Grundlagen Elektrotechnik I

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1 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 (vorläufig Nullvrsion ) C- und C-Glidr Dipl-Ing lf Schmi, Dr Andrs Sifrt = I C C Idn, Ergänzungn, Kritik usdrücklich rwünscht Bitt n uns prsönlich odr vi E-Mil n: msifrt@gmxnt Brufskdmi Mosbch, Fchrichtung Mchtronik

2 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 Inhlt Motivtion, Vorübrlgungn Spnnung und Strom, Blindwidrstnd ds Kondnstors C-Glid und C-Glid C-Glid n Wchslspnnung C-Glid n Wchslspnnung 3 Ds C- und C-Glid ls nlog chnschltungn 3 Ds C-Glid ls Intgrirglid 3 Ds C-Glid ls Diffrnzirglid 4 Ds C-Glid mit Ohmschr st borvrsuch Exprimnt: Vrtikl- und Horizontlblnkung, Zitbsis Exprimnt: Signlformn ds Funktionsgnrtors, Frqunz, Priod 3 Exprimnt: Blindwidrstnd ds Kondnstors 4 Exprimnt: Übrtrgungsvrhltn ds C-Glids 5 Exprimnt: Übrtrgungsvrhltn ds C-Glids 6 Exprimnt: C-Glid mit Ohmschr st A A A A3 Anhng C-Glid n Wchslspnnung C-Glid n Wchslspnnung C-Glid mit Ohmschr st Ausstttung Folgnd Grät mit Zubhör sthn Ihnn zur Vrfügung: borntzgrät mit instllbrr Spnnung und Strombgrnzung Digitlmultimtr Funktionsgnrtor (Sinus, chtck, Drick) Frqunzzählr Zwiknl-Oszilloskop 0-Gng-Wndlpotntiomtr Widrstndsdkd ( - M, Wtt) Kpzitätsdkd Msslitungn, Tstköpf, BNC-Adptr

3 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 Motivtion, Vorübrlgungn Spnnung und Strom, Blindwidrstnd ds Kondnstors Dr für inn Kondnstor dr Kpzität C llgmin gültig Zusmmnhng I(t) C zwischn Strom und Spnnung zigt, dss in Schltungn mit Kondnstorn di Zit in shr wichtig oll spilt m ds häufig shr komplizirt Vrhltn von Schltungn us Widrständn und Kondnstorn bssr vrsthn zu könnn, ist s rfordrlich, Spnnungn und Ström ls Funktion dr Zit zu mssn Dr vorlignd Vrsuch soll inrsits in ds Vrhltn infchr C- Schltungn inführn und Si ndrrsits mit dn Möglichkitn vrtrut mchn, di Ihnn in Oszilloskop ls schnllr Schribr bitt igt n inm Kondnstor dr Kpzität C in Wchslspnnung (t) sin t (Amplitud, Krisfrqunz ) n, so gilt für dn Vrluf ds Stroms in bzw us dm Kondnstor d(sin t) I(t) C Ccost Î Mn bobchtt lso inn Strom, dr ggnübr dr Spnnung um in Virtlpriod, lso um / bzw um 90 phsnvrschobn ist: Dr Strom ilt dr Spnnung um / bzw um 90 vorus! Dr Strom ht di von dr Kpzität und von dr Frqunz bhängig Amplitud Î C (t), I(t) 0,00 0,5 0,50 0,75,00 t/t Dr (idl) Kondnstor ist lso in frqunzbhängigr Widrstnd, in dm jdoch ndrs ls im Ohmschn Widrstnd kin Joulschn Vrlust uftrtn Di Enrgi, di im Kondnstor dponirt wird, wird uch widr frigstzt Als witrr ntrschid tritt ntürlich bim Ohmschn Widrstnd kin Phsnvrschibung zwischn Strom und Spnnung uf 3

4 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 Dfinition: Blindwidrstnd ds Kondnstors Als Blindwidrstnd X C ds Kondnstors bzichnt mn ds Vrhältnis X C Î C C Dbi sind und Î di Amplitudn inr Schwingung dr Krisfrqunz C-Glid und C-Glid Shr häufig wrdn in Widrstnd und in Kondnstor C zu sognnntn C- odr C- Glidrn kombinirt: = I C C C C = I C-Glid Impulsformung: glättt Flnkn Intgrtor (Mittlwrtbildung, DA-Wndlung) Tifpss-Filtr C-Glid Impulsformung: btont Flnkn Diffrntitor (Flnknktion) Hochpss-Filtr Dis Übrtrgungsglidr hbn inn britn Anwndungsbrich, dn wir hir nstzwis knnn lrnn wrdn Von zntrlr Bdutung ist dbi immr di folgnd Frgstllung: Ggbn ist in Eingngssignl (t) n inm C- odr C-Glid mit ggbnm Widrstnds- und Kpzitätswrt Wi siht dnn ds Ausgngssignl (t) us? Ds Vrhltn ds jwilign Übrtrgungsglids wird durch in Diffrntilglichung vollständig und indutig bschribn Knnt mn di Diffrntilglichung, so knn für inn ggbnn Spnnungsvrluf m Eingng dr rsultirnd Spnnungsvrluf m Ausgng ds Glids brchnt wrdn (Anhng) 4

5 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 Ds C-Glid wird durch di Diffrntilglichung C, ds C-Glid durch di Diffrntilglichung C C bschribn Vom Eingng hr gshn sind C-Glid und C-Glid idntisch in Srinschltung von Widrstnd und Kondnstor Bim C-Glid ist ds Ausgngssignl idntisch mit dr Spnnung m Kondnstor, bim C-Glid jdoch mit dr Spnnung übr dm Widrstnd Ds Ausgngssignl ist hir nun dr gmäß I in in Spnnung umgstzt d- /Entldstrom C-Glid n Wchslspnnung gt mn n in C-Glid in sinusförmig Eingngsspnnung (t), (t) (t) sin t n, so ist ds Ausgngssignl bnflls sinusförmig: 0,00 0,5 0,50 0,75,00 t/t (t) sin( t ) Di Amplitud ist immr klinr ls di Amplitud ds Eingngssignls und hängt von dr Frqunz b: Ds Ausgngssignl ist ggnübr dm Eingngssignl um dn ngtivn Phsnwinkl rctn vrschobn Di Größ disr Phsnvrschibung hängt bnflls von dr Frqunz b 5

6 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30,0 0 0,8 / 0,6 0,4 0, / 0, 0, ,0 0,0 0, 0 00 ) Amplitudnvrhältnis b) Amplitudnvrhältnis doppltlogrithmisch ,0 0, 0 00 c) Phsnvrschibung (linr Frqunzskl) d) Phsnvrschibung (logrithmisch Frqunzskl) C-Glid n Wchslspnnung gt mn n in C-Glid in sinusförmig Eingngsspnnung (t), (t) (t) sin t n, so ist ds Ausgngssignl bnflls sinusförmig: 0,00 0,5 0,50 0,75,00 t/t (t) sin( t ) Di Amplitud ist immr klinr ls di Amplitud ds Eingngssignls und hängt von dr Frqunz b: 6

7 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 Ds Ausgngssignl ist ggnübr dm Eingngssignl um dn positivn Phsnwinkl rctn( / ) vrschobn Di Größ disr Phsnvrschibung hängt bnflls von dr Frqunz b,0 0 0,8 / 0,6 0,4 0, / 0, 0, ,0 0,0 0, 0 00 ) Amplitudnvrhältnis b) Amplitudnvrhältnis doppltlogrithmisch ,0 0, 0 00 c) Phsnvrschibung (linr Frqunzskl) d) Phsnvrschibung (logrithmisch Frqunzskl) Aufgb (Vorbritung): Diskutirn Si di Frqunzknnlinin von C- und C-Glid Inwifrn hbn Si s hir mit sog Filtrschltungn zu tun? Ordnn Si dn Übrtrgungsglidrn di Bzichnungn Hochpss und Tifpss zu 7

