Technische Informatik - Hardware

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1 Inhltsverzeichnis Hns-Georg Beckmnn 22 Technische Informtik - Hrdwre Teil : Grundlgen Vorbemerkungen 2 Dezimlzhlen, Dulzhlen, Hexzhlen 3 Umrechnen in Zhlensystemen 4 Addieren zweier Dulzhlen 6 Hlbddierer 7 Logikbusteine, Schltlgebr 8 Hlbddierer buen TTL-Busteine, Mteril Schltungsentwicklung, Vollddierer 3 2 x 4Bit-Vollddierer 6 Übungsufgben 8...Demultiplexer und Multiplexer 8...Schwellwertschltung 2...Siebensegmentnzeige 2...BCD-Zhlen 2...Vereinfchen von Logikgleichungen 22...UND-Form der Logikgleichung 23...weitere Übungen 26 Teil 2: Speicherbusteine 27 Speichern mit Flip - Flops 27 Zeitllufdigrmme für Flip-Flops 3 Eine einfche Anwendung 3 Verbesserung der Flip-Flops 32...RS-FF mit dominierenem Eingng 32...RS-FF mit Zustndsteuerung 34 D-Flip-Flops und Verbesserungen 36 J-K - Flip - Flops 38 Ds universelle J-K-MS-Flip-Flop 39 Frequenzen teilen 4...JK-MS-FF ls T-Flip-Flop 43...JK-MS-FF ls Zähler 44...weitere Frequenzteiler 45...BCD-Zähler 5 Aufgben 5 Dten sc hieben 5 Rechtsschieben, Linksschieben 53 Universlregister 55 Adressierbre Speicher 6 Litertur: Zusätzlich zu dem VLIN - Hrdwrescript sind folgende Bücher sinnvoll, wenn sie denn noch zu hben sind: Einführung in die Digitlelektronik- Bnd - 3, Herusgeber Jen Pütz Verlgsgesellschft Schulfernsehen - vgs- Köln 983 TTL Tschenbuch Teil und 2, Verlg iwt München, 987 Seite

2 Technische Informtik Hns-Georg Beckmnn 22 Technische Informtik - Hrdwre Vorbemerkungen Die Behndlung digitler Schltungen und technischer Grundlgen der Informtik sollte in jedem Flle Teil des Informtikunterrichts in der Sekundrstufe 2 sein. In den RRL finden sich entsprechende Hinweise unter 2.2, wenn es heißt: " Ds logisch-technische Konzept, ds dem Wechselspiel zwischen Hrd - und Softwre zugrunde liegt, ist exemplrisch zu errbeiten." Und weiter werden ls Stichpunkte ngegeben. - Codierung von Zhlen und Zeichen - Funktionsprinzipien wesentlicher Systemkomponenten - Entwicklung und Relisierung von Schltnetzen durch Elektronikbusteine oder Progrmmsimultion Die Behndlung von Schltwerken knn dbei nicht isoliert behndelt werden. Vielmehr bietet sich n, Inhlte der theoretischen Informtik - hier die Automtehntheorie - mit zu behndeln, d diese Aspekte eng miteinnder verbunden sind. Es knn bei der Behndlung der "hrten Wre" nicht drum gehen, im Unterricht ds Blockdigrmm des Pentium IV zu besprechen und über die Rolle des Level3 Cche zu berten, nur um ktuell und interessnt zu sein. Es geht um Grundlgen, die im whrsten Sinne des Wortes für Schülerinnen und Schüler zu begreifen sind. Die Behndlung der technischen Informtik bietet uch die Möglichkeit, "hndwerklich" etws im Informtikunterricht zu tun, ws j sonst in unserem Fch nicht so oft vorkommt. Oft ist mn verführt diesen ktuellen technischen Entwicklungen einen großen Rum zu geben. D ber in Whrheit weder Schülerinnen und Schüler noch Lehrerinnen und Lehrer die notwendigen Detilkenntnisse hben, bleiben solche Betrchtungen zwngsweise oberflächlich. Denken sie n den Physikunterricht. Dort käme niemnd uf den Gednken, bei der Behndlung von Verbrennungsmotoren die neue Mercedes S-Klsse genuer zu berbeiten. Wrum lso sollten wir im Informtikunterricht uf solche ktuellen technischen Entwicklungen Rücksicht nehmen? Ws im Unterricht zählt, sind zuerst einml Grundlgenkenntnisse. Seite 2

3 Dezimlzhlen, Dulzhlen,Hexdezimlzhlen Hns-Georg Beckmnn 22 Dulzhlen, binäre Zhlendrstellung, Hexdezimlzhlen Aus der Sekundrstufe sind die Dulzhlen möglicherweise beknnt. Eine kleine Tbelle stellt die Zhlensysteme, mit denen wir es zu tun bekommen vor: Deziml Dul... Hexdeziml A B C D E F... Dbei bsieren die Dulzhlen uf Zweierpotenzen und berechnen sich wie folgt: Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit Bit Deziml 3 = Deziml 3 = x x x x 2 + x 2 = = = 3 Die einzelnen Stellen der Dulzhl heißen Bits. 4 Bit heißen Nibble, 8 Bit heißen Byte und 6 Bit heißen Word. Mit n Stellen knn mn in einer Dulzhlen lle Dezimlzhlen von bis 2 n - drstellen. Mit einem Byte lssen sich dmit Zhlen von bis 255 ( ) drstellen. Mit einem word lssen sich Zhlen von bis ( ) drstellen. Seite 3

