Grundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik"

Transkript

1 Grundlagen der Informatik II Teil I: Formale Modelle der Informatik 1 Einführung

2 GdInfoII 1-2 Ziele/Fragestellungen der Theoretischen Informatik 1. Einführung abstrakter Modelle für informationsverarbeitende Systeme 2. Einführung abstrakter Modelle für Programmiersprachen 3. Untersuchung der prinzipiellen Möglichkeiten der Informationsverarbeitung mit Hilfe von Computern Beispielhafte Fragestellungen: Mit welchen Modellen lassen sich Rechner formal beschreiben? Welche Eigenschaften haben sinnvolle Programmiersprachen? (Ausdrucksfähigkeit/Effizienz) Wie lässt sich die syntaktische Korrektheit eines Programms überprüfen? Automatentheorie / Grammatiken / formale Sprachen Was ist ein Algorithmus? Welchen Aufwand verursacht eine bestimmte Berechnung? Wie lässt sich die Komplexität eines Problems beschreiben? Wo liegen die Grenzen der Berechenbarkeit? Gibt es Probleme, die überhaupt nicht lösbar sind? Berechenbarkeit, Komplexitätstheorie, Algorithm Engineering

3 Einführende Beispiele GdInfoII 1-3 Beispiele für Automaten: Waschmaschine Ampelsteuerung MP3-Player Computer Beispiele für Sprachen: natürliche Sprachen: Deutsch, Englisch, Französisch formale Sprachen Programmiersprachen: C/C++, Java, Lisp, Eiffel, ALGOL, FORTRAN,... Spezifikationssprachen: UML, VDM,... Anfragesprachen: SQL,... Mark-up Sprachen: HTML, XML Aufgaben: Spezifikation syntaktisch zulässiger Strukturen von Sprachen mit Hilfe von Grammatiken syntaktische Überprüfung formaler Texte (Programme) mit Hilfe von Automaten

4 Bedeutung von Automaten und Formalen Sprachen GdInfoII 1-4 Fundamentale Bedeutung für zahlreiche Gebiete der (angewandten) Informatik, u.a.: Software und Systems Engineering formale Beschreibung und Untersuchung des Verhaltens endlicher Systeme Schaltwerkssynthese systematische Erzeugung digitaler Schaltwerke Programmiersprachen Sprachumfang, Syntax Compilerbau Textverarbeitung, Data Mining Muster suchen, vergleichen, ersetzen,... (Volltextsuche, Suchmaschinen) u.v.a.m.

5 Grundlagen der formalen Sprachen GdInfoII 1-5 Was gehört zur Beschreibung einer formalen Sprache? Syntax: Semantik: Menge von Vorschriften/Regeln, die den formal korrekten Aufbau von Wörtern/Sätzen angeben Bedeutung eines syntaktisch korrekten Satzes Pragmatik: enthält subjektive Aspekte individueller Benutzer, z.b. Umgebung, Zeit, etc. Im folgenden wird nur die Syntax behandelt. Die formale Semantik ist ein separates, wichtiges Fachgebiet. (beachte: Ohne eine genaue Festlegung der Semantik einer Programmiersprache könnte dasselbe Programm durch verschiedene Compiler unterschiedliche Bedeutung erhalten!) Die Pragmatik ist für Kern-Informatik von geringerer Bedeutung.

6 Wichtige Begriffe/Notationen Bezeichnung Definition A Alphabet: endliche, nichtleere Menge von Zeichen {a,...,z}, {0,...,9}, {0,1} GdInfoII 1-6 w Wort über A: endliche Folge von Zeichen von A informatik, 123, w Länge von w informatik =10, 123 =3, =8 leeres Wort, Länge 0 A n Menge der Wörter der Länge n: für n=3 und A= {0,1}: A 3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} n A* Menge aller Wörter über A A* A, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,... A + Menge aller nichtleeren Wörter über A L Sprache über A : L A* (d.h. L ist eine beliebige Teilmenge von A*) L A* heißt formale Sprache, falls L durch ein endliches formales System vollständig beschreibbar ist n 0 L={w {0,1}* Anzahl der Einsen in w ist gerade}

