7. Komplexe Wechselstromrechnung

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1 Grundlagen der Elektrotechnik GET 7. Komplexe Wechselstromrechnung [Buch GET : Seiten 05-75] Einführung komplexe Zahlen, warum Wechselstrom? Originalbereich und Bildbereich Rechnen mit komplexen Zeigern Impedanz, Admittanz und das Kreisdiagramm Wechselstromleistung, komplexe Leistung Schwingkreise Leistungsanpassung Spezielle Wechselstromschaltungen Komplexe Zahlen I Kurze Repetition () Darstellungen der komplexen Zahl: Im jb z r a Re z a + jb re j r z * a jb re j r ( ) ( ) Re{ z} a rcos( ) z + z * Im{ z} b rsin( ) z z * j z a + b r z z * { } { } arg { z } arctan b a arctan Im z Re z

2 Komplexe Zahlen II Kurze Repetition () Die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen: z a + jb r e j r z a + jb r e j r z ± z ( a ± a )+ jb ( ±b ) ( a ± a ) + ( b ±b ) e jarctan z z ( a a b b )+ ja ( b + a b ) r r e j ( + ) b ± b a ± a z a + jb a + jb a jb ( z a + jb a + jb a jb a a + b b )+ j a b a b a + b r e j ( ) r ( ) Einführung I Womit beschäftigt sich die Wechselstromlehre? «Die Wechselstromlehre behandelt Ströme und Spannungen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit» «Die Wechselstromlehre behandelt das Verhalten von linearen Netzwerken (z.b. mit R, L, C, M), die durch solche Wechselgrössen angeregt werden»

3 Einführung II Warum Wechselstrom(lehre)? -35- t Die Erzeugung ist prinzipiell einfach. I E B ut () Wechselspannung Transport: Transformatoren für die Energieübertragung. In linearen Netzwerken treten Lösungsfunktionen vom folgenden Typ auf: e t, e ± j t Ziel: Eine vereinfachte Methode finden, um Wechselstromschaltungen einfach berechnen zu können Die Wechselstromlehre bietet Hand für allgemeinere Signalund Systembeschreibungen. Stichwort: Fourier-Analyse. Einführung III Erste Schritte in der komplexen Wechselstromlehre -36- (A) Darstellung harmonischer *) Wechselspannungen/-ströme Abbildung: Originalbereich komplexer Bildbereich. Zeigerdarstellung von Wechselgrössen. (B) Rechnen mit komplexen Zeigern Zu den arithmetischen Grundoperationen. Impedanz als komplexer Widerstandsoperator. Zeitableitung und Integration nach der Zeit. *) Mit «harmonisch» wird eine sinusförmige bzw. cosinusförmige Zeitabhängigeit angezeigt. Kurze Bilanz. Ein erstes Rechenbeispiel. Fazit und Ausblick auf das weitere Vorgehen. 3

4 Harmonische Wechselgrössen I (A) Bildbereich: u û : Drehzeiger Im û t î u i i u Re T B u i (B) Realer Originalbereich: T T f ut () û e jt ûe j u ( )e jt ut () ûsin( t + u ) : Festzeiger (ruhender Zeiger) : Phasenverschiebung ( u i ) T û û î it t () ut () : Periodendauer, : Kreisfrequenz : Scheitelwert der Spannung, Amplitude u : Nullphasenwinkel der Spannung -37- Harmonische Wechselgrössen II Konventionen () Schreibweise: -38- Wechselgrössen: klein u(t), i(t) Konstante Grössen: gross U: Effektivwertzeiger, U: Gleichspannung Komplexe Grössen: unterstrichen u(t), û () Darstellung: Im stationären Fall sind alle Informationen der harmonischen Wechselspannung u(t) im folgenden Zahlentrippel/-paar enthalten: ( (), û, u ) (, û) ut û ûe j u û u Es genügt die Angabe des Festzeigers! Wird als «global» gegeben vorausgesetzt (z.b. 50 Hz), dann ist die Wechselspannung mittels des komplexen Festzeigers û vollständig beschrieben. 4

5 Harmonische Wechselgrössen III Konventionen (3) Bezugsgrösse: In der Wechselstromrechnung wird die Phasenverschiebung meistens relativ zum Strom angegeben, also: Der Phasenwinkel ist positiv, u i falls die Spannung dem Strom vorauseilt. Will heissen: Die Phasenverschiebung hat demnach einen Bezugspfeil (wie übrigens auch die Nullphasenwinkel). Der Phasenwinkel ist positiv, falls der Bezugspfeil in die positive t-richtung weist. Harmonische Wechselgrössen IV Konventionen (4) Zur Transformation T B : Die Abbildung T B : Bildfunktion Originalfunktion wurde bisher wie folgt definiert: Sie projiziert den Drehzeiger auf die imaginäre Achse. (5) Zur äquivalenten Transformation T B : T B : u Im{ u} ûsin( t + u ) Eine ähnliche Abbildung wie T B könnte ohne Einschränkung der Allgemeinheit auch aus orthogonaler Richtung erfolgen (Merke: Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil sind reelle Zahlen und somit reale Grössen). Die Abbildung T B : Bildfunktion Originalfunktion liest sich demnach: T B : u Re{ u} ûcos( t + u ) Sie ist äquivalent und üblicher und projiziert den Drehzeiger auf die reelle Achse. 5

6 Rechnen mit komplexen Zeigern I Arithmetische Grundoperationen (A) Addition, Subtraktion: von Festzeigern ist statthaft (Folie 33) und technisch sinnvoll. (B) Multiplikation: von Zeigern ist in der Form von û î erklärungsbedürftig (folgt später). (C) Division von Zeigern: (aber nicht der zugehörigen harmonischen Wechselgrössen) Im X u i jt ûe û î e jt î Z R ûe ju î e j i Z Re û î e j ( u i ) û î e j û î ( cos + j sin ) Z u i û î û î e j Z e j R+ jx Impedanz: Komplexer Widerstandsoperator, Definition im Bildbereich! Scheinwiderstand Blindwiderstand Wirkwiderstand mit : Z R + X ; arctan( X R) Rechnen mit komplexen Zeigern II Ableitung nach der Zeit In der Darstellung der Wechselspannung mittels Festzeigern kann auch die Zeitableitung mit erfasst werden. d dt ut () T B u L di dt d dt ut () T B Beispiel: Induktivität Strom eilt / der Spannung nach. Spannung eilt / dem Strom voraus. T B d dt u d ( û e jt ) û j dt e jt û D e jt û D j û û D û j û î L Im Z û j L î î û Z î i û ut () it () û i j L î u ( ) t 6

