Elektro-optischer Effekt

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1 : Tag der Versuchdurchführung: Spee Cornelia Klaus Reitberger Versuch 121

2 1. Einleitung Unter dem elektro-optischen Effekt versteht man, die Änderung des Brechungsindex bestimmter Materialien (meist Kristalle) durch Anlegen eines elektrischen Feldes. Erfolgt diese Änderung linear, so spricht man vom Pockels-Effekt. Beim Kerr-Effekt ist eine quadratische Abhängigkeit gegeben. Die quadratische Abhängigkeit ist für den von uns verwendeten Lithiumniobat-Kristall jedoch vernachlässigbar. Durch den elektro-optischen Effekt können elektrisch kontrollierbare optische Bauteile wie z. Bsp.: EOM s (Elektro-optischer Modulator), Wellenplatten und LCD s realisiert werden. Ein EOM erlaubt die Phasenmodulation des Lichtes. In diesem Versuch wurde ein EOM in einen Arm eines Mach-Zehnder-Interferometers gebracht. In Abhängigkeit der angelegten Spannung erhält man eine Phasenverschiebung. Auf diese Weise lässt sich bei geeigneter Spannung ein optischer Schalter realisieren. Wir bestimmten in diesem Versuch nun die Halbwellenspannung. Dies ist jene Spannung, die eine Phasenverschiebung von π bewirkt. Diese ergab sich bei uns zu 148 V ± 4 V. Aus dieser lässt sich r*n e 3 bestimmen (mit r dem Pockels-Koeffizienten, siehe Kapitel 2). Wir erhielten hier den Wert 341 pm/v ± 9 pm/v. Dies passt größenordnungsmäßig gut mit dem ungefähren Wert von 331 pm/v (r 31 pm/v, n e = 2,202) zusammen. Des Weiteren berechneten wir jenen Strom, den der Hochleistungsverstärker für unsere ermittelte Halbwellenspannung, eine Kapazität von 10 pf und einer Frequenz von 10 GHz bereitstellen muss. Hier ergab sich ein Wert von 93 A ± 2 A. Die Bandbreite dieses Aufbaus wird somit einerseits durch den Hochspannungsverstärker, andererseits durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im EOM limitiert. 2. Theorie Wie bereits erwähnt, versteht man unter dem elektro-optischen Effekt die Änderung des Brechungsindex bei angelegtem elektrischem Feld. Da dies jedoch eine sehr schwache Abhängigkeit ist, ist es sinnvoll n(e) in einer Taylorreihe um E = 0 zu entwickeln. Bei geeigneter Definition des Pockels-Koeffizienten r und des Kerr-Koeffizienten s erhält man so: n(e) = n 0 1/2 rn 0 3 E 1/2sn 0 3 E 2 + Dies ergibt für die Impermeabilität η = 1/n 2 folgende Entwicklung: η = η 0 + re + se 2 + Hierbei wurde noch nicht berücksichtigt, dass das elektrische Feld ein Vektor ist. Bei anisotropen, uniaxialen Kristallen (wie Lithiumniobat LiNbO 3 ) hängt nun jedoch die Lichtausbreitung von Polarisation und Ausbreitungsrichtung relativ zur optischen Achse ab (Doppelbrechung). Die optische Achse ist hierbei jene Achse, bei der bei parallelem Einfall des Lichtes die Polarisation erhalten bleibt. Der Brechungsindex ist ohne externes E-Feld für eine Polarisation normal zur optischen Achse durch den ordentlichen Brechungsindex n o gegeben. Für Licht, das in Richtung der optischen Achse polarisiert ist, ist der Brechungsindex (ohne E-Feld) durch den außerordentlichen Brechungsindex n e gegeben. Seite 2