7 Klassifizierung formaler Systeme GdInfoII 1-7 Definition: Ein formales System zur Beschreibung einer formalen Sprache L heißt erzeugend, falls jedes Wort w L durch Verwendung dieses Systems in endlich vielen Schritten erzeugt werden kann analysierend, falls es zu jedem Wort w A* nach endlich vielen Schritten angeben kann, ob w zu L gehört oder nicht operationell, falls die Sprache durch einen Term aus definierten Basismengen und Operationen beschrieben wird Im folgenden wird das Zusammenspiel von erzeugenden und analysierenden formalen Systemen untersucht: Chomsky-Grammatiken Automaten

8 Die Chomsky-Hierarchie GdInfoII 1-8 Noam Chomsky: Sprachwissenschaftler, 50er Jahre Formale Definition von Sprachen Einführendes Beispiel: Backus-Naur-Form (BNF) Namen/Bezeichner in höheren Programmiersprachen (z.b. Java, Pascal, C): <Name> ::= <Buchstabe> {<Buchstabe> <Ziffer>} <Buchstabe> ::= a b c z <Ziffer> ::= <Name>, <Buchstabe> und <Ziffer>: Nonterminalsymbole ( Variablen ) auch syntaktische Kategorien "::=" symbolisiert Überführung/Ersetzung (Meta-Symbol) a, b,, z und 0, 1,, 9: Terminalsymbole ( Konstanten ) atomare Bestandteile von Wörtern der Sprache " " : Sonderzeichen zur Auswahl unter Alternativen "{...}" : Wiederholung des eingeklammerten Ausdrucks (Meta-Symbole)

9 Chomsky-Grammatik GdInfoII 1-9 Definition: Eine Chomsky-Grammatik ist ein Tupel G = (N, T, P, S) mit N: Menge der Nonterminalsymbole (syntaktische Variablen) T: Menge der Terminalsymbole (syntaktische Konstanten) P (N T) + (N T)* : Regelmenge über N T bzw. Menge der Produktionen (d.h. P { (N T) + (N T)*} ) S N : Startsymbol N, T und P sind jeweils endlich und nichtleer.

10 GdInfoII 1-10 Beispiel (Fortsetzung): <Name> ::= <Buchstabe> {<Buchstabe> <Ziffer>} <Buchstabe> ::= a b c z <Ziffer> ::= Regelsystem der BNF kann als Menge von Produktionen P der Chomsky-Grammatik G = (N, T, P, S) aufgefasst werden, mit N = {<Name>, <Buchstabe>, <Ziffer>} T = {a, b,, z, 0, 1,, 9} S = <Name> P: <Name> <Buchstabe> <Name> <Name> <Buchstabe> <Name> <Name> <Ziffer> <Buchstabe> a <Ziffer> 0 <Buchstabe> b <Ziffer> 1 <Buchstabe> z <Ziffer> 9

11 Überführbarkeit GdInfoII 1-11 Definition: Gegeben: Regelmenge P, Worte v, w (N T)*kurz : v heißt (durch P) unmittelbar überführbar in w ( v w) P gdw es u, z (N T)* und ( ) P mit v = u z w = u z gibt. Die Regel nennen wir dann anwendbar auf v. * P bezeichnet die reflexiv-transitive Hülle von P. Gilt v * P w, so heißt v überführbar in w (bzw. w ableitbar aus v). Schreibweise: * " " statt " P " und " * " statt " " P wenn P aus dem Zusammenhang hervorgeht.