7 Rechnen mit komplexen Zeigern III Integration nach der Zeit In der Darstellung der Wechselspannung mittels Festzeigern kann auch die Integration nach der Zeit mit erfasst werden. () ut dt u C idt T B ut ()dt Beispiel: Kapazität Strom eilt / der Spannung voraus. Spannung eilt / dem Strom nach. û I u dt ( ûe jt ) dt û e jt û I j j û T B j û Im û T B û î C jc î i û Z î î û i Z jcû î ( u ( )) it () ut () t Rechnen mit komplexen Zeigern IV Impedanzen î î î î û R û L û C û Z Im î û Re î Im û Re î Im - û Phasenwinkel hat einen Bezugspfeil! Re Im î û Strom/Spg. Re Im R Re j L Im Re jc Im - Re jx Im R Impedanz Re Z 7

8 Rechnen mit komplexen Zeigern V Was haben wir erreicht? Wir können eine sinusförmige Wechselgrösse (z.b. die Spannung) als Festzeiger im komplexen Bildbereich darstellen: () T B ut ut () û ûe j u û u Wir können Operationen wie Addition, Subtraktion, Zeitableitung und Integration nach der Zeit mit Festzeigern im komplexen Bildbereich einfach nachvollziehen. Wir haben einen Widerstandsoperator im Bildbereich definiert, der aus dem Quotienten von Spannungs- und Stromzeiger besteht und den wir mit Impedanz Z bezeichnen. Wir können eine einfache Wechselstromschaltung berechnen! Ein erstes Rechenbeispiel u 0 (t) u 0 i (t) R L () t 30Vcos t R 34.5 L 0 u ( ) u (t) { } ( ) () t Re û e j t 5Vcos t ! Berechnungen werden einfach! T B ' T B ' î î û 0 jl û û0 Z in R û 0 30V R+ j L 30V ( j0) 5.75A 30 û j L î A30 5V60 û î Zählpfeile: In Richtung positiver Zählung. û

9 Ein erstes Fazit Mit der komplexen Zeiger-Darstellung sinusförmiger Wechselgrössen lassen sich Wechselstromkreise sehr einfach berechnen. Hierbei haben wir von einer Verallgemeinerung des Ohmschen Gesetzes Gebrauch gemacht: û Z î Der (komplexe) Bildbereich ist eine mathematische Hilfskonstruktion. Die verwendeten Grössen und Opeartoren müssen stets eine sinnvolle Übereinstimmung mit dem Originalbereich aufweisen. Konsequenz #: In diesem Sinne ist das Produkt û î sinnvoll zu deuten, und zwar mit Bezugauf die Leistung. Konsequenz #: Die Kreisfrequenz stellt bei unserer Berechnung eine «globale» Variable dar. Dadurch lässt sich die Frequenzabhängigkeit von Netzwerken sehr direkt analysieren. Impedanz und Admittanz I Definitionsgleichungen () Impedanz Z: Der Widerstandsoperator «Impedanz» wurde in Folie 4 als Division von Festzeigern definiert. Zudem gilt das «verallgemeinerte» Ohm sche Gesetz: û Z î Z û î U I R+ jx Z e j Re{ Z} 0 R : Resistanz X : Reaktanz : Phasenverschiebung Z Z R + X arg{ Z} arctan( X R ) R Z cos( ) X Z sin( ) Wirkanteil der Impedanz Blindanteil der Impedanz 9

10 Impedanz und Admittanz II Definitionsgleichungen () Admittanz Y: -49- Der Leitwertoperator «Admittanz» kann analog zur Folie 4 auch als Division von Festzeigern definiert. î Y û Y î û I U G + jbye j Ye j Re{ Y } 0 Wirkanteil der Admittanz G : Konduktanz B : Suszeptanz : Argument von Y Y Y G + B arg{ Y } arctan( B G ) G Y cos( ) B Y sin( ) i u Blindanteil der Admittanz Impedanz und Admittanz III Definitionsgleichungen (3) Beziehung zwischen Impedanz und Admittanz: -50- R jx Z Z Y Z Y R+ jx! G + jb G + jb G jb G jb G jb G + B Y G jb (A) Äquivalente Reihenersatzschaltung: Gegeben sei eine Admittanz Y. Gesucht sind Resistanz R und Reaktanz X. R X G G + B B G + B 0

11 Impedanz und Admittanz IV Definitionsgleichungen (3) Beziehung zwischen Impedanz und Admittanz: R jx Z Z Y Z Y G + jb! R+ jx R jx R+ jx R jx R jx R + X Y G jb (B) Äquivalente Parallelersatzschaltung: Gegeben sei eine Impedanz Z. Gesucht sind Konduktanz G und Suszeptanz B. G B R R + X X R + X Kirchhoffsche Regeln I Komplexe Netzwerkelemente Verhältnisse der Festzeiger im Wechselstromnetzwerk: û 0 î K Z 3 Z û û 4 Z 4 Z 5 Z û î 4 î 5 Voraussetzung: Bezugspfeilordnung Zweigrelationen: û î Ladungserhaltung im stationären Fall. M î û 6 Z 6 î n 0 î Knoten μ (A) Kirchhoffsche Knotenregel (KCL) Fazit: Die Kirchhoffschen Regeln gelten auch für die Festzeiger von Strom und Spannung. n 0 û Masche μ (B) Kirchhoffsche Maschennregel (KVL)

12 Kirchhoffsche Regeln II Grafische Zeigerdarstellungen Zurück zum «ersten Rechenbeispiel» (Folie 46): -53- Darstellung gemäss Rechenbeispiel: Alle Zeiger im Ursprung. Im û 0 î û R R M L û L Darstellung ist durch die Kirchhoffsche Maschenregel inspiriert: Quellenspg. Lastspg. Im û 0 û 0 î û L î û L û R u i Spannung eilt dem Strom voraus! û R u i Re Re Spule und Widerstand Reihenschaltung Zurück zum «ersten Rechenbeispiel» (Folie 46): î û R ideale Spule ohne Verluste (cf. Folie 44) -54- û 0 R M L û L î û 0 Z û 0 R+ j L û L j L î û R R î komplexer Spannungsteiler! j L R+ j L û 0 R R+ j L û 0 { } { } arctan Im Z Re Z arctan L R Reale Spule: Reihenschaltung von L und R.

13 Kondensator und Widerstand I Parallelschaltung () Schaltungsanalyse î 0 î R î C Y G + jc G R û C R komplexe Stromteilerschaltung! Realer Kondensator: Parallelschaltung von R und C. C û R û C û î R ûg î C û jc î 0 Y î 0 G + jc G G + jc î 0 jc G + jc î 0 { } { } arctan Im Y Re Y C arctan G Kondensator und Widerstand II Parallelschaltung () Zeigerdiagramm und Phasensverschiebung: î C Im Spannung eilt dem Strom nach! Zeigerdarstellung ist durch die Kirchhoffsche Knotenregel inspiriert: Quellenstrom Lastströme. Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz: î 0 û L 8 î R i u Re idealer Kondensator ohne Verluste (cf. Folie 44) 3

