ν = z Hy, S = HPH + R, W = PH S 1 Q 1 = P 1 + H R 1 H. independent of x Interpret N ( z; Hx, R ) N ( x; y, P ) as a joint density: ) ( ) )!
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- Rolf Melsbach
- vor 8 Jahren
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1 = N ( z; Hy, S independent of x N ( z; Hx, R N ( x; y, P N ( x; y + Wν, P WSW N ( x; Q(P 1 y + H R 1 z, Q ν = z Hy, S = HPH + R, W = PH S 1 Q 1 = P 1 + H R 1 H. Interpret N ( z; Hx, R N ( x; y, P as a joint density: p(z, x = p(z x p(x! ( ( Show that p(z, x is a Gaussian: p(z, x = N zx ( ; Hy ( y, S PH HP P! Calculate from p(z, x the mrginal and conditional densities p(z, p(x z! p(z = dx p(z, x and p(x z = p(z,x p(z Therefore: p(z x p(x = p(x z p(z! 1 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
2 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Strategy: Try to rewrite (* in such a way, that the state vector u = (z, x appears in a quadratic form (u v U 1 (u v. Do u, z or x not appear (* elsewhere, we have shown that u is Gaussian distributed with expectation value v and covariance matrix U. For all multiplicative constants result from knowing that p(u = N ( z; Hx, R N ( x; y, P is a pdf, i.e. correctly normalized. 2 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
3 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Strategy: Try to rewrite (* in such a way, that the state vector u = (z, x appears in a quadratic form (u v U 1 (u v. Do u, z or x not appear (* elsewhere, we have shown that u is Gaussian distributed with expectation value v and covariance matrix U. For all multiplicative constants result from knowing that p(u = N ( z; Hx, R N ( x; y, P is a pdf, i.e. correctly normalized. This can be obtained by a completion of the squares, i.e. by using one of the binomial formulae (vector version, proof: multiply!: (u v U 1 (u v = u U 1 u 2u U 1 v + vu 1 v 3 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
4 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Hilfsgrößen: A = (I, H, B = (O, I, u = (z, x, y = (O, y ( = (Au R 1 (Au + ( B(u y P 1 ( B(u y 4 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
5 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Hilfsgrößen: A = (I, H, B = (O, I, u = (z, x, y = (O, y ( = (Au R 1 (Au + ( B(u y P 1 ( B(u y = u (A R 1 Au + (u y (B P 1 B(u y Ausmultiplizieren! 5 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
6 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Hilfsgrößen: A = (I, H, B = (O, I, u = (z, x, y = (O, y ( = (Au R 1 (Au + ( B(u y P 1 ( B(u y = u (A R 1 Au + (u y (B P 1 B(u y Ausmultiplizieren! = u (A R 1 A + B P 1 B u =:U 1 2u (B P 1By +const. =:U 1 v 6 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
7 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Hilfsgrößen: A = (I, H, B = (O, I, u = (z, x, y = (O, y ( = (Au R 1 (Au + ( B(u y P 1 ( B(u y = u (A R 1 Au + (u y (B P 1 B(u y Ausmultiplizieren! = u (A R 1 A + B P 1 B u =:U 1 2u (B P 1By +const. =:U 1 v = u U 1 u 2u U 1 v + vu 1 v vu 1 v + const. = (u v U 1 (u v + const. (quadratische Ergänzung! 7 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