12 Sprache einer Chomsky-Grammatik GdInfoII 1-12 Definition: Für eine Chomsky-Grammatik G = (N, T, P, S) ist L(G) := {w T* S * w} die durch G erzeugte Sprache. Bemerkungen: S * w heißt auch Ableitung (w ist ableitbar aus S). S u 1 u 2 u n w heißt Ableitungsfolge für w. P

13 Beispiel (Fortsetzung): Betrachte wieder die Chomsky-Grammatik G = (N, T, P, S) mit N = {<Name>, <Buchstabe>, <Ziffer>} T = {a, b,, z, 0, 1,, 9} S = <Name> P: <Name> <Buchstabe> <Name> <Name> <Buchstabe> <Name> <Name> <Ziffer> <Buchstabe> a <Ziffer> 0 <Buchstabe> b <Ziffer> 1 <Buchstabe> z <Ziffer> 9 Mögliche Ableitungen: <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Ziffer> <Buchstabe> <Ziffer> <Ziffer> <Buchstabe> <Ziffer>2 <Buchstabe>12 a12 Also ist "a12" ein Wort der Sprache L(G). GdInfoII 1-13

14 Vereinbarungen: GdInfoII 1-14 Nonterminalsymbole: große lateinische Buchstaben: N = {A, B, } Terminalsymbole: Wörter: statt beliebige Zeichen (meist kleine lateinische Buchstaben/Ziffern T= {a,b,c,...}) u, v, w,... oder,,,,, n auch n

15 Bemerkungen: GdInfoII 1-15 Die Definition der Chomsky-Grammatik ist sehr allgemein. Problematik: Es ist i.a. nicht algorithmisch entscheidbar, ob ein Wort zur Sprache einer vorgegebenen Grammatik gehört oder nicht (Beweis später). Generell interessieren wir uns dafür, wie groß der Aufwand ist, um zu entscheiden, ob ein Wort zur Sprache einer Grammatik gehört oder nicht (--> genannt Wortproblem ) Außerdem fragen wir, welche Strukturen durch eine Grammatik grundsätzlich beschreibbar sind ( --> genannt Ausdrucksfähigkeit ) Also schränken wir die Allgemeinheit der Chomsky-Grammatik ein durch Einführung verschiedener Grammatik-Typen. Diesen Grammatik-Typen entsprechen jeweils bestimmte Typen von Automaten (siehe auch später).

16 Chomsky-Hierarchie GdInfoII 1-16 Definition: Chomsky-Grammatik G = (N, T, P, S) heißt Typ-0-Grammatik (Phrasenstrukturgrammatik, allgemeine Chomsky-Grammatik) P beliebig. Typ-1-Grammatik (kontextsensitive Grammatik) alle Produktionen von der Form 1 A mit A N, 1, 2, (N T)*, Zusätzlich darf S Produktion sein, aber nur, wenn S sonst auf keiner rechten Seite auftritt. (d.h. die Regel kann nur als erste Regel ausgeführt werden). Da für alle (x, y) P gilt x y, heißt Typ-1-Grammatik auch monotone Grammatik. Typ-2-Grammatik (kontextfreie Grammatik) P N (N T)* d.h. alle Produktionen von der Form A mit A N und (N T)* Typ-3-Grammatik (rechtslineare Grammatik) P N (T TN { }) d.h. alle Produktionen von einer der Formen A, A a oder A ab mit a T und A, B N.

17 Typ-i-Sprachen GdInfoII 1-17 Definition: L E* heißt (Chomsky-)Sprache vom Typ i (i {0, 1, 2, 3}) es gibt eine Grammatik G = (N, T, P, S) vom Typ i mit L = L(G) und T = E Es bezeichne L i (E):= { L E* L ist Sprache vom Typ i } Bemerkungen: Jede Typ-3-Grammatik ist offensichtlich vom Typ 2, und jede Typ-1-Grammatik auch vom Typ 0. Typ-2-Grammatiken sind i.a. nicht vom Typ 1, Schwierigkeiten macht hier aber nur die Behandlung des leeren Wortes. Es gilt aber: Jede Sprache vom Typ i ist auch vom Typ i-1, für i=1,2,3. Definition (Äquivalenz von Grammatiken): Zwei Grammatiken G 1 und G 2 heißen äquivalent, L(G 1 ) = L(G 2 ).