14 Reale Spulen und Kondensatoren I Äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen () Parallelersatzschaltung einer realen Spule: -57- R r Z Y G p jb p jx r L R r : const. X r : L r Gegeben: Reihenersatzschaltung der realen Spule. Gesucht sind die Parallelersatzelemente R p und L p der gegebenen realen Spule. Folie 5: G p B p R r R ( ) p ( R r + L r ) G p R r R r + L r L r ( ) X p R r + L r L r + R r B p L r : L p Die Parallelersatzelemente sind stark frequenzabhängig! L p L r + R r L r Reale Spulen und Kondensatoren II Äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen () Reihenersatzschaltung eines realen Kondensators: -58- R r Z Y G p jb p jx r Folie 50: R r G p + C p C p X r G p + C p C G p : const. B p : C p G p G ( ) r ( G p + C p ) R r G p ( ) B r C p + G p X r C p :C r Gegeben: Parallelersatzschaltung des realen Kondensators. Gesucht sind die Reihenersatzelemente G r und C r des gegebenen realen Kondensators. Die Reihenersatzelemente sind stark frequenzabhängig! C r C p + G p C p 4

15 Reale Spulen und Kondensatoren III Äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen (3) Fazit zur Modellierung realer Spulen und Kondensatoren: Die Parallelersatzelemente der realen Spule sind stark frequenzabhängig. Die Reihenersatzelemente des realen Kondensators sind stark frequenzabhängig. Die jeweiligen Ersatzelemente gelten demnach exakt nur für eine Frequenz. Die jeweilige Ersatzschaltung gibt demnach ein Frequenzverhalten wieder, welches nicht durch einfache, physikalische, reale Bauelemente nachgebildet werden können. Will heissen: Die breitbandige realistische Modellierung einer realen Spule ist die Reihenersatzschaltung und eines realen Kondensators die Parallelersatzschaltung. Das Kreisdiagramm I Grafische Interpretation der Reihenparallelumwandlung () Umwandlungsbedingungen: Aus Folie 5: G p R r R r +X r R r G p R r +X r Z B p R p G p X r R r +X r X r R r +X r B p Y Die Grössen R r, X r, R p, und X p müssen bei der Reihenparallelumwandlung die folgende Bedingung erfüllen: jx p jb p j B p X p B p R r R p X r X p Z Y 5

16 Das Kreisdiagramm II Grafische Interpretation der Reihenparallelumwandlung Z R r + jx r Y j R p X p () Sätze zum rechtwinkligen Dreieck: (A) Kathetensatz im Dreieck 0PA: Z 0C 0A -6-0A Z Folie 60 0C R p Z R r Gegeben sei Z: Wird ein Kreis Durch die Spitze des Zeigers Z mit Mittelpunkt auf der reellen Achse gezeichnet, so schneidet dieser aus der relle Achse den Abschnitt R p aus. Das Kreisdiagramm III Grafische Interpretation der Reihenparallelumwandlung Z R r + jx r Y j R p X p () Sätze zum rechtwinkligen Dreieck: (B) Kathetensatz im Dreieck 0PB: Z 0D 0B -6-0B Z Folie 60 0D X p Z X r Gegeben sei Z: Wird ein Kreis Durch die Spitze des Zeigers Z mit Mittelpunkt auf der imaginären Achse gezeichnet, so schneidet dieser aus der imaginären Achse den Abschnitt X p aus. 6

17 Das Kreisdiagramm IV Grafische Interpretation der Reihenparallelumwandlung (3) Fazit: Die Elemente der Parallelersatzschaltung ergeben sich, indem man eine Senkrechte durch die Spitze der Impedanz legt. Ihr Schnittpunkt mit der reellen Achse ergibt R p und derjenige mit der imaginären Achse X p. Draus ergibt sich dann direkt: -63- G p R p B p X p Kreise 0PA und 0PB sind Kreise konstanter Konduktanz G p bzw. konstanter Suszeptanz B p. Das Kreisdiagramm V Kreise konstanter Konduktanz Von der grafischen Parametrisierung zum Kreisdiagramm: -64- Alle Impedanzen Z, Z, Z, Z 3, deren Zeigerendpunkt auf dem Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse liegt und der durch den Ursprung und den Punkt A geht, haben dieselbe Konduktanz. Ein solcher Kreis heisst G-Kreis. G > G > G 3 > G 4 G-Kreise G-Kreise lassen sich mit der ihnen zugehörigen Konduktanz G p parametrisieren. Die Schar aller G-Kreise trägt zum entsprechenden Kreisdiagramm bei. 7

18 Das Kreisdiagramm VI Kreise konstanter Suszeptanz Von der grafischen Parametrisierung zum Kreisdiagramm: -65- B-Kreise Alle Impedanzen Z, Z, Z, Z 3, deren Zeigerendpunkt auf dem Kreis mit Mittelpunkt auf der imaginären Achse liegt und der durch den Ursprung und dem Punkt B geht, haben dieselbe Suszeptanz. Ein solcher Kreis heisst B-Kreis. B-Kreise lassen sich mit der ihnen zugehörigen Konduktanz B p parametrisieren. Die Schar aller B-Kreise trägt zum entsprechenden Kreisdiagramm bei. Die B-Kreise sind die Orthogonaltrajektorien zu den G-Kreisen. Das Kreisdiagramm VII X r cf. Buch Seite 50 Graphische Impedanzinversion -66- Das vollständige Kreisdiagramm: Das Kreisdiagramm erlaubt die graphische Inversion von Impedanzen und Admittanzen. Z Beispiel #: Z ( + j) eintragen Admittanz herauslesen: Y (0.4 j0.) S R p.5 ; X p 5 Beispiel #: Z (60 j0) normieren mit 00 Admittanz herauslesen: Y (0.4 + j0.3) S Y Y /00 R p 50 ; X p 333 Z R r 8

19 Das Kreisdiagramm VIII Verschaltungsoperationen im Kreisdiagramm B L in Reihe +X L parallel B R in Reihe +R C parallel +B Dargestellt ist die Wirkung der Verschaltung auf die totale Impedanz. Merke: (Reelle) Widerstände und Leitwerte haben keine negativen Werte, daher gibt es kein «zurück» im Kreisdiagramm. G +G R parallel X C in Reihe Das Kreisdiagramm IX X r cf. Buch Seite Verschaltungsoperationen -68- Beispiel #3: j j0.4 j.4 j R Z 5 Z 6 R r Z R + jx Z 6 Z 5 + R 6 Z 3 Z R 3 Z Z 6 + jx 7 Z 3 Z 4 Z 4 Z 3 jx 4 Z 5 Z 4 + jx 5 Z (.59 j.40) Z Z 9

