Reell. u(t) Komplex u(t), Zeitabhängig Zeitunabhängig. u(t)e jωt. Reell Û. Elektrische Größe. Spitzenwert. Komplex Û. Reell U. Effektivwert.

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1 Aufgaben Reell u(t) Elektrische Größe Zeitabhängig Zeitunabhängig Spitzenwert Effektivwert Komplex u(t), Reell Û Komplex Û Reell U Komplex U u(t)e jωt Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

2 Aufgabe 1: Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H(jω) des folgenden Netzwerkes. Die Übertragungsfunktion ist nach Betrag und Phase darzustellen. Diskutieren Sie das Ergebnis. Û 1 R L Û 2 Aufgabe 2: Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H(jω) des folgenden Netzwerkes. Stellen Sie das Ergebnis nach Betrag und Phase dar, und diskutieren Sie dieses. Û R 1 C Û 2 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

3 Aufgabe 3: Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H(jω) des folgenden Netzwerkes. Stellen Sie das Ergebnis nach Betrag und Phase dar. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1. Wie müssen R und C gewählt werden, damit die Übertragungsfunktion mit derjenigen aus Aufgabe 1 übereinstimmt? C Û Û 2 1 R Aufgabe 4: Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H(jω) des folgenden Netzwerkes. Stellen Sie das Ergebnis nach Betrag und Phase dar. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2. Wie müssen R und L gewählt werden, damit die Übertragungsfunktion mit derjenigen aus Aufgabe 2 übereinstimmt? L Û Û 2 1 R Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

4 Aufgabe 5: Das Netzwerk aus Aufgabe 2 wird nun zusätzlich mit einer reellen Impedanz Z 2 =R 2 belastet. Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H (jω) des resultierenden Netzwerkes nach Betrag und Phase. Welche charakteristischen Eckdaten des Netzwerkes haben sich durch die Belastung verändert? Û 1 R C R 2 Û 2 Aufgabe 6: Ebenso wird das Netzwerk aus Aufgabe 4 nun zusätzlich mit einer reellen Impedanz Z 2 =R 2 belastet. Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion H (jω) des resultierenden Netzwerkes nach Betrag und Phase. Welche charakteristischen Eckdaten des Netzwerkes haben sich durch die Belastung verändert? Vergleichen Sie das Ergebnis auch mit dem Ergebnis aus Aufgabe 5. Û 1 L R 2 R Û 2 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

5 Aufgabe 7: Ein Signalgenerator, charakterisiert durch die Quelle Û 0 und die Innenimpedanz Z 0, treibt über ein RC- Glied eine weitere Verstärkerstufe mit der Innenimpedanz Z Zunächst sei die folgende Verstärkerstufe nicht angeschlossen. Berechnen Sie für diesen Fall den Abfall des Betrages der Übertragungsfunktion H (jω) = Û 2 /Û 0 bei einer Frequenz von 20kHz gegenüber dem Gleichspannungsfall (f = 0Hz). 7.2 Wie 7.1, jedoch nun mit angeschlossener Verstärkerstufe. Z0 R C Û 0 Û1 Û2 Z 2 Z 0 = 100Ω e j0 R = 10kΩ C = 0.33nF Z 2 = 1/(20µS + jω100pf) Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

6 Aufgabe 9: Auf den Eingang eines Netzwerkes mit der komplexen Übertragungsfunktion H(jω)= H(jω) e jφ(jω) wird eine cosinus-förmige Eingangsspannung u 1 (t)=û 1 cos(ωt+φ 1 ) gegeben.bestimmen Sie die Spannung u 2 (t) an den Ausgangsklemmen als Funktion von Betrag und Phase der Übertragungsfunktion. u (t) H(jω) 1 2 u (t) Aufgabe 10: Man betrachte nun das Netzwerk aus Aufgabe 1: R= 1kΩ u (t) 1 R L u (t) 2 L = 1mH τ = L/R = 1µs Auf den Eingang wird die Spannung u 1 (t) gegeben: u 1 (t) = 1V + 1Vcos(ω 0 t) - 0,3Vcos(3ω 0 t) mit ω 0 = 2πf 0 ; f = 100kHz 10.1 Bestimmen Sie Betrag und Phase der Übertragungsfunktion bei den Kreisfrequenzen ω 0 und 3ω Berechnen Sie nun die Ausgangsspannung u 2 (t) Skizzieren Sie die Eingangsspannung u 1 (t) und die Ausgangsspannung u 2 (t) und diskutieren Sie das Ergebnis. Betrachten Sie auch (qualitativ) den Grenzfall ω 0 >> 1/τ. Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