18 GdInfoII 1-18 Im Folgenden: Untersuchung der Sprachklassen der Chomsky-Hierarchie und der dazugehörigen Klassen von Automaten (Akzeptoren) beginnend bei den endlichen Automaten (Typ 3-Sprachen)

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Programmiersprachen und Übersetzer

Programmiersprachen und Übersetzer Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

Grammatiken. Einführung

Grammatiken. Einführung Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische

Mehr

Theoretische Informatik I

Theoretische Informatik I Theoretische Informatik I Einheit 2.4 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibungsformen für Sprachen Mathematische Mengennotation Prädikate beschreiben Eigenschaften

Mehr

Formale Sprachen und Grammatiken

Formale Sprachen und Grammatiken Formale Sprachen und Grammatiken Jede Sprache besitzt die Aspekte Semantik (Bedeutung) und Syntax (formaler Aufbau). Die zulässige und korrekte Form der Wörter und Sätze einer Sprache wird durch die Syntax

Mehr

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen 19

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen 19 Inhalt 1 inführung 2 Automatentheorie und ormale prachen Grammatiken Reguläre prachen und endliche Automaten Kontextfreie prachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und yp 0-prachen 3 Berechenbarkeitstheorie

Mehr

Formale Sprachen. Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen. Rudolf Freund, Marian Kogler

Formale Sprachen. Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen. Rudolf Freund, Marian Kogler Formale Sprachen Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen Rudolf Freund, Marian Kogler Es gibt reguläre Sprachen, die nicht von einer nichtregulären kontextfreien Grammatik erzeugt werden können.

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume 2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel. Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Tutorium 27 29..24 FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Definition

Mehr

Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit

Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Sommersemester 2011 Dozent: Prof. Dr. J. Rothe, Prof. Dr. M. Leuschel J. Rothe (HHU Düsseldorf)

Mehr

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur

Mehr

Was ist ein Compiler?

Was ist ein Compiler? Was ist ein Compiler? Was ist ein Compiler und worum geht es? Wie ist ein Compiler aufgebaut? Warum beschäftigen wir uns mit Compilerbau? Wie ist die Veranstaltung organisiert? Was interessiert Sie besonders?

Mehr

Vorlesung Theoretische Informatik

Vorlesung Theoretische Informatik Vorlesung Theoretische Informatik Automaten und Formale Sprachen Hochschule Reutlingen Fakultät für Informatik Masterstudiengang Wirtschaftsinformatik überarbeitet von F. Laux (Stand: 09.06.2010) Sommersemester

Mehr

Kapitel 2: Formale Sprachen Kontextfreie Sprachen. reguläre Grammatiken/Sprachen. kontextfreie Grammatiken/Sprachen

Kapitel 2: Formale Sprachen Kontextfreie Sprachen. reguläre Grammatiken/Sprachen. kontextfreie Grammatiken/Sprachen reguläre Grammatiken/prachen Beschreibung für Bezeichner in Programmiersprachen Beschreibung für wild cards in kriptsprachen (/* reguläre Ausdrücke */)?; [a-z]; * kontextfreie Grammatiken/prachen Beschreibung

Mehr

7. Formale Sprachen und Grammatiken

7. Formale Sprachen und Grammatiken 7. Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur Verarbeitung von Daten und Informationen künstliche, formale Sprachen (Maschinenspr., Assemblerspachen, Programmierspr., Datenbankspr., Wissensrepräsentationsspr.,...)

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Tutorium 4 26..25 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Mehr

Theoretische Informatik I

Theoretische Informatik I Theoretische nformatik inheit 3 Kontextfreie Sprachen 1. Kontextfreie Grammatiken 2. Pushdown Automaten 3. igenschaften kontextfreier Sprachen Theoretische nformatik inheit 3.1 Kontextfreie Grammatiken

Mehr

4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren:

4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren: 4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX 4.1 Objektsprache und Metasprache 4.2 Gebrauch und Erwähnung 4.3 Metavariablen: Verallgemeinerndes Sprechen über Ausdrücke von AL 4.4 Die Sprache der Aussagenlogik 4.5 Terminologie

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen. I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen.

