Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

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1 Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326

2 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül Grundlagen 327

3 Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Ein eispiel (konstruiert) zur Motivation Ein Marktforschungsinstitut möchte mittels Telefonumfrage (Zufallsauswahl/Stichprobe) untersuchen, wie viel Prozent aller Deutschen mindestens ein Handy besitzen. Einer ein Jahr alten Untersuchung zufolge soll der nteil bei etwa 67% liegen. Es interessiert nun auch die Frage, ob der nteil gestiegen ist. etrachtung des Gesamtprozesses Erhebung ufbereitung und Darstellung nalyse und Interpretation Telefonbefragung (Stichprobe) uswertung der efragung eantwortung der beiden Untersuchungsziele aufgrund der vorliegenden Daten Grundlagen - Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? 328

4 Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Resultat der Telefonstichprobe könnte z.. lauten: Relativer nteil der Handybesitzer unter 500 efragten beträgt 69%. Problem: Ergebnis könnte nur durch Zufall zustande gekommen sein. Hypothetische etrachtung: ngenommen, die wahre Handyquote liege unverändert bei 67%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Quote in der Stichprobe zufällig höher als 67% ausfällt? Wie groß ist die ussagekraft (Zuverlässigkeit) der Ergebnisse? Ist die Handyquote nun gestiegen oder nicht? Wie kann das Ergebnis der Untersuchung sachgerecht wiedergegeben werden? Technischer pparat der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich, um den Zufall in den Griff zu bekommen. Grundlagen - Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? 329

5 Was versteht man eigentlich unter Zufall? 330

6 Was versteht man unter Wahrscheinlichkeit? 331

7 eispiele Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Zufallsvorgänge und Interpretation von Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln beträgt 1/6. Die Kreditausfallwahrscheinlichkeit für diese Kundenklasse beträgt weniger als 1%. Die Chance für sechs Richtige im Lotto beträgt genau 1: Morgen wird es höchstwahrscheinlich regnen. Dieser Patient wird nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% überleben. Ich bin mir zu 95% sicher, dass... Eine Studie ergab, dass die evölkerung im Jahr 2050 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% zwischen 40 und 50 Millionen liegen wird. Die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt liegt in Deutschland bei 48.7%. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 94% erhält die Partei einen Stimmenanteil zwischen 29.8 % und 31.4%. Deutschland wird nicht Weltmeister. Da würde ich 500 Euro darauf wetten. Welche Gemeinsamkeit(en) haben alle ussagen? uf welche verschiedene Weisen wird hier mit Wahrscheinlichkeit verfahren? Nehmen Sie eine Kategorisierung vor. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 332

8 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Zufallsvorgang und Zufallsexperiment Ein Zufallsvorgang ist ein Vorgang mit mindestens zwei möglichen verschiedenen Ergebnissen, bei dem im Voraus nicht eindeutig bestimmbar ist, welches Ergebnis eintreten wird. Ein Zufallsvorgang der unter kontrollierten edingungen abläuft und somit unter gleichen edingungen wiederholbar ist, bezeichnet man auch als Zufallsexperiment. Interpretation von Wahrscheinlichkeiten - objektiv a priori (klassische Wahrscheinlichkeit/Laplace-Wahrscheinlichkeit) - objektiv a posteriori (statistische Wahrscheinlichkeit) - subjektiv Weshalb ist auch die klassische Wahrscheinlichkeit letztlich von statistischer rt?! Das Schlechteste überhaupt: Von Wahrscheinlichkeiten zu sprechen und selbst nicht zu wissen, wie diese zu verstehen sind. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 333

9 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Forderung: Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu bestimmten Ergebnissen sollte nicht beliebig erfolgen. Um eine gewisse Sinnhaftigkeit und Konsistenz zu erzielen, müssen bestimmte Rechengesetze beachtet werden. Diese Rechengesetze sollten von der interpretativen Ebene der Wahrscheinlichkeiten unabhängig sein. Rechentechnisch einheitliche ehandlung von subjektiven und objektiven Wahrscheinlichkeiten Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik,...) Wichtige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung: (hier mehr oder minder notwendig bzw. ausführlich) Mengenlehre, Kombinatorik, Maßtheorie, Integrationstheorie,... Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 334