3 Der Brechungsindex bzw. die Impermeabilität ist für anisotrope Kristalle ein Tensor 2. Stufe. Diesem kann eindeutig ein Ellipsoid zugeordnet werden (Indexellipsoid). Dieses beschreibt die optischen Eigenschaften des Kristalls, so kann mit diesem die Richtung des Poynting- Vektors, sowie die für die jeweilige Polarisation und Ausbreitungsrichtung gültigen Brechungsindizes bestimmt werden. Für ein E-Feld in Richtung der optischen Achse, Vernachlässigung der quadratischen Abhängigkeit (kann bei LiNbO 3 vernachlässigt werden) und einen Kristall der Kristallgruppe Trigonal 3m (z. Bsp.: LiNbO 3, ) hat das Indexellipsoid folgende Form: (1/n o 2 + r 13 E) (x x 2 2 ) + (1/n e 2 + r 33 E) x 3 2 = 1 r 13 und r 33 sind hier die entsprechenden Pockelskoeffizienten. Um generell die Veränderung des Indexellipsoids durch Anlegen eines E-Feldes beschreiben zu können, sind 6 Koeffizienten notwendig (Änderung der Länge der 3 Halbachsen (bei uniaxialen Kristallen sind 2 davon identisch), Orientierung im Raum), durch Symmetrieüberlegungen, sowie durch Wahl der Richtung des E-Feldes reduziert sich deren Zahl. Die in unserem Versuch gewählte Konfiguration ist in Abb. 1 dargestellt. Abb.1: transversaler EOM, Lichtausbreitung erfolgt entlang der roten Linie 1 Das Indexellipsoid hat somit die oben angeführte Form. Durch Näherung erhält man für die Brechungsindizes in Abhängigkeit des E-Feldes folgende Gleichungen: n o (E) = n o 1/2n o 3 r 13 E n e (E) = n e 1/2n e 3 r 33 E Durchläuft ein Lichtstrahl einen Pockels-Kristall (Länge L), so erfährt er eine Phasenverschiebung von Φ = 2πn(E)L/λ 0 (λ 0 Wellenlänge im Vakuum). Mit den Gleichungen für n(e) und einem E-Feld, das durch 2 planparallele Platten (wie in Abb.1, E = V/d;) erzeugt wird, ergibt sich für die Phasenverschiebung folgender Ausdruck: Φ = Φ 0 - πrn 0 3 VL/(λ 0 d) Die Halbwellenspannung V π ist nun definiert durch jene Spannung, die eine Phasenverschiebung von π bewirkt. V π = d/l*λ 0 /(rn 0 3 ) 1 Quelle: e-campus: Skriptum Versuch 121: Seite 3

4 Somit lässt sich durch Bestimmung der Halbwellenspannung und Kenntnis der Abmessungen des Pockels-Kristalls das Produkt rn 0 3 bestimmen. Ein Mach-Zehnder-Interferometer besteht aus 2 Strahlteilern und 2 Spiegeln. Das Interferenzmuster kann z. Bsp. mit einer Photodiode beobachtet werden. Abb. 2: Mach-Zehnder-Interferometer mit Phododiode Die von der Photodiode gemessene Intensität in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung Φ zwischen den beiden am Ausgang überlagerten Strahlen ergibt sich bei gleicher Amplitude E 0 der E-Felder folgendermaßen: I T ~ E 1 + E 2 2 = E E E 1 E 2 * + E 2 E 1 * = 2E E 0 2 cos(φ) = 2E 0 2 cos 2 (Φ/2) Liegen keine gleichen Amplituden vor, so kommt es nicht zur vollständigen Auslöschung. Man erhält einen niedrigeren Kontrast. Der Kontrast eines Interferometers ist wie folgt definiert: K = (I Max I Min )/(I Max + I Min ) Ein Kondensator ist ein Blindwiderstand. Dies bedeutet, dass es zu einer Phasenverschiebung von 90 zwischen Strom und Spannung kommt. Bei einem Kondensator eilt der Strom der Spannung vor. Strom und Spannung hängen über den kapazitiven Blindwiderstand R C = 1/(ω*C) gemäß dem Ohmschen Gesetz für Gleichstrom (U = R*I) zusammen. 3. Versuchsaufbau Das Licht eines He-Ne-Lasers wurde zunächst durch einen Polarisator (λ/2-plättchen und polarisierender Strahlteilerwürfel) geschickt, da dieser unpolarisiertes Licht emittierte und durch Temperaturschwankungen Sprünge in der Polarisation auftraten, und dann über einen Spiegel abgelenkt und in ein Mach-Zehnder-Interferometer eingekoppelt. Der EOM wurde in einen Arm des Interferometers gestellt. Der verwendete EOM bestand aus einem Lithiumniobat-Kristall, sowie 2 Kondensatorplatten, die derart angeordnet waren, dass eine anliegende Spannung ein Feld parallel zur optischen Achse zur Folge hat (transversaler elektro-optischer Modulator). Die Darstellung eines transversalen elektro-optischen Modulators, sowie des Strahlverlaufs relativ zur optischen Achse finden sich in Abb. 1. Seite 4