1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen. I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen. 1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen. - 1 - 1. Der Begriff Informatik "Informatik" = Kunstwort aus Information und Mathematik

Mehr

Einführung in die Informatik Grammars & Parsers

Einführung in die Informatik Grammars & Parsers Einführung in die Informatik Grammars & Parsers Grammatiken, Parsen von Texten Wolfram Burgard Cyrill Stachniss 12.1 Einleitung Wir haben in den vorangehenden Kapiteln meistens vollständige Java- Programme

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Mathematische Grundlagen der Informatik 2

Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Zusammenfassung Math2I Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Emanuel Duss emanuel.duss@gmail.com 12. April 2013 1 Zusammenfassung Math2I Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Dieses Dokument basiert

Mehr

Was bisher geschah: Formale Sprachen

Was bisher geschah: Formale Sprachen Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 8: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/37 Überblick Kontextfreie Grammatiken

Mehr

1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen

1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen 1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen Die Regeln zur Bildung korrekter Wörter einer Sprache kann man in einer natürlichen Sprache formulieren. Da dies jedoch wieder Mehrdeutigkeiten mit

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr

Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt?

Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt? Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt? Behandelte Fragestellungen Was besagt eine Fehlerquote? Welche Bezugsgröße ist geeignet? Welche Fehlerquote ist gerade noch zulässig? Wie stellt

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls

4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls 4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls δ(q, a, Z) + δ(q, ɛ, Z) 1 (q, a, Z) Q Σ. Die von einem DPDA, der mit leerem Keller akzeptiert,

Mehr

Einführung in. Logische Schaltungen

Einführung in. Logische Schaltungen Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von

Mehr

OP-LOG www.op-log.de

OP-LOG www.op-log.de Verwendung von Microsoft SQL Server, Seite 1/18 OP-LOG www.op-log.de Anleitung: Verwendung von Microsoft SQL Server 2005 Stand Mai 2010 1 Ich-lese-keine-Anleitungen 'Verwendung von Microsoft SQL Server

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A

Mehr

Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie

Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) besteht aus endlichem Alphabet Σ endlicher Variablenmenge V mit V Σ= Startsymbol SєV endlicher Menge R с (V Σ) + x(v Σ)* von Ableitungsregeln

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Kapitel 2. Methoden zur Beschreibung von Syntax

Kapitel 2. Methoden zur Beschreibung von Syntax 1 Kapitel 2 Methoden zur Beschreibung von Syntax Grammatik, die sogar Könige zu kontrollieren weiß... aus Molière, Les Femmes Savantes (1672), 2. Akt 2 Ziele Zwei Standards zur Definition der Syntax von

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik I Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Logik

Mehr

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Kapitalerhöhung - Verbuchung

Kapitalerhöhung - Verbuchung Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.

Mehr

10 Erweiterung und Portierung

10 Erweiterung und Portierung 10.1 Überblick In vielen Fällen werden Compiler nicht vollständig neu geschrieben, sondern von einem Rechnersystem auf ein anderes portiert. Das spart viel Arbeit, ist aber immer noch eine sehr anspruchsvolle

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Kapitel 1: Einführung. Was ist Informatik? Begriff und Grundprobleme der Informatik. Abschnitt 1.1 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik

Kapitel 1: Einführung. Was ist Informatik? Begriff und Grundprobleme der Informatik. Abschnitt 1.1 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik Was ist Informatik? Begriff und Grundprobleme der Informatik Abschnitt 1.1 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik Was ist Informatik? Informatik = computer science? Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik

Mehr

Abamsoft Finos im Zusammenspiel mit shop to date von DATA BECKER

Abamsoft Finos im Zusammenspiel mit shop to date von DATA BECKER Abamsoft Finos im Zusammenspiel mit shop to date von DATA BECKER Abamsoft Finos in Verbindung mit der Webshopanbindung wurde speziell auf die Shop-Software shop to date von DATA BECKER abgestimmt. Mit