10 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Mengen und Mengenoperationen Wozu überhaupt Mengenlehre? eispiel: Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln beträgt 1/2. Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln, die gleichzeitig noch kleiner als 5 ist, beträgt 1/3. Ω Vorstellung: Ergebnisse als (Teil)Mengen Operationen auf diesen Mengen erzeugen neue Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit steht dann für die Größe (Mächtigkeit) einer Menge Hier z..:... Gerade Zahl... Zahl kleiner 5... Gerade Zahl UND kleiner 5 Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 335

11 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Menge und Elemente Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente genannt. eispiele: Sei die Menge der natürlichen Zahlen von eins bis zehn, so kann wie folgt angegeben werden. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {x: x ist eine natürliche Zahl mit 1 x 10 } Enthält die Menge die möglichen usprägungen eines Münzwurfs, so besteht aus zwei Elementen: = { Wappen, Zahl }. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 336

12 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Grundbegriffe der Mengenlehre 1. x ist Element der Menge bzw. nicht Element von ; in Zeichen (i.z.) x bzw. x. 2. ist Teilmenge von, falls jedes Element von auch in ist; i.z.. 3. Die Schnittmenge zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die sowohl in als auch in sind; i.z. = { x : x x }. 4. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die in oder sind; i.z. = { x : x x }. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 337

13 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Grundbegriffe der Mengenlehre fortgesetzt Die Differenzmenge zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die in aber nicht in sind (oder umgekehrt); i.z. { x : x x } \ = 6. Für Ω ist die Komplementärmenge von bzgl. Ω die Menge aller Elemente von Ω, die nicht in sind; i.z. = Ω \. bzw. \ = { x : x x }. 7. Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller Teilmengen von ; i.z. ( ) = { M : M }. 8. Die Mächtigkeit einer Menge gibt an, wie viele Elemente in enthalten sind; { x : x }. i.z. = # Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 338

14 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Die Menge, die kein Element enthält, ist die sogenannte leere Menge. Sie wird mit bezeichnet, d.h. =. { } eispiel zur Potenzmenge Gegeben sei die Menge = {1, 2, 3}. Dann lautet die Potenzmenge von emerkungen: ( ) = { }, { 2 }, { 3 }, { 1,2 }, { 2,3 }, { 1,3 }, { 1,2,3 } { 1, }. - Die Menge selbst und die leere Menge sind immer in der Potenzmenge enthalten. - Falls <, dann gilt: ( ) = 2. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 339

15 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Venn-Diagramme zur Veranschaulichung von Mengenoperationen Ω Ω Ω C C Ω \ Ω Ω Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 340

16 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Übung: Kennzeichnen Sie in nachfolgenden Venn-Diagrammen die geforderten Mengen. C C ( ) \ C ( ) \ C C C ( ) C ( ) C Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 341

17 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit eim einmaligen Werfen eines Würfels werden folgende Ereignisse betrachtet: : Eine gerade Zahl wird gewürfelt, : eine durch 3 teilbare Zahl wird gewürfelt, C: eine 1 wird gewürfelt. a) eschreiben Sie durch geeignete Verknüpfungen von, und C das Ereignis, (i) eine ungerade Zahl, (ii) mindestens eine 2, (iii) eine 6, (iv) eine 1 oder eine 5 zu würfeln. b) Gelten die folgenden eziehungen (i), (ii) C, (iii) C? Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 342

18 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Rechenregeln für Mengen 1. Kommutativgesetze:,, = = 2. ssoziativgesetze: ( ) ( ), C C = ( ) ( ), C C = 3. Distributivgesetze: ( ) ( ) ( ), C C C = 343 Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit ( ) ( ) ( ), C C C = 4. De Morgansche Regeln:, =. = Gültigkeit mit Hilfe von Venn-Diagrammen jedoch leicht einsichtig. Ohne formalen eweis.

