bei einer Spule treten infolge der Phasenverschiebung keine Leistungsverluste auf. Jede reale Spule besitzt jedoch einen Ohmschen Wicklungswiderstand, so dass eine Spule eigentlich als Reihenschaltung einer idealen Spule und eines Widerstands betrachtet werden muss. 2.6 Diode Eine ideale Diode lässt Strom von einer Seite durch, wobei Ströme in entgegengesetzter Richtung gesperrt werden. Das heit, eine Diode im Wechselstromkreis ist ein Gleichrichter, hier werden nur die positiven bzw. negativen Halbwellen der Sinusschwingung durchgelassen, so dass eine pulsierende Gleichspannung entsteht. In diesem Versuch wird auch eine Brückenschaltung verwendet, d.h. eine Zusammenschaltung von Dioden. Mit Hilfe dieser Schaltung wird eine weitaus bessere Gleichspannung, im Vergleich zu einer Einzeldiode, erreicht. Denn hier werden positive und negative Stromrichtungen gleichgerichtet. 4 Abbildung 6: Schaltbild eines Brücken-Gleichrichters

5 2.7 Lissajous-Figuren Lissajous Figuren sind ein interesses Phänomen, welches durch die senkrechte Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen entsteht. Die Abbildung zeigt einen einfachen Fall der Überlagerung zweier Phasenverschobener Schwingungen mit gleicher Frequenz. Legt man am Oszilloskop nicht nur eine Sinus-Spannung an, sondern auch am Plattenpaar, an dem zuvor eine Sägezahnspannung anlag, eine andere Sinusspannung, ergeben sich auf dem Schirm die gegannten Figuren. Sind die Frequenzen der beiden Wechselspannungen nicht rationale Vielfache, so ergeben sich geönete Kurven. Im Folgenden werden wir aber nur rationale Vielfache betrachten. Für diese Fälle zeigen sich geschlossene Kurvenguren. Je nachdem, in welchem Verhältnis beide Schwingungen zueinander stehen, ergibt sich eine bestimmte Anzahl von Schnittpunkten und Bergen der Kurve. Die Phasenverschiebung bestimmt dabei nur die Önung der Kurvenzüge, nicht aber die Anzahl der Schnittpunkte und Berge, bis auf den Grenzfall, an dem der Kurvenzug geschlossen ist. Über die Form der Figur kann man leicht auf das Verhältnis der beiden Frequenzen schlieÿen. Sieht man vom eben genannten Grenzfall ab, so gibt das Verhältnis aus der Anzahl der Umkehrpunkte, Berge, an einem horizontalen Rand zur Anzahl der Umkehrpunkte an einem senkrechten Rand genau das Verhältnis an zwischen der horizontal ablenkenden und der senkrecht ablenkenden Schwingung. 2.8 RC-Glieder Unter RC-Gliedern versteht man eine Reihenschaltung von einem Kondensator und einem Widerstand. Jeder Ladestrom bzw. Entladestrom wird durch den Widerstand gedämpft. 5

6 Lade- und Entladevorgänge in einem RC-Glied Schaltet man den Strom ein, so baut sich die Spannung am Kondensator langsam auf. Bis zur vollständigen Auadung des Kondensators ieÿt immer weniger Strom, der für groÿe Zeiten völlig verschwindet. Beim Entladen des Kondensators geschieht der gleiche Eekt rückwärts. Zu Anfang ist der zeitliche Spannungsabfall groÿ, er nimmt aber mir der Zeit ab. Es zeigt sich, genau wie beim Laden, ein exponentieller Verlauf. Dabei nennt man die Zeitgröÿe tau = RC die Lebensdauer. Während dieser Zeit ist die Spannung am Kondensator auf das 1/e-fache abgefallen. Für den Auadevorgang gilt: U C = U 0 (1 e t RC ) und I(t) = I0 e t RC (8) Für den Entladevorgang gilt: Abbildung 7: Auadevorgang U C = U 0 e t RC (9) Abbildung 8: Entladevorgang 6

7 2.9 LC-Schwingkreis Eine Reihenschaltung von Kondensator und Spule bezeichnet man als LC- Schwingkreis, der analog zum harmonischen Oszillator der Mechanik steht. Dieses System besitzt genauso wie der harmonische Oszillator eine Eigenfrequenz ω 0 : 1 ω 0 = (10) LC Dieser Schwingkreis ist natürlich idealisiert, denn berücksichtigt man, dass die Bauteile ebenfalls ohmsche Widerstände besitzen, so erhält man eine gedämpfte Schwingung (analog: gedämpfter harm. Osz.) Mit einem Oszillographen können z.b. die hier beschriebenen Schwingungen sichtbar gemacht werden. 3 Versuch Abbildung 9: LC- Schwingkreis 3.1 Einfache Wechselspannung und Dioden Das Oszilloskop wird mit einer 6V-Wechselstromquelle verbunden und die Periodendauer T und die Amplitude U 0 abgelesen. Es ergeben sich Bilder, wie folgendes: Abgelesen wurde: Daraus lässt sich errechnen: Abbildung 10: Eine Wechselspannung U 0 = 12.0 ± 0.5V und T = 20 ± 1ms f = 50.0 ± 2.5Hz und U eff = 8.5 ± 0.5V Der Fehler berechnet sich mit der Gauÿ'schen Fehlerrechnung: f = T T 2 und U eff = U eff 2 7

8 Es fällt auf, dass der gemessene Wert für die eektive Spannung deutlich über der Angabe des Netzteils (6V) liegt. Einweggleichrichter Nun wird eine Diode vorgeschaltet. Es ergibt sich folgendes Bild: Abbildung 11: Schaltbild Abbildung 12: Eine Wechselspannung mit vorgeschalteter Diode Wie erwartet lässt die Diode den Strom nur in einer Richtung durch, es wird nur eine Halbwelle durchgelassen. Die Diode ist ideal, weil keine Spannung in der anderen Richtung durchgelassen wird. Brücken-Gleichrichter Um eine bessere Gleichspannung zu erzeugen, wird ein Brücken-Gleichrichter eingebaut. Im Gegensatz zu der einfachen Gleichrichtung mit einer Diode werden hier beide Halbwellen genutzt. 8

9 Es ergibt sich folgendes Bild: Abbildung 13: Schaltbild Abbildung 14: Eine Wechselspannung mit vorgeschaltetem Brücken- Gleichrichter Auch hier ergibt sich das erwartete Bild, beide Halbwellen werden gleichgerichtet. Um eine bessere Gleichspannung zu erzeugen, kann man einen Kondensator parallel schalten. 9

10 Abbildung 15: Brücken-Gleichrichter und Kondensator Hier erkennt man, dass die Gleichspannung geglättet wird durch den Kondensator. Der Kondesator lädt sich bei steigender Spannung auf und entlädt sich dann wieder bei fallender Spannung. 3.2 Lissajous Figuren Der Versuch wird die folgt aufgebaut: Abbildung 16: Schaltskizze für die Lissajous Figuren Am Frequengenerator stellt man dann verschiedene Vielfache der Grundfrequenz ein (f = n 50Hz) und nimmt die entstehenden Figuren auf. 10

11 Abbildung 17: 1:1 Abbildung 18: 1:2 Abbildung 19: 1:4 11

12 Abbildung 20: 1:5 3.3 RC-Glied Abbildung 21: Versuchsaufbau Zuerst wird der Versuch mit der Schaltung A aufgebaut. Nun wird das Verhalten beim ein- und ausschalten untersucht. Dies wird durch einen Frequenzgenerator simuliert, der eine Rechteckspannung liefert. Die Bauteile waren wie folgt bemessen: C = 680 ± 140nF R = 14.7 ± 3.0kΩ τ = RC 0.01s Für verschiedene Periodendauern wird nun der Graph aufgenommen. Abbildung 22: Aufbau A T 0.1 τ 12