5 Da keine 50/50-Strahlteiler verwendet wurden, wurde das Signal an jenem Ausgang beobachtet, bei dem es zur Überlagerung von den zwei Strahlen kam, die jeweils an den Strahlteilern einmal reflektiert und einmal transmittiert wurden (siehe Abb. 3). Dies bedingt eine in etwa gleiche Amplitude des elektrischen Feldes und somit einen höheren Kontrast als am anderen Ausgang. Über einen Spiegel wurde der Strahl am Ausgang des Interferometers umgelenkt und schließlich über eine Linse auf eine Photodiode fokussiert. Zwischen Linse und Photodiode befand sich noch ein 30 %-Abschwächer. Das Signal der Photodioden wurde am Oszilloskop beobachtet. Ein Funktionsgenerator und ein Hochspannungsverstärker stellten das an den EOM angelegte Hochspannungssignal zur Verfügung. Das Hochspannungssignal wurde ebenfalls auf einem Oszilloskop beobachtet. Abb. 3: Versuchsaufbau 1 4. Versuchsdurchführung und Auswertung Den Laser, den Polarisator, die Linse, den Abschwächer und die Photodiode fanden wir bereits in den richtigen Positionen an optischen Tisch befestigt vor. Wir lenkten daher zunächst den Laserstrahl über einen Spiegel um und bauten dann das Mach-Zehnder- Interferometer auf. Generell war darauf zu achten den Strahl parallel zum optischen Tisch zu führen. Zunächst wurde der Kontrast ohne den EOM im Strahlgang optimiert. Hierzu wurde versucht durch Verkippen der Spiegel und Strahlteiler (Drehen an den entsprechenden Schrauben) ein möglichst kontrastreiches Interferenzmuster zu erreichen. 1 Quelle: e-campus: Skriptum Versuch 121: Seite 5

6 Dieses beobachteten wir zunächst auf einem Blatt Papier bzw. an der Wand (anderer Ausgang des Interferometers), dann wurde nach Aufbau eines Spiegels, der den Strahl auf die Linse umlenkte, durch leichtes Klopfen an einem der Spiegel ein zeitlich variierender Weglängenunterschied zwischen den beiden Armen des Interferometers erzeugt, sodass das entsprechende Interferenzmuster am Oszilloskop beobachtet werden konnte. Für einen optimalen Kontrast sollte hier der Unterschied zwischen dem maximalen und dem minimalen Spannungswert im Interferenzmuster möglichst groß sein, sowie der minimale Spannungswert möglichst klein (beinahe vollständige Auslöschung). Den optimalen Kontrast erhält man, wenn die beiden Strahlen in der Ebene des Strahlteilers am Ausgang des Interferometers zum Überlapp gebracht werden können. Zur Justage wurde jeweils ein Strahlteiler und ein Spiegel verwendet, da es für die Ausrichtung der zwei Laserstrahlen in der Ebene 4 Freiheitsgrade gibt und somit durch die Einstellung an diesen beiden optischen Elementen alle Freiheitsgrade kontrolliert werden können. Es wurden am Oszilloskop der maximale und der minimale Spannungswert abgelesen. Da diese den Intensitäten proportional sind (konstanter Proportionalitätsfaktor) lässt sich damit der Kontrast bestimmen. Zu beachten ist noch, dass die Hintergrundbeleuchtung zu einem Offset von etwa 60 mv führte. U Max = 3,42 V ± 0,02 V U Min = 0,18 V ± 0,02 V U Offset = 0,06 V ± 0,02 V K = (U Max U Min )/(U Max + U Min 2U Offset ) Damit erhielten wir einen Kontrast von 93 % ± 2 %. Dann wurde der EOM in einen Arm des Interferometers gebracht. Es wurde erneut der Kontrast optimiert. U Max = 2,98 V ± 0,02 V U Min = 0,48 V ± 0,02 V U Offset = 0,06 V ± 0,02 V Dies ergibt einen Kontrast von 75 % ± 1 %. Dieser konnte jedoch noch weiter optimiert werden. An den EOM wurde mit dem Signalgenerator und dem Hochspannungsverstärker ein Hochspannungssignal angelegt. Das Signal des Hochspannungsgenerators konnte an einem zweiten Oszilloskop beobachtet werden. Dieser stellte eine Wechselspannung mit überlagerter Gleichspannung zur Verfügung, deren Amplitude bzw. deren Wert variiert werden konnte. Der Wert der Gleichspannung war am Hochspannungsverstärker ablesbar, jener für die Amplitude der Wechselspannung jedoch nicht. Daher war es zunächst notwendig die Oszilloskopskala zu eichen. Hierfür wurde die Amplitude der Wechselspannung auf 0 gedreht und jeweils die Anzahl der Kästchen in Abhängigkeit von dem Wert der Gleichspannung notiert. Dies wurde auch in einem Diagramm dargestellt. Seite 6