8 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Hilfsgrößen: A = (I, H, B = (O, I, u = (z, x, y = (O, y ( = (Au R 1 (Au + ( B(u y P 1 ( B(u y = u (A R 1 Au + (u y (B P 1 B(u y Ausmultiplizieren! = u (A R 1 A + B P 1 B u =:U 1 2u (B P 1By +const. =:U 1 v = u U 1 u 2u U 1 v + vu 1 v vu 1 v + const. = (u v U 1 (u v + const. (quadratische Ergänzung! U = [A R 1 A + B P 1 B] 1 = [ ( R 1 H R 1 (I, H + ( ] O 1 P 1 (O, I ( R 1 R = 1 1 H H R 1 H R 1 H + P 1 v = U(B P 1 By = U ( ( O O Oy ( O P = U O 1 P 1 y 8 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
9 Die Inverse einer partitionierten symmetrischen Matrix lautet: ( 1 A C C = B ( A 1 + A 1 CS 1 C A 1 A 1 CS 1 S 1 C A 1 S 1 mit: S = B C A 1 C Schur-Komplement der Matrix A Beweis: nachrechnen! 9 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
10 Die Inverse einer partitionierten symmetrischen Matrix lautet: ( 1 A C C = B ( A 1 + A 1 CS 1 C A 1 A 1 CS 1 S 1 C A 1 S 1 mit: S = B C A 1 C Schur-Komplement der Matrix A Beweis: nachrechnen! Eine alternative Formulierung ist: ( 1 ( A C T C = 1 T 1 CB 1 B B 1 C T 1 B 1 + B 1 C T 1 CB 1 mit: T = A CB 1 C Beweis: nachrechen! 10 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
11 Die Inverse einer partitionierten symmetrischen Matrix lautet: ( 1 A C C = B ( A 1 + A 1 CS 1 C A 1 A 1 CS 1 S 1 C A 1 S 1 mit: S = B C A 1 C Schur-Komplement der Matrix A Beweis: nachrechnen! Eine alternative Formulierung ist: ( 1 ( A C T C = 1 T 1 CB 1 B B 1 C T 1 B 1 + B 1 C T 1 CB 1 mit: T = A CB 1 C Beweis: nachrechen! Also gilt insbesondere das Matrixinversionslemma : (A CB 1 C 1 = A 1 + A 1 C(B C A 1 C 1 C A 1 11 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
12 p(z, x = ( 2πR 2πP 1 2 exp { 1 2 [(z Hx R 1 (z Hx + (x y P 1 (x y ] } =:( Hilfsgrößen: A = (I, H, B = (O, I, u = (z, x, y = (O, y ( = (Au R 1 (Au + ( B(u y P 1 ( B(u y = u (A R 1 Au + (u y (B P 1 B(u y Ausmultiplizieren! = u (A R 1 A + B P 1 B u =:U 1 2u (B P 1By +const. =:U 1 v = u U 1 u 2u U 1 v + vu 1 v vu 1 v + const. = (u v U 1 (u v + const. (quadratische Ergänzung! [ ( ( U = [A R 1 A + B P 1 B] 1 R = 1 ] O 1 H R 1 (I, H + P 1 (O, I ( R 1 R = 1 1 ( ( H R + HPH H R 1 H R 1 H + P 1 = HP S HP PH = P PH P v = U(B P 1 By = U ( ( O O Oy ( O P = U O 1 P 1 y = ( Hy y
13 also gilt: ( ( p(z, x = N zx ( ; Hy ( y, S PH HP P (Konstanten: Normierung! 12 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
14 Exercise Zeige folgende Produktformel für Gauß-Dichten: = N ( z; Hy, S independent of x N ( z; Hx, R N ( x; y, P N ( x; y + Wν, P WSW N ( x; Q(P 1 y + H R 1 z, Q ν = z Hy, S = HPH + R, W = PH S 1 Q 1 = P 1 + H R 1 H. Deute N ( z; Hx, R N ( x; y, P als Verbunddichte: p(z, x = p(z x p(x! ( ( Zeige, dass p(z, x eine Gauss-Dichte ist: p(z, x = N zx ( ; Hy ( y, S PH HP P! Bilde aus der Dichte p(z, x die Marginal- und Konditionaldichten p(z, p(x z! p(z = dx p(z, x und p(x z = p(z,x p(z Also muss die Beziehung gelten: p(z x p(x = p(x z p(z! 13 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
15 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! 14 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
