W 18 Bestimmung des Adiabatenexponenten γ

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1 Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum W 18 Bestimmung des Adiabatenexponenten γ Aufgaben 1 Bestimmen Sie den Adiabatenexponenten γ nach der Methode von Clément und Desormes für Luft und Kohlendioxid. Ermitteln Sie die Schallgeschwindigkeit in Luft, und bestimmen Sie daraus den Adiabatenexponenten. Berechnen Sie die molaren Wärmekapazitäten von Luft für konstanten Druck und für konstantes Volumen. 3 Bestimmen Sie die Adiabatenexponenten von Luft und von Kohlendioxid mit einem Resonanzverfahren (Resonanzrohr). Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den Adiabatenexponenten eines Gases mit dem Gasoszillator nach Flammersfeld. Literatur Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Wärmelehre,.0.1,.0.,. Gerthsen Physik,. Auflage, D. Meschede, 5.1., 5..3, 5..5 Zubehör Druckgasflasche mit CO, Luftpumpe, digitales Manometer, große Glasflasche, Funktionsgenerator, Ultraschallwandler, Oszilloskop, Resonanzgerät, Gasoszillator nach Flammersfeld Schwerpunkte zur Vorbereitung - Adiabatische und isotherme Zustandsänderungen, 1. Hauptsatz der Wärmelehre - Spezifische Wärmekapazitäten c p und c v von Gasen - Definition des Adiabatenexponenten γ, Abhängigkeit vom atomaren Aufbau idealer Gase - Bestimmung von γ nach Clément und Desormes - Schallausbreitung in Gasen, Kompressionsmodul, adiabatische Kompressibilität - Erzeugung von Lissajous-Figuren - γ -Bestimmung mit dem Resonanzrohr Bemerkungen Zur Erhöhung der Messgenauigkeit sind Mehrfachmessungen zu realisieren. Es sind die Messunsicherheiten der verschiedenen Messmethoden sowie die experimentell erhaltenen γ -Werte mit den aus der Molekülart berechenbaren Werten des Adiabatenexponenten zu vergleichen. 1

2 Hinweise zum Versuch Aufgabe 1: Bestimmung des Adiabatenexponenten nach der Methode von Clemént und Desormes Zum Realisieren der adiabatischen Entspannung eines komprimierten Gases, ist eine großvolumige Glasflasche mit einem Einweghahn großen Querschnitts versehen (Abb. 1). Der Einweghahn zum Entspannen der großen Glasflaschen muss schlierenfrei und gut drehbar sein. Vor Beginn der Messung ist die Glasflasche mit dem Messgas gut durchzuspülen. Bei der Messung mit Kohlendioxid ist eine Einweisung in die Bedienung der Ventile der Druckgasflasche durch die BetreuerInnen erforderlich. Führen Sie die Messungen bei fünf verschiedenen Anfangsdrücken durch. Die Druckdifferenz, die mit einem digitalen Manometer gemessen wird, darf 60 hpa nicht übersteigen. Nach jeder Druckänderung ist ein Gleichgewichtszustand abzuwarten, der sich nach etwa fünf bis zehn Minuten einstellt. Es wird vorausgesetzt, dass während der Messungen sowohl der äußere Luftdruck p L als auch die Zimmertemperatur T Z konstant bleiben. Überprüfen Sie, ob die Bestimmung von γ mit der Näherungsgleichung γ = p1/( p1 p) ausreichend genau erfolgen kann. Abb. 1 Versuchsaufbau nach Clemént und Desormes Aufgabe : Bestimmung des Adiabatenexponenten über die Schallgeschwindigkeit Die Schallschwingungen erfolgen so schnell, dass praktisch ein Temperaturausgleich zwischen den durch eine halbe Wellenlänge getrennten Stellen der Erwärmung (infolge Verdichtung) und Abkühlung (infolge Verdünnung) des Gases mit der Umgebung nicht wirksam werden kann. Der Messplatz zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft besteht aus folgenden Geräteeinheiten (Abb.): - Funktionsgenerator mit regelbarer Frequenz - Ultraschallwandler als Schallquelle - Ultraschallwandler als Empfänger - Oszilloskop zur Beobachtung der Lissajous-Figur und Messung der Laufzeit Abb. Messplatz zur Schallgeschwindigkeitsmessung Das Signal des Funktionsgenerators ist an den Kanal 1 (CH1, X) des Oszilloskops sowie an die Schallquelle angeschlossen. Der Kanal (CH, Y) des Oszilloskops ist mit dem Empfänger verbunden. Durch Veränderung des Abstands d ändert sich die Phasenverschiebung zwischen den Spannungen am X- und Y-Eingang des Oszilloskops und somit das Aussehen der entstehenden Lissajous-Figur. (siehe Abb. 3.). Dabei erzeugt eine Änderung des Abstands um λ eine Phasenverschiebung von π.