7 Aufgabe 11: Die unten dargestellte mit T 0 periodische Funktion f(t) soll durch die reelle Fourier - Reihe approximiert werden. f(t) = ( U s,n sin ( nω 0 t ) +U c,n cos ( nω 0 t) ) n=0 f(t) 1 -T 0 -T b /2 +T b /2 +T 0 t Beweisen Sie dann, daß im Fall gerader Funktionen, also für f(-t) = f(t) die Sinuskoeffizienten Û s,n der Fourier - Reihe generell verschwinden. Aufgabe 12: Approximieren Sie die folgende mit T 0 periodische Funktion f(t) (Sägezahnfunktion) mit Hilfe der reellen Fourier - Reihe gewichteter Sinus- und Cosinusfunktionen. 1 f(t) t 10 T 0 /8 Beweisen Sie dann, daß im Fall ungerader Funktionen, also für f(-t) = -f(t) die Cosinuskoeffizienten Û c,n der Fourier - Reihe generell verschwinden. Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

8 Aufgabe 13: Approximieren Sie die unten abgebildete mit T 0 periodische Funktion f(t) mit Hilfe der reellen Fourier - Reihe gewichteter Sinus- und Cosinusfunktionen. 1 f(t) t 10 T 0 /8 Beweisen Sie dann, daß im Fall vollständig symmetrischer Funktionen, also für f(t+t/2) = -f(t) alle geraden Sinus - und Cosinuskoeffizienten der Fourier - Reihe verschwinden. Aufgabe 14: Die unten abgebildete mit T 0 periodische Spannungsfunktion u(t) (Dreiecksfunktion) soll durch eine reelle Fourier - Reihe gewichteter Sinus - und Cosinusfunktionen approximiert werden. u(t)/v t 10 T 0 / Bestimmen Sie den Gleichanteil Û c,0 von u(t) Ermitteln und vergleichen Sie die Symmetrien der Spannungsfunktionen u(t) und (u(t) - Û c,0 ) Berechnen Sie nun auf Basis der ermittelten Symmetrien die Fourierkoeffizienten von u(t). Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

9 Aufgabe 15: Es ist ein allgemeiner formelmäßiger Zusammenhang zwischen den reellen und den komplexen Fourierkoeffizienten zu ermitteln Stellen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten als Funktion der reellen Fourierkoeffizienten dar Stellen Sie die reellen Fourierkoeffizienten als Funktion der komplexen Fourierkoeffizienten dar. Aufgabe 16: 1 f'(t) t T 0 / Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten c n der oben abgebildeten mit T 0 periodischen Funktion f(t) über die Integraldefinition. Verifizieren Sie das Ergebnis durch Vergleich mit den reellen Koeffizienten Û c,n und Û s,n aus Aufgabe 12. Skizzieren Sie c n, φ n, Û c,n und Û s,n Skizzieren Sie die um T 0 /2 verschobene Funktion f'(t)=f(t-t 0 /2). Berechnen Sie mit Hilfe des Verschiebesatzes deren komplexe Fourierkoeffizienten c' n und skizzieren Sie das Ergebnis (nach Betrag und Phase). Ermitteln Sie aus den gewonnenen c' n die reellen Koeffizienten Û' c,n und Û' s,n und skizzieren Sie das Ergebnis Wie 16.2, jedoch für die um T 0 /4 verschobene Funktion f''(t)=f(t-t 0 /4). Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

10 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

11 Aufgabe 18: Betrachtet werde die Sägezahnfunktion aus Aufgabe 16.1 : 1 f'(t) t T 0 /8 Ausgehend von den komplexen Fourierkoeffizienten berechne man den Grundwellengehalt g, sowie den Klirrfaktor k (in db) von f(t). 1 n=1 n 2 = π2 6 (Hinweis: ) Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

12 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

13 Aufgabe 20: f(t) 1 0, t 20.1 Bestimmen Sie die Fouriertransformierte F(jω) der oben abgebildeten Dreiecksfunktion f(t) Die Funktion f(t) werde nun mit der Periode T 0 = 2 periodisch wiederholt, so daß sich die periodische Funktion f p (t) ergibt. Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

14 f p (t) 1 0, t Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten c n von f p (t), indem Sie in F(jω) den Übergang ω > nω 0 (mit ω 0 = 2π/Τ 0 ) machen. Aufgabe 21: g(t) /2 +1/2 1 t 21.1 Bestimmen Sie die Fouriertransformierte G(jω) der obigen Rechteckimpulsfunktion g(t). Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

15 Aufgabe 22: 1 g(t) t Berechnen Sie die Fouriertransformierte G(jω) der obigen Zeitfunktion g(t) Gegeben sei nun folgende Zeitfunktion f(t): -2-1 f(t) 1 0,5 0 t Zerlegen Sie f(t) folgendermaßen in eine gerade und eine ungerade Funktion: f(t) = f g (t) + f u (t) mit f g (t) = 1/2(f(t) + f(-t)) und f u (t) = 1/2(f(t) - f(-t)). Bestimmen Sie f g (t) und f u (t) sowie die zugehörigen Fouriertransformierten F g (jω) und F u (jω). Bestimmen Sie durch Überlagerung F(jω) Welche Zusammenhänge bestehen allgemein zwischen den geraden und ungeraden Funktionsteilen von f(t) und Real- und Imaginärteil von F(jω)? Aufgabe 23: π F(jω) -j j jω Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

16 23.1 Bestimmen Sie mittels inverser Fouriertransformation die zu F(jω) gehörige Zeitfunktion f(t) Welchen Wert hat die Fläche unter der Zeitfunktion f(t)? 23.3 Welche Energie E besitzt die Zeitfunktion f(t)? Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

17 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

18 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

19 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

20 Aufgabe 27: 27.1 Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) der unten abgebildeten Dreiecksfunktion f 1 (t) und geben Sie den Konvergenzbereich an Bestimmen Sie ebenfalls die Laplacetransformierten (mit Konvergenzbereich) der verschobenen Zeitfunktionen f 2 (t) = f 1 (t+1) und f 3 (t) = f 1 (t+2) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Laplacetransformierten von rect(t). 1 f 1 (t) t Aufgabe 28: 28.1 Zerlegen Sie die unten dargestellte Funktion f(t) in Funktionsteile, deren Laplacetransformierte bereits bekannt sind, und bestimmen Sie deren Laplacetransformierte (mit Konvergenzbereich) Bestimmen Sie nun unter Verwendung des Überlagerungssatzes die Laplacetransformierte von f(t) sowie deren Konvergenzbereich. ft = e -t/τ 0 t < T 0 e -T 0/τ - 1 e -t-t 0 /τ t T 0 0 sonst f(t) t/t 0 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

21 Aufgabe 29: Es gelte f(t) F(s) Ermitteln Sie die Laplacetransformierte und den Konvergenzbereich der Zeitfunktion f 1 (t) = f(αt), α reell Wie lautet die Laplacetransformierte von f 1 (t) für α = -1 (Zeitspiegelung)? Wie ändert sich das Konvergenzgebiet durch die Spiegelung? Aufgabe 30: Gegeben sei die Bildfunktion F(s) = 1/(s-α) ; α reell ; mit dem Konvergenzgebiet der Laplacetransformierten Re{s} > α Bestimmen und skizzieren Sie die zugehörige Zeitfunktion f 1 (t) Wie lautet die zugehörige Zeitfunktion f 2 (t) zur Laplacetransformierten F(s), wenn für den Konvergenzbereich nun Re{s} < α gilt? Aufgabe 31: Im unten abgebildeten Netzwerk wird zum Zeitpunkt t = 0 der Schalter S von der Stellung I in die Stellung II gebracht. Es sei u 2 (t) = U 0 für t < 0. S U0 I II R C u1(t) u2(t) 31.1 Bestimmen Sie u 1 (t) sowie U 1 (s) mit Konvergenzbereich Bestimmen Sie H(s) (und den Konvergenzbereich) aus der Übertragungsfunktion H(jω). Geben Sie ebenfalls h(t) an Bestimmen Sie U 2 (s) (mit Konvergenzbereich) sowie die zugeordnete Zeitfunktion u 2 (t). Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