8 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 3 Ds C- und C-Glid ls nlog chnschltungn 3 Ds C-Glid ls Intgrirglid ntr gigntn Bdingungn (sih Aufgb) knn di Diffrntilglichung C ds C-Glids vrinfcht wrdn, und mn rhält mstlln lifrt C C Disr Zusmmnhng knn mit dm Oszilloskop hrvorrgnd bobchtt wrdn Aufgb (Vorbritung): Nnnn Si di Bdingungn, untr dnn ds C-Glid ls Intgrtor rbitt 3 Ds C-Glid ls Diffrnzirglid ntr gigntn Bdingungn (sih Aufgb) knn di Diffrntilglichung C C ds C-Glids vrinfcht wrdn, und mn rhält C Auch disr Zusmmnhng knn mit dm Oszilloskop hrvorrgnd bobchtt wrdn Aufgb (Vorbritung): Nnnn Si di Bdingungn, untr dnn ds C-Glid ls Diffrntitor rbitt 8

9 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 4 Ds C-Glid mit Ohmschr st Hir soll nur m Bispil ds C-Glids gzigt wrdn, wlchn Einfluss in Ohmschr stwidrstnd m Ausgng ds Übrtrgungsglids ht = I C C Will mn in gwünscht Zitkonstnt ds C-Glids rlisirn, so schint mn zunächst völlig fri zu sin bi dr Whl von und C, solng nur C rfüllt ist Ein Zitkonstnt ms rgibt sich bispilswis mit 0 k, C 00 nf odr mit 00, C 0 F : Bobchtt mn ds Ausgngssignl ds C-Glids mit inm hochohmign Mssgrät (Digitlmultimtr, Oszilloskop), so wird mn kinn ntrschid für bid Kombintionn von und C fststlln könnn Di Sitution ändrt sich jdoch bi ndlichm stwidrstnd durch di Diffrntilglichung: Ds Systm wird dnn C bschribn Dr stwidrstnd, so dss nun rduzirt di Zitkonstnt C um dn Fktor ist Ds Ausgngssignl vrhält sich so, ls ob di Eingngsspnnung ggnübr dm unblsttn C-Glid um dn Fktor vrmindrt nligt (Anhng A3) Aufgb (Vorbritung): i dr Spnnungsqull, di ds Ein- Wlchn Einfluss ht dr Innnwidrstnd gngssignl ds C-Glids lifrt? Aufgb (Vorbritung): Wlchn Einfluss hbn dr Innnwidrstnd i dr Spnnungsqull m Eingng und dr stwidrstnd m Ausgng ins C-Glids? 9

10 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 borvrsuch Skizzirn Si ll von Ihnn ufgbutn Schltungn! Exprimnt: Vrtikl- und Horizontlblnkung, Zitbsis ntrsuchn Si jwils di Funktion von Vrtikl (=Y-) Ablnkung und Horizontl- (=X-) Ablnkung zunächst bi bgschlttr Zitbsis Vrbindn Si dzu di jwilign Eingäng (Y, X) übr dn 0-Gng-Präzisionsspnnungstilr mit dm borntzgrät Am Wndlpoti könnn Si dnn di Spnnung shr gnu dosirt instlln Mssn Si dis Spnnungn glichzitig mit dm Digitlvoltmtr Gibt di Sklntilung ds Oszilloskops di von Ihnn nglgtn Spnnungn gnu widr? Prüfn Si dis für vrschidn Mssbrichsinstllungn Mchn Si sich mit dr Wirkungswis dr Zitblnkung vrtrut, und lssn Si dn Strhl rst lngsm, dnn schnll übr dn Schirm lufn Exprimnt: Signlformn ds Funktionsgnrtors ntrsuchn Si di vrschidnn Signlformn ds Funktionsgnrtors: Sinus, chtck, Drick! Mssn Si di Frqunz dr Schwingungn glichzitig mit dm Frqunzzählr, und btrchtn Si di Schwingungn uch für vrschidn Einstllungn dr Zitbsis sn Si für inig Frqunzn f di Priod T dr Schwingungn vom Schirm b Ist T=/f rfüllt? 3 Exprimnt: Blindwidrstnd ds Kondnstors Schltn Si inn Widrstnd (Dkd) und inn Kondnstor C (Dkd) in ih n dn Ausgng ds Funktionsgnrtors (Sinus!) Stlln Si uf Knl ds Oszilloskops di Spnnung übr dm Kondnstor, uf Knl di Spnnung übr dm Widrstnd dr Dbi uf richtig Polung chtn! Mchn Si sich klr, dss Si mit dr Spnnung übr dm Widrstnd dn d- /Entldstrom ds Kondnstors mssn: I I / C Wi groß ist di Phsnvrschibung zwischn Spnnung und Strom? Hängt Si von dr Frqunz b? Bstimmn Si durch Mssung bi vrschidnn Frqunzn dn Blindwidrstnd bzw di Kpzität ds Kondnstors Stimmt Ihr Ergbnis mit dm n dr Dkd ingstlltn Kpzitätswrt übrin? 0

11 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 4 Exprimnt: Übrtrgungsvrhltn ds C-Glids Bun Si untr Vrwndung dr Widrstndsdkd und dr Kpzitätsdkd in C-Glid uf, so dss dr Funktionsgnrtor di Eingngsspnnung lifrt und ds Eingngssignl glichzitig uf Knl ds Oszilloskops bobchtt wrdn knn Auf Knl bobchtn Si di Ausgngsspnnung ds C-Glids Spiln Si in bisschn! ntrsuchn Si für fst und C für vrschidn Formn ds Eingngssignls und für vrschidn Frqunzn di Form ds Ausgngssignls Frtign Si Skizzn n! Bchtn Si insbsondr di Amplitud und Phsnvrschibung ds Ausgngssignls Ws pssirt, wnn Si und C drrt ändrn, dss C konstnt blibt? Vrsuchn Si, bi sinusförmigr Eingngsspnnung in Frqunzknnlini für ds Amplitudnvrhältnis / ufzunhmn Übrinstimmung mit dr Thori? ntrsuchn Si bi fstr Frqunz ds Eingngssignls für vrschidn Kurvnformn di Auswirkung dr Zitkonstntn Nch Burtilung llr Ergbniss: ntr wlchn Bdingungn wirkt ds C-Glid ls Intgrtor? 5 Exprimnt: Übrtrgungsvrhltn ds C-Glids Ghn Si für in von Ihnn ufgbuts C-Glid gnuso vor wi untr 4 Nch Burtilung llr Ergbniss: ntr wlchn Bdingungn wirkt ds C-Glid ls Diffrntitor? 6 Exprimnt: C-Glid mit Ohmschr st Bun Si noch inml in C-Glid uf, und blstn Si dn Ausgng mit inm Widrstnd Vrwndn Si hirzu in zwit Widrstndsdkd ntrsuchn Si für inn fstn stwidrstnd und für vrschidn Formn und Frqunzn ds Eingngssignls di Form ds Ausgngssignls, wnn Si und C drrt ändrn, dss C konstnt blibt?

12 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 Anhng A C-Glid n Wchslspnnung = I Dr llgmin Zusmmnhng zwischn dm Eingngssignl (t) sin t C C und dm gsuchtm Ausgngssignl (t) wird durch di inhomogn linr Diffrntilglichung C sin t bschribn Für linr Diffrntilglichungn gilt gnz llgmin: Wichtigr Stz: ösung linrr Diffrntilglichungn Di llgmin ösung dr inhomognn Diffrntilglichung ist di Summ us dr llgminn ösung dr homognn Diffrntilglichung und inr spzilln ösung dr inhomognn Diffrntilglichung Di homogn Diffrntilglichung rhält mn durch Nullstzn dr rchtn Sit, lso für vrschwindnds Eingngssignl bzw 0 : C 0 Di llgmin ösung rgibt sich hir infch durch Trnnn dr Vribln, Intgrtion und nschlißnds Auflösn nch (t) : t C (t) K K ist in Konstnt, drn Bdutung witr untn kommntirt wird Blibt lso nur noch, in spzill ösung dr inhomognn Diffrntilglichung zu suchn Hirfür sthn vrschidn Mthodn zur Vrfügung Zwckmäßig ist s, in Anstzfunktion dr Form

13 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 (t) Asin t Bcost zu wähln, in dr di Koffizintn A und B so bstimmt wrdn müssn, dss di inhomogn Diffrntilglichung rfüllt ist Dis Mthod fin mn hin und widr untr dr Bzichnung Anstz vom Typ dr rchtn Sit m di Anstzfunktion in di Diffrntilglichung instzn zu könnn, bruchn wir noch di rst Ablitung: Dmit folgt A cos t B sin t C(A cost Bsin t) Asin t Bcost sin t Wir vrwndn widr di Abkürzung C und rhltn dnn A cost Bsin t Asin t Bcost sin t Nun wird in Koffizintnvrglich durchgführt: Di Koffizintn llr Sinustrm (dopplt untrstrichn) und di Koffizintn llr Kosinustrm (infch untrstrichn) müssn di Glichung unbhängig voninndr rfülln Für di Sinustrm rhltn wir B A und für di Kosinustrm A B 0 Wir hbn dmit zwi Glichungn für di bidn unbknntn Koffizintn dr Anstzfunktion, in linrs Glichungssystm lso, ds übrsichtlichr gschribn wrdn knn in dr Form A B 0 und vorzugswis mit dr Crmrschn gl zu lösn ist: Mit dn Dtrminntn,, 0 0 rhält mn für A und B 3

14 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 A B, Stzt mn A und B in di Anstzfunktion (t) Asin t Bcost in, ht mn di gsucht spzill ösung dr inhomognn Diffrntilglichung: (t) sin t cost Dmit knn nun di llgmin ösung dr inhomognn Glichung zusmmngstllt wrdn: t / (t) K sin t cost I II Di llgmin ösung ist di Summ zwir Biträg, di sich shr untrschidlich vrhltn: Bitrg I ist in mit dr Zitkonstntn C bklingnd Exponntilfunktion Für groß Zitn spilt disr Bitrg kin oll mhr Bitrg II dggn ist ls Übrlgrung inr Sinus- und inr Kosinusschwingung in dr Summ in Sinus- bzw Kosinusschwingung mit frqunzbhängigr Amplitud und frqunzbhängigr Phsnvrschibung Wnn mn inn Einschltvorgng btrchtn will, so müssn bid Biträg brücksichtigt wrdn Nimmt mn bispilswis n, dss di Sinusschwingung m Eingng ds C-Glids zum Zitpunkt t 0 ingschltt wird und zu dism Zitpunkt dr Kondnstor noch ungldn ist, knn mn dis Sitution durch di Anfngsbdingung (t 0) 0 zum Ausdruck bringn Dnn wird di Konstnt K in dr llgminn ösung so bstimmt, dss di Anfngsbdingung rfüllt ist Einig Zit ( t 5 ) nch dm Einschltn ist dr Bitrg dr Exponntilfunktion vrschwundn, und s blibt ls Ausgngssignl nur noch di sttionär ösung übrig Ds Ausgngssignl ist dnn in ggnübr dm Eingngssignl phsnvrschobn Sinusschwingung mit konstntr Amplitud Di Erinnrung ds C-Glids n di Anfngsbdingung (t 0) 0 ist dnn vrschwundn Mit dn im folgndn Kstn drgstlltn Glichungn knn di sttionär ösung umgformt wrdn Übrlgrung inr Sinus- mit inr Kosinusschwingung: Di Übrlgrung inr Sinusschwingung dr Amplitud A mit inr Kosinusschwingung dr Amplitud B (glich Frqunz!) (t) Asin t Bcost 4

15 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 und Ph- knn immr drgstllt wrdn ls rin Sinusschwingung mit dr Amplitud snvrschibung : (t) Dbi gilt dr Zusmmnhng sin( t ) A B, B tn A Wir rhltn dnn (t) sin t cost sin( t ) wobi di Amplitud ds Ausgngssignls und rctn di Phsnvrschibung ggnübr dm Eingnssignl ist A C-Glid n Wchslspnnung C C = I Di Vorghnswis ist nlog zum C-Glid, wobi nun br ds C-Glid durch di Diffrntilglichung 5

16 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 C C chrktrisirt wird Dr llgmin Zusmmnhng zwischn dm Eingngssignl (t) sin t und dm gsuchtm Ausgngssignl (t) wird dnn durch di inhomogn linr Diffrntilglichung C d( C sin t) C cost bzw cost bschribn Wi bim C-Glid führt di homogn ösung disr Glichung zu inm bklingndn Einschltbitrg, dr hir nicht von Intrss ist Wir rmittln hir ldiglich di sttionär ösung, lso di spzill ösung dr inhomognn Diffrntilglichung Auch hir mchn wir dn Anstz (t) Asin t Bcost, in dm di Koffizintn A und B so bstimmt wrdn müssn, dss di inhomogn Diffrntilglichung rfüllt ist m di Anstzfunktion in di Diffrntilglichung instzn zu könnn, bruchn wir noch di rst Ablitung: Dmit folgt und usmultiplizirt A cos t B sin t ( Acost Bsin t) Asin t Bcost cost A cost Bsin t Asin t Bcost cost Nun wird widr in Koffizintnvrglich durchgführt: Di Koffizintn llr Sinustrm (dopplt untrstrichn) und di Koffizintn llr Kosinustrm (infch untrstrichn) müssn di Glichung unbhängig voninndr rfülln Für di Sinustrm rhltn wir 6

17 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 B A 0 und für di Kosinustrm A B Wir hbn dmit zwi Glichungn für di bidn unbknntn Koffizintn dr Anstzfunktion, in linrs Glichungssystm lso, ds übrsichtlichr gschribn wrdn knn in dr Form A 0 B Mit dn Dtrminntn 0,, 0 rhält mn nch dr Crmrschn gl für A und B A, B Stzt mn A und B in di Anstzfunktion (t) Asin t Bcost in, ht mn di gsucht spzill ösung dr inhomognn Diffrntilglichung, di sttionär ösung, di sich nch Vrstrichn dr Einschltphs rgibt: (t) sin t cost Wir formn widr um und rhltn (t) sin t cost sin( t ) wobi di Amplitud ds Ausgngssignls und rctn( / ) ist 7

18 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 A3 C-Glid mit Ohmschr st = I C C Mit I I C I C und bzw folgt C Nch inign mformungn folgt C Si könnn dis Diffrntilglichung gnuso lösn wi di Diffrntilglichung für dn Fll ohn stwidrstnd ( ) nbhängig dvon kommt mn jdoch uch schnllr zu inr quntittivn Aussg zum Einfluss ds stwidrstnds Wir dividirn di Glichung durch und rhltn C bzw 8

19 Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30, Dr Vrglich mit dr Diffrntilglichung für dn unblsttn Fll zigt: Dr stwidrstnd rduzirt di Zitkonstnt lso C um dn Fktor Es ist Im Grnzfll ist C Ds Ausgngssignl vrhält sich so, ls ob di Eingngsspnnung ggnübr dm unblsttn C-Glid um dn Fktor vrmindrt nligt Ds siht mn insbsondr im Fll inr konstntn Eingngsspnnung: Di sttionär (zitunbhängig) ösung gibt di Ausgngsspnnung m C-Glid für t widr Mn rhält si durch Nullstzn dr Zitblitung Mit 0 blibt const Ds knn noch nschulichr gdutt wrdn: Ändrt sich di Kondnstorspnnung nicht mhr, so flißt uch kin Strom mhr durch dn Kondnstor Er vrhält sich im sttionärn Fll lso wi in unndlich hohr Widrstnd Elktrisch wirksm blibn lso ldiglich di Widrständ ds C-Glids und, di inn Spnnungstilr bildn 9