4 Rechnen mit Dulzhlen Hns-Georg Beckmnn 22 Umrechnung von Dulzhlen in Dezimlzhlen Mn beginnt rechts in der Dulzhl mit der Poten 2 und rbeitet sich nch links bis n den Anfng der Zhl vor, wobei mit jeder Stelle der Exponent um zunimmt. = x2 +x2 2 + x x2 5 + x2 6 + x2 8 = = 365 Die Bits, die eine Null enthlten spielen bei der Summenbildung keine Rolle, d die entsprechende Potenz mit Null multipliziert wird. Umrechnung von Dezimlzhlen in Dulzhlen Mn spltet zuerst die größtmögliche Zweierpotenz b und probiert dnn vom Rest die nächst kleinere Potenz bzusplten. Ds mcht mn mit dem nchfolgenden Rest wieder, bis die Zhl pssend zerlegt ist: Beispiel : = = = x x = = x x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = = x = = x = = x = = x 2 + = 2 + = x + = Seite 4

5 Rechnen mit Hexdezimlzhlen Hns-Georg Beckmnn 22 Hexdezimlzhlen Diese sind offensichtlich erfunden worden, weil mn sich ellenlnge Dulzhlen nicht merken konnte und beim Aufschreiben immer soviel Ppier verbrucht wurde. Hier ist die Bsis die Zhl 6. In der kleinsten Stelle ht mn 6, dnn 6, dnn 6 2 usw. Ds bedeutet ber uch, dss,mn pro Stelle 6 symbole ( Ziffern ) hben muss. Zu Verweirrung ller Schülerinnen und Schüler ht mn hier erst eiml die Ziffern des Zehnersystems benutzt ( bis 9 ) und dnn mit dem Alphbeth weitergemcht ( A bis F siehe uch Tbelle uf Seite ). Mn könnte meinen, dss es doch viel übersichtlicher gewesen wäre, neuen Symbole zu erfinden, um Missverständisse zu vermeiden. Ds ist ein guter Gednke ber im Zeitlter der Schreibmschine, wr es mit neuen Symbolen nicht so weit her. Dmit mn nun unterscheiden knn, ob zb. mit " 2" die Zhl Zwölf us dem Dezimlsystem gemeint ist oder die 2 us dem Hexdezimlsystem ( ws der Dezimlzhl 8 entspricht ) ht mn sich ngewöhnt, vor die Hexdezimlzhlen ein Dollrzeichen zu setzen. Dmit wäre lso: $2 = 8 Umrechnung Hexdezimlzhlen in Dezimlzhlen Will mn beispielsweise die Hexdezimlzhl $FF37 in eine Dezimlzhl umrechnen, dnn verfährt mn nlog zu den Dulzhlen. Die Stelle gnz rechts entspricht 6 und es geht nch links weiter bis zur Stelle, die 6 3 entspricht: $FF37 = F x6 3 + F x x6 + 7 x6 = 5 x x x6 + 7 x6 = = 5 x x x = Es soll Leute geben, die ds im Kopf berechnen. Außerdem gibt es Tschenrechner, die ds können. Es wird ber schon deutlich, dss in jedem Flle Zhlen entstehen, die weit übersichtlicher sind ls Dulzhlen. Als PCs noch klein und freundlich wren, htten sie 64 KB Speicher. Um genu zu sein: Es gb Speicherstellen zu je ein Byte. Die wren durchgezählt, ws von Speicherstelle bis ging. D sieht es doch deutlich besser us, wenn es von $ bis $FFFF geht. Auf weitere Umrechnungen sei hier verzichtet. Seite 5

6 Addieren von Dulzhlen Hns-Georg Beckmnn 22 Rechnen mit Dulzhlen Whrscheinlich ist es nur eine Wiederholung us der Sekundrstufe, ber schden knn es nichts, wenn wir versuchen, zwei Dulzhlen zu ddieren. Wie uch im Zehnersystem werden die einzelenen Stellen ddiert. Wenn dbei ein Ergebnis heruskommt, dss den Bereich der für jede Stelle zulässigen Ziffern überschreitet, gibt es einen Übertrg in die Position links dneben. Dbei wird sicher gelten: + = und + = und + = und + = mit Übertrg. Gerde der letzte Punkt mcht Schülerinnen und Schülern nfngs etws Probleme. Es wird ber schnell klr, dss j + = 2 ist, ber die Zhl 2 in der Dulschreibeweise j "" ist und somit die Rechnung stimmt. Beispiel: 7 ---> > Übertrg 3 < Nun soll eine Mschine gebut werden, die vorerst einml gnz rechts in dieser Rechnung die Addition der Dulzhlen korrekt durchführen knn. Die Mschine heißt Hlbddierer und sieht ls Blockbild genuso einfch us, wie die Tbelle, die die Funktion beschreibt: Bit Bit b Bit Bit b Summe Übertrg Nun bruchen wir nur noch die elektrischen Buteile, mit denen wir Nullen und Einsen relisieren können. Null knn "Schlter offen" oder "Strom us" oder "Licht us" oder "Spnnung V " bedeuten, während dnn "Schlter geschlossen" oder "Licht n" oder "Strom n " oder "Spnnung 5V" der Eins entspricht. Mit einfchen Schltern wäre im Prinzip die obige Tbelle dnn wie folgt zu Übersetzen: Die Summenlmpe leuchtet, wenn ( Schlter nicht geschlossen und Schlter b geschlossen ) oder (Schlter geschlossen und Schlter b nicht geschlossen ) sind. Die Übertrgslmpe leuchtet, wenn Schlter geschlossen und Schlter b geschlossen sind. Seite 6