19 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Der Ereignisraum (auch Ergebnisraum, Grundraum oder Stichprobenraum) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs und wird üblicherweise mit Ω bezeichnet. esteht Ω aus höchstens abzählbar vielen (endlich oder abzählbar unendlich vielen) Elementen ϖ ϖ,,k so sprechen wir von einem diskreten Ereignisraum. 1, 2 ϖ 3 Teilmengen von Ω heißen Zufallsereignisse oder einfach Ereignisse. Die einelementigen Ereignisse von Ω heißen Elementarereignisse. Das Ereignis Ω heißt sicheres Ereignis, das zugehörige Komplementärereignis Ω = unmögliches Ereignis. Sind und sich gegenseitig ausschließende Ereignisse heißen sie disjunkt, und es gilt: =. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 344

20 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit eispiele - Münzwurf: Ω = { Zahl, Wappen } - Werfen eines Würfels: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } - Zweimaliges Werfen eines Würfels: Ω = { (1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),..., (6, 6) } - Mietspiegelerstellung: Zufälliges Ziehen einer Wohnung aus allen mietspiegel- relevanten Wohnungen. Diese stellen dementsprechend den Ergebnisraum dar. - Klausurpunktezahl: z.. Ω = { 0, 1, 2,..., 100 } - Einschätzung des Sachverständigenrates zur Konjunkturentwicklung: z.. Ω = { positive Entwicklung, unverändert, negative Entwicklung } - nzahl der Würfelwurfe bis zur 1. Sechs: Ω = { 1, 2, 3, 4,... } - Lebensdauer einer CD Ω = [ 0, ) Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 345

21 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Ziel: Den Ereignissen eines Ereignisraumes sollen Zahlen zugeordnet werden, die die Chance für deren Eintreten ( Wahrscheinlichkeit ) zum usdruck bringen. Ordnet eine Funktion P den Ereignissen eines diskreten Ereignisraumes Ω Zahlen unter Einhaltung folgender Regeln zu: (K1) (K2) (K3) P P ( ) 0, ( Ω ) =1, für,,k Ω paarweise disjunkt gilt: P 1, 2 3 ( K) = P( ), i= 1 so heißt P Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge von Ω und die Funktionswerte von P heißen Wahrscheinlichkeiten. Die aufgeführten Regeln entsprechen den xiomen von Kolmogoroff. i Interpretation? Motivation? Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 346

22 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Ω P() Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion, die den Teilmengen einer Menge unter Einhaltung der Kolmogoroffschen xiomatik Zahlen zwischen 0 und 1 zuordnet, die als Wahrscheinlichkeiten bezeichnet werden. Wie folgt aus der xiomatik, dass Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 liegen? Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 347

23 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Sei Ω ein Ereignisraum, dann gilt: ( ) P für Ω, 2. P( ) = 0, ( ) ( ), 3. P P falls und, Ω, ( ) ( ) 4. P =1 P mit = Ω \, ( ) ( ) ( ) ( ), 5. P K = P + P + K+ P falls 1 2 k 1 2 k 1, 2, K, k paarweise disjunkt, d.h. = für und Ω, i, j = 1, K, k, i 6. P( ) = P( ) + P( ) P( ). i j i j eweis: Folgt leicht aus den xiomen nach Kolmogoroff. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 348

24 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses Sei Ω das Ereignis eines diskreten Ereignisraumes Ω mit den Elementar- ereignissen P { ϖ }, K, { ϖ }, 1 n dann gilt ({ ϖ }) 0, i = 1, 2, K, i = ϖ i ( Ω) P( ) =, P i 1 P i= 1 ( ) = P { ϖ } i: ϖ i ( ). i eweis: Ergibt sich unmittelbar aus den xiomen nach Kolmogoroff. Interpretation? Weshalb gilt dieses Resultat nur für diskrete Ereignisräume? Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 349