7 Abb. 4: Eichung der Oszilloskopskala Man sieht, dass hier ein linearer Zusammenhang gegeben ist. Da der Ordinatenabschnitt nicht innerhalb des Fehlers 0 ergibt, hatten wir offensichtlich einen Offset. Da für die weitere Auswertung jedoch nur Differenzen von Bedeutung sind, spielt dies keine Rolle. Für Differenzen ergibt sich damit der Zusammenhang, dass ein Kästchen 54,5 V ± 0,1 V entspricht. Nun soll die Halbwellenspannung ermittelt werden. Dazu wurde am Signalgenerator ein Rechteckssignal eingestellt und das Signal der Photodiode beobachtet. Es ist am einfachsten die doppelte Halbwellenspannung 2 V π zu bestimmen. Diese führt nämlich zu einer Phasenverschiebung von 2 π und somit für ein angelegtes Rechteckssignal zu einem zeitlich konstanten Ausgangssignal, welches sich sehr exakt durch Variation der an den EOM angelegten Spannung einstellen lässt. Abb. 5: Signal der Photodiode bei angelegter Rechtecksspannung mit Amplitude 2 V π Seite 7

8 Die Amplitude des Rechteckssignals kann dann am zweiten Oszilloskop abgelesen werden. Wir führten diese Messung 5 Mal durch. Es ergab sich ein Mittelwert für die Halbwellenspannung von 2,73 Kästchen ± 0,07 Kästchen. Dies entspricht gemäß der Eichung einem Wert von 148 V ± 4 V. Selbstverständlich ist die Bestimmung der doppelten Halbwellenspannung auch für andere Signalformen möglich bzw. es ist auch möglich dies für die einfache Halbwellenspannung vorzunehmen. Wir wählten jedoch diese Variante, da so die Spannung relativ genau einstellbar ist, da man sehr gut sieht, bei welcher Spannung das Ausgangssignal konstant ist. Für eine anliegende sinusförmige Spannung müsste man z. Bsp. um die Halbwellenspannung V π zu bestimmen die anliegende Spannung so variieren, sodass das Signal der Photodiode ebenfalls ein Sinus ist. Die Amplitude würde dann der Halbwellenspannung entsprechen. Dies lässt sich natürlich nicht so exakt einstellen. Während des gesamten Versuchs konnte des Öfteren ein Einbruch in der Intensität beobachtet werden. Dies liegt an Sprüngen in der Polarisation. Da der polarisierende Strahlteilerwürfel nur eine bestimmte Polarisationskomponente transmittiert, kommt es somit zu einer Verringerung der Intensität. Durch Drehen am λ/2-plättchen und somit der Polarisation konnte die Intensität wieder erhöht werden. Aus der Halbwellenspannung lässt sich nun das Produkt r*n e 3 bestimmen. Es gilt folgender Zusammenhang (siehe Kapitel 2: Theorie): r*n e 3 = d/l*λ 0 /V π d und L sind hierbei die Abmessungen des Kristalls, wie sie in Abb. 1 dargestellt sind. d = 2 mm L = 25 mm V π = 148 V ± 4 V λ 0 = 633 nm Somit ergibt sich für r*n e 3 ein Wert von 341 pm/v ± 9 pm/v. Dies passt größenordnungsmäßig gut mit dem abgeschätzten Wert von 331 pm/v (r 31 pm/v, n e = 2,202) zusammen. Die Bandbreite der optischen Modulation ist in unserem Aufbau durch den Hochleistungsverstärker gegeben. Würde dieser auch höhere Frequenzen verstärken können, so ergäbe sich die Limitierung aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im EOM (c EOM = c/(n(e)). Ist die benötigte Durchlaufzeit des Lichts durch den EOM größer als 1/ν, so kommt es zu starken Änderungen des E-Feldes und somit des Brechungsindizes innerhalb dieser Zeit. Nun soll noch der Strom bestimmt werden, den der Hochspannungsverstärker bei einer Frequenz von 1 GHZ bzw. 10 GHz zur Verfügung stellen muss, damit am EOM die Halbwellenspannung anliegt. Die zum Anlegen der Spannung (und somit des elektrischen Feldes) verwendeten Elektroden entsprechen einem Kondensator mit einer Kapazität C von ca. 10 pf. Seite 8