7 Hlbddierer Hns-Georg Beckmnn 22 Ds knn mn mit den Symbolen der Schltlgebr uch kürzer hben: Summe = ( ^ b ) v ( ^ b ) Übertrg = ^ b Dbei ist ^ ds Zeichen für ds logische UND. Weiterhin ist v ds Zeichen für ds logische ODER und der Querstrich über einem Symbol bedeutet NICHT. Diese logischen Verknüpfungen könnten im Physikrum leicht gebut werden: Die Lmpe L leuchtet,wenn und b geschlossen sind Die Lmpe L leuchtet,wenn oder b geschlossen ist ( uch beide ) Ein Relis sei so geschltet, dss es im oberen Stromkreis unterbricht, wenn unten der Stromkreis mit Schlter geschlossen wird. L leuchtet, wenn nicht geschlossen ist. Besser geht ds ntürlich mit Trnsistoren. In der nebenstehenden Schltung schltet der Trnsistor durch, wenn uf liegt. Dnn leuchtet die Lmpe nicht mehr. Sperrt der Trnsistor, weil uf V liegt, dnn fließt Strom durch die Lmpe, sie leuchtet. Die Schltung entspricht einem NICHT. 5 V 22 Ω Lmpe BC547 Ds soll ls kurzer Blick in ds Innenleben logischer Schltungen reichen. Wir werden fertige Busteine benutzen ( zuerst sind die us Kreide und leben nur n der Tfel oder uf dem Bltt Ppier später werden die dnn uch rele Objekte). Seite 7

8 Hlbddierer, Logikbusteine Hns-Georg Beckmnn 22 Die grundlegenden Busteine Die Schltungen, die wir ufbuen wollen, bsieren uf wenigen Grundbusteinen ( Gttern ), deren Funktion, Logiktbelle und Symbol im Folgenden ufgelistet sind. Die Eingänge der Busteine sind jeweils mit oder b bezeichnet. Der Ausgng heißt jeweils Q. In der Logiktbelle werden immer lle möglichen Kombintionen der Eingngswerte und b ( oder uch nur ) ufgelistet und es wird immer ngegeben, ws dnn der Ausgng Q mcht. Schltsymbol DIN b Q Der UND-Bustein Der Ausgng Q steht uf, wenn ^ b b Q b Q Der ODER-Bustein Der Ausgng Q steht uf, wenn v b b Q Q Der NICHT-Bustein Der Ausgng Q steht uf, wenn Q Neben diesen drei Busteinen werden weiterhin gebrucht: b Q Der NAND -Bustein Der Ausgng Q steht uf, wenn nicht und b lso : ^ b b Q b Q Der NOR -Bustein Der Ausgng Q steht uf, wenn nicht oder b lso : v b b Q Seite 8

9 Logikbusteine, Gesetze der Schltlgebr Hns-Georg Beckmnn 22 In sehr vielen Büchern findet mn immer noch die meriknischen Symbole. Die sind weit weniger einprägsm, ls die DIN-Symbole und sie werden hier nur der Vollständigkeit hlber ufgeführt. Im Unterricht sollte mn nur die DIN-Symbole verwenden. b Q b Q Q b Q lterntiv: b Q Q Weiterhin werden wir noch einige Gesetze der Schltlgebr bruchen. Die wichtigsten sindneben dem Kommuttivgesetz: Assozitivgesetzt: ^ ( b ^ c ) = ( ^ b ) ^ c = ^ b ^ c v ( b v c ) = ( v b ) v c = v b v c Distributivgesetze: ^ ( b v c ) = ( ^ b ) v ( ^ c ) v ( b ^ c ) = ( v b ) ^ ( v c ) Gesetze von de Morgn: v b = ^ b und ^ b = v b weitere Gesetze: = ( nicht (nicht ) = ) ^ = v = ^ = v = Diese Gesetze werden immer wieder uftuchen und mn sollte sie dher prt hben. Dss sie stimmen, knn mn sich schnell mit einigen Tbellen klr mchen. Ein Beispiel mg hier reichen: b b v b v b ^ b Eines der demorgnschen Gesetzte tbellrsich drgestellt. v b = ^ b Seite 9