13 Abbildung 23: Aufbau A T = 1 τ Abbildung 24: Aufbau A T 10 τ Bei einer kurzen Periodendauer von 0.1τ sieht man, dass sich der Kondensator nicht vollständig auaden kann, es entsteht eine Dreieckspannung. Bei dem zweiten Bild sieht man, dass sich der Kondensator schon weiter auädt, jedoch immer noch nicht vollständig bis zur Spannung U 0. Im letzten Bild sieht man dann genau eine Auadekurve und eine Entladekurve, die sehr gut den erwarteten Funktionen der Gleichungen (8) und (9) entsprechen. Dieser Aufbau wird Tiefpass genannt, da man bei niedrigeren Frequenzen (=längeren Perioden) höhere Spannungen am Kondensator anliegen. Bei hohen Frequenzen ist die Spannung niedriger, da sich der Kondensator nicht so schnell auädt. Dieser Aufbau heiÿt auch Integrierglied, da U Q = I. Jetzt wird am Frequenzgenerator eine sinusförmige Spannung eingestellt. Die Periodendauer wird geändert und die Amplitude U 0 aufgenommen. Es ergibt sich folgendes: 13

14 T [ms] U 0 [V] f [Hz] ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Tabelle 1: Messwerte1 Abbildung 25: Graph der Messwerte Man erkennt hier deutlich, dass die gemessenen Spannungen bei steigender Frequenz abnehmen, es ist also denitiv ein Tiefpass. Nun wird der Versuch mit der Schaltung B aufgebaut und erneut mit einer Rechteckspannung versorgt. Es ergeben sich folgende Bilder: 14

15 Abbildung 26: Aufbau B T 0.1 τ Abbildung 27: Aufbau B T = 1 τ Abbildung 28: Aufbau B T 10 τ Die zweite Schaltung stellt einen Hochpass dar. Wenn die Frequenzen hoch genug sind (d.h. die Perioden kurz), so sieht man das ursprüngliche Rechtecksignal. Durch Recherche haben wir jedoch herausgefunden, dass unsere beobachteten Graphen nicht dem entsprechen, was man eigentlich sehen sollte. Deshalb 15

16 können wir die Auswirkungen des Hochpasses nicht weiter erläutern. Ein Hochpass wird auch als Dierenzierglied bezeichnet, weil gilt: U 0 I = dq dt. 3.4 LC-Kreis Abbildung 29: Versuchsaufbau Der Versuch wird zuerst mit einem 680nF-Kondensator aufgebaut. Es ergibt sich folgender Verlauf: Abbildung 30: Nun wird die Periodendauer für 3 verschiedene Kondensatoren aufgenommen. C [nf] T [ms] f [Hz] 680± ± ± ± ± ±600 68± ± ±1600 Tabelle 2: Messwerte Die Frequenzen f sind die Eigenfrequenzen der Schwingkreise. Der Rechteckgenerator dient nur zum Anstoÿen der Schwingung. Eine andere Methode zur Ermittlung der Eigenfrequenz ist es, den Schwingkreis mit einer Sinusförmigen Spannung zu versorgen und die Resonanzkurve aufzunehmen. 16

17 T [ms] U 0 [V] f [Hz] ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 1.6 Tabelle 3: Messwerte für C = 680nF Abbildung 31: Graph der Messwerte Die Frequenz, bei der die höchste Spannung auftritt ist dem Graphen leicht zu entnehmen. Sie beträgt 770Hz. Hier fällt auf, dass diese Frequenz sich von den vorherigen Eigenfrequenzen deutlich unterscheidet. Warum dies so ist, konnten wir uns nicht erklären. Bestimmung der Induktivität Die Gleichung (10) lässt sich nach L umformen. Man erhält: L = 1 ω 2 0 C (11) Und mit der Gauÿ'schen Fehlerrechnung: ( ) 2 ( ) L = ω0 3C ω 0 + ω0 2 C (12) C2 17

18 C [nf] f [Hz] ω 0 [1/s] L [mh] 680± ± ± ± ± ± ± ±3.0 68± ± ± ± ± ± ± ±0.2 Tabelle 4: Messwerte Wenn man den letzten Messwert unberücksichtig lässt, folgt L 8 ± 3mH. Der Fehler ist recht groÿ, hierbei kommt zum Tragen, dass der Fehler für die Kapazität recht hoch angenommen wurde mit 20 Prozent. 4 Quellen 1. Udo Werner. Physikalisches Grundpraktikum II S Universität Bielefeld Fakultät für Physik,

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