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung

Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung Gliederung 0. Einleitung und Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.1. Chomsky-Grammatiken 2.2. Reguläre Sprachen 2.3. Kontextfreie Sprachen

Mehr

Mächtigkeit von WHILE-Programmen

Mächtigkeit von WHILE-Programmen Mächtigkeit von WHILE-Programmen Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 26. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 20.12.07 Bastian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Rückblick Semi-Thue-Systeme Ein Semi-Thue-System besteht

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Syntax (= Satzgefüge), vgl. auch Grammatik

Syntax (= Satzgefüge), vgl. auch Grammatik 1 Natürliche Sprachen Natürliche Sprachen bezeichnen wie das Wort "Sprache" ausdrückt zunächst das Gesprochene. Das Schweizerdeutsch etwa ist eine typische natürliche Sprache. Mit der Erfindung der Aufzeichnung

Mehr

teamsync Kurzanleitung

teamsync Kurzanleitung 1 teamsync Kurzanleitung Version 4.0-19. November 2012 2 1 Einleitung Mit teamsync können Sie die Produkte teamspace und projectfacts mit Microsoft Outlook synchronisieren.laden Sie sich teamsync hier

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Aufgabe 1 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n zu codieren. In der unären Codierung hat man nur ein Alphabet mit einem Zeichen - sagen wir die

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Objektorientierte Programmierung. Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln

Objektorientierte Programmierung. Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln Stefan Brass: OOP (Java), 3. Syntaxdiagramme und Grammatikregeln 1/32 Objektorientierte Programmierung Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln Stefan Brass Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Mehr

Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken

Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Alphabet A: endliche Menge von Zeichen Wort über A: endliche Folge von Zeichen aus A A : volle Sprache über A: Menge der A-Worte formale Sprache

Mehr

Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc

Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc In dieser kleinen Anleitung geht es nur darum, aus einer bestehenden Tabelle ein x-y-diagramm zu erzeugen. D.h. es müssen in der Tabelle mindestens zwei

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Es sollte die MS-DOS Eingabeaufforderung starten. Geben Sie nun den Befehl javac ein.

Es sollte die MS-DOS Eingabeaufforderung starten. Geben Sie nun den Befehl javac ein. Schritt 1: Installation des Javacompilers JDK. Der erste Start mit Eclipse Bevor Sie den Java-Compiler installieren sollten Sie sich vergewissern, ob er eventuell schon installiert ist. Gehen sie wie folgt

Mehr

Updatehinweise für die Version forma 5.5.5

Updatehinweise für die Version forma 5.5.5 Updatehinweise für die Version forma 5.5.5 Seit der Version forma 5.5.0 aus 2012 gibt es nur noch eine Office-Version und keine StandAlone-Version mehr. Wenn Sie noch mit der alten Version forma 5.0.x

Mehr

AGROPLUS Buchhaltung. Daten-Server und Sicherheitskopie. Version vom 21.10.2013b

AGROPLUS Buchhaltung. Daten-Server und Sicherheitskopie. Version vom 21.10.2013b AGROPLUS Buchhaltung Daten-Server und Sicherheitskopie Version vom 21.10.2013b 3a) Der Daten-Server Modus und der Tresor Der Daten-Server ist eine Betriebsart welche dem Nutzer eine grosse Flexibilität

Mehr

Einfache kryptographische Verfahren

Einfache kryptographische Verfahren Einfache kryptographische Verfahren Prof. Dr. Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik 26. April 2015 c = a b + a b + + a b 1 11 1 12 2 1n c = a b + a b + + a b 2 21 1 22 2 2n c = a b + a b + + a b

Mehr

SWE1 / Übung 2 (19.10.2011)

SWE1 / Übung 2 (19.10.2011) SWE1 / Übung 2 (19.1.211) Simulation von Algorithmen Testen, Testplan Beispiel arithmetische Ausdrücke Handsimulation von Algorithmen Man versteht einen Algorithmus (insbesonders einen "Fremden"), wenn

Mehr

Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen

Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Tage des Unterrichts in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik Rostock 2010 Prof. Dr. Hans-Dieter Sill, Universität Rostock, http://www.math.uni-rostock.de/~sill/

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1

Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1 Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1 Abstract Bei der Verwendung der Reporting Services in Zusammenhang mit SharePoint 2010 stellt sich immer wieder die Frage bei der Installation: Wo und Wie?