16 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! ( = ( ξ η ( ( R 1 R 1 H ξη H R 1 H R 1 H+P 1 mit: ( ξη = ( zx ( Hy y 15 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
17 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! ( = ( ξ η ( ( R 1 R 1 H ξη H R 1 H R 1 H+P 1 mit: ( ξη = ( zx ( Hy y = ξ R 1 ξ 2η H R 1 ξ =:Q 1 γ +η (H R 1 H + P 1 η =:Q 1 16 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
18 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! ( = ( ξ η ( ( R 1 R 1 H ξη H R 1 H R 1 H+P 1 mit: ( ξη = ( zx ( Hy y = ξ R 1 ξ 2η H R 1 ξ =:Q 1 γ +η (H R 1 H + P 1 η =:Q 1 = ξ R 1 ξ γ Q 1 γ + (η γ Q 1 (η γ binomische Formel, quadr.erg.! 17 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
19 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! ( = ( ξ η ( ( R 1 R 1 H ξη H R 1 H R 1 H+P 1 mit: ( ξη = ( zx ( Hy y = ξ R 1 ξ 2η H R 1 ξ =:Q 1 γ +η (H R 1 H + P 1 η =:Q 1 = ξ R 1 ξ γ Q 1 γ + (η γ Q 1 (η γ binomische Formel, quadr.erg.! = ξ R 1 ξ ξ (R 1 HQH R 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ, γ = QH R 1 18 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
20 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! ( = ( ξ η ( ( R 1 R 1 H ξη H R 1 H R 1 H+P 1 mit: ( ξη = ( zx ( Hy y = ξ R 1 ξ 2η H R 1 ξ =:Q 1 γ +η (H R 1 H + P 1 η =:Q 1 = ξ R 1 ξ γ Q 1 γ + (η γ Q 1 (η γ binomische Formel, quadr.erg.! = ξ R 1 ξ ξ (R 1 HQH R 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ, γ = QH R 1 = ξ (R 1 P 1 HQH R 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ 19 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
21 p(z = dx p(z, x [( dx exp{ 1 zx ( 2 Hy ] ( S HP 1 [( zx ( y PH P Hy ] y } =:( Idee: Separiere die Integrationsvariable z in einer quadratischen Form! ( = ( ξ η ( ( R 1 R 1 H ξη H R 1 H R 1 H+P 1 mit: ( ξη = ( zx ( Hy y = ξ R 1 ξ 2η H R 1 ξ =:Q 1 γ +η (H R 1 H + P 1 η =:Q 1 = ξ R 1 ξ γ Q 1 γ + (η γ Q 1 (η γ binomische Formel, quadr.erg.! = ξ R 1 ξ ξ (R 1 HQH R 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ, γ = QH R 1 = ξ (R 1 P 1 HQH R 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ = ξ (R + HPH 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ Inversionslemma! = ξ S 1 ξ + (η γ Q 1 (η γ 20 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
22 p(x = dy p(x, y exp[ 1 2 (ξ S 1 ξ] dy exp[ 1 2 (η γ Q 1 (η γ] exp[ 1 2 (z Hy S 1 (z Hy] also gilt: p(x = N ( z; Hy, HPH + R (die Konstanten ergeben sich aus der Forderung: dx p(x = 1 21 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
23 p(x z = p(z, x p(z exp[ 1 2 (η γ Q 1 (η γ] Q = (H R 1 H + P Version! = P WSH 1. Version! = P PH S 1 HP Inversionslemma! = (I } WHP, {{ } mit: W = PH S 1 3. Version! γ = QH R 1 ξ = (I WHPH R 1 (z Hy = (PH R 1 WHPH R 1 (z Hy = PH (R 1 S 1 (S RR 1 (z Hy = W(z Hy = Q(P 1 y + H R 1 z 2. Version, Inversionslemma! also gilt: p(x z = N ( x; q, Q q = y + W(z Hy, Q = Y WSW (die Konstanten ergeben sich aus der Forderung: dx p(x z = 1 22 Introduction to Sensor Daten Fusion: Methods and Applications Exercise on June 3, 2015
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