Absorbing boundaries for

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1 DBsTETH ex. > Diss.ETHno Absorbing boundaries for the timedomain analysis of damreservoirfoundation systems A dissertation submitted to the SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY ZURICH for the degree of Doctor of Technical Science presented by Glauco Feltrin Dipl. BauIng. ETH born on October 3, 1956 citizen of Italy accepted on the recommendation of Prof. Dr. Hugo Bachmann, examiner Prof. Dr. Edoardo Anderheggen, coexaminer Prof. Dr. Daniel Vischer, coexaminer 1997

2 the have Abstract The linear and nonlinear behavior of dams subjected to strong earthquake ground motion is strongly affected by the interaction with the impounding reservoir and foundation. However, when such large systems are analyzed using the finite element method only a small part of the reservoir and foundation, usually called the near field, can be directly modeled. Otherwise, the computa tional costs would be tremendous. In order to avoid the spurious reflection of waves at the artificial boundaries of the finite element model the parts of the reservoir and foundation which are not directly modeled far field to be considered by socalled absorbing boundary condi tions. These take into account the dynamics of the far field and especially the phenomena tion damping. of radia In frequency domain, nonlocal absorbing boundary conditions are represented by so called dynamic stiffness functions or DtNmaps. These are numerically very effective for linear prob lems because the simulation can be performed in the frequency domain. However, when nonlin ear effects of the near field should be considered, the simulation has to be carried out in time domain. Then, the coupling of the equations of motion describing the near field with those describing the far field originates a nonlinear system of Volterra integrodifferential equations of convolution type. Its numerical solution is very cumbersome because generally large data sets are needed to describe DtNmaps in time domain and because of the huge number of operations being necessary to compute the convolution integrals at every time step. On the other hand, the approximate, local absorbing boundary conditions developed so far for timedomain computations generally require a large near field in order to obtain a sufficiently accurate solution so that these are numerically ineffective when applied to earthquake analysis problems. Moreover, no genuine finite element implementation exists for most of these absor bing boundary conditions. In this work, a new method is developed which allows to construct accurate and numerical effective absorbing boundary conditions. The main idea is to uniformly approximate DtNmaps defined in the frequency domain with rational functions. Within this framework, an DtNmap is considered to be the transfer function of an infinitedimensional timeinvariant linear system. This is approximated with a finitedimensional linear system. The approximation is performed in two steps. First, the DtNmap kernel is expanded in a series of orthogonal functions (e.g. Laguerre functions). An appropriate Mobius transformation relates this series to a Laurent series. These is truncated after a finite number of terms and identified with a finitedimensional discretetime system or after a mapping with a finitedimensional continuoustime system. These sys tems, however, contain many degrees of freedom which have little effect on its inputoutput behavior so that they can be cancelled without reducing significantly the accuracy of the approx imation. This system reduction is performed using balanced truncation or Hankel norm approxi mation techniques. The absorbing boundary conditions obtained by this novel method are highly accurate approxi mations of DtNmaps. Moreover, these absorbing boundary conditions are always stable and causal. Furthermore, the same technique allows to formulate genuine finite element implementa VII

3 VIII tions of many of the most popular local absorbing boundary conditions. In time domain, the absorbing boundary conditions are described by systems of differential equations with constant coefficients. These can be easily combined with the differential equa tions describing the motion of the near field such that the system of integrodifferential equations is reduced to one of differential equations. This can be solved with any standard numerical inte gration algorithm of structural dynamics. In this work, the method has been applied to simulate the interaction of concrete gravity dams with the impounding reservoir and the foundation in time domain. The far field is modeled by semiinfinite, twodimensional strata governed by the acoustic and elastic wave equations. Vari ous examples show the accuracy of the novel method. Keywords: finite element analysis, fluidstructure interaction, soilstructure interaction, damreservoirfoundation interaction, nonlinear transient analysis, earthquake analysis, absorbing boundaries in time domain, linear systems theory, infinitedimensional linear systems, orthogo nal functions, rational approximation, balanced truncation approximation, Hankel norm approxi mation.