25 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit Überabzählbare Ereignisräume und Ereignisalgebren Das auf der Potenzmenge definierte Wahrscheinlichkeitsmaß ist so in der strengen nwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht bzw. nicht genügend operabel. Insbesondere im Falle überabzählbar viel möglicher Ergebnisse erweist sich die Potenzmenge für die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes als zu groß. Stattdessen genügt es, gröbere Teilmengensysteme von Ω (Mengen von Teilmengen von Ω), die bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen, zu betrachten. Konkret werden sogenannte Sigma-lgebren verwendet. Im Zusammenhang von Ereignisräumen heißen diese dann auch Ereignisalgebren. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß üblicherweise auf einer Ereignisalgebra von Ω definiert. Die interessierenden Ereignisse sind dann nur noch die Elemente dieser Sigma-lgebra. Die Potenzmenge wäre lediglich ein Spezialfall einer Sigma-lgebra (die feinste Sigma-lgebra). lle bisherigen und folgenden Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten (einschließlich der xiome (K1)-(K3)) sind, soweit nicht anders vermerkt, auch für ein auf einer Sigma-lgebra definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß gültig. Die Problematik überabzählbarer Ereignisräume (stetige Ereignisräume) wird im Zusammenhang stetiger Zufallsvariablen später erneut aufgegriffen werden. Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 350

26 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit => Übungen erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ( C). C Nehmen Sie an, dass Ihnen nur folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt sind: P ( ), P( ), P( C), P( ), P( C), P( C), P( C). P ( C) = Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 351

27 Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit ufgabe 39 Gegeben seien zwei Zufallsereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, dass R F mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, ist stets die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, die beiden Ereignisse gleichzeitig eintreten, ist stets die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. ufgabe 40 Gegeben seien zwei Ereignisse und mit P = 0.2 Dann gilt immer: R F ( ) < 0.2, P ( ) 0.8, P ( ) 0.2. P ( ). Grundlagen - Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit 352

28 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Die Laplace-Wahrscheinlichkeit Laplace-Experiment Kann man für ein beliebiges Zufallsexperiment mit endlichem Ereignisraum Ω annehmen, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, so nennt man ein solches Experiment Laplace-Experiment. { } In einem Laplace-Experiment mit Ω = ϖ, ϖ 2, K, ϖ gilt: 1 Ω 1 N (i) P( ϖ j ) = =, j = 1, K, N, 1 K ϖ N M (ii) P ( ) = =, für Ω mit = M, d.h., Ω N P( ) = nzahl der für günstigen Ergebnisse nzahl aller möglichen Ergebnisse. Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 353

29 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten emerkung Eine solche erechnungsvorschrift definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß gemäß der Kolmogoroffschen xiomatik. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in einem Laplace-Experiment nennt man dann Laplace-Wahrscheinlichkeiten. eispiel: Dreimaliger Münzwurf Eine faire Münze wird dreimal unabhängig voneinander geworfen und es wird notiert, ob die Münze Wappen oder Zahl anzeigt. Der Ereignisraum lautet dann: Ω = {( W, W, W ), ( W, W, Z ), ( W, Z, W ), ( Z, W, W ) ( W, Z, Z ), ( Z, W, Z ), ( Z, Z, W ), ( Z, Z, Z )}. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis = {genau einmal Zahl} ist dann P ( ) = Ω {( Z, W, W ), ( W, Z, W ), ( W, W, Z )} {( W, W, W ), K, ( Z, Z, Z )} =, 3. 8 Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 354

30 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Urnenmodell und Kombinatorik Problem: Mächtigkeit von Mengen in Laplace-Experimenten bisweilen schwierig festzustellen. eispiel: Lotto 6 aus 49 us 49 Kugeln werden 6 Kugeln zufällig gezogen (Ziehen ohne Zurücklegen). Der Hauptgewinn kann eingelöst werden, falls alle 6 Kugeln richtig getippt wurden, wobei die Reihenfolge ihres Erscheinens beim Ziehen keine Rolle spielt. Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Kugeln zu ziehen, wobei nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird? Kombinatorische Grundlagen hilfreich Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 355

