Vorlesung Theoretische Informatik (Info III)

Transkript

1 1 Vorlesung Theoretische Informatik (Info III) Prof. Dr. Dorothea Wagner Dipl.-Math. Martin Holzer 22. Januar 2008

2 Einleitung Motivation 2 Thema heute Kontextfreie Grammatiken: Lemma von Ogden Eigenschaften

3 Einleitung Motivation 3 Wer ist eigentlich Chomsky? (Avram) Noam Chomsky geb. 1928, USA Linguist (generative Grammatiken) Forscher der Psychologie (kognitive Revolution) Emeritus des MIT politischer Aktivist (Vietnamkrieg) Quelle: Wikipedia

4 Einleitung Wiederholung 4 Pumping-Lemma (kontextfreie Sprachen) Satz 5.13 Für jede kontextfreie Sprache L gibt es eine Konstante n N so, dass sich jedes Wort z L mit z n so als z = uvwxy schreiben lässt, dass vx 1, vwx n und für alle i 1 das Wort uv i wx i y in L ist. Satz 5.13 (alternative Formulierung) L L KFG. n N z L ( z n) z = uvwxy mit 1. vx 1 2. vwx n 3. i 1 : uv i wx i y L

5 Einleitung Wiederholung 5 Anwendung Pumping-Lemma Satz 5.13 (alternative Formulierung) L L KFG. n N z L ( z n) z = uvwxy mit 1. vx 1 2. vwx n 3. i 1 : uv i wx i y L Satz 5.13 ( Rückrichtung ) L Sprache, n N z L ( z n) z = uvwxy mit 1. vx 1 2. vwx n 3. i 1 : uv i wx i y / L Dann ist L nicht kontextfrei.

6 Einleitung Beispiel 6 Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe des Pumping-Lemmas, dass die Sprache nicht kontextfrei ist. L = {ww w {0, 1} } 4 Minuten Zeit

7 Einleitung Beispiel 7 Lösung Zu beliebigem n 1 sei z := 0 n 1 n 0 n 1 n ( L). Für jede Zerlegung z = uvwxy mit vx 1 und vwx n gilt einer der Fälle: 1. vx enthält nur Nullen oder Einsen: obda z = }{{} 0 j }{{} 0 k }{{} 0 l }{{} 0 m 0} n (j+k+l+m) {{ 1 n 0 n 1 n } (k + m 1). u v w x Wähle z. B. i := 2, dann ist offensichtlich z := uv i wx i y = 0 j+2k+l+2m+n (j+k+l+m) 1 n 0 n 1 n = 0 n+k+m 1 n 0 n 1 n / L. y

8 Einleitung Beispiel 8 Lösung (Forts.) 2. v und x enthalten jeweils nur Nullen oder Einsen: obda z = }{{} 0 j }{{} 0 k 0}{{} l 1 m }{{} 1 p 1} n (m+p) {{ 0 n 1 n } u i:=2 z = 0 j+2k+l 1 n+p 0 n 1 n / L v w 3. v oder x enthält sowohl Nullen als auch Einsen: obda z = }{{} 0 j }{{} 0 k }{{} 0 l 0} m {{ 1 p } 1} n p {{ 0 n 1 n } u i:=2 z = / L v w x x y y

9 Ogdens Lemma 9 Ogdens Lemma

10 Ogdens Lemma Aussage 10 Satz Satz 5.14 Für jede kontextfreie Sprache L gibt es eine Konstante n N so, dass für jedes Wort z L gilt: wenn wir in z mindestens n Buchstaben markieren, so lässt sich z derart als z = uvwxy schreiben, dass von den markierten Buchstaben 1. mindestens einer zu vx gehört, 2. höchstens n zu vwx gehören und 3. für alle i 0 das Wort uv i wx i y in L ist.

11 Ogdens Lemma Aussage 11 Vergleich zu Pumping-Lemma Pumping-Lemma n N z L ( z n) z = uvwxy mit 1. vx 1 2. vwx n 3. i 1 : uv i wx i y L Ogdens Lemma n N z L ( z n) Markierungen ( z m n) z = uvwxy mit 1. vx m 1 2. vwx m n 3. i 1 : uv i wx i y L

12 Ogdens Lemma Beispiel 12 Grenzen des Pumping-Lemmas Für die Sprache ist das Pumping-Lemma erfüllt. {a i b j c k d l i = 0 j = k = l} Sei n := 3, wähle beliebiges z L mit z n. Falls z Buchstaben a nicht enthält, so gilt dies sogar für jede beliebige Zerlegung und jedes i auch für uv i wx i y. Sonst wähle Zerlegung }{{} ε }{{} ε }{{} ε }{{} a a} i 1 {{ b j c j d} j. Worte u v uv i wx i y sind für alle i in L, da sich nur Anzahl der as ändert. w x y

13 Ogdens Lemma Beispiel 13 Aufgabe Zeigen Sie nun mit Hilfe des Lemmas von Ogden, dass die Sprache nicht kontextfrei ist. {a i b j c k d l i = 0 j = k = l} 3 Minuten Zeit

14 Ogdens Lemma Beispiel 14 Lösung Zu n N wähle z = ab n c n d n. Markiere Teilwort bc n d. Für jede zulässige Zerlegung wähle i := 2. Wort uv 2 wx 2 y liegt nicht in L, da vwx nur zwei verschiedene der Buchstaben a, b, c enthalten kann ( ungleichmäßiges Pumpen ).

15 Ogdens Lemma Beweis 15 Voraussetzungen Grammatik G = (Σ, V, S, R) in CNF mit L(G) = L Wähle Konstante n := 2 V +1 Betrachte zu z L mit z n Syntaxbaum ( fast binär) Verzweigungsknoten: Unterbäume haben markierte Knoten Wähle Wurzel-Blatt-Weg, stets in Richtung der Mehrheit markierter Blätter Es gibt Verzweigungsknoten v 1, v 2 mit gleicher Variable v 1, v 2 induzieren gewünschte Zerlegung z = uvwxy

16 Ogdens Lemma Beweis 16 Syntaxbaum v 1 v 2 u v w x y

17 Chomsky-Hierarchie 17 Chomsky-Hierarchie

18 Chomsky-Hierarchie Aussage 18 Inklusionen Satz 5.15 Die Chomsky-Hierarchie ist echt, d. h. L 3 L 2 L 1 L 0, wobei L i die Klasse der durch Typ-i-Grammatiken erzeugten Sprachen bezeichne (0 i 3).

19 Chomsky-Hierarchie Errata 19 Korrektur zum Skript (iii): L 1 L 0 Nach Satz 5.3 ist die universelle Sprache L u in L 0, da sie semientscheidbar ist. Die Sprache L u ist jedoch nicht kontextsensitiv, da sie nicht entscheidbar ist: Gemäß Definition 5.6 und Satz 5.7 gilt für jede Sprache, die durch eine NTM mit linearem Speicher akzeptiert (nicht entschieden!) wird, dass sie durch eine DTM mit exponentieller Laufzeit entschieden (sic!) werden kann. Mit linearem Arbeitsband können nur exponentiell viele verschiedene Konfigurationen eintreten. Man kann also mit exponentiellem Aufwand testen, ob für eine feste Anfangskonfiguration eine akzeptierende Endkonfiguration erreicht werden kann.

20 Chomsky-Hierarchie Errata 20 Korrektur zur Vorlesung Obige Argumentation ist mit der Diagonalsprache L d an Stelle von L u so nicht möglich, da die Sprache L d nicht semientscheidbar, also nicht in L 0 enthalten ist.

21 Kontextfreie Sprachen 21 Eigenschaften kontextfreier Sprachen

22 Kontextfreie Sprachen Eigenschaften 22 Nutzlose Variablen Definition 5.16 Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eine Variable A heißt nutzlos, falls es keine Ableitung S w (w Σ) gibt, in der A vorkommt. Satz 5.17 Für eine kontextfreie Grammatik kann die Menge der nutzlosen Variablen in polynomialer Zeit berechnet werden. Korollar 5.18 Für eine kontextfreie Grammatik G kann in polynomialer Zeit entschieden werden, ob L(G) = ist.

23 Kontextfreie Sprachen Eigenschaften 23 Algorithmus zu Satz 5.17 Schritt 1: Menge V erzeugender Variablen: bringe Grammatik G = (Σ, V, S, R) auf CNF setze V {A V : (A a) R, a Σ} setze V V {A V : (A BC) R, B, C V } Schritt 2: Menge V nützlicher Variablen: betrachte gerichteten Graphen mit Knotenmenge V und Kanten (A, B) für (A BC) R oder (A CB) R führe Tiefensuche von S aus durch setze V gleich Menge aller in Tiefensuche markierter Knoten

24 Kontextfreie Sprachen Eigenschaften 24 Endlichkeit Satz 5.19 Für eine kontextfreie Grammatik G kann in polynomialer Zeit entschieden werden, ob L(G) endlich ist. Algorithmus: Entferne nutzlose Variablen gemäß Satz 5.17 Betrachte entstehenden Tiefensuchgraphen T : L(G) ist endlich g. d. w. T keinen Kreis enthält [Falls T Kreis K = A 1, A 2,..., A k enthält, so kann durch Ableiten einer Variablen A i entlang von K beliebig aufgeblasen werden (G in CNF)]

25 Kontextfreie Sprachen Rekapitulation 25 Wahr oder falsch? 1. In der Grammatik {S A b, A S} ist die Variable A nutzlos. Falsch. [S A S b] 2. Die Grammatik {S AB SS, A AA AB, B b} erzeugt die leere Sprache. Wahr. [Variable A nicht nach Terminal ableitbar.] 3. Die Sprache {01, 10, 0011, 1100, , ,...} ist kontextfrei. Wahr. [Abgeschlossenheit der Vereinigung; vgl. auch erstes Beispiel in Abschnitt 5.4]

26 Schluss 26 Thema nächste Vorlesung Greibach-Normalform Kellerautomaten

27 Schluss 27 Vielen Dank und gute Prüfungsvorbereitung!