4 das werden Zusammenfassung Das lineare und nichtlineare Verhalten von Gewichtstaumauern unter Erdbebeneinwirkungen wird in bedeutendem Masse von der dynamischen Interaktion der Staumauer mit dem Stausee und dem Untergrand beeinflusst. Werden diese Systeme mit der Methode der Finiten Elementen behandelt, so muss aus Kostengriinden die Modellierung auf einen endlichen Bereich, d. h. auf das Nahfeld, beschrankt werden. Die nicht direkt durch die Methode der Finiten Elementen modellierten Teile des Stausees und des Untergrundes Fernfeld dann durch sogenannte absorbierende Rander modelliert. Diese beriicksichtigen die Dynamik insbesondere die Abstrahlungsdampfung. des Fernfeldes und Im Frequenzbereich konnen fur Fernfelder mit einfacher Geometrie genaue, nichtlokale absor bierende Rander, sogenannte dynamische Steifigkeitsmatrizen oder DtNmaps, hergeleitet wer den. Bei der Behandlung linearer Probleme im Frequenzbereich sind diese dynamische Steifig keitsmatrizen numerisch sehr effizient. Wenn sich jedoch das Nahfeld nichtlinear Verhalten kann, so muss die Simulation im Zeitbereich durchgefuhrt werden. Die Kopplung der Bewegungsgleichungen des Nahfeldes mit den dynamischen Steifigkeitsmatrizen im Zeitbereich fiihrt dann zu einem System von nichtlinearen Volterra IntegroDifferentialgleichungen vom Konvolutionstyp. Die numerische Losung dieser Systeme ist sehr aufwendig, da die Beschreibung der dynami schen Steifigkeitsmatrizen im Zeitbereich grosse Datenmengen erfordern und die Berechnung der Konvolutionsintegrale bei jedem Integrationszeitschritt sehr rechenintensiv ist. Die ungenauen, lokalen absorbierenden Rander, welche speziell fur Simulationen im Zeitbe reich entwickelt wurden, erfordern im allgemeinen ein grosses Nahfeld, wenn hohe Genauigkeitsanforderungen gestellt werden, so dass auch sie zu einem numerisch ineffizienten Modell fiihren. Dariiber hinaus existieren von den meisten lokalen absorbierenden Rander keine Finite Element Implementationen. Diese Arbeit beschreibt eine neue Methode, um genaue und numerisch effiziente absorbierende Rander im Zeitbereich zu konstruieren. Die Grundidee ist, die dynamischen Steifigkeitsmatrizen im Frequenzbereich durch rationale Funktionen zu approximieren. Innerhalb dieser Theorie wird eine dynamische Steifigkeitsmatrix als Transferfunktion eines unendlichdimensionalen, zeitinvarianten, linearen Systems interpretiert. Dieses wird dann durch ein endlichdimensionales, lineares System approximiert. Die Approximation erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird die dyna mische Steifigkeitsmatrix als Reihe orthogonaler Funktionen dargestellt (z.b. Laguerre Funktio nen). Mit einer geeigneten MobiusTransformation wird diese Reihe zu einer Laurentreihe transformiert. Diese wird nach einer endlichen Zahl von Summanden abgebrochen und in Form eines zeitdiskreten oder zeitkontinuierlichen linearen Systems dargestellt. Diese Systeme enthalten viele Freiheitsgrade, die einen geringen Einfluss auf die Eigenschaften des Systems haben, so dass sie ohne nennenswerten Genauigkeitsverlust geloscht werden konnen. Diese Reduktion der Freiheitsgrade wird mit neueren Methoden der Systemtheorie (balanced truncation approxima tion, Hankel norm approximation) durchgefuhrt. Die nach dieser neuen Methode konstruierten absorbierenden Rander erlauben es, dynamische Steifigkeitsmatrizen, die im Frequenzbereich beschrankt und kontinuierlich sind, gleichmassig IX

5 X und mit hoher Genauigkeit zu approximieren. Dariiber hinaus sind die absorbierenden Rander immer stabil und kausal. Gleichzeitig erlaubt die neue Methode, auf einfache Weise Finite Ele ment Implementationen von lokalen absorbierenden Randern zu formulieren, die durch Differentialoperatoren dargestellt werden. Im Zeitbereich werden diese absorbierenden Rander als Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten dargestellt. Sie konnen somit einfach mit den BewegungsDifferentialgleichungen des Nahfeldes gekoppelt werden. Somit wird das urspriingliche nichtlineare System von IntegroDifferentialgleichungen mit einem von Differentialgleichungen approximiert. Dieses kann dann mit den ublichen numerischen Methoden der Strukturdynamik integriert werden. In dieser Arbeit wird die Methode angewendet, um im Zeitbereich die Interaktion von Gewichtstaumauern mit dem Stausee und dem Untergrand zu simulieren. Die Fernfelder des Stausees und des Untergrandes werden durch zweidimensionale Schichtmodelle dargestellt. Die Ge nauigkeit der absorbierenden Rander wird anhand verschiedener Beispiele untersucht. Schlagworter: Finite Element Analyse, HuidStrakturInteraktion, BodenStrakturInteraktion, StaumauerStauseeUntergrundInteraktion, nichtlineare transiente Analyse, Erdbebenberechnung, absorbierende Rander im Zeitbereich, lineare Systemtheorie, unendlichdimensionale lineare Systeme, orthogonale Funktionen, rationale Approximation, balanced truncation approxi mation, Hankel norm approximation.