31 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten zunächst einige mathematische Schreibweisen... Fakultät und inomialkoeffizient Die Fakultät einer natürlichen Zahl k ist definiert als ( ) ( ) ! = K k k k k Es gilt:. 1 0!, 1! 1 = = Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Für zwei natürliche Zahlen n und N ist der inomialkoeffizient definiert als n N ( ).!!! n n N N n N = Es gilt: falls 0, 1,, 1 1, 0 = = = = n N N N N N N N < n. eispiel: ! 4 = = 356

32 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Urnenmodell Viele Laplace-Experimente können auf ein Urnenmodell übertragen werden. us einer Urne mit N Kugeln wird eine Zufallsstichprobe von n Kugeln gezogen. Für den Ziehvorgang gibt es nun verschiedene Varianten. Ziehen ohne Zurücklegen mit erücksichtigung der Reihenfolge mit erücksichtigung der Reihenfolge Ziehen mit Zurücklegen ohne erücksichtigung der Reihenfolge ohne erücksichtigung der Reihenfolge Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 357

33 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Einfache Zufallsstichprobe esitzt jede Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N dieselbe Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, so liegt eine einfache Zufallsstichprobe vor. Zur erechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ist die Kenntnis der nzahl aller möglichen Stichproben erforderlich. Problem 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel bei fünf Würfen erst im fünften Wurf eine 6 zu werfen? Urnenmodell: Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 358

34 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Lösung: Modell mit Zurücklegen und mit erücksichtigung der Reihenfolge ei einer Ziehung mit Zurücklegen und mit erücksichtigung der Reihenfolge aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist die nzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n gegeben als n N. Einfache Zufallsstichprobe? Problem 2 Wie groß wäre die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 49, falls zusätzlich die Reihenfolge der getippten Zahlen mit der Reihenfolge der gezogenen Kugeln übereinstimmen müsste? Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 359

35 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Urnenmodell: Lösung: Modell ohne Zurücklegen und mit erücksichtigung der Reihenfolge ei einer Ziehung ohne Zurücklegen und mit erücksichtigung der Reihenfolge aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist die nzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n gegeben als N N! ( n)!. Einfache Zufallsstichprobe? Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 360

36 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Problem 2* In einer Unterhaltungsshow wird ein Kandidat aufgefordert, 5 Personen gemäß ihres lters zu ordnen. Wie viele Möglichkeiten besitzt der Kandidat theoretisch, diese 5 Personen zu ordnen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit würde er also die richtige Reihenfolge tippen, wenn er auf pures Raten angewiesen wäre? Urnenmodell: Lösung: Permutationen Es gibt N! Möglichkeiten, N unterscheidbare Objekte anzuordnen. Diese nordnungsmöglichkeiten werden Permutationen genannt. Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 361

37 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Problem 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 5 Richtige beim Lotto 6 aus 49? Urnenmodell: Lösung: Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 362

38 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Modell ohne Zurücklegen und ohne erücksichtigung der Reihenfolge ei einer Ziehung ohne Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist die nzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n, wenn zwischen den nordnungen der Objekte in der Stichprobe nicht unterschieden wird, gegeben als N. n Einfache Zufallsstichprobe? Problem 4 Was wäre, falls Lotto 6 aus 49 mit Zurücklegen gespielt würde? Urnenmodell: Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 363

39 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Modell mit Zurücklegen und ohne erücksichtigung der Reihenfolge ei einer Ziehung mit Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist die nzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n, wenn zwischen den nordnungen der Objekte in der Stichprobe nicht unterschieden wird, gegeben als N + n 1. n Einfache Zufallsstichprobe? Probleme? Zusammenfassung der kombinatorischen Resultate mit erücksichtigung der Reihenfolge ohne erücksichtigung der Reihenfolge ohne Zurücklegen N! ( N n)! N n mit Zurücklegen N N + n 1 n n Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 364

40 erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten ufgabe 41 Die Wahrscheinlichkeit mit einem fairen Würfel bei fünf Würfen genau dreimal nacheinander eine 6 und keine weitere zu werfen R F ist kleiner als 1%. ufgabe 42 ei einem Fußballturnier werden 16 Mannschaften in zwei Gruppen eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden stärksten Mannschaften in der gleichen Gruppe spielen, R F ist kleiner als 50%. Grundlagen - erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 365