20 Wechselstromleistung I Leistungsbetrachtungen im Originalbereich () Reale Leistungsverhältnisse: ut () ut () ûcos( t + u ) it () î cos ( t + i ) (A) Momentanleistung p(t): () ut () it () pt ()i t ûcos( t + u )î cos ( t + i ) ûî cos ( t + u )cos( t + i ) ûî cos( u i )+ + cos( t + u + i ) ûî cos( u i )+ + cos( t + u [ u i ]) pt (): p + p () t Wechselstromleistung II Leistungsbetrachtungen im Originalbereich () Reale Leistungsverhältnisse: (A) Momentanleistung p(t): pt () ut ()i() t ûî cos { ( u i )+ cos( t + u [ u i ])} ûî cos ( u i ) + ûî cos( u i )cos( t + u )+ +sin p u i ( )sin( t + u ) p ûî cos ( u i ) ûî cos ( ) () p t Zeitunabhängiger Anteil p () t ûî cos( ) cos( t + u )+ +sin( )sin( t + u ) Zeitabhängiger Anteil; «pulsiert» mit der doppelten Frequenz f. 0

21 Wechselstromleistung III Leistungsbetrachtungen im Originalbereich () Interpretation der realen Leistungsverhältnisse: -7- (A) Momentanleistung p(t): pt () ut ()i() t p + p () t p (B) Interpretation des konstanten Anteils: T T pt () T () pt () ûî cos ( ): P [ ] VA W p + p t dt T p dt + T p ()dt t 0 T 0 T 0 (Watt) ûî cos ( T )dt + T ûî cos ( t + u + i )dt 0 0 p T 0 Ausdruck für den Wechselanteil aus Folie 69. Der lineare Mittelwert der Momentanleistung entspricht gerade dem zeitunabhängigen Anteil, welcher im Mittel dem elektrischen System entzogen wird: Wirkleistung. Wechselstromleistung IV Leistungsbetrachtungen im Originalbereich () Interpretation der realen Leistungsverhältnisse: -7- (C) Wirkleistung P: P ûî cos Das Faktum p(t) < 0 wird durch p (t) erzeugt. In den Zeitabschnitten für die p(t) < 0 gilt, gibt das Element Energie ans Netzwerk ab. Netzwerkelemente mit Phasenwinkeln, so dass p(t) < 0 auftritt, heissen: Energiespeicher. ( ) Der konstante Anteil bzw. lineare Mittelwert der Momentanleistung entspricht also der elektrischen Leistung, die im Netzwerk in Wärme (Verlustleistung) oder in eine andere Energieform umgewandelt wird, und dadurch eine Wirkung erzielt: daher Wirkleistung. Der Phasenwinkel ist gleichzeitig der Winkel der Impedanz Z. Da bei passiven Elemente stets Re{Z} > 0 gilt, damit ein positiver Widerstandsanteil resultiert (und darob auch die positive Verlustleistung) muss der sog. Leistungsfaktor cos() auch positiv sein, d.h. für den Phasenwinkel gilt: [-/, /]. Die obigen Aussagen sind äquivalent zu: In der Verbraucherpfeilordnung kann der zeitunabhängige Anteil nie negativ werden. Die Momentanleistung p(t) kann negative Werte auweisen.

22 Komplexe Leistung I Leistungsbetrachtungen im Bildbereich -73- Das Produkt û î hat wie in der Gleichstromrechnung auch in der Wechselstromrechnung eine Bedeutung. Es kann mit der Verlustbzw. Wirkleistung in entsprechende Verbindung gebracht werden (z.b. Folie 7). Frage: Lässt sich das Produkt û î der beiden Festzeiger im Bildbereich ebenfalls im Hinblick auf die Leistung deuten? Merke: Das Produkt û î der beiden Festzeiger, macht vorerst wenig Sinn. Laut Folie 47 kann diese Frage nur ausgehend vom Originalbereich physikalisch sinnvoll beantwortet werden. Vorgehen: Wir beginnen mit der Momentanleistung p(t) im Originalbereich und deuten diese nachträglich aus der Sicht des Bildbereiches. Komplexe Leistung II (B) Komplexe Leistung (Deutung): S û î * P+ jq (C) Scheinleistung: S S û î ûî (kein Zeiger) Blindleistung Wirkleistung t qt () Im Q S S P -74- Re (D) Komplexe Wechselleistung: S t () pt () ut () it () Re u (A) Originalbereich: pt () Ŝ S S S e j t e jt { }Re{ i } u + ( u* ) i + i * ( ) u i + u i * + u * i + u * i * 4 u i * + u i * 4 ( ) * + u i + u i 4 ( ) * Re u i * { }+ Re u i { } Re û î * { }+ jt Re û î e { } Re{ S}+ Re S () t ( ) { }

23 Komplexe Leistung III Diskussion () Leistungsverhältnisse (Zeitbereich): ut () it () W m () t «induktiv» (A) Zur Momentanleistung p(t): L ut () W e pt () Momentanleistung p(t) pendelt zwischen Quelle und Element! () t it () «resistiv» R 0 P Momentanleistung p(t) pulsiert am Element mit doppelter Frequenz pt () ut () it () pt () C «kapazitiv» Komplexe Leistung IV Diskussion () Leistungsverhältnisse (Bildbereich): L «induktiv» «resistiv» (B) Leistungen mit Scheitelwerten: P ûî cos( ) Scos ( ) Q ûî sin ( ) Ssin( ) S ûî û î * R 0 (C) Leistungen mit Effektivwerten: S U I { } { U, I} û,î P U I cos( ) Scos( ) C «kapazitiv» Q U I sin( ) Ssin( ) 3

24 Komplexe Leistung V Diskussion (3) Abschliessende Bemerkungen: -77- Einheiten: Die physikalischen Einheiten der Leistungsanteile P, Q und S sind vom Typ VA «Voltampère» bzw. vom Typ W «Watt». Zur besseren Unterscheidung werden folgende technische Einheiten eingeführt, welche physikalisch aber äquivalent sind. Scheinleistung : Wirkleistung : Blindleistung : [ S] VA Voltampere [ P] W Watt [ Q] var Voltampere reaktiv Scheinleistung S: Ist physikalisch ohne Bedeutung, sie ist eine fiktive Rechengrösse. Die Scheinleistung ist ein Mass dafür, welche Leistung die Quelle aufbringen muss, um die Wirkleistung an das Bauelement zu bringen. Die Scheinleidtung berücksichtigt also die zusätzliche hin- und her pendelnde Leistung (Blindleistung) mit und ist dadurch eine wichtige Dimensionierungsgrösse. Komplexe Leistung VI Diskussion (3) Abschliessende Bemerkungen: -78- Blindleistung Q: Sie ist ein Mass für die zwischen dem Netzwerkelement und der Quelle ausgetauschten Energie pro Zeiteinheit (Pendelleistung). Sie tritt dann auf, wenn das Netzwerkelement einen Energiespeicher enthält. Momentanleistung: Die Grösse p(t) stellt den zeitlichen Verlauf der physikalischen, vom Netzwerkelement aufgenommenen Leistung dar und wird im Sinne der Verbraucherbezugspfeilordnung bei Leistungsaufnahme positiv verrechnet. Im Hinblick auf Folie 70 ergibt sich für den Wechselanteil von p(t): pt () p + p t { } () Re S + Re S { } p t { } () Re S P Momentane Blindleistung: Die Quadraturkomponente q(t) der komplexen Leistung hat keine physikalische Bedeutung; sie könnte allenfalls als «momentane Blindleistung» bezeichnet werden. qt () q + q t () Im{ S} + Im { S } q () t Im S Q { } 4