10 Hlbddierer buen Hns-Georg Beckmnn 22 Nun hben wir lle Teile zusmmen, um den Hlbddierer zu buen. Die Logikgleichungen wren: Summe = ( ^ b ) v ( ^ b ) Übertrg = ^ b Die Schltung wird den Gleichungen entsprechend zusmmengebut. Dbei beginnt mn z.b. bei der Summe innen in den Klmmern und but zuerst ein NICHT. Dessen Ausgng kommt zusmmen mit b in einen UND-Bustein. Aber sehen sie selbst: Etws ungewöhnlich ist die Drstellung der Eingänge und b ls senkrechte Linien. Hier stellen sie sich bitte zwei Schlter vor, mit denen mn diese senkrechten Leitungen "ein - und usschlten" knn. Der obere Teil der Schltung ( und dmit die Logikgleichung für die Summe ) läßt sich uch ls XOR drstellen. XOR ist ds Exklusiv-Oder, ds wir uch umgngssprchlich immer meinen, wenn es "entweder - oder " heißt. In der Logikgleichung ist ds entsprechende Symbol ein Oder-Symbol mit einem Punkt drüber und ds DIN-Schltsymbol ist mit "=" sehr einleuchtend. Wir verwenden hier uch dnn die gängigen Symbole für Summe Σ und den Übertrg (Crry ) C n Die Schltung sieht dnn etws einfcher us. Seite

11 Hrdwrebusteine Hns-Georg Beckmnn 22 Dmit ist die Mschine uf dem Bltt Ppier fertiggestellt und sie funktioniert ntürlich susgezeichnet. Im letzten Schritt soll nun diese Mschine ttsächlich gebut weden. Begeben sie sich lso in den Physikrum oder in den privten Bstelkeller, in dem es jetzt weitergeht. Hrdwre zum Aufbu digitler Schltungen Wir werden lle Schltungen mit Stndrd ICs relisieren. Ds sind TTL-Busteine ( Trnsistor- Trnsitor-Logik ), die in fst llen elektrischen und elektronischen Mschinen eingebut sind. Die Busteine stmmen us der 74er-Serie. Die heißt so, weil die Firm Texs Instruments den Busteinen Nummern gegeben ht die mit 74 beginnen, dnn kommen 74, 742 u.s.w. Es gibt diese ICs in verschiedenen Buformen, die mn n einem Buchstbenkürzel zwischen der 74 und der nchfolgenden Zhl erkennen knn. 74N oder 74LS oder 74H sind beispielsweise verschiedene Ausgben mit jeweils der gleichen Funktion. Weiteres zu diesen Busteinen finden sie in dem kleinen Anhng zu diesem Kpitel. Schltbrett mit IC-Fssung (rechts) und Kontktstiften ( je zwei für jedes IC-Beinchen ). Von Schülern gebut. Schltbrett mitleuchtdioden zur Drstellung von Ausgbegrößen. Schltbrett mit 6 Eingbeschltern undf Kontroll- LEDs Kleines im Unterricht gebutes Netzteil. Seite

12 Hrdwrebusteine Hns-Georg Beckmnn 22 Kbelmteril mit Steckschuhen ( selbst gebut ) Auch komplexere Busteine sind möglich. Ein Zähler mit Siebensegmentnzeigen ls Ausgbe Mn brucht nun uch Fssungen, in die mn die ICs stecken knn. Es gibt für schulische Zwecke zwei Möglichkeiten, die den Schulett nicht zu sehr strpzieren: Selbst buen oder Steckbretter z.b. der Firm Hirschmnn verwenden. Ein Netzgerät, ds 5V Gleichspnnung liefert ist sicher in llen Physikräumen vorhnden. Mn knn ber uch kleine Gleichrichter selbst buen, die dnn mit V bis 2V Wechselspnnung betrieben werden. Schlter und Leuchtdioden sind für die Ein - und Ausgbe der Werte notwendig. Viele der Mterilien können selbst gebut werden. Die Zeit wird mn ber im normlen Unterricht nicht hben. Dher muss mn dnn uf lterntive Lösungen zurückgreifen ( siehe Mterilnhng ). In jedem Fll brucht mn eine große Auswhl n ICs der 74er Serie. Die kosten ber in den meisten Fällen nur wenige Cent und belsten den Ett dher kum. Ds Innenleben der Stndrd ICs Für unseren Hlbddierer bruchen wir UND-, ODER- und NICHT-Busteine. Auf den XOR- Bustein verzichten wir hier noch. Der 744 enthält NICHT, der 748 enthält UND und der Bustein 7432 enthält ODER. Die Spnnungsversorgung liegt bei llen drei Busteinen n den Beinchen 7 und 4. Im Inneren sind diese 4-beinigen ICs wie folgt ufgebut. Seite 2

13 TTL-Busteine der 74er Serie Hns-Georg Beckmnn fch Inverter ( NICHT ) fch UND fch ODER Nun knn mn die Schltung für den Hlbddierer zusmmenbuen. Als Ausgbe werden Leuchtdioden benutzt, zur Eingbe Schlter, die uf 5V bzw. V geschltet werden können. Ds sieht im ersten Moment recht unübersichtlich us. Probieren sie die Schltung ufzubuen. Bei Fehlern überprüfen sie zuerst immer die Kbel. Wenn es nicht gleich klppt, nicht entmutigen lssen. Schltungsentwicklung m Beispiel des Vollddierers In den Beispielrechnungen uf Seite 5 knn mn sehen, dss der Hlbddierer nur die Addition in der Stelle gnz rechts korrekt durchführen knn. In den nchfolgenden Stellen brucht die Seite 3

