3 Signalabtastung und rekonstruktion

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1 - /8-3 Signalabaung und rkonrukion 3. Abaung Di Dikriirung inr zikoninuirlichn unkion durch di Ennahm von unkionwrn zu bimmn Zipunkn bzichn man al Abaung. Erolg di Ennahm in glichn Ziabändn voninandr, o prich man inr äquidiann Abaung. Dn Mchanimu dr Abaung kann man bildlich durch inn Schalr darlln, dr in glichn Ziabändn gchlon und gön wird. Hirdurch nh au dr koninuirlichn unkion in Wrolg k. Abb.3..: Äquidian Abaung inr koninuirlichn unkion Bginn dr Abavorgang zum Zipunk =, o lau di Wrolg: k = {,,, 3,...} Dn Aband zwir bnachbarr Abazipunk bzichn man al Abapriod; dr Khrwr i di Abarqunz a = /. Bi inr äquidiann Abaung bi ich auch di Schribwi ür di Wrolg an. k = {,,, 3,...} Abb.3..: Unrchidlich Darllungarn inr Wrolg Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

2 - /8 - Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung ür dn all inr Unigki dr unkion zum Abazipunk k i dr zughörig Abawr dinir al dr rchiig Grnzwr lim k Abb.3..3: Abaung von Unigkin Unr dr Annahm, daß dr Abawr bi zum nächn Abazipunk gpichr wird, gh di Wrolg k in in rppnunkion übr. Abb.3..4: rppnunkion Di rppnunkion läß ich mi Hil von Sprungunkionn in allgminr orm angbn:... Di Laplac-ranormir dr rppnunkion lau mi

3 - 3/8 - Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung Man bach, daß di rm di inzlnn Ampliudn dr unkion zu dn dikrn Zipunkn darlln, alo ür di ranormaion al Konann anzuhn ind. Di Laplac-ranormir kann man al Produk zwir unkionn auan: G H Mi G H Im Laplac-Brich rqunzbrich läß ich bkannlich di Hinrinandrchalung zwir LZI-Sym Linar ZiInvarian Sym durch da Produk dr bidn Übrragungunkionn bchribn. Da LZI-Sym mi dr Übrragungunkion ha di Einganggröß und di Auganggröß. Di Rückranormir lau mi und ll im Zibrich di Muliplikaion dr koninuirlichn Ziunkion mi inr unndlichn Summ von wil um di Abapriodndaur vrchobnn Dirac-Impuln dar. Abb.3..5: Enhung dr Impulolg

4 - 4/8 - Di Rückranormir gh dr Übrragungunkion GH lau und wird al Halglid.Ordnung bzichn. gh = - - Abb.3..6: Impulanwor gh Somi kann in nährungwi chnich raliirbar Abaym nach Abb.3..7.a durch da in Abb.3..7.b dargll nich raliirbar mahmaich Modll bchribn wrdn. Abb.3..7.: Abaym Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

5 - 5/8 - Mi dm mahmaichn Modll wird dr Abaprozß drar bchribn, daß in koninuirlich unkion durch inn Dirac-Kamm zunäch in in Impulolg übrühr wird, di danach mi Hil in Halglid.Ordnung in in rppnunkion übrgh. Di dri unkionn, und könnn durch di Laplac- ranormaion im rqunzbrich bchribn wrdn. 3. Abahorm Im Milpunk dr Brachungn h di olgnd rag: Wi häuig muß in bandbgrnz Signal abga wrdn, dami au dn Abawrn da urprünglich Signal widrgwonnn wrdn kann. E wrdn di unkion ür < und di ourir-ranormir brach: d Wird di unkion mi inm Dirac-Kamm idal Abaung a muliplizir Modulaion, o nh di Impulolg a Abb.3..: Impulolg Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

6 - 6/8 - Di ourir-ranormir dr Impulolg lau: mi S Dr Dirac-Kamm i in priodich unkion und kann dahr in in ourir-rih nwickl wrdn. Di komplxn ourir-koizinn dkönnn nach brchn wrdn. d d Abb.3..: Dirac-Kamm ür di Brchnung di Ingral mün olgnd Punk bach wrdn: Dr Ingran i nur ür = von Null vrchidn Dr Dirac-Impul rpränir kinn unkionwr, ondrn in läch Mi dm bimmn Ingral wird di läch bimm, di vom Ingrann, dn Ingraiongrnzn und dr -Ach ingchlon wird E olg ür da Ingral: d Man rhäl di ourir-rih ür dn Dirac-Kamm: d d mi a! Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

