Alignment-Verfahren zum Vergleich biologischer Sequenzen

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1 zum Vergleich biologischer Sequenzen Hans-Joachim Böckenhauer Dennis Komm Volkshochschule Zürich. April

2 Ein biologisches Problem Fragestellung Finde eine Methode zum Vergleich von DNA-Molekülen oder Proteinen Motivation Suche in enom- oder Protein-Datenbanken Erstellung von phylogenetischen Bäumen eilproblem bei der DNA-Sequenzierung

3 Vorgehen zur Lösung des Problems Vorgehen: Finde geeignete Datenstruktur für die Moleküle Definiere geeignetes Ähnlichkeitsmass Entwirf einen möglichst effizienten Algorithmus zur Berechnung der Ähnlichkeit bezüglich dieses Masses

4 Modellierung der Daten Moleküle als Strings: DNA und Proteine sind lange kettenförmige Moleküle bestehend aus wenigen oft wiederholten rundbausteinen Darstellung als Strings P 5 Z P Z P Z P Z P Z A A A Z Z Z Z Z P P P P 5 A P

5 Ähnlichkeit von Strings Anforderung: Ähnlichkeitsmass soll häufige Veränderungen in DNA- oder Proteinsequenzen widerspiegeln: Austausch einzelner Basen oder Aminosäuren Einfügen oder Löschen kurzer eilsequenzen

6 Alignments Idee: Schreibe beide Strings buchstabenweise untereinander, füge dabei an beliebigen Stellen Lückensymbole ein Beispiel: Eingabe: Strings s = AAA und t = AAAA mögliche Alignments: s =A AA t =AAAA s =A AA t =AAAA s =AA A t = AAAA Bemerkung: Spalten bestehend aus zwei Lücken sind sinnlos, kommen also nicht vor

7 Bewertung von Alignments Idee zur Bewertung: Alignment spaltenweise bewerten, dann über alle Spalten aufsummieren Spalte mit Lücke erhält Kosten g Spalte mit Buchstaben a und b erhält Kosten p(a, b) p(a, b) ist Null für a = b und gross für a b Ziel: Minimiere die Kosten

8 Edit-Distanz Beispiel für Bewertung: Edit-Distanz (Levenshtein, 966): Zähle Mismatches und Lücken, d. h. g =, p(a, a) = und p(a, b) = für a b Beispiel: Eingabe: Strings s = AAA und t = AAAA mögliche Alignments: s =A AA t =AAAA s =A AA t =AAAA s =AA A t = AAAA Edit-Distanz: d edit (s, t ) = d edit (s, t ) = 5 d edit (s, t ) =

9 Erster Lösungsversuch: Vollständige Suche Frage: Wie kann man ein optimales Alignment finden? Idee: Probiere alle Alignments durch Abschätzung des Rechenaufwands: Wieviele verschiedene Alignments gibt es?

10 Anzahl möglicher Alignments heorem Seien s und t zwei Strings der Länge n. Dann gibt es mehr als n mögliche Alignments von s und t. Beweisidee: Alignment ist eindeutig bestimmt durch die Position der eingefügten Lücken Zähle nur Alignments einer bestimmten einfachen Form

11 Anzahl möglicher Alignments Drei Möglichkeiten für zwei Strings a und b der Länge : a b a b a b Sei s = s s...s n und t = t t...t n Die drei Möglichkeiten anwenden auf alle Paare s j und t j Beispiel für n = : s s s t t t oder s s s t t t Daraus lassen sich n Alignments zusammensetzen Beachte: Dies sind nicht alle möglichen Alignments, es gibt noch mehr, zum Beispiel s s s t t t oder s s s t t t

12 Exponentielle Laufzeit n 5 n 5 n 6 n 5 7 Ziffern n 59 9 Ziffern 8 Ziffern Ziffern 77 Ziffern Vollständige Suche ist viel zu langsam Intelligenter Algorithmenentwurf nötig

13 Dynamische Programmierung Prinzip der dynamischen Programmierung: Lösung für die gesamte Eingabe zusammensetzen aus eillösungen für eilprobleme, beginnend mit den kleinsten eilproblemen Problem: Finde geeignete eilprobleme Idee (Needleman und Wunsch, 97): Alle Paare von Anfangsstücken (Präfixen) der gegebenen Strings als eilprobleme Berechne Alignments für längere Präfixe aus den optimalen Alignments für kürzere Präfixe

14 Beispiel für das Alignment von Präfixen Ziel: Berechne optimales Alignment von s = A und t = A Unterscheide drei Fälle bezüglich der letzten Spalte des Alignments: A A A A } {{ }} {{ } d edit (A,A) + A } {{ }} {{ } d edit (A,A) + A } {{ }} {{ } d edit (A,A) + Berechnung von d edit (A,A) zurückgeführt auf Berechnung der Edit-Distanz für drei Paare von Präfixen

15 Beispiel für das Alignment von Präfixen Ziel: Berechne optimales Alignment von s = A und t = A Unterscheide drei Fälle bezüglich der letzten Spalte des Alignments: A A A A } {{ }} {{ } + A } {{ }} {{ } + A } {{ }} {{ } + Berechnung von d edit (A,A) zurückgeführt auf Berechnung der Edit-Distanz für drei Paare von Präfixen