3 Abb. 3 Lissajous-Figuren bei verschiedenen Phasenwinkeln ϕ und Amplituden (a, b) Es sind je 10 Messungen bei zwei verschiedenen Frequenzen (Bereich 38- khz) durchzuführen und graphisch oder rechnerisch auszuwerten, wobei zur Erhöhung der Messgenauigkeit eine Änderung des Abstands zwischen Emitter und Empfänger von etwa 5 Wellenlängen je Messung erfolgen soll. Die Schallgeschwindigkeit ist zusätzlich noch mit einem Laufzeitverfahren zu bestimmen. Dazu wird bei einem festen Abstand zwischen den Schallwandlern, die Zeit zwischen Aussenden eines Einzelimpulses und dem Empfangen des Impulses mit dem Oszilloskop im Zweikanalbetrieb gemessen. Aufgabe 3: Bestimmung des Adiabatenexponenten eines Gases mit dem Resonanzrohr In einem Glasrohr (1, Abb. 3), dessen Enden mit Hähnen verschließbar sind, befindet sich ein zylindrischer Schwingkörper () aus magnetischem Material. Um das senkrecht stehende Glasrohr ist eine längs des Rohres verschiebbare Erregerspule (3) angebracht, an die ein Funktionsgenerator () mit regelbarer Frequenz angeschlossen ist. Der Erregerstrom darf 1 A (Effektivwert) nicht überschreiten! Die Kontrolle erfolgt mit einem Amperemeter. Befindet sich der Schwingkörper im Bereich des magnetischen Wechselfeldes der Erregerspule und liegt die Frequenz des Spulenfeldes nahe der Resonanzfrequenz der mechanischen Schwingung des Körpers in der Luftsäule des Rohres, beginnt dieser um eine Gleichgewichtslage mit kleiner Auslenkung zu schwingen. Im Resonanzfall ist die Schwingungsamplitude maximal. Für die Eigenfrequenz des schwingenden Körpers ergibt sich 1 c 1 pa pa f = γ γ π m = π Vm = lm. (1) γ pa Für die unbekannte Gasfederkonstante folgt nach Gl. (1) c =. V Abb. 3 Resonanzrohr Bei konstanter Temperatur und konstantem Druck ist die Bestimmung des unbekannten Adiabatenexponenten γ x mit einem Vergleichsgas, dessen Adiabatenexponent γ r bekannt ist, nach der Relation in Gl. () möglich: fx γ x = γ r, () fr Im Versuch steht kein Vergleichsgas zur Verfügung. Die Bestimmung des Adiabatenexponenten erfolgt unter Verwendung von Gl. (3): 0 γ = 97,1 (Pa s ) f. (3) p L Dabei wird vorausgesetzt, dass sich der Schwingkörper in der Mitte des Rohres befindet und beide Enden des Rohres verschlossen sind. In der Gerätekonstanten 97,1 Pa s wurde gemäß der oben 3