7 - 7/8 - Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung Di Impulolg läß ich omi angbn: a Di Muliplikaion zwir unkionn im Zibrich nprich dr alung dr zughörign ranormirn im rqunzbrich: S a a Mi dn ranormaionbzihungn S S rgib ich ür dn Dirac-Kamm: S a a Di ourir-ranormir dr Impulolg lau omi: Di ourir-ranormir dr Impulolg ll in unndlich Summ dr alungrm -o dar. Da di alung inr unkion mi inm vrchobnn Dirac-Impul di vrchobn unkion zum Ergbni ha, gil a Di Größ ll di Abapriod dar: = /a

8 - 8/8 - Da Spkrum dr Impulolg bach dn akor /! z ich au inr unndlichn Summ dr wil um in ganzzahlig Vilach dr Abakrirqunz a vrchobnn Originalpkrn zuammn. ür di nacholgndn Brachungn i voraugz, daß di unkion bandbgrnz i mi dr Bandbri B = g ür g g on Abb.3..3: Spkrn bi Abaung Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

9 - 9/8 - Au dr Abb.3..3 wird dulich, daß da Originalpkrum au dm Spkrum mi inm idaln ipaßilr dr Grnzkrirqunz g nur ür di äll widrgwonnn wrdn kann, in dnn kin Übrlappung dr inzlnn ilpkrn auri. Im all inr Übrlappung nh in Spkrum, da bzgl. d Brich g nich mhr mi dm Originalpkrum idnich i. Ein Übrlappn dr ilpkrn ind a, wnn di Abarqunz a g gwähl wird. D.h. da Signal kann au dr Impulolg unr dr Bdingung a > g widrgwonnn wrdn. Zur Kompnaion d Skalirungakor / muß da idal ipaßilr in Durchlaßvrärkung von bizn. Di Auag ll da Abahorm dar, da 949 von Shannon in di Nachrichnchnik ingühr wurd. Mi dm rqunzgang H d idaln ipaßilr läß ich da urprünglich Spkrum wi olg chribn: = H Im Zibrich wird di ilrung durch in nprchnd alungbzihung augdrück: = h Di Impulanwor h d idaln ipaßilr rhäl man unr Brückichigung d Vrärkungakor mi Hil dr Eigncha dr rqunzkalirung und mi o = zu h i H rc Da urprünglich Signal kann omi olgndrmaßn gchribn wrdn: i d i d i Di bandbgrnz unkion i durch di Abawr volländig bchribn. Di zidikr unkion räg di glich Inormaion wi di zikoninuirlich unkion. Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

10 - /8 - Abb.3..4: Widrgwinnung d Originalpkrum In dr Raliä xiirn kin idaln ipä und gnrll kin bandbgrnzn Signal. Dr Dirac-Impul i von unndlich kurzr Daur; da zughörig Spkrum rrck ich übr all rqunzn. Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

11 - /8 - Abb.3..5: Dirac-Impul Di Sprungunkkion i in Signal, da unndlich lang wirk; da zughörig Spkrum i rlaiv chmalbandig, abr nich bandbgrnz. Abb.3..6: Sprungunkion Allgmin biz in Vorgang kurzr Daur in bribandig Spkrum und umgkhr. Hirau kann man chlißn, daß in Signal ndlichr Daur in nich bandbgrnz Spkrum biz. Di bdu, daß man da Abahorm prakich nimal rülln kann und Übrlappungk aurn, di man al Aliaing-Ek bzichn. Um dim Aliaing nggnzuwirkn, wird vor dm Abaym in ipaßilr gchal, da in Bandbgrnzung bwirk. Di analog ipaßilr wird al Ani-Aliaing-ilr bzichn. Mi dm Ani-Aliaing-ilr wird di Bandbri B d Signal glg. Ein rlaiv gu Abchäzung ür di lgung dr Bandbri lir da Parvalch horm, da in Auag übr da Enrgidichpkrum in Signal mach. Abb.3..7: Parvalch horm Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

12 - /8 - Da Parvalch horm ag au, daß in quadraich ingrirbar Ziunkion nährungwi al bandbgrnz anghn wrdn kann, wnn dr Enrgianil in dn Grnzn -g g vil größr i 95% bi 99% al in dn vrblibndn Brichn > g: bzw. g d d g g d d Di Gamnrgi läß ich im Zibrich bimmn nach: d d d 3.3 Rkonrukion Di ral Rkonrukion unrchid ich hinichlich dr idaln Rkonrukion in zwi Punkn: Dr idal ipaß wird durch inn raln ipaß rz, und wird nich da idal abga Signal y# vrwnd. In glichr Wi wi bi dr Bandbgrnzung durch da Ani-Aliaing-ilr muß bi dr Rkonrukion in Übrgangbrich zwichn dm Durchlaß- und dm Sprrbrich d Rkonrukionilr brückichig wrdn. Abb.3.3.: Signalrkonrukion mi ralm ipaß Di Brachung dr idal abgan unkion y# i nur im Zuammnhang mi mahmaichn Modlln innvoll. Ähnlich wi bi dr nichidaln Abaung ind Abaignal mi ndlichr zilichr Bri zu vrwndn. Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

13 - 3/8 - Abb.3.3.: Mahmaich Modll ür Rkonrukion mi ndlich brin Abaimpuln Abb.3.3.3: Signal d Modll Zunäch wird di olg yn durch Muliplikaion mi dm Dirac-Kamm n in da idal abga Signal y# umgorm. Di olg au gwichn Dirac-Impuln rrg in Sym, da in Impulanwor h = ao biz. Am Augang di Sym rchin in Signal y $, da au Impuln dr Bri und dr Höh yn bh. Di Signal rrg da nachgchal ipaßilr mi dr Impulanwor hp. Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

14 - 4/8 - Dr Pulormr mi dr Impulanwor h = ao ühr di olgnd alungopraion au: y $ # y a y n n a y n a n n Di zughörign Spkrn laun mi dm alunghorm: Y $ # Y A n Da Bragpkrum Y $ d nichidaln Abaignal rrchn ich zu: Y Y i $ # Dr nachgchal Rkonrukionipaß läß nur da Baibandpkrum di Signal durch und prr di priodichn orzungn d Spkrum. Mi dm Baibandpkrum Y # Y n # d idal abgan Signal Y lau da Spkrum d Augangignal ya Y a Y i Darin i Y da Spkrum, da ich bi idalr Rkonrukion rgbn hä. Durch di Einbzihung dr nichidaln Eigncha ndlich brir Abaimpul rlid da rkonruir Signal in i-örmig Vrzrrung d Spkrum. In inr raln Anordnung zur Rkonrukion d koninuirlichn Signal wrdn di Abawr yn mi mi Hil in Abahalglid S&H ür di Zi in akinrvall gpichr und währnd dir Zi al konan Signal zur Vrügung gll. Abb.3.3.4: Signalrkonrukion mi S&H Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

15 - 5/8 - Abb.3.3.5: Signal bi Rkonrukion mi S&H Di Abawr yn wrdn dirk au da Abahalglid ggbn. Am Augang nh in rppnörmig Signal y $. Di rppnignal kann al Sondrall d nichidaln Abaignal gdu wrdn, wnn dr Paramr = gz wird. Da Spkrum d rppnörmign Signal rgib ich dann zu Y a Y i Abb.3.3.6: i-vrzrrung Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

16 - 6/8 - Durch di Abahalopraion nh in maximal i-vrzrrung im Augangpkrum Ya. Dr r Nulldurchgang dr i-örmign Hüllkurv lig bi dr Abakrirqunz o. Di i-vrzrrung kann durch in gign Vorvrzrrung im Durchlaßbrich d Rkonrukionilr kompnir wrdn. Ein andr Möglichki i di Vorvrzrrung dr Signal bri bi dr digialn Signalvrarbiung. Abb.3.3.7: Digial Signalvrarbiung Di digial Signalvrarbiung wird mi in dr orm dr Abb raliir. Nach dr Bandbgrnzung mi inm ipaß P wrdn di Eingangignal mi inm Abahalglid S&H abga. Di Halopraion wird ür di anchlißnd Analog- Digial-Umzung A/D bnöig und vrurach in dim all kin i-vrzrrung, dnn di in horich unndlich kurzr Zi nnommnn Abawr wrdn al nprchnd Zahlnwr wirggbn. Nach dr digialn Signalvrarbiung und dr Digial-Analog- Umzung D/A rolg di Rkonrukion d Augangignal. Si wird mi Hil in Abahalglid S&H und in raln ipaßilr P durchgühr. In dim Zuammnhang i da Problm dr i-vrzrrung zu lön. Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

17 - 7/8 - Abahorm Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

18 - 8/8 - Inrpolaionhorm Pro. Dr.-Ing. h. Rck - Abaung_N - Digial Signalvrarbiung

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