Mehr

Thüringer Kultusministerium. Abiturprüfung 2000

Thüringer Kultusministerium. Abiturprüfung 2000 Thüringer Kultusministerium Arbeitszeit: Hilfsmittel: Abiturprüfung 2000 270 Minuten Leistungsfach Informatik (Haupttermin) Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I und II/ Paetec, Gesellschaft für

Mehr

SCHRITT 1: Öffnen des Bildes und Auswahl der Option»Drucken«im Menü»Datei«...2. SCHRITT 2: Angeben des Papierformat im Dialog»Drucklayout«...

SCHRITT 1: Öffnen des Bildes und Auswahl der Option»Drucken«im Menü»Datei«...2. SCHRITT 2: Angeben des Papierformat im Dialog»Drucklayout«... Drucken - Druckformat Frage Wie passt man Bilder beim Drucken an bestimmte Papierformate an? Antwort Das Drucken von Bildern ist mit der Druckfunktion von Capture NX sehr einfach. Hier erklären wir, wie

Mehr

Mai 2006. Hauptseminar: Nichtrelationale Datenbanken Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln

Mai 2006. Hauptseminar: Nichtrelationale Datenbanken Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln Hauptseminar: Nichtrelationale Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln Mai 2006 Was ist eine Datenbank? Erweiterung relationaler um eine Deduktionskomponente Diese

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

AutoTexte und AutoKorrektur unter Outlook verwenden

AutoTexte und AutoKorrektur unter Outlook verwenden AutoTexte und AutoKorrektur unter Outlook verwenden Die Hilfsmittel "AutoKorrektur" und "AutoTexte", die schon unter Microsoft Word das Arbeiten erleichtern, sind natürlich auch unter Outlook verfügbar.

Mehr

Formale Sprachen und deren Grammatiken. Zusammenhang mit der Automatentheorie.

Formale Sprachen und deren Grammatiken. Zusammenhang mit der Automatentheorie. Formale Sprachen Formale Sprachen und deren Grammatiken. Zusammenhang mit der Automatentheorie. Inhaltsübersicht und Literatur Formale Sprachen: Definition und Darstellungen Grammatiken für formale Sprachen

Mehr

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können.

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können. 6. Bäume Lernziele 6. Bäume Lernziele: Definition und Eigenschaften binärer Bäume kennen, Traversierungsalgorithmen für binäre Bäume implementieren können, die Bedeutung von Suchbäumen für die effiziente

Mehr

Mit dem Tool Stundenverwaltung von Hanno Kniebel erhalten Sie die Möglichkeit zur effizienten Verwaltung von Montagezeiten Ihrer Mitarbeiter.

Mit dem Tool Stundenverwaltung von Hanno Kniebel erhalten Sie die Möglichkeit zur effizienten Verwaltung von Montagezeiten Ihrer Mitarbeiter. Stundenverwaltung Mit dem Tool Stundenverwaltung von Hanno Kniebel erhalten Sie die Möglichkeit zur effizienten Verwaltung von Montagezeiten Ihrer Mitarbeiter. Dieses Programm zeichnet sich aus durch einfachste

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Vermeiden Sie es sich bei einer deutlich erfahreneren Person "dranzuhängen", Sie sind persönlich verantwortlich für Ihren Lernerfolg.

Vermeiden Sie es sich bei einer deutlich erfahreneren Person dranzuhängen, Sie sind persönlich verantwortlich für