4 angegebenen Versuchsbedingungen die Gas-Federkonstante mit c berücksichtigt, da ober- und unterhalb des schwingenden Zylinders in dem abgeschlossenen Gasvolumen abwechselnd Kompression bzw. Expansion stattfindet. In Gl. (3) sind f 0 die Resonanzfrequenz (Einheit Hz) und p L (Einheit Pa) der äußere Luftdruck nach Druckausgleich im Rohr. Hinweise zur Versuchsdurchführung: In das an beiden Enden geöffnete Glasrohr, das eine Volumenskalierung besitzt, lässt man das zu untersuchende Gas einströmen. Der Schwingkörper wird dadurch an das obere Ende des Rohres verschoben. Danach wird Gas vom oberen Ende in das Rohr hineingedrückt und der Körper nach unten bewegt. Dieser Vorgang ist so oft zu wiederholen, bis sich nur noch das zu untersuchende Gas im Glasrohr befindet. Dann drückt man den Schwingkörper von unten bis in die Mitte des Rohres nach oben und entfernt den Druckgasschlauch. Anschließend sind die Hähne zu schließen. Der Gasdruck im Rohr entspricht nun dem äußeren Luftdruck. Nachdem die Erregerspule kurz unterhalb des Schwingkörpers befestigt wurde, vergrößert man langsam die Frequenz des Generators beginnend bei 0 Hz, bis der Körper mit maximaler Amplitude schwingt. Um ein konstantes Volumen der Gassäule während der Schwingungen zu gewährleisten, muss der langsam nach unten gleitende Schwingkörper ggf. vor jeder neuen Messung der Resonanzfrequenz wieder in die Mitte des Rohres gebracht werden. Das Aufsuchen der Resonanzfrequenz ist mehrfach zu wiederholen. Zur Zusatzaufgabe: Gasoszillator nach Flammersfeld Ein zylindrischer Körper (Abb., 1) mit der Masse m und dem Durchmesser d, der in einem senkrechten Präzisionsrohr () ein Gasvolumen (3) bekannter Größe V nach oben abschließt, wird im Rohr aufsteigen, wenn man durch das Röhrchen () Gas zuführt, da sich im Raum unter dem Körper ein Überdruck aufbaut. Gibt der Körper beim Steigen ein Ventil (5) (feiner Schlitz) im Rohr frei, so entweicht Gas und der Druck fällt ab. Der Körper sinkt nach unten und verschließt das Ventil wieder. Bei kontinuierlicher Gaszufuhr steigt und sinkt der Körper im Rohr periodisch. Stellt man die Gaszufuhr so ein, dass auch der wegen des Spielraums zwischen Körper und Rohrwand unvermeidliche Gasfluss ausgeglichen wird, so bildet sich eine mitgekoppelte Schwingung aus, da die an sich gedämpfte Schwingung immer wieder phasensynchron angestoßen wird. Sinkt der Körper (Durchmesser d) um die kleine Distanz x unter die Gleichgewichtslage der Schwingung, dann erhöht sich der Druck p um Δp, und man erhält für die Druckkraft F (die den Körper beschleunigt) d x π F = m = A p= d p. () dt Der Druck p im Gefäß ist die Summe aus Luftdruck p L und dem "Kolbendruck" des Schwingkörpers mg p= pl +. (5) π d Da der Schwingungsvorgang relativ schnell abläuft, kann er als adiabatisch betrachtet und die Adiabatengleichung in der Form p= constv γ. (6) verwendet werden. Aus ihr erhält man durch Differentiation nach dem Volumen dv dp= γ p, (7) V d.h. für kleine Druckschwankungen Δp gilt p= γ p V/ V. (8)

5 Das Einsetzen von Gl. (8) mit ΔV = π d x/ in Gl. () liefert die Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator γπ d p 0 x d x + dt 16mV = (9) mit der Eigenfrequenz γπ d p ω 0 =. 16mV (10) Unter Verwendung vonω 0 = π /T folgt die Formel zur Berechnung des Adiabatenexponenten 6mV γ =. (11) T d p Nach einer Einweisung durch den Betreuer sind mit Hilfe der Lichtschrankenanordnung zehnmal die Periodendauer (Frequenz) mit einem digitalen Zähler zu messen. Daraus sind der Mittelwert, die Standardabweichung und der zugehörige Vertrauensbereich für ein Vertrauensniveau von 95% zu ermitteln. Mit Gl. (11) ist der Adiabatenexponent zu berechnen und der Größtfehler abzuschätzen. Abb. Gasoszillator nach Flammersfeld 1 Zylinder (Schwingkörper, Masse m=(,575±0,005) g, Durchmesser d=(11,90±0,0) mm Präzisionsrohr 3 Glaskugel, Systemvolumen V=(1,138±0,00) 10-3 m 3 Kapillarrohr für die Gaszuführung 5 Schlitz 5

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