9 Somit ergibt sich für den Strom folgende Gleichung (siehe Kapitel 2): C = 10 pf V π = 148 V ± 4 V ν 1 = 1 GHz ν 2 = 10 GHz I = V π /R C = V π *ω*c Der Hochleistungsverstärker muss somit einen Strom von 9,3 A ± 0,2 A (für ν 1 ) bzw. 93 A ± 2 A (für ν 2 ) zur Verfügung stellen. Dies erklärt warum dieser im Frequenzbereich limitiert ist. 5. Fehlerbetrachtung Der Fehler für die maximalen und minimalen Spannungswerte bei der Kontrastbestimmung wurde mit Hilfe der Cursor abgeschätzt und ergab sich zu 20 mv. Der Fehler für den Kontrast ergibt sich gemäß Fehlerfortpflanzung. Für die Anzeige des Hochspannungsverstärkers wurde ein Fehler von 0,3 V und für die Oszilloskopskala ein Fehler von 0,1 Kästchen angenommen. Der Fehler für den Eichungsfaktor A entspricht dem von Origin ausgegebenen Fehler. Die Fehler der damit umgerechneten Halbwellenspannung ergibt sich gemäß Fehlerfortpflanzung zu: V π [V]= V π [V] (( A/A) 2 + ( V π [Kästchen]/V π [Kästchen]) 2 ) 1/2 Der Fehler für die Halbwellenspannung (in Kästchen) erhält man aus der Standardabweichung. Den Fehler für r*n 0 3 erhält man durch Fehlerfortpflanzung. Für die Abmessungen des Kristalls, sowie für die Laserwellenlänge im Vakuum wurde kein Fehler angenommen, da diese für uns nicht abschätzbar sind. r*n e 3 = r*n e 3 = V π *d/l*λ 0 /V π 2 Auch für den Blindstrom wendeten wir die Fehlerfortpflanzung an. Die Frequenz und die Kapazität weisen keinen Fehler auf. I = V π *ω*c 6. Zusammenfassung Ziel dieses Versuches war es sich näher mit dem elektro-optischen Effekt auseinanderzusetzen. Dieser ist von großer Bedeutung, da er die Realisierung von elektrisch kontrollierbaren optischen Bauelementen, wie elektrisch kontrollierbaren Wellenplatten, EOM s, LCD s und optischen Schaltern erlaubt. In unserem Versuch wurde ein EOM in den Arm eines Mach-Zehnder-Interferometers gebracht. Diese Anordnung kann auch als schneller optischer Intensitätsmodulator genutzt werden. Wir bestimmten die Halbwellenspannung. Diese ergab sich zu V π = 148 V ± 4 V. Daraus kann dann r*n e 3 bestimmt werden. Wir erhielten hier einen Wert von 341 pm/v ± 9 pm/v. Dies passt größenordnungsmäßig sehr gut. Seite 9

10 Die Bandbreite ist in unserem Aufbau durch den Hochspannungsverstärker limitiert. Würde jener jedoch auch höherfrequente Signale zur Verfügung stellen, so ergäbe sich die Limitierung aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im EOM. Des Weiteren wurde abgeschätzt, wie groß der vom Hochspannungsverstärker zur Verfügung gestellte Strom bei einer Frequenz von 1 GHZ bzw. 10 GHz und bei Halbwellenspannung sein muss. Es ergibt sich hier ein Strom von 9,3 A ± 0,2 A bzw. 93 A ± 2 A. Dies erklärt, warum der Hochleistungsverstärker sehr hochfrequente Signale nicht verstärken kann. In diesem Versuch konnte erneut die Justage eines optischen Aufbaus geübt werden. Des Weiteren lernte man das Konzept des Indexellipsoids näher kennen. 7. Literatur Skriptum (e-campus): Versuch 121 Ing. D. Nührmann: Das große Werkbuch Elektronik (Franzis-Verlag, München 1983) Seite 10

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