14 Vollddierer Hns-Georg Beckmnn 22 Schltung einen dritten Eingng, d möglicherweise der Übertrg der vorngegngenen Stelle mit verrechnet werden muss. Der Vollddierer muss lso einen Übertrgseingng C n hben und einen Ausgng für den Übertrg in die nächste Stelle, der hier mit C n+ bezeichnet ist. b VA Σ C n C n+ Schltungen, wie den Vollddierer knn mn leicht in drei Schritten entwickeln. Schritt : Die Drstellung ls Tbelle In einer Tbelle werden lle Eingngsgrößen mit llen möglichen Wertekombintionen erfsst und jeweils der gewünschte Wert des Ausgngs notiert. Dbei ist es sinnvoll, die Bitkombintionen der Eingngsgrößen der richtigen Reihenfolge nch ufzulisten. Bei drei Eingängen ht mn 2 3 Zeilen in der Tbelle. b C n Σ C n+ Schritt 2: Die Logikgleichungen Aus der Tbelle werden die Logikgleichungen gewonnen, indem mn für Summe und Übertrg die Zeilen betrchtet, bei denen eine "" ls Ergebnis steht. Mn knn für diese Zeilen den entsprechenden Teil der Logikgleichung direkt us der Tbelle blesen. Die einzelnen Teile werden dnn mit "ODER" verknüpft. Σ = ( ^ b ^ c n ) v ( ^ b ^ c n ) v ( ^ b ^ c n ) v ( ^ b ^ c n ) Zeile 2 Zeile 3 Zeile 5 Zeile 8 C n+ = ( ^ b ^ c n ) v ( ^ b ^ c n ) v ( ^ b ^ c n ) v ( ^ b ^ c n ) Zeile 4 Zeile 6 Zeile 7 Zeile 8 Seite 4

15 Vollddierer Hns-Georg Beckmnn 22 Hier kommt nun der schwierige Teil. Die Gleichungen sollen vereinfcht werden. Dzu knn mn die Gesetze benutzen, die oben ngegeben sind. In der Gleichung für die Summe knn mn zuerst usklmmern. Die nchfolgende Rechnung sollten sie schrittweise durchrbeiten. Am Ende läßt sich die Summe ls doppelt geschchtelte XOR-Verknüpfung drstellen. Dbei entspricht die Klmmer der Summe von und b, wie wir sie us unserem Hlbddierer kennen. Ds Ergebnis wird dnn noch mit c n uf die gleiche Weise verknüpft. Hier bietet sich schon n, für die ermittlung der Summe zwei Hlbddierer zu verwenden. Bleibt die Frge, ob mn den Übertrgsteil unseres Hlbddierers uch mit verwenden knn, um in diesem Vollddierer den Übertrg zu ermitteln. Betrchten sie die Gleichung für den Übertrg: Seite 5

16 Vollddierer Hns-Georg Beckmnn 22 Es klppt ttsächlich. C n und die Summe us dem ersten Hlbddierer können den Übertrg erzeugen, oder ber die Summe us und b. Schritt 3: Die Schltung buen Dbei sind die Hlbddierer so ufgebut, wie oben gezeigt. Wenn mn nun noch einen entsprechenden Bustein für XOR hätte... Mn ht! Es ist der Wie nun schon nicht mehr nders zu erwrten, gibt es ntürlich uch einen TTL-Bustein, der gleich einen gnzen Vollddierer enthält. Es ist der Bustein 748, der kum noch im Elektronikhndel zu bekommen ist. Dieser Bustein ht einige schltungstechnische Besonderheiten, die ber für unsere Zwecke nicht wichtig sind. Genuso geeignet ist der Bustein 7482, der gleich 2 Vollddierer enthält. Seite 6

17 Vollddierer Hns-Georg Beckmnn 22 -Bit-Vollddierer (748) Der Übertrg c n+ steht nur invertiert zur Verfügung. Die Summnden können n A,B oder A2,B2 oder invertiert n A*,B* ngelegt werden. Werden A* und B* verwendet müssen A,A2,B und B2 uf Msse ( V) gelegt werden. Werden A,B oder A2,B2 verwendet müssen A* und B* unbeschltet beliben ( offen). Intern rbeitet der Bustein nur mit Eingängen A und B, die wie folgt errechnet werden: A= A* ^ A c und B = B* ^ B c wobei wiederum A* = A ^ A2 und B* = B ^ B2 ist. Schritt 2 bei diesem Beispiel wr recht kompliziert. Ntürlich ist es uch möglich, den Aufbu der Schltung ohne vorherige Berbeitung der Gleichung durchzuführen. Lssen sie sich durch dieses Beispiel nicht zu sehr erschrecken, es wird wieder übersichtlicher. Bleibt m Ende nur noch der letzte Schritt, den kompletten Addierer zu buen, der zwei 4 -Bit - Zhlen ddieren knn. Wir werden dzu entweder einen Hlbddierer und drei Vollddierer bruchen oder ber mit vier Vollddieren rbeiten, wobei einml ( für die Rechenstelle gnz rechts ) der Übertrgseingng fest uf Null gelegt wird. x und y sind die niedrigsten Bits der beiden Dulzhlen. Ds Ergebnis knn eventuell 5 Stellen hben ( Σ bis Σ4 ). Es gibt einen fertigen Bustein (7483 ) der zwei 4-Bit-Zhlen ddieren knn. Seite 7

18 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 Beispiel : Eine Verteilerschltung Eine Schltung hbe ein Pr Eingngsleitungen, und zwei Pr Ausgngsleitungen x,x und y, y. Eine Steuerleitung s ist weiterer Eingng. Wenn s Auf logisch "" steht, werden die Eingänge, uf x, x geschltet, während y und y in jedem Flle uf "" bleiben. Ist s=, werden die Werte von, uf y, y durchgeschltet und x, x bleiben uf Null. Die Schltung verteilt lso eine Dtenquelle uf zwei Ziele. s x 2Bit uf 2 x 2Bit x x y y Schritt : Die Tbelle Die Tbelle wird hier zweckmäßigerweise so drgestellt, dss zuerst die 4 Zeilen für den Fll s= ufgeführt sind und dnn die vier Zeilen für den Fll s=. Schritt 2: Die Logikgleichungen Für 4 mögliche Ausgänge muss es uch 4 Gleichungen geben: s x x y y x = ( ^ ^ s ) v ( ^ ^ s ) und x = ( ^ ^ s ) v ( ^ ^ s ) y = ( ^ ^ s ) v ( ^ ^ s ) und y = ( ^ ^ s ) v ( ^ ^ s ) Es ergibt sich sofort eine Vereinfchung, wenn mn bedenkt, dss Klmmern die sich nur in einem Wert unterscheiden, ( ^ b ^ c ) v ( ^ b ^ c) = ( ^ b) gilt: Dmit erhält mn folgende Ergebnisse: x = ( ^ s ) und x = ( ^ s ) und y = ( ^ s ) und y = ( ^ s ) Ds hätte mn uch direkt us der Tbelle hinschreiben können, denn wie schon die Beschreibung der Schltung ngibt, knn z.n: x nur sein, wenn s uf liegt und uf. Seite 8

19 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 Schritt 3: Die Schltung Beispiel 2: Demultiplexer Ein Demultiplexer schltet eine Eingngsleitung uf einen der Ausgänge x,x,x2,x3 durch, wobei die nicht usgewählten Ausgänge uf Null stehen sollen. Zur Auswhl der Aus- s zu 4 DEMUX x x x2 gngsleitung werden zwei Steuerleitungen ( Adressleitun- x3 gen) s und s verwendet. Entwicklen sie die Schltung die- s ses " zu 4 Demultiplexers". Die Tbelle sei wie nebenstehend vorgegeben: Stellen sie die Logikgleichungen zusmmen. Zeichnen sie eine Schltung. s s x x x2 x3 Buen sie us dieser Schltung einen (x 2 Bit) zu (4 x 2 Bit ) Demultiplexer, der mithilfe von Steuerleitungen s,s zwei Bits und uf eines der vier Ausgngspre x,y oder x2,y oder x2,y2 oder x3,y3 durchschltet. Vergleichen sie uch mit der Schltung uf Seite 8. Beispiel 3: Multiplexer x Ein Multiplexer schltet mithilfe von Steuerleitungen ( Adressleitungen ) eine von mehreren Eingngsleitungen uf x 2 zu MUX q einen Ausgng durch. Entwickeln sie zuerst einen 2x-Bit zu s Seite 9

20 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 x Bit Multiplexer, der den Eingng x uf den Ausgng q durchschltet, wenn die Steuerleitung s uf steht und der den Eingng x uf q durchschltet, wenn s uf steht. Buen sie drus unter Verwendung des Symbols uf Seite 9 unten einen 2 x 2 Bit zu x 2 Bit Multiplexer und dnn einen 4 x 2 Bit zu x 2 Bit Multiplexer. Dbei muss keine neue Tbelle erstellt werden und es müssen uch keine neuen Logikgleichungen ufgestellt werden. Beispiel 4: x Ein 4 x Bit zu x Bit Mulitplexer mit zwei Adressleitungen s und s. Entwicklen sie die Schltung! x x2 x3 4 zu MUX q s s Beispiel 5: Schwellwertschltung Eine Schwellwertschltung ht drei Eingänge x,x und x2. Der Ausgng q geht uf "", wenn mindestens zwei der Eingngsleitungen uf "" stehen. Entwicklen sie die Schltung! Beispiel 6: Siebensegmentnzeige Eine Siebensegmentnzeige mit BCD Eingängen Vorbemerkungen BCD- Zhlen sind Binär - Codierte - Dezimlzhlen. Sie sehen fst so us, wie die Dulzhlen sind ber nichts nderes, ls die Drstellung jeder Ziffer eine Zhl us dem Dezimlsystem durch eine vierstellige Dulzhl. z.b. Zhl Ziffern Duldrstellung Duldrstellung hätte die Zhl 2357 die BCD-Drstellung Ziffer Ziffer wenn jede Ziffer ls 4 Bit Dulzhl drgestellt wird Eine Siebensegmentnzeige knn us BCD codierten Ziffern, wieder sichtbre 8 8 Dezimlziffern mchen, in dem sie verschiedene Segmente ufleuchten läßt. 9 9 Eine Schltung soll 4 Eingänge hben, die mit x,x,x2 und x3 bezeichnet seien. Die Schltung ht 7 Ausgänge ( für Seite 2

21 jedes Segment einen ). Steht ein Ausgng uf "" bedeutet ds, dss ds entsprechende Segement leuchtet. Aufbu der Anzeige: Tbelle: Beispielgleichung für ds Segment e: Klmmern zusmmenfssen: Mn knn sicher noch weiter umformen, wir verzichten hier druf und werden später druf zurückkommen. Die nebenstehende Schltung ist noch nnehmbr. Allerdings wird es schon schwierg werden,wenn mn z.b. ds Segment b betrchtet. Dort wrten 8 Zeilen mit eine "" uf die Logikgleichungen. Ds muss uch einfcher gehen! Seite 2 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 b c d e f g Zhl x3 x2 x x b c d e f g e = ( x ^ x ^ x2 ^ x3) v ( x ^ x ^ x2 ^ x3) v( x ^ x ^ x2 ^ x3) v( x ^ x ^ x2 ^ x3) v( x ^ x ^ x2 ^ x3) e = ( x ^ x2 ^ x3) v ( x ^ x ^ x2 ^ x3) v ( x ^ x2 ^ x3) e = (( x ^ x3) ^ (( x2 ) v( x ^ x2 ))) v ( x ^ x2 ^ x3) e = (( x ^ x3) ^ ((x2 v x) ^ (x2 v x2))) v ( x ^ x2 ^ x3) e = (( x ^ x3) ^ (x2 v x)) v ( x ^ x2 ^ x3)

22 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 Vereinfchung von Logikgleichungen. Verfhren nch Krnugh-Veitch Bei dem folgenden Verfhren liegen zwei Regeln zugrunde: I: Wenn Klmmmer in Logikgleichungen sich nur in einem Wert unterscheiden, dnn knn dieser Wert wegfllen: ( ^ x ) v ( ^ x ) = x bzw. ( v x ) ^ ( v x ) = x II: Mn drf einen Wert in einer Logikgleichung uch verdoppeln bzw. mehrfch verwenden, denn es gilt offensichtlich: ( x ^ x ) = x bzw. ( x v x ) = x Um diese Vereinfchungen zu erreichen gibt es ein grphisches Verfhren uf ds wir hier nicht eingehen, d für uns eine tbellrische Drstellung vollkommen usreicht. Als Beispiel dient noch einml ds Segment e us der Siebensegmentschltung. Wir schreiben nur die Zeilen uf, in denen ds Ergebnis "" ist: Zhl x3 x2 x x e = (x3 v x2 v x ) Die Zeilen und 2 unterscheiden sich nur in x. x knn entfllen = (x2 v x v x ) = (x3 v x v x ) = (x3 v x2 v x ) Die Zeilen und 4 unterscheiden sich nur in x3. x3 knn entfllen. Die Zeilen 2 und 3 unterscheiden sich nur in x2. x2 knn entfllen. Die Zeilen 4 und 5 unterscheiden sich nur in x. x knn entfllen. D lle Zeilen ( Klmmern ) verbrucht wurden ist ds Ergebnis nun: e = (x3 v x2 v x ) ^ (x2 v x v x ) ^ (x3 v x v x ) ^ (x3 v x2 v x ) Wir würden nun grnicht mehr versuchen, diese Klmmern weiter zusmmenzufssen, obwohl ds sicher möglich wäre. Eine übersichtliche Schltung ergäbe sich, wenn mn 3-fch-UND verwendet ( die gibt es uch ls TTL-Busteine ) und in der Schltung nicht NICHT- Busteine, die Seite 22

23 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 vor den Eingängen der UND-Busteine plziert werden müssen durch ein einfches Negtionssymbol ( den NICHT-Kringel ) drstellt. 2. Die UND-Form der Logikgleichung Wir hben bis jetzt immer nch den Zeilen in den Tbelle geschut, bei denen ls Ergebnis eine "" uftritt, Wir werden jetzt nch den Zeilen suchen, bei denen eine "" uftucht. Ds sind in einigen Fällen sehr viel weniger Zeilen! Vorüberlegungen n einem einfchen Beispiel: Mn hbe nebenstehende Tbelle: b Q Hier würden wir nch unserem bisherigen Verfhren ls Gleichung finden: Q = ( ^ b ) v ( ^ b ) v ( ^b ) = (b ^ ( v ) ) v ( ^b ) = b v ( ^b ) = b v Wir können ber uch nch der einzigen Zeile schuen, in der Q nicht "" ist und erhlten: Q = ( ^ b ) Wir negieren die gnze Gleichung und erhlten: Q = Q = ( ^ b ) = ( v b ) = ( v b ) Mn knn ds Ergebnis uch direkt hinschreiben, wenn mn sich n folgende Regeln hält: Suche die Zeilen mit "" im Ergebnis. Schreibe die Eingngsgrößen invertiert uf, verknüpfe innehlb der Klmmern mit "ODER" und verknüpfe die Klmmern mit "UND". Dieses ist die sogennnte UND-Form der Logikgleichungen, während ds bisherige Verfhren die ODER-Form wr. Ht mn in einer Tbelle weniger "" ls "" dnn nimmt mn die ODER. Ht mn weniger "" ls "", dnn ist die UND-Form ngebrcht. Schut mn sich ds noch einml m Beispiel der XOR-Tbelle n, dnn knn mn beide Lösungen nebeneinnder sehen und vergleichen: Seite 23

24 Beispiele und Übungen Q = ( ^ b ) v ( ^ b ) ( ODER - Form ) Q = ( v b ) ^ ( v b ) ( UND - Form ) Hns-Georg Beckmnn 22 b Q So recht gluben mg mn ds nicht, obwohl es eine ähnliche Umformung schon beim Vollddierer gb. Für die Zeilen und 3 us der Tbelle gilt: Q = ( ^ b ) v ( ^ b ) = ( v ( ^ b )) ^ ( b v ( ^ b )) = ( ( v ) ^ ( v b )) ^ ( ( b v ) ^ ( b v b )) = ( v b ) ^ ( b v ) nun lles negieren: Q =Q = ( v b ) ^ ( b v ) = ( ^ b ) v ( ^ b ) In der letzten Zeile wurden die demorgngschen Gesetze verwendet und mn erhält m Ende die ODER-Form. UND-Form m Beispiel des Segments b In der Tbelle sieht mn 7 Zeilen mit einer "" ls Ergebnis, ber nur 2 Zeilen mit einer "". Dmit bietet sich die UND-Form n: Auf weitere Zusmmenfssung werden wir uch hier verzichten. Zhl 2 x3 x2 x x b 3 4 b = ( x3 v x2 v x v x) ^ ( x3 v x2 v x v x) 5 6 Eine Schltung ist mit 4-fch NOR-Busteinen möglich, deren Ausgänge mn nur invertieren muss. Mn knn ber uch mit üblichen ODER-Busteinen rbeiten Schltung mit 4-fch NOR (TTL 7423 ) oder lterntiv ODER ( TTL 7432 ) Seite 24

25 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 Weitere Aufgben zur Siebensegmentnzeige Offensichtlich hben wir in der Tbelle uf Seite 2 nicht lle Kombintionen der Eingngsgrößen bechtet. Unsere Tbelle hätte mehr Zeilen hben müssen. Auch wenn wir dvon usgehen, dss unsere Schltung insgesmt so sein soll, dss keine unzulässigen Kombintionen n den Eingängen uftreten, bleibt die Frge, ws pssiert, wenn soetws doch vorkommt. Dzu betrchtet mn sich die Schltung und geht in ihr die einzelnen Busteine durch. Betrchten wir ds Segment b für die unzulässige Eingbe "". An die Leitungen wird jeweils geschrieben, ws der jeweile Bustein ls Ergebnis produziert. Offensichtlich leuchtet ds Segment b uf! Bei einer Siebensegmentnzeige mg mn noch sicher sein, dss die vorgeschlteten Busteine schon korrekte BCD-Zhlen liefern. Stellen sie sich ber so ein unklres Verhlten bei einer Alrmnlge vor. Mn muss lso im Zweifelsfll uch die Eingngskombintionen in der Tbelle erfssen und mit Ergebnissen versehen, die mn für den eigentlichen Zweck der Schltung nicht brucht. Bei der Siebensegmentenzeige wäre es denkbr, dss für lle nicht zulässigen BCD-Zhlen lle Segmente dunkel bleiben oder ber ein "E" für Error ufleuchtet. Die Logikgleichungen für die einzelnen Segmente werden dnn ntürlich noch unübersichtlicher. Zum Glück gibt es fertige Busteine ( ds wundert sie doch nicht mehr! ), ds sind die TTLs 7446,7447 und Seite 25

26 Beispiele und Übungen Hns-Georg Beckmnn 22 Weitere Übungsufgben Beispielufgbe 7: Entwickle eine Schltung mit 4 Eingängen x3,x2,x und x, die n ihrem einzigen Ausgng Q genus dnn eine "" zeigt, wenn die Anzhl der "" n den Eingängen ungerde ist. Beispielufgbe 8: Entwickle eine 2 x Bit Vergleicherschltung. Die drei Augänge gehen jeweils uf "" wenn die entsprechende Vergleichsbedingung erfüllt ist: x x Vergl. x > x x = x x < x Entwickle drus einen 2 x 4 Bit Vergleicher, der zwei 4 Bitzhlen vergleichen knn. Beispielufgbe 9: Bue die folgenden drei Schltungen uf oder untersuche sie "uf dem Ppier". Beim Aufbu muss der TTL 74 verwendet werden, der 4 NAND-Busteine enthält. Ws leisten die drei Schltungen? Beispielufgbe : Eine Schltung ht 4 Eingänge x3, x2, x und x. Die Schltung zählt die Anzhl der "", die n den Eingängen nliegt und gibt diese Anzhl ls Dulzhl us. Dzu brucht diese Schltung zwei Ausgänge. Entwickle diese Schltung. Seite 26

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