VERSICHERUNGSMATHEMATISCHES SEMINAR SOMMERSEMESTER 2011

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1 VERSICHERUNGSMATHEMATISCHES SEMINAR SOMMERSEMESTER 2011 Allgemeine Literatur Sato [35], Kyprianou [25], Cont und Tankov [13], Bertoin [8], Kyprianou und Loeffen [26], Applebaum [2], Raible [30], Papapantoleon [28]. Themen 1. Verschiedene Arten von Prozessen 1.1. Cauchy Verteilung und Inverse Gauss Verteilung. Die Verteilungen und der zugehörige Prozess soll definiert werden. Es soll vorgestellt werden wo überall diese Verteilungen auftauchen und was man mittels diesen modellieren kann Der Gamma, Pascal und Meixner Prozess. Definitionen, Eigenschaften und Anwendungen α-stabile Prozesse α-stabile Prozesse im Überblick. Zwei Personen Literatur: Zolotarev [38], Sammordinsky und Taqqu [34] Die einzelnen Punkte im Überblick: a.) Definition - verschiedenen Typen (symmetrische, positive,...) b.) Fouriertransform: wie schaut die Fouriertransform aus - Scaling Eigenschaft mittels der Fouriertransform c.) Zusammenhang - schwaches Gesetzt der großen Zahlen - domain of attraction d.) Eigenschaften Momente Abschätzungen Verhalten für große Werte e.) Form der Dichtefunktion Statistik von α stablilen ZV. a.) Schätzer der Dichtefunktion (Rosenblatt Parzen Methode um den Kern der Dichtefunktion zu konstruieren). Literatur: Hall und Marron [22] 1

2 2 VERSICHERUNGSMATHEMATISCHES SEMINAR SS 2011 b.) Schätzung von Parametern: Literatur: Feuerverger und McDunnough [19], DuMouchel [15], Nolan [27], Hardin, Samorodinsky und Taqqu [23], Aït-Sahalia und Jacob [1], Besbeas und Morgan [9] Die Reihendarstellung α-stabiler Prozesse. Die Reihendarstellung α stabliler Prozessse soll erklärt und abgeleitet werden, Subordination α stabiler Prozesse soll definiert und bewiesen werden. Literatur: Samorodnitsky und Taqqu [34, S und S ]. Siehe auch Asmussen und Glynn [4, XII.4] Simulation α-stabiler Prozesse. Samorodnitsky und Taqqu [34, S ] Die Methode soll erklärt werden, für einige Indices die Simulation präsentiert werden und die Methode an Hand von Verteilung, bei denen man die eigentliche Verteilungsfunktion kennt, verglichen werden. Die Fehler sollen abgeleitet und erklärt werden Die verallgemeinerten Hyperbolischen Prozesse. Verallgemeinerte hyperbolische Prozesse und deren Anwendungen in der Finanzmathematik. Literatur: siehe Hompage von Eberlein; Dissertation von Prause [29] 1.5. Die Fraktale Brownsche Bewegung. Die fraktale Brownsche Bewegung soll eingeführt werden, und deren wichtigsten Eigenschaften (Hölderstetigkeit, Long Range dependence,... ) sollen vorgestellt werden Der Ornstein Uhlenbeck Prozess. Existenz des invarianten Maßes, Stationarität, etc. Literatur: Cariboni und Schoutens [12], Barndorff- Nielsen und Shephard [5][6][7] Subordination von Prozessen. 2. Die Reihendarstellung verschiedener Prozesse 2.1. Inverse shot noise. Literatur: Rosiński [32][33], Ferguson [18] 2.2. Die Simulation von Lévy Prozessen. Literatur: Cont and Tankov [13, Kapitel 6], Glasserman [21, Kapitel ], Asmussen and Glynn [4], Webber [37]. 3. Verschiedene andere Themen 3.1. Der Skorohod Raum. Literatur: Billingsley [10], Skripten von Hausenblas Der Cauchy Grenzwersatz, oder warum die Poissonverteilung sinnvoll ist ARCH, GARCH, etc... Literatur: Engle [17], Bollerslev [11], Tsay [36], Box und Jenkins