16 Beispiel für das Alignment von Präfixen Ziel: Berechne optimales Alignment von s = A und t = A Unterscheide drei Fälle bezüglich der letzten Spalte des Alignments: A A A A } {{ }} {{ } + A } {{ }} {{ } + A } {{ }} {{ } + optimales Alignment mit Edit-Distanz d edit (s, t ) = ist s = A t = A

17 Initialisierung Definition: Der leere String λ ist ein String der Länge, er ist Präfix von jedem anderen String. Initialisierung der Berechnung: Alignment eines nichtleeren Präfixes mit dem leeren String ist eindeutig: s s... s i... oder... t t... Kosten: d edit (s... s i,λ) = d edit (λ, t... t i ) = i t i

18 Beispiel zur Berechnung der Edit-Distanz t s A Initialisierung 5 5

19 Beispiel zur Berechnung der Edit-Distanz s t Bestimme d edit (s, t ): Lücke in t einfügen A A }{{} d edit(λ,t ) }{{} + Lücke in s einfügen A }{{} d edit(s,λ) }{{} + Mismatch einfügen 5 5 λ }{{} λ d edit(λ,λ) Minimum bilden A }{{} +

20 Beispiel zur Berechnung der Edit-Distanz 5 s t 5 A Berechne d edit (s, t )

21 Beispiel zur Berechnung der Edit-Distanz 5 s t 5 A Berechne den Rest von Spalte

22 Beispiel zur Berechnung der Edit-Distanz 5 s t 5 A d edit (s, t) =

23 Darstellung als Matrix s t j j. i i. m n Letzte Spalte des Alignments ist Lücke in t Lücke in s Match/Mismatch d edit (s...s i, t...t j ) = min{d edit (s...s i, t...t j )+, d edit (s...s i, t...t j )+, d edit (s...s i, t...t j )+p(s i, t j )}

24 Analyse der Laufzeit Eingabe: Zwei Strings s = s...s m und t = t...t n Initialisierung der Ränder: for i = to m do M(i, ) = i for j = to n do M(, j) = j m + n + Operationen Füllen der Matrix: m n Operationen for i = to m do for j = to n do M(i, j) := min{m(i, j)+, M(i, j )+, M(i, j )+p(s i, t j )} Ausgabe: d edit (s, t) = M(m, n)

25 Analyse der Laufzeit Laufzeit: ungefähr n für zwei Strings der Länge n n 5 n 5 n 6 n 5 7 Ziffern n 59 9 Ziffern 8 Ziffern Ziffern 77 Ziffern Anschaulich: Vergleich zweier ene (Länge in der rössenordnung von ) braucht MB Platz und < Minute Zeit

26 Bestimmung des optimalen Alignments 5 s t 5 A s =A t =

27 Problem bei Strings ungleicher Länge Beispiel: Betrachte die Strings s =AA und t = AAA Ein optimales Alignment mit Edit-Distanz d edit (s, t ) = 9 ist s = A A t = AAA Kompakter und besser biologisch motiviert ist s = A A t = AAA mit Edit-Distanz d edit (s, t ) =

28 Strings ungleicher Länge vergleichen Idee: Lücken am Beginn und Ende des kürzeren Strings nicht mitzählen Umsetzung (für s < t ): erste Zeile der Matrix mit Nullen initialisieren Lücken vor dem Lesen von s kostenlos Minimum der Werte in der letzten Zeile liefert das Ergebnis Lücken nach dem Lesen von s m kostenlos Rest des Algorithmus wie vorher

29 Beispiel s t A A s = A t =A

30 Ausblick: Andere Erweiterungen Lokales Alignment (Smith und Waterman, 98): Finde eilstrings mit maximaler Ähnlichkeit, ignoriere dabei nicht passende Anfangs-und Endstücke Lücken stärker gewichten als Mismatches (kommen auch in der Natur seltener vor) Verschiedene ewichtung von Mismatches, zum Beispiel entsprechend der chemischen Ähnlichkeit der Aminosäuren beim Vergleich von Proteinsequenzen Zusätzliche Kosten für das Öffnen einer Sequenz von Lücken leichte Abwandlungen des Algorithmus lösen auch diese Probleme

31 Ausblick: Heuristiken Problem: Quadratische Laufzeit ist für sehr lange Strings (zum Beispiel ganze enome) zu gross Ausweg: Finde Algorithmen mit linearer Laufzeit, die ein gutes (aber nicht notwendigerweise optimales) Alignment finden Ideen: Beschränke die Anzahl der vorkommenden Lückensymbole Berechne nur Streifen konstanter Breite der Matrix um die Mitteldiagonale herum Finde zunächst kurze gemeinsame eilstrings, erweitere diese mit dynamischer Programmierung an beiden Enden, setze diese eil-alignments zusammen

32 Zusammenfassung Effizienter Algorithmus für den Vergleich von DNA-Sequenzen Modellierung biologischer Fragestellungen als Informatik-Problem Algorithmische echnik der dynamischen Programmierung Laufzeitanalyse von Algorithmen