25 Komplexe Leistung VI Leistungsverhältnisse bei Wechselstromschaltungen Wirk- Schein- und Blindleistung an Impedanzen und Admittanzen: -79- Z R + jx Z e j û Z î Y G + jb Y e j î Y û S P + jq û î * î î * Z î Z î Z e j S P + jq û î * û û* Y * û Y * û Y e j P Re{ S} î Z cos( ) î R û Y cos( ) û G Q Im{ S} î Z sin( ) î X û Y sin( ) û B Schwingkreise I -80- Der Reihenschwingkreis () Zwei Speicherelemente: L ut () it () W m () t (Folie 75) p < 0 Magnetische Feldenergie pt () C ut () W e () t Energieaustausch it () Zwei Energiespeicher ermöglichen einen wechselseitigen Austausch von Energie: Durch Pendeln tritt eine Schwingung auf! Elektrische Feldenergie pt () p > 0 5

26 Schwingkreise II Der Reihenschwingkreis () Analyse der Schaltung: (A) Admittanz: Z R+ j L + jc Y R+ j L + jc î Y û 0 û R R î RY û 0 Y R+ j L + jc R+ j L C ( ) ( ) frequenzabhängige Reaktanz: X û L j L î j LY û 0 û C jc î jc Y û 0 Die Admittanz charakterisiert die Netzwerkeigenschaften! Schwingkreise III Der Reihenschwingkreis (3) Die Resonanz(kreis)frequenz: (B) Resonanzbedingung: Y R+ j L C ( ) X ( ) ( ) X ( ) L C < : 0 kapazitiv > 0 : induktiv ( L C )! f 0 LC Resonanz(kreis)Frequenz Merke: Z ( 0 ) R Y ( 0 ) G Bei der Resonanzfrequenz rein reell! 6

27 Schwingkreise IV Der Reihenschwingkreis (4) Reaktanz des Reihenschwinkreises: Induktivität ist dominant L ( ) X ( ) L C < : 0 kapazitiv > 0 : induktiv -83- C Kapazität ist dominant Schwingkreise V Der Reihenschwingkreis (5) Die Ortskurve der Impedanz / der Admittanz: -84- grösster Wert von IYI, sind die sogenannten «45 -Kreisfrequenzen» (weiteres später auf Folie 9) R konstant kleinster Wert von IZ I G konstant (G-Kreis) Vergleiche das Verhalten von ±jx in Reihe zu ±jb parallel auf Folie 67. 7

28 Schwingkreise VI Der Reihenschwingkreis (6) Bei Resonanz: Z ( 0 ) R min Z Y ( 0 ) G R max Y ( ) arg Z ( 0 ) { } arctan L 0 R ( ) arg Y ( 0 ) 0 C 0 { } arg{ Z ( 0 )} 0 (7) Parametrisierung des Reihenschwingkreises in der Umgebung von 0 : Y R+ j L C 0 ( ) R + j R ( L ) LC C Kennwiderstand des Reihenschwingkreises mit : 0 L 0 C 0 Z K Z K Z K 0 L 0 C L C Schwingkreise VII Der Reihenschwingkreis (7) Parametrisierung des Reihenschwingkreises in der Umgebung von 0 : Y R + j R ( L C ) R + j Z K R { 0 ; Z LC K 0 L L C C } 0 Y R + jqv parametrisierte Admittanz Q Z K R Güte 0 0 ( ) R v 0 0 Verstimmung + jqv Güte: Sie ist ein Mass für die Grösse der Reaktanz der/des Spule/Kondensators (Energiespeicher) im Vergleich zum Wert des Widerstands (Verlustrate). 8

29 Schwingkreise VIII Der Reihenschwingkreis (8) Das Frequenzverhalten des Betrages der Admittanz (Scheinleitwert): Y ( 0 ) R L 0 mh C 00 μf s Y Y R + Z K R R + Q v 0 0 ( ) -87- Die Steilheit der Kurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz 0 hängt stark von der Güte Q ab. Q R Schwingkreise IX Der Reihenschwingkreis (9) Das Frequenzverhalten des Argumentes der Admittanz (Winkel): -88- Die Steilheit der Kurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz 0 hängt auch hier stark von der Güte Q ab (siehe auch das Argument der Arcustangens-Funktion). L 0 mh C 00 μf s arctan Z K R 0 0 ( ) arctan Qv ( ) 9

30 Schwingkreise X Realisierung eines Bandpassfilters () Erzeugung einer Filterfunktion aus dem komplexen Spannungsteiler: -89- Rückblick auf die Folien 87 und 88 zum Verhalten der Admittanz Y( 0 ): î ( ) Y ( )û ( ) Bandpassfilter: Signale um 0 werden «durchgelassen», die Anderen «gesperrt». Es gibt einen Durchlass- und zwei Sperrbereiche. Die Stromstärke î ist demnach stark frequenzselektiv und kann für eine Filterfunktion ausgenutzt werden. Z.B. zur Herausfilterung eines Stromsignals bei der Kreisfrequenz 0. Mit û R î kann kann ein Übertragungsverhalten û û realisiert werden, welches Bandpasseigenschaften aufweist. Der Reihenschwingkreis ist ein Bandpassfilter. Schwingkreise XI Realisierung eines Bandpassfilters () Das Frequenzverhalten des Betrages der Admittanz (Scheinleitwert): -90- Definitionsgleichungen für die Grenzfrequenzen Definition des Durchlassbereiches über die Grenzfrequenzen und und die daraus abgeleitete Bandbreite : ( ) Y ( 0 ) ( ) Y ( 0 ) Y Y Der Faktor / entspricht einem Leistungsabfall gemäss dem Faktor /. 30

31 Schwingkreise XII Realisierung eines Bandpassfilters (3) Bestimmung der Bandbreite: Y (, ) Y ( 0 ) R +Q, 0 0 (, ) R +Q v,! R -9- +Q v, v, v Q, ± Q (, 0 0, )±, Q ( ) ± Q 0 0 Q Q Relative Bandbreite (, 0 ) 0, 0 Grenzfrequenzen ( ) + Q + 4Q Bandbreite 0 Q 0 Q Schwingkreise XIII Realisierung eines Bandpassfilters (4) Bestimmung der Bandbreite aus der Ortskurve: ( ), arctan Qv arctan ( ±) ±45-9- Die Grenzfrequenzen und sind demnach gerade 45 -Kreisfrequenzen aus Folie 84. Die Bandbreite lässt sich somit graphisch aus der Ortskurve herauslesen. 3