22 Aufgabe 32: Gegeben sei die gebrochen rationale Laplacetransformierte Hs = 1 4 i=1 s - s,i einer Zeitfunktion h(t). Die Lage der Pole sowie das Konvergenzgebiet sind der Abbildung zu entnehmen. Geben Sie die zugehörige Zeitfunktion h(t) an! jω s s,3 = +j s,2 = -1 s,1 = +1 σ Konvergenzgebiet: 0 < Re{s} < 1 s,4 = -j Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

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29 Aufgabe 36: R R U1 C U1 ' + U2 ' C U2 1' 2' 36.1 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H'(s) = U 2 '(s)/u 1 '(s) des als sog. "Spannungsfolger" geschalteten idealen Operationsverstärkers Berechnen Sie Laplacetransformierte H(s) = U 2 (s)/u 1 (s) (mit Konvergenzbereich) der Stoßantwort h(t) der oben gezeigten Schaltung Der Operationsverstärker zwischen den Klemmen 1 und 2 wird nun durch einen idealen Kurzschluß ersetzt. Wie ändert sich durch diese Maßnahme die Übertragungsfunktion H(s)? Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

30 Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

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34 Aufgabe 41: Die Zeitfunktion rect(t/3) wird zu den Zeitpunkten t = nt, mit T = 1, abgetastet. Am Ausgang des Abtasters erscheint die Zahlenfolge {s n } mit s n = s(nt). s(t) s n Takt T 41.1 Geben Sie die Zahlenfolge s n am Ausgang an Berechnen Sie das Spektrum S(jω) der Zahlenfolge und skizzieren Sie den Betragsverlauf. Welche Periode ω T hat das Spektrum? Geben Sie die Nullstellen des Spektrums innerhalb der ersten Periode an Berechnen Sie nun die Z-Transformierte S z (z)von {s n }. Geben Sie die Pol- & Nullstellen von S z (z) nach Betrag und Phase an und skizzieren Sie diese in der komplexen z-ebene. Geben Sie das Konvergenzgebiet von S z (z) an Verifizieren Sie S(jω), indem Sie S z (e jωt ) bilden. Vergleichen Sie die Lage der Nullstellen von S z (z) mit den Nullstellen des Spektrums der Zahlenfolge. Aufgabe 42: Folgende Zahlenfolge {s n } sei gegeben: s n n 42.1 Berechnen Sie die Z-Transformierte S z (z) der Zahlenfolge {s n } durch direkte Anwendung der Definition der Z-Transformierten Stellen Sie nun {s n } als Überlagerung verschobener linear ansteigender Zahlenfolgen dar und bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzentabelle S z (z) Skizzieren Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm und geben Sie den Konvergenzbereich an. Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

35 Aufgabe 43: Gegeben sei die gebrochen rationale Z-Transformierte S z (z), die dem unten abgebildeten Pol-Nullstellen-Diagramm zu entnehmen ist. H 0 = 1 z 02 = j jy z z = 1 z 01 = -2 x z 03 = -j Konvergenzbereich: 1< z < Bestimmen Sie mittels Polynomdivision die zugehörige Zahlenfolge {s n } und skizzieren Sie diese. Aufgabe 44: Es werde folgendes zeitdiskretes Netzwerk betrachtet: s n -1 g n z Geben Sie g n in Abhängigkeit von s n an Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H z (z) = G z (z)/s z (z) des Netzwerkes und stellen Sie sie im Pol-Nullstellen-Diagramm dar Bestimmen und skizzieren Sie den Betrag des Spektrums H z (e jωt ) Wie lautet die Antwort des Netzwerkes auf eine Einheitsimpulsfolge δ n am Eingang? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser Einheitsimpulsantwort h n und der Übertragungsfunktion H z (z)? 44.5 Auf den Eingang wird nun die Einheitssprungfolge ε n gegeben. Berechnen Sie die Antwort des Netzwerkes. Aufgaben Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen Juni 99

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