3 VERSICHERUNGSMATHEMATISCHES SEMINAR SS Lévy Prozesse und Pseudodifferentialoperatoren Die Esscher Transform. Literatur: Gerber and Shiu [20] Das Cramer-Lundberg Model. Literatur: Riedle [31], Asmussen [3], Hipp [24] Modelling financial time series with Levy processes. Literatur: Cont and Tankov [13, Kapitel 1 & 7], Webber [37] Introduction to ruin theory and properties of the Laplace transform. Literatur: Dickson [14, Kapitel 6 & 7], Dyke [16] Ruin theory: severity of ruin, surplus prior to ruin, time of ruin. Literatur: Dickson [14, Kapitel 8]. References [1] Y. Aït-Sahalia and J. Jacob. Volatility estimators for discretely sampled Lévy processes. Ann. Statist., 35(1): , [2] D. Applebaum. Lévy processes and stochastic calculus, volume 116 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, [3] S. Asmussen. Ruin probabilities, volume 2 of Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability. World Scientific Publishing Co. Inc., River Edge, NJ, [4] S. Asmussen and P. W. Glynn. Stochastic simulation: algorithms and analysis, volume 57 of Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer, New York, [5] O. E. Barndorff-Nielsen and N. Shephard. Modelling by Lévy processes for financial econometrics. In Lévy processes, pages Birkhäuser Boston, Boston, MA, [6] O. E. Barndorff-Nielsen and N. Shephard. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics. J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol., 63(2): , [7] O. E. Barndorff-Nielsen and N. Shephard. Integrated OU processes and non-gaussian OU-based stochastic volatility models. Scand. J. Statist., 30(2): , [8] J. Bertoin. Lévy processes, volume 121 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, [9] P. Besbeas and B. J. T. Morgan. Improved estimation of the stable laws. Stat. Comput., 18(2): , [10] P. Billingsley. Probability and measure. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, third edition, A Wiley- Interscience Publication. [11] T. Bollerslev. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. J. Econometrics, 31(3): , [12] J. Cariboni and W. Schoutens. Jumps in intensity models: investigating the performance of Ornstein-Uhlenbeck processes in credit risk modeling. Metrika, 69(2-3): , [13] R. Cont and P. Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall/CRC Financial Mathematics Series. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, [14] D. C. M. Dickson. Insurance risk and ruin. International Series on Actuarial Science. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

4 4 VERSICHERUNGSMATHEMATISCHES SEMINAR SS 2011 [15] W. H. DuMouchel. Estimating the stable index α in order to measure tail thickness: a critique. Ann. Statist., 11(4): , [16] P. P. G. Dyke. An introduction to Laplace transforms and Fourier series. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London Ltd., London, [17] R. F. Engle. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4): , [18] T. S. Ferguson and M. J. Klass. A representation of independent increment processes without Gaussian components. Ann. Math. Statist., 43: , [19] A. Feuerverger and P. McDunnough. On efficient inference in symmetric stable laws and processes. In Statistics and related topics (Ottawa, Ont., 1980), pages North-Holland, Amsterdam, [20] H. Gerber and E. Shiu. Option pricing by Esscher transforms. Transactions of the Society of Actuaries, 46:99 191, th-anniversary/investment-section/1999/january/m-as pdf. [21] P. Glasserman. Monte Carlo methods in financial engineering, volume 53 of Applications of Mathematics (New York). Springer-Verlag, New York, Stochastic Modelling and Applied Probability. [22] P. Hall and J. S. Marron. Lower bounds for bandwidth selection in density estimation. Probab. Theory Related Fields, 90(2): , [23] C. D. Hardin, Jr., G. Samorodnitsky, and M. S. Taqqu. Nonlinear regression of stable random variables. Ann. Appl. Probab., 1(4): , [24] C. Hipp. Stochastic control with application in insurance. In Stochastic methods in finance, volume 1856 of Lecture Notes in Math., pages Springer, Berlin, [25] A. E. Kyprianou. Introductory lectures on fluctuations of Lévy processes with applications. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, [26] A. E. Kyprianou and R. Loeffen. Lévy processes in finance distinguished by their coarse and fine path properties. In Exotic option pricing and advanced Lévy models, pages Wiley, Chichester, [27] J. P. Nolan. Maximum likelihood estimation and diagnostics for stable distributions. In Lévy processes, pages Birkhäuser Boston, Boston, MA, academic2.american.edu/~jpnolan/stable/mle.pdf. [28] A. Papapantoleon. An introduction to Lévy processes with applications in finance. Lecture notes. [29] K. Prause. The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures Thesis (Ph.D.) University of Freiburg im Breisgau. http: // [30] S. Raible. Lévy Processes in Finance: Theory, Numerics, and Empirical Facts Thesis (Ph.D.) Albert-Ludwigs-Universität Freiburg i. Br. uni-freiburg.de/volltexte/51/pdf/51_1.pdf. [31] M. Riedle. Risikotheorie Vorlesungsskriptum. Humboldt-Universität Berlin. /scriptrisiko.pdf. [32] J. Rosiński. On series representations of infinitely divisible random vectors. Ann. Probab., 18(1): , [33] J. Rosiński. Series representations of Lévy processes from the perspective of point processes. In Lévy processes, pages Birkhäuser Boston, Boston, MA, [34] G. Samorodnitsky and M. S. Taqqu. Stable non-gaussian random processes. Stochastic Modeling. Chapman & Hall, New York, Stochastic models with infinite variance. [35] K.-i. Sato. Lévy processes and infinitely divisible distributions, volume 68 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, Translated from the 1990 Japanese original, Revised by the author.

5 VERSICHERUNGSMATHEMATISCHES SEMINAR SS [36] R. S. Tsay. Analysis of financial time series. Wiley Series in Probability and Statistics. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Hoboken, NJ, second edition, [37] N. Webber. Simulation methods with Lévy processes. In Exotic option pricing and advanced Lévy models, pages Wiley, Chichester, [38] V. M. Zolotarev. One-dimensional stable distributions, volume 65 of Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, Translated from the Russian by H. H. McFaden, Translation edited by Ben Silver.