32 Schwingkreise XIV Realisierung eines Bandpassfilters (5) Das Zeigerdiagramm: : 0 û R RY û 0 + jqv û 0 û 0 û L j LY û 0 j ( 0 )Q + jqv û 0 +jqû 0 û C jc Y û 0 j ( 0 )Q + jqv û 0 jqû 0 kapazitiv Q Merke: Die Spannungen über den reaktiven Elementen sind gegenüber der Anregung û 0 um Q vergrössert! induktiv Schwingkreise XV Realisierung eines Bandpassfilters (6) Frequenzverhalten des Bandpassfilters: Spannungsresonanz Spannungsresonanz û 0 5V L 0 mh C 0 mf R 0. Stromresonanz Q 0 Q Leerlauf- bzw. Quellenspannung R.0 Leerlauf- bzw. Quellenspannung Für kleine Werte von Q ergeben sich mehrere Resonanzmaxima! 3

33 Schwingkreise XVI Der Parallelschwingkreis () Analyse der Schaltung: -95- Der Paralleleschwingkreis ist die duale Schaltung zum Reihenschwingkreis. Y G + j L + jc Z G + j L + jc û Z î 0 Z G + j L + jc G + j C L ( ) ( ) Frequenzabhängige Suszeptanz: B î R Gû GZ î 0 î L j L û j L Z î 0 î C jcû jcz î 0 Schwingkreise XVII Der Parallelschwingkreis () Parametrisierung des Parallelschwingkreises in der Umgebung von 0 : Z G + j L + jc G + j Y K G 0 0 ( ) Aufbau der Gleichungen ist identisch zum Reihenschwingkreis Y K 0 L 0C C L Z K Z G + jqv Q Y K G RY K ( ) 0 LC v

34 Schwingkreise XVIII Der Parallelschwingkreis (3) Das Frequenzverhalten des Betrages der Impedanz (Scheinwiderstand): -97- Z ( 0 ) R L 0 mh C 00 μf s Z G + Y K G Z 0 0 ( ) G +Q v R +Q v Die Steilheit der Kurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz 0 hängt stark von der Güte Q ab. R Q Schwingkreise XIX Der Parallelschwingkreis (4) Das Frequenzverhalten des Argumentes der Impedanz (Phasenwinkel): -98- Die Steilheit der Kurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz 0 hängt auch hier stark von der Güte Q ab (siehe auch das Argument der Arcustangens-Funktion). arctan Y K G 0 0 ( ) arctan Qv ( ) 34

35 Schwingkreise XX Der Parallelschwingkreis (5) Das Zeigerdiagramm: : 0 î R GZ î 0 + jqv î 0 î 0 î L Z î j 0 ( )Q j L 0 + jqv î jq î 0 0 î C jcz î 0 j ( 0 )Q + jqv î 0 +jq î 0 induktiv kapazitiv -99- Merke: Die Stromstärken über den reaktiven Elementen sind gegenüber der Anregung î 0 um Q vergrössert! Schwingkreise XXI Ein erstes Fazit Die Impedanz des Reihenschwingkreises ist bei Resonanz reell (Z R). Im Idealfall, d.h. nur bei der Verschaltung von einer realen Spulen und einem realen Kondensator wird die Eingangsimpedanz niederohmig. Die Impedanz des Parallelschwingkreises ist bei Resonanz reell (Z R). Im Idealfall, d.h. nur bei der Verschaltung von realen Spulen und Kondensatoren wird die Eingangsimpedanz hochohmig. Bei der Verschaltung realer Spulen und realer Kondensatoren ergeben leicht abweichende Schwingkreistopologien, d.h. Reihen- und Parallelschwingkreis sind in «Reinkultur» nicht zu haben. Die Analyse bedient sich zwar der gleichen Parametrisierung ( 0,Q), muss für den konkreten Fall aber jeweils neu durchgeführt werden (z.b. Buch S.96 ff.). 35

36 Schwingkreise XXII Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis () Analyse des Reihenschwingkreises: Z R + j L + jc S û î * î î * Z S î R + + j î L î C P Re{ S} î R Lassen sich P und Q mit den Feldenergien verknüpfen? Q Im{ S} î L ûc C S î R + + j î L ( ûc C) Schwingkreise XXIII Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis (Folie 54) () Energieverhältnisse: ut () it () W m () t (A) Energieinhalt der Felder im Kondensator und in der Spule (Folien 50 und 75): L p < W m W e () t Li t () () t Cu C () t u C () t û C cos( t + uc ) it () î cos ( t + i ) W m () t L î cos( t + i ) W e () t C û C cos( t + uc ) Magnetische Feldenergie C Elektrische Feldenergie ut () W e pt () () t Energieaustausch pt () it () p > 0 36

37 Schwingkreise XXIV Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis (Folie 54) () Energieverhältnisse: ut () it () W m () t (A) Energieinhalt der Felder im Kondensator und in der Spule (Folien 50 und 75): W m () t L î cos( t + i ) ( ) () t C û C cos( t + uc ) ( ) 4 L î + cos t + i W e C û 4 C + cos t + i W L î m 4 L î 4 W e 4 C û C 4 C û C L Magnetische Feldenergie t C Elektrische Feldenergie t ut () W e pt () () t Energieaustausch pt () it () p < 0 p > 0 Schwingkreise XXV Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis (Folie 54) () Energieverhältnisse: ut () it () W m () t (B) Verknüpfung der Feldenergie mit der Blindleistung (cf. Folie 30): W m 4 L î 4 L î L Magnetische Feldenergie pt () p < W e 4 C û C 4 C û C Q î L ûc Q ( W m W e ) C (cf. Folie 30) Die Blindleistung Q entspricht der -fachen Differenz der mittleren Feldenergien. C Elektrische Feldenergie ut () W e () t Energieaustausch pt () it () p > 0 37

38 Schwingkreise XXVI Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis (3) Die physikalische Interpretation der Resonanzkreis-Güte Q k (*) : (A) Wirkleistung am Widerstand (Verlustleistung): P R î R 0C û C Z k 0 C P Q k 0 C ( ) R 0 Q k Z k R R Z k Q k Q k 0 C C û C (B) Anhand der Parametrisierung des Schwingkreises aus Folie 65: ( 0 C û C ) 0 Q k C û C 0 Q k W e (C) Güte Q k des Schwingkreises : Q k 0 W e P W e T P (*) Es wurde hier für die Güte das Symbol Q k verwendet um eine Verwechslung mit der Blindleistung Q auszuschliessen. Schwingkreise XXVII Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis (4) Fazit zum Resonanzfall: : 0 Q k 0 W e P W e T P Merke: Die Leistung pendelt hier nicht zwischen der Quelle und dem Netzwerk, sondern zwischen der Spule und dem Kondensator. Bei Resonanz kommt die Quelle lediglich für die Verlustleistung P am Widerstands R auf, da Quelle bei 0 nur die Impedanz R «sieht». S P Q 0 Folie 304 Im zeitlichem Mittel im Schwingkreis gespeicherte Energie: W e W m W W e +W m W W e W m Q k 0 W P W T P Die Güte Q k berechnet sich aus der gemittelten, im Schwingkreis gespeicherten Energie und der in einer Periode umgewandelten Energie. 38

39 Schwingkreise XXVIII Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis (3) Die physikalische Interpretation der Resonanzkreis-Güte Q k : Im Resonanzfall sind die beiden Spannungen u L und u C um 80 gegeneinander phasenverschoben. Dadurch korrelieren Energiezunahme mit Energieabnahme in den entsprechenden reaktiven Netzwerkelementen. Im Fall von R 0 bezieht der Umladevorgang der Feldenergien keine Leistung von der Quelle, d.h. beim Umladevorgang wird keine Arbeit verrichtet (auch weil für die Spannung u u L + u C 0 [zu jedem Zeitpunkt] gilt). Die Leistungsanpassung I Reale Wechselspannungsquelle an einer Lastimpedanz () Experimentalanordnung mit komplexer Lastimpedanz: (A) Leistungsumsatz an der Last Z: û 0 î Z + Z i { } P î î * Re Z û 0 Z + Z Re Z i { } Die Wirkleistung ist eine Funktion der «Variablen» R und X! P û 0 R R+ R i ( ) + ( X + X i ) 39

40 Die Leistungsanpassung II Reale Wechselspannungsquelle an einer Lastimpedanz () Bestimmung der maximalen, im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: P w û 0 R R+ R i (B) Extremalbedingungen: ( ) + ( X + X i ) ( ) + ( X + X i ) R( R+ R i ) ( ) + ( X + X i ) P w R û 0 R+ R i R+ R i ( ) ( ) + ( X + X i ) P w X û 0 R X+ X i R+ R i An der Last umgesetzte Wirkleistung! 0! 0 Standpunkt der Nachrichtentechnik: Die Werte R i und X i werden als bekannt vorgegeben. (C) Extremum: R R i + ( X + X i ) X X i Ob es sich bei dem Extremum um ein Maximum handelt, kann mittels. Ableitungen direkt überprüft werden. Die Leistungsanpassung III Reale Wechselspannungsquelle an einer Lastimpedanz () Bestimmung der maximalen, im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: (C) Extremum: R R i + ( X + X i ) R R i * Z Z X X i X X i i (E) Maximale verfügbare Leistung: P max w P w * û 0 Z Z i R i R i + R i (F) Parametrisierung der Wirkleistung: P w 4 RR i P max w ( + RR i ) + X + X i ( ) + X i + X i (D) Anpassbedingung für die Leistungsanpassung von Z: an eine reale Spannungsquelle Y Y i * an eine reale Stromquelle P max ( ) w û 0 8 R i ([ ] R i ) 4x x RR i ( + x) + y y [ X + X i ] R i

41 Die Leistungsanpassung IV Reale Wechselspannungsquelle an einer Lastimpedanz (3) Darstellung der im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: P w Steiler Abfall in reaktive Richtung! P w P w max 4x + x ( ) + y x RR i y X + X i [ ] R i Merke: Für y 0 ist es gerade die Kurve aus Folie 0. Flacher Abfall in resistive Richtung! Die Leistungsanpassung V Reale Wechselspannungsquelle an einer Lastimpedanz (4) «Landkarte» der im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: P w P w max const. : z : Höhenlinien Apollonische Kreise (in x und y): ( ) x z + y 4 z ( z ) Höhenlinien (Kreise konstanter Wirkleistung) Parametrisierung: x RR i y X + X i z P w [ ] R i P w max 4

42 Die Leistungsanpassung VI Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitiver Last» () Beispielschaltung: R i 5 X i û 0 0 V P w û 0 R R+ R i ( ) + ( L i ) C (A) Leistungsanpassung: R R i 5 jx j C j P max w ( 0V).5 W 85 (B) Variation der Last: Ändern von R bei festen Werten von C: Längsschnitte (in x) Ändern von C bei festen Werten von R: Querschnitte (in y) im «Gebirge» (Folie 3) Die Leistungsanpassung VII Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitiver Last» () Variation des Widerstands (Längsschnitte ) : -34- R R i Parallele Längsschnitte durch das «Leistungsgebirge» aus Folie 3 parametrisiert mit den Werten der Reaktanz /(C). R i 5 X i û 0 0 V Leistungsmaxima liegen bei abweichenden Werten von X i nicht mehr beim Wert R R i 5. Die relativen Maxima sind zu grösseren Werten von R hin verschoben. 4

43 Die Leistungsanpassung VIII Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitiver Last» (3) Variation der Reaktanz (Querschnitte ) : -35- R i 5 X i û 0 0 V X -L i - 0 Parallele Querschnitte durch das «Leistungsgebirge» aus Folie 3 parametrisiert mit den Werten der Resistanz R. Die relativen Maxima der Leistungskurven werden für die Werte R < R i 5 schmaler, bzw. für R > R i 5 breiter. Z.B. haben die relativen Maxima der Leistungskurven von R.5 und R 0 die gleiche Wirkleistung. Die Fehlanpassung bei R 0 ist aus Gründen der Empfindlichkeit in der Praxis jedoch vorzuziehen. Die Leistungsanpassung IX Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitiver Last» (4) Alternative Betrachtung bei fest vorgegebener Lastimpedanz: -36- Standpunkt der Energietentechnik: Die Werte der Last, d.h. R und X sind fest und werden als bekannt vorgegeben. Die Quelleninnenimpedanz (R i und X i ) wird nun zur Maximierung der Wirkleistung in der Lastimpedanz variert. ( ) ( ) + ( X + X i ) P w û 0 R i R R+ R i R+ R i ( ) ( ) + ( X + X i ) P w û 0 X i R X+ X i R+ R i! 0! 0 Dies ist eine alternative Vorgehensweise zum Ansatz aus Folie 309 (bzw. zum standpunkt der Nachrichtentechnik): es ist der Standpunkt des Energieerzeugers. Abgeleitete Bedingungen an die Innenimpedanz: R i R X i X Negative Widerstände sind passiv nicht zu realisieren. Beste Wahl: R i 0. 43

44 Die Leistungsanpassung X Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitive Last» (5) Variation des Innenwiderstands (Längsschnitte durch das «Leistungsgebirge»): -37- R i 0 R 0 C û 0 0 V Parallele Längsschnitte durch das «Leistungsgebirge» parametrisiert mit den Werten der Reaktanz der Innenimpedanz L i. Es gibt nur ein absolutes Maximum bei R i 0. Der Energieerzeuger versucht deshalb die Innenimpedanz möglichst klein zu halten. Die in der Last umgesetzte Wirkleistung ist doppelt so gross wie bei der Leistungsanpassung, da der Verlustanteil der Innenimpedanz gänzlich wegfällt. Die Leistungsanpassung XI Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitive Last» (6) Variation der Innenreaktanz (Querschnitte durch das «Leistungsgebirge»): -38- R 0 C û 0 0 V X i /C Da R i < 0 nicht realisierbar ist, liegen alle Leistungskurven unterhalb der Kurve R i 0. Die Leistungsanpassung beruht u.a. auf der Kompensation der Reaktanzen, was einem Resonanzeffekt entspricht (siehe z.b. Folie 300). Allgemein: Die Leistungsanpassung einer Quelle mit Innenimpedanz Z i an eine Lastimpedanz Z müsste daher stark frequenzabhängig sein. 44

45 Die Leistungsanpassung XII Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitive Last» (7) Frequenzabhängigkeit der Verlustleistung (bei Leistungsanpassung): Anpassung hier R 5 Anpassung hier R 5 R i 5 L i mh C mf û 0 0 V Merke: Entgegen der bisherigen Vermutung zeigt die Leistungsanpassung ausser bei tiefen Frequenzen (erstaunlicherweise) eine geringe Frequenzabhängigkeit! Spezielle Wechselstromschaltungen I Spannungsteilerschaltung () Komplexer Spannungsteiler (allgemein): Z Z + ( Z Z 3 ) Z + Z Z 3 Z + Z û 3 û Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 Z + Z 3 î Z + Z 3 Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 û î 3 Z Z + Z 3 î : Stromteilerformel û 3 Z 3 î 3 Z Z 3 Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 û î 3 Z Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 û 45

46 Spezielle Wechselstromschaltungen II Spannungsteilerschaltung () Die Hummel-Schaltung: Forderung: Der Zeiger der Stromstärke î 3 soll gegenüber der Eingangsspannung û stets eine Phasenverschiebung von / aufweisen. î 3 Z Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 û : Z û Z Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 Z Impedanz soll rein imaginär sein. Z : R Bedingung: Realteil der Impedanz muss (bei Z R ) verschwinden. ( ) Z Z + Z 3 + Z Z 3 R + jx + R 3 + jx 3 + R R 3 X X 3 + j R X 3 + R 3 X Z R R + R 3 + R R X X 3 3! 0 ( R + R 3 )R X X 3 R R 3 R Spezielle Wechselstromschaltungen III Spannungsteilerschaltung () Die Hummel-Schaltung: ( R + R 3 )R X X 3 R R 3 R, R, R 3 > 0 X, X > 0 3 : Spulen X, X 3 < 0 : Kondensatoren Rechenbeispiel: (Z, Z 3 werden durch Spulen realisiert) R R R 3 Z R + j L X X 3 3 Z 3 R 3 + j L 3 Die gestellte Forderung nach einer rein imaginären Impedanz kann nur für eine bestimmte Frequenz erzielt werden. X X 3 L L 3 X X 3 L L 3 R R + R R 3 + R R 3 L L 3 46

47 Spezielle Wechselstromschaltungen IV Spannungsteilerschaltung (3) Die Boucherot-Schaltung: -33- û 3 û Forderung: Die Stromstärke î 3 durch die Impedanz Z 3 soll unabhängig von dieser Impedanz sein (ähnliches Verhalten wie bei einer Stromquelle). î 3 Z Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 û Z ( ) û Z Z + Z 3 Z + Z Z Z Im Falle passiver Elemente müssen die Impedanzen reine Reaktanzen sein! û ( Z + Z ): 0 Z Spezielle Wechselstromschaltungen V Spannungsteilerschaltung (4) Die kompensierte Spannungsteilerschaltung : Kompensationskondensator -34- unkompensiert kompensiert Forderung: Das Spannungsteilerverhältnis soll frequenzunabhängig werden Kompensation. û Z Z + Z û Y Y +Y û R + jc Die Parallelschaltung der Elemente R und C stellt eine typische Eingangsimpedanz eines Gerätes dar. û R + jc + R + jc 47

48 Spezielle Wechselstromschaltungen VI Spannungsteilerschaltung (4) Die kompensierte Spannungsteilerschaltung : unkompensiert kompensiert R C R C Kompensationskondensator Spannungsteilerverhältnis bleibt erhalten falls Zeitkonstanten gleich sind. Spannungsteiler: û R + jc û R + jc + R + jc R R + R + j R C + j R R C + C R + R R C R R C + C R + R û Spezielle Wechselstromschaltungen VII Spannungsteilerschaltung (4) Die kompensierte Spannungsteilerschaltung : frequenzunabhängig! û û R R + R + j R C + j R R C + C R + R C 0.44 pf C R 9k R k C 4pF C 0.44 pf 48

49 Spezielle Wechselstromschaltungen VIII Resonanztransformationsschaltungen () Analyse des (realen) Schwingkreises: (Reelle) Eingangsadmittanz: Y e jc + R + j L jc + R j L R + L Beim Schwingkreis in Resonanz kompensieren sich die Reaktanzen und es werden rein reelle Impedanzen/Admittanzen eingesehen (Folie 300). Zudem fliessen im Resonanzfall zwischen den Reaktanzen Ströme, die sich über die Resonanzgüte im Prinzip einstellen lassen. Daraus lassen sich für einen begrenzten Frequenzbereich Immitanztransformationsschaltungen realisieren. ( ) : R Imaginärteil muss verschwinden -37- Spezielle Wechselstromschaltungen IX Resonanztransformationsschaltungen () Analyse des (realen) Schwingkreises: Y e jc + R j L R + L R + j C( R + ( L) ) L R + L C R + ( L) ( ) R j L + jc R R + ( L) ( ) ( + ( L) ) ( ) L 0 ( ) L 0 Resonanzkreisfrequenz (für Im{Y e } 0): C R + ( L) ( L) L C R r R LC L ( ) LC R C L Imaginärteil muss verschwinden

50 Spezielle Wechselstromschaltungen X Resonanztransformationsschaltungen () Resonanz(Impedanz)transformation: Y e ( ) r R R + r L ( ) : R ( r L) R ( r C) R R R n n R R > ( r L) ( ) R R + r L n n Anhand der Folie 38 ausgehend von r ( r C) und dem Ausdruck für C/L (siehe auch Folie 330). Bei gegebenem n R /R lassen sich L und C bestimmen. Es kann dadurch ein Widerstand R nur in einen grösseren Widerstand R transformiert werden. Spezielle Wechselstromschaltungen XI Resonanztransformationsschaltungen (3) Veranschaulichung der Resonanztransformation: Transformation ist schmalbandig. Beziehungen aus Folie 39! G p R B p L R ( R + ( L) r L) R R R R ( n ) L R + L ( ) r L r L R + L ( ) r C 50

51 Spezielle Wechselstromschaltungen XII Spannungsteilerschaltung (4) Resonanztransformation nach kleineren Widerständen: Resonanzkreisfrequenz (für Im{Z e } 0): r LC L R C Z e j L + R jc ( R ) + C R j L R L R ( ) ( ) + ( C) ( ) C ( R ) + ( C) Imaginärteil soll verschwinden: ( ) + C ( ) ( ) ( C) C L R C 0 Spezielle Wechselstromschaltungen XIII Spannungsteilerschaltung (4) Resonanztransformation nach kleineren Widerständen: Z e ( ) r R ( R ) + r C ( ) : R ( r C) R n Merke: Man hätte auf diese Herleitung verzichten können indem man die Resonanztransormationsschaltung aus Folie 37 einfach in umgekehrter Richtung interpretiert! ( r L) R n n n R R < 5