Schriftlich Reifeprüfung aus Mathematik

Transkript

1 . Analytische Geometrie Schriftlich Reifeprüfung aus Mathematik Berechne jene(n) Punkt(e) der Ellipse 3x² + 8y² = 0, in dem die Leitstrecken aufeinander normal stehen. Berechne weiters die Winkel, die die beiden Leitstrecken jeweils mit der Tangente an die Ellipse im Punkt P(4 3) einschließen. Was fällt an diesem Ergebnis bezüglich der Winkel auf? Welche allgemeine Eigenschaft einer Ellipse liegt deiner Beobachtung zu Grunde? Stelle hinsichtlich des Aspekts Winkel zwischen Leitstrecke und Tangente einen Vergleich mit der Parabel an und erkläre an Hand einer Skizze.. Wahrscheinlichkeitsrechnung a) Die Lebensdauer einer speziellen Art von Bremsen für Mopeds ist erfahrungsgemäß normalverteilt mit einer Standardabweichung von 800 km. Die mittlere Lebensdauer einer Bremse beträgt 500 km. Hinweis: Unter Lebensdauer versteht man in diesem Zusammenhang die Anzahl der gefahrenen Kilometer, bis die Bremse erneuert werden muss. Beantworte die folgenden Fragen und stelle die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in einer Skizze grafisch dar. () In welchem Bereich liegt die Lebensdauer einer Bremse mit 95%er Wahrscheinlichkeit? () Bei wie vielen Prozent der Bremsen der Bremsen übersteigt die Lebensdauer km? (3) Bis zu welcher Lebensdauer liegen 90% der Bremsen? (4) Wie groß muss die mittlere Lebensdauer einer Produktionsserie bei gleicher Standardabweichung sein, damit höchstens % der Bremsen eine Lebensdauer von weniger als km haben? b) Aufgrund einer großangelegten technischen Überprüfung hat man festgestellt, dass % der Mopeds nicht den technischen Vorschriften entsprechen. () Bei einer Polizeikontrolle werden 0 Mopeds kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (i) genau 3 Mopeds, (ii) weniger als 5 Mopeds technische Mängel aufweisen? () Simuliere diese Polizeikontrolle von 0 Mopeds auf deinem Taschenrechner 50mal. Der Startwert für den Zufallszahlengenerator ist 3. Gib die Werte der Simulation an und stelle sie als Balkendiagramm dar. Was sagen die einzelnen Werte aus? Stimmen die Ergebnisse der Simulation mit den berechneten (theoretischen) Werten z. B. für 3 defekte Mopeds überein? Kann eine andere Simulation (z. B. mit einer anderen Initialisierung) ein anderes Ergebnis liefern? c) Ein technischer Sachverständiger bezweifelt, dass nur % der Mopeds technische Mängel haben. Eine Überprüfung von 80 Mopeds hat nämlich ergeben, dass 4 Fahrzeuge das entspricht 7,5% zu beanstanden waren. Kann durch das Überprüfungsergebnis die Hypothese von % defekter Mopeds abgelehnt werden? Berechne das Konfidenzintervall auf 95%-Vertrauensniveau und interpretiere das Ergebnis.

2 3. Trigonometrie a) Drei Kräfte befinden sich im Gleichgewicht. Die Beträge der drei Kräfte sind F = 73, F = 46 und F3 = 8 (Angaben in N). Berechne die Winkel zwischen den Kräften. b) Formuliere den Cosinussatz für ein beliebiges Dreieck und beweise ihn. Fertige eine entsprechende Skizze an. In welchen Fällen wird der Cosinussatz zur Berechnung von Bestimmungsstücken eines Dreiecks herangezogen? Gib zwei solcher Fälle an. 4. Differentialrechnung, Integralrechnung Durch einen Stromkreis mit einer Spule fließt ein Strom (Stromstärke) der Größe I 0. Nach dem Ausschalten der Stromversorgung (zum Zeitpunkt t = 0) nimmt die Stromstärke aber nicht sofort den Wert null an, sondern man beobachtet ein allmähliches Abklingen der Stromstärke. Man weiß, dass die Änderung (Abnahme) der Stromstärke mit der Zeit proportional zur vorhandenen Stromstärke mit einem Proportionalitätsfaktor ist ( Zeitkonstante). () Stelle für den beschriebenen Sachverhalt eine Differentialgleichung auf und löse diese! () Zeichne für die Differentialgleichung ein Richtungsfeld mit = s und ermittle auf grafischem Weg die allgemeine Lösung für der Stromstärke I. Zeichne zwei mögliche Kurvenverläufe ein. Für die weiteren Aufgaben verwende die Funktion I(t) = I0 e. (3) Die anfängliche Stromstärke I 0 beträgt,5 A, und die Zeitkonstante ist 0,5 s. Wie lange dauert es bei diesem Anfangswert von I 0, bis der Strom nur mehr 0, A beträgt? (4) Nach welcher Zeit ist bei allgemeiner Zeitkonstante und Anfangsstromstärke I 0 nur mehr die Hälfte bzw. ein Viertel des Stroms vorhanden? Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden Zeiten? (5) Die Stromstärke I ist definiert als die momentane Änderung(srate) der Ladung Q mit dq der Zeit t: I(t) =. dt Berechne aus dieser Information die Ladung (in Coulomb), die innerhalb der ersten Sekunde also im Zeitraum von 0 s bis s nach dem Ausschalten durch den Stromkreis geflossen ist, wenn die anfängliche Stromstärke I 0 =,5 A und = 0,5 s ist. t Punkte 3 4 Gesamt a) 4 b) () () 3 c) 3 a) 5 b) 5 () 3 () 3 (3) (4) 3 (5) 3 Erlaubte Hilfsmittel: Grafik-Taschenrechner TI 84, Formelsammlung Alle Berechnungen, die am Taschenrechner durchgeführt werden, müssen ausführlich dokumentiert werden!

3 Lösungsvorschläge ) ell: 3x² + 8y² = 0 a² = 40, b² = 5 e² = a² - b² = 40 5 = 5 e = 5 Brennpunkte:F (-5 0), F (5 0) FP F P = 0 x + 5 x 5 0 3x 0 3x = x x² 5 + = x² x² = 0 5x² = 80 x = ± 4 P(4 3) bzw. P (-4 3), P (-4-3), P 3 (4-3) 0 3x Punkt auf ell: P(x ) Andere Möglichkeit: Thaleskreis geschnitten mit Ellipse k: x² + y² = 5² ell: 3x² + 8y² = 0 x = ±4, y = ±3 P(4 3) bzw. P (-4 3), P (-4-3), P 3 (4-3) Tangente t in P(4 3) t: 3x 4 + 8y 3 = 0 x + y = 0 y = -0,5x + 5 k = -0,5; Richtungsvektor = a = k 0,5 4 ( 5) FP = = ; FP = = FP 3 a 5 cosα = = F 3 P a 5 = = = cosβ = = = = = FP a F P a α = 45 β = 35 bzw. 45 Beide Winkel betragen 45 und sind gleich groß. Die Winkel zwischen Leitstrecken und Tangenten sind immer gleich groß. (Licht)Strahlen, die von einem Brennpunkt ausgehen, werden so reflektiert, dass sie zum anderen Brennpunkt gehen (vgl. Flüstergewölbe). Dieselbe Eigenschaft tritt bei Parabeln auf, nur liegt der. Brennpunkt im Unendlichen, deshalb verlaufen Lichtstrahlen parallel zur Achse. 8 3

4 ) a) µ = 500; σ = 800 ; X Lebensdauer der Bremsen () P(µ - ε < X < µ + ε) = P( X - µ < ε) = 0,95 Solver: 0 = normalcdf(500-e, 500+E,500, 800) 0,95 E = 567, [ ; ] = [993; 3068] Die Lebenserwartung der Bremsen liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 993 km und 3068 km. () Gesucht: P(X > 3 000) normalcdf(3000,e99, 500, 800) 0,03 Bei ca. 3% der Bremsen übersteigt die Lebensdauer km. (3) P(X < a) = 0,90 invnorm(0.90, 500, 800) 55 90% der Bremsen haben eine Lebensdauer bis 55 km. (4) Solver: 0 = normalcdf(-e99, 0000, M, 800) 0,0 M = 64, Die mittlere Lebensdauer liegt bei ca. 643 km. b) () X Anzahl der defekten Mopeds n = 0; p = 0, (i) P(X = 3) = binompdf(0, 0., 3) 0,4 (ii) P(X < 5) = P(X 4) = = binomcdf(0, 0., 4) 0,973 4

5 () 3 rand randbin(0, 0., 50) L STAT PLOT mit entsprechenden Einstellungen n Anzahl Die Simulation ergibt, dass bei der 50maligen Überprüfung von jeweils 0 Mopeds mal 3 Mopeds defekt waren. von 50 entspricht 4% im Vergleich zum theoretischen Wert von,4%. Eine andere Simulation wird (höchstwahrscheinlich) ein anderes Ergebnis bringen. c) Stichprobenergebnis h = 0,75 n = 80; p = 0,, 95%-Konfidenzniveau z,96 h ( h) h ( h) h z ; h + z = n n 0,75 ( 0,75) 0,75 ( 0,75) = 0,75,96 ; 0,75 +,96 = 0,09; 0, Die Hypothese, dass % aller Mopeds technische Mängel aufweisen, kann auf Grund der Stichprobe nicht verworfen werden, weil % im 95%-Konfidenzintervall liegt. 5

6 3) a) F = 73 F = 46, F = 8, 3 F ² = F ² + F 3 ² - F F 3 cos α cos α 0,8648 α 34,6 F F = sinα sin γ F sinα sin γ = F 73 sin34,6 sin γ = 46 γ 63,30 β = 80 - ( α + γ) 8,44 φ = α + γ = 97,56 φ = 80 - γ = 6,70 φ 3 = φ - φ = 45,74 b) a² = b² + c² - bc cos α b² = c² + a² - ca cos β c² = a² + b² - ab cos γ Beweis: Im Dreieck ABD gilt nach dem Satz von Pythagoras c² = h b ² + (b b )² Im Dreieck BCD gilt: h sin γ = b und cos γ = b. a a h b = a sinγ und b = a cosγ c² = (a sinγ)² + (b - a cosγ)² c² = a² sin²γ + b² - ab cosγ + a² cos²γ. c² = a² sin²γ + a² cos²γ + b² - ab cosγ c² = a² (sin²γ + cos²γ) + b² - ab cosγ c² = a² + b² - ab cosγ Der Cosinussatz wird herangezogen, wenn 3 Seiten oder Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. 6

7 4) () Differentialgleichung. di =. I dt Trennung der Variablen di = dt I ln(i) = t + c 0 t + c t c = = mit e c = I 0 folgt I(t) e e e t I(t) = I e () I = - ½ I (3) I 0 =,5 A = 0,5 s 0, =,5 e - t/0,5 ln (0,/,5) = - t/0,5 t,6 s (4) ½ I 0 = I 0 e - t/ ln ½ = - t/ t = - ln ½ = ln ¼ I 0 = I 0 e - t/ ln ¼ = - t/ t = - ln ¼ = ln 4 = = ln doppelte Zeit (5) dq I(t) = dt t t 0,5 t Q I(t) dt I0 e dt,5 e dt,5 e dt = = = = = t e 0,5,5 (e e ),08 C = = 0 7