TU Ilmenau Physikalisches Grundpraktikum Versuch O7 Institut für Physik. Lichtgeschwindigkeit Seite 1

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1 Aufgabenstellung Lihtgeshwindigkeit eite. Die Lihtgeshwindigkeit in Luft ist aus der Phasendifferenz zwishen gesendeter und empfangener, amplitudenmodulierter Welle zu bestimmen..2 Die Brehzahlen von Wasser und Quarzglas sind nah ähnliher Methode zu ermitteln. Literatur: Bergmann haefer troppe, H. Lehrbuh der Experimentalphysik, Band 2, Elektromagnetismus Walter de Gruyter, Berlin New York 8. Auflage 999, ,. 38-3, tudenten der Natur- und Tehnikwissenshaften Fahbuhverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag. Auflage 999, , Grundlagen Die Geshwindigkeit des Lihtes ist endlih. peziell im Vakuum ist sie die höhstmöglihe Übertragungsgeshwindigkeit ignale. Auh sihtbares Liht als ein sehr kleiner Ausshnitt aus dem pektrum elektromagnetisher Wellen wird die Ausbreitungsgeshwindigkeit im Vakuum als Naturkonstante durh die elektrishe ( ε ) und magnetishe ( µ ) Feldkonstante beshrieben: =. () εµ Die erste gute Abshätzung des Wertes von gelang le Roemer bereits 676 aus der Beobahtung der periodishen Verdunkelung eines der Jupitermonde. In stoffliher Materie ist die Ausbreitungsgeshwindigkeit elektromagnetisher Wellen im Allgemeinen geringer, bestimmt wird sie durh die Permittivitätszahl ε r sowie die Permeabilitätszahl µ r des toffes: =. (2) εεµµ r r Das Verhältnis Welle abhängig: wird auh als Brehzahl n bezeihnet und ist von der Kreisfrequenz ω der ( ) ( ) n ω = ω. (3) Mit Hilfe des Fermatshen Prinzips kann man den Zusammenhang zwishen Ausbreitungsgeshwindigkeit und dem nelliusshen Brehungsgesetz herleiten, welhes die Änderung der Ausbreitungsrihtung beim Übergang zwishen toffen untershiedliher Brehzahlen beshreibt. Im vorliegenden Versuhsaufbau erfolgt die Bestimmung der Lihtgeshwindigkeit über einen Phasenvergleih zwishen gesendeter und empfangener Welle. Hierzu strahlt das verwendete Betriebsgerät mittels einer LED Liht im roten pektralbereih ab, dessen Intensität I mit einer konstanten Frequenz f im MHz-Bereih harmonish amplitudenmoduliert ist. Nah Durhlau- letzte Änderung:

2 Lihtgeshwindigkeit eite 2 fen der Messstreke trifft das Liht auf eine Fotodiode. Die nah der ignalverarbeitung gewonnene Wehselspannung hat aber in Abhängigkeit von der zurükgelegten optishen Weglänge s eine Phasenvershiebung ϕ erfahren, die durh Verändern von s auf die speziellen Werte und π gebraht werden kann. In einem homogenen optishen Medium ist die optishe Weglänge das Produkt aus geometrisher Weglänge s g und der Brehzahl n des toffes: s = n s g. (4) Trotz der hohen Ausbreitungsgeshwindigkeit des Lihtes gewinnt man im Laborbereih gut messbare Modulationswellenlängen λ, aus denen, in Luft näherungsweise, bestimmbar ist. Für die Beshreibung der Wellenausbreitung längs des optishen Weges wird, in Hinblik auf die spätere Veranshaulihung der Phasenverhältnisse in Zeigerdiagrammen, die komplexe Darstellungsform benutzt: { } ( st) = I i( ωt ks) I, Re exp. (5) Mit der Kreisfrequenz ω= 2 π f und der Wellenzahl im Vakuum ω k = erhält man hieraus die zeit- und ortsabhängige Phase der oszillierenden Intensität I in einem homogenen Medium: s g s ϕ ( st, ) =ω t = 2πf t n. (6) Die modulierten Intensitäten von abgestrahlter und empfangener Welle werden im Betriebsgerät in äquivalente Wehselspannungen umgewandelt, die Phasenbeziehung zwishen ihnen kann mit einem szilloskop als überlagerte hwingung (Lissajous-Figur) sihtbar gemaht werden. 3 Messanleitung und Auswertung Der Versuhsaufbau besteht aus einem langen, zusammengesetzten Profilbleh mit angebrahtem m -Maßstab, auf dem ein Vershiebeshlitten mit zwei mlenkprismen zur mkehrung des Lihtweges innerhalb einer treke von,5 m bewegt werden kann. Das Lihtgeshwindigkeitsmessgerät ist an der linken eite des Blehs fest angeshraubt und legt mit ende- und Empfangsdiode die Lihtwelle die optishe Ahse des ystems fest. Eine ammellinse, in deren Brennpunkt sih die endediode befindet, bildet den lihtemittierenden Chip ins nendlihe ab, die etwas größere ammellinse vor der Fotodiode fokussiert das Liht wieder. Der trahlengang zwishen den Linsen ist somit nahezu parallel (Abb. ). Modulationsfrequenz: f = ( 5, ±, 2) MHz Die dem ende- bzw. Empfangssignal zugeordneten Wehselspannungen an den Ausgängen x bzw. y sind phasengetreu auf etwa 5 khz frequenztransformiert und werden dem anzeigenden peiheroszilloskop an den Eingängen CH (rot) bzw. CH2 (gelb) zugeführt. Dieses ist die Darstellung der Lissajous-Figuren in der Betriebsart XY zu betreiben, eine Kurzbedienungsanleitung das Gerät liegt am Versuhsplatz aus. Ein Phasenshieber am Betriebsgerät erlaubt es, bei beliebig eingestellter optisher Weglänge der Messstreke die Phasendifferenz oder π zwishen den Eingängen des szilloskops einzustellen. letzte Änderung:

3 Lihtgeshwindigkeit eite 3 Im weiteren Verlauf des Versuhes wird es notwendig sein, auh den Effektivwert M, eff der empfangenen Wehselspannung (Messgröße) zu bestimmen. Dies ist ebenfalls mit dem peiheroszilloskop möglih, wenn es in die Betriebsart YT umgeshaltet wird. szilloskop Betriebsgerät mlenkprismen CH CH2 Phase x y Abb. : Prinzipaufbau des Versuhes zur Bestimmung der Lihtgeshwindigkeit Zu Beginn des Versuhs muss die Justage des optishen Aufbaus überprüft werden. Ahtung! Berühren ie bitte niht die optishen berflähen von Linsen, Prismen und dem Fernrohr mit den Fingern. Der hlitten mit den mlenkprismen wird in die Nähe des Betriebsgerätes gestellt, an der Anshlagkante des Profilblehes ausgerihtet und der justierbare Prismenhalter abgenommen. Mit Hilfe des Beobahtungsfernrohrs, dessen Einstellung auf nendlih zuvor durh einen Blik auf ein weit entferntes bjekt überprüft wurde, shaut man jetzt in den um 9 reflektierten Lihtstrahl. Bei korrekter tellung der ersten Linse in Bezug auf die endediode sollte die truktur des lihtemittierenden Chips sihtbar sein (mehrere shmale tege). Nah ggf. erfolgter Korrektur der Linsenposition wird der Prismenhalter wieder auf den Vershiebeshlitten gestekt und dieser am Ende der Messstreke ausgerihtet. Mit Hilfe eines tükhens weißen Papiers verfolgt man das nun weitestgehend parallele trahlenbündel. Dieses muss die Frontflähe des ersten mlenkprismas zentral passieren. Eine Korrektur des trahlengangs ist mit den Justiershrauben am Linsenhalter unter Zuhilfenahme des vorhandenen Justiershirms möglih. Auf ähnlihe Weise wird der Rükweg des Lihtes bis zur Abbildungslinse vor der Empfangsdiode kontrolliert und ggf. am Prismenhalter korrigiert. Horizontale und vertikale Position der Linse sowie ihren Abstand zum Empfänger justiert man wehselseitig nah szillografenbild. Der letzte Punkt wird wiederholt, bis keine Verbesserung mehr erreihbar ist. Bei korrekter Justage aller optishen Elemente sollte das Empfangssignal während der Bewegung des Prismenshlittens über den gesamten möglihen Bereih - ausgenommen an den Verbindungsstellen der Teilblehe - keine wesentlihen Änderungen der Amplitude mehr aufweisen (Feinkorrekturen bevorzugt mit der vertikalen tellshraube vornehmen). 3. Lihtgeshwindigkeit in Luft Der Prismenshlitten wird zuerst an den linken Rand der Blehshiene geshoben. Mit dem Phasenstellknopf des Betriebsgerätes versuht man, die Phasendifferenz zwishen x- und y-kanal des szilloskops entweder auf oder π einzustellen (Abb. 2b bzw. 2). Zu bevorzugen sind die Endanshläge des Potentiometers, eine Feinabstimmung erfolgt durh geringfügiges Vershieben der mlenkprismen. Notiert werden die Position z der Ablesemarke sowie der Effektivwert der gemessenen Wehselspannung M, eff des y-kanals. letzte Änderung: z

4 Lihtgeshwindigkeit eite 4 a) ϕ=... π / 2 b) ϕ= ) ϕ=π Abb. 2: szillografenbilder ausgewählte Phasendifferenzen ϕ zwishen x- und y-kanal Für die weiteren Messungen zu diesem Versuhsteil ist der Phasenstellknopf dann in seiner Position zu belassen! Der hlitten mit den mlenkprismen wird jetzt, bündig mit der Anshlagkante des Profilblehs, vom Betriebsgerät weggeshoben und das szillografenbild beobahtet, bis sih die alternative Ansiht 2b) bzw. 2) eingestellt hat. An dieser telle notiert man die Position z 2 und den zugehörigen pannungswert M 2, eff. Aus Gl. (6) folgt wegen n in Luft und s = s = 2( z z ) : ( ) s ( ) s + 2 z z 4πf z z ϕ= π= 2πf t 2πf t = 2 2 g 2. (7) s ist der optishe Weg vor der Vershiebung, das Vorzeihen der Phasenvershiebung folgt aus der Vergrößerung der optishen Weglänge und man erhält die Lihtgeshwindigkeit: ( ) = 4 f z z. (8) 2 Die Größen z und z 2 mit den zugehörigen ignalspannungen M, eff und M 2, eff werden mehrfah bestimmt und die berehneten Werte gemittelt, Millimeter können geshätzt werden. Auh bei noh so akkurater Versuhsdurhführung wird jedoh der Tabellenwert der Lihtgeshwindigkeit niht gut erreiht. rsahe ist eine systematishe Messabweihung, die durh einen niht unwesentlihen Mangel des Betriebsgerätes hervorgerufen wird: ein törsignal, das am y-ausgang auh ohne auf die Fotodiode treffendes Liht auftritt. ein Effektivwert kann gemessen werden, wenn man die endediode abdekt oder die mkehrprismen aus dem trahlengang entfernt. Abb. 3: szillografenbild des törsignals überlagern sih vektoriell im Be- und optishes ignal triebsgerät und werden als Messsignal M mit einer fehlerhaften Phase dargestellt. Eine Korrektur dieser Abweihung ist möglih, wenn die Phasenlage ϕ des törsignals bekannt ist. Mit einem phasenempfindlihen Messgerät wurde festgestellt, dass am linken Anshlag des Phasenstellknopfes ϕ 9 und am rehten letzte Änderung:

5 Lihtgeshwindigkeit eite 5 Anshlag ϕ 9 gegen die Wehselspannung des x-ausgangs beträgt. omit stellen sih die Phasenverhältnisse den ersten Versuhsteil vereinfaht folgendermaßen dar (Phasenstellknopf am rehten Anshlag, ϕ F, und ϕ F,2 - Winkelabweihungen): tellung i ( V ) ωt tellung 2 ϕ F, M M 2 ϕ F,2 ( V) 2 ϕ Abb. 4: Zeigerdiagramm zur Bestimmung der Lihtgeshwindigkeit mit törsignal Tatsählih wurde durh Vergrößern der optishen Weglänge und Beobahten am szilloskop die Phase des Messsignals um π vershoben. Die Bewegung der Prismen hat aber eine M Phasenvershiebung ϕ des optishen ignals bewirkt, deren Betrag offensihtlih kleiner als π ist. Aus Gl. (7) wird deshalb unter Zuhilfenahme der geometrishen Beziehungen nah Abb. 4: ( ) 4πf z z artan artan 2 ϕ = π =. (9) M, eff M 2, eff Bei anderen Anfangsbedingungen müssen die Vorzeihen der Korrekturen in Gl. (9) entsprehend angepasst werden. 3.2 Lihtgeshwindigkeit in Wasser/Quarzglas Befindet sih in einem Teil l der Messstreke ein optish dihterer toff ( n > ), dann wird aus Gl. (6): ( ) l s l s+ l n ϕ ( s, t) = 2πf t n = 2πf t. () Zunähst wird der Probekörper noh niht in den trahlengang gestellt. Durh hieben des Prismenshlittens und mit Hilfe des Phasenknopfes am Betriebsgerät stellt man wieder ein szillografenbild nah Abb. 2b) oder 2) ein. Notiert werden hier die Position der Ablesemarke z sowie die Effektivwerte des Gesamtsignals M, eff und des törsignals. Wie auh shon beim Versuhsteil 3. darf die tellung des Phasenshieberknopfes jetzt niht mehr verändert werden! Bringt man den zu untersuhenden Körper in den trahlengang (bevorzugt in den zurüklaufenden Lihtweg), dann wird sih das szillografenbild wegen der nun vergrößerten optishen Weglänge ähnlih Abb. 2a) verändern. Die geometrishe Länge der Messstreke muss verringert werden, um die ursprünglihen Phasenbeziehungen zwishen gesendeter und empfangener Lihtwelle wieder herzustellen. Man notiert die neue Position des Prismenshlittens z 2 sowie den Effektivwert des Gesamtsignals M 2, eff. letzte Änderung:

6 Aus Gl. (6) und () ergibt sih diesen Fall: Lihtgeshwindigkeit eite 6 ( ) s + s+ l n s ϕ= = 2πf t 2πf t und daraus wegen s s ( z z ) n 2 = = 2 < : ( z z ) g 2 2 = +. (2) l Gl. (2) berüksihtigt noh niht den Einfluss des törsignals auf das Messergebnis. Das folgende Zeigerdiagramm veranshauliht beispielhaft die Verhältnisse unter der Bedingung, dass der Phasenstellknopf sih am rehten Anshlag befindet ( ϕ π ) und eine Phasendifferenz von π zwishen den Eingängen des szilloskops eingestellt wurde: M M 2 2 i ( V ) ϕ F ωt ( V) Abb. 5: Zeigerdiagramm mit törsignal diesen Versuhsteil Es wurde hierbei unterstellt, dass das eigentlihe optishe ignal mit und ohne Versuhskör- ϕ führt, obgleih ϕ = per untershiedlihe Werte aufweist, was zu einem Fehlwinkel F letzte Änderung: () das Gesamtsignal am szilloskop eingestellt war. Die linke eite von Gl. () ist daher niht mehr Null und man erhält unter Beahtung der Winkelvorzeihen: und hieraus 2πf ϕ F = + = ( z z ) l( n ) (3) artan artan 2 2 M 2, eff M, eff ( ) 2 z z ϕ n = + l 2πf l 2 F. (4) Auh hier ist das Vorzeihen der Korrektur entsprehend der tatsählih vorliegenden Versuhsbedingungen anzupassen. Anmerkungen zu den Versuhskörpern: Für die Ablage der Wasserküvette in der Messstreke sind am Versuhsplatz zwei tützblehe vorhanden, die zwekmäßigerweise an den Verbindungsstellen des Profilblehs aufgestellt werden. Eine baugleihe Vergleihsküvette ohne Wasser wird die Bestimmung von z eingesetzt, um einen möglihen Einfluss der optishen Fenster zu eliminieren. Die Küvetten sind mit dem angebrahten stützenden Halbrohr nah unten einzusetzen! Länge der Wassersäule im Küvetteninneren: l = ( ± ) W mm

7 Lihtgeshwindigkeit eite 7 Den Quarzglasstab stellt man längs in den rüklaufenden trahl und rihtet eine eite seines Trägers an der Anshlagkante des Profilblehs aus. Länge des Quarzglasstabs: l = ( 2, ±,) Q l Q und die erforderlihe Länge der Messstreke sind gering genug, das törsignal des Betriebsgerätes auf andere, elegante Weise zu eliminieren: Es wird in Phase mit dem untersuhten optishen ignal gebraht und verursaht so keine Fehlwinkel des gemessenen ignals mehr. Hierzu dekt man die endediode ab und stellt den Phasenshieber so ein, dass das törsignal sih am szilloskop wie nah Abb. 2b) oder 2) darstellt. Danah wird der Lihtweg wieder freigegeben und seine Länge s durh Vershieben des Prismenshlittens so justiert, dass das Gesamtsignal die Phasenwinkel oder π aufweist. Der hlitten sollte jetzt etwa in der Mitte des Profilblehes stehen. Von dieser Position aus wird der Versuh, wie oben beshrieben, durhgeführt und die Auswertung kann nah Gl. (2) erfolgen. Auh den zweiten Versuhsteil werden alle Messungen mehrmals durhgeführt und die gemittelten Werte die Auswertung verwendet. Notieren ie sih zu allen Versuhsteilen stets die tellung des Phasendrehknopfes und das Aussehen des szillografenbildes. Zu jeder Korrekturrehnung zeihnen ie bitte ein Phasendiagramm. Die Berehnung der kombinierten nsiherheiten der gefundenen Resultate erfolgt auf Basis der nsiherheiten der gemessenen treken und gegebenen Längen nah Gl. (8) bzw. (2). Korrekturen von und n gem. Gl. (9) und (3) bzw. (4) sind mit diesen nsiherheiten zu vergleihen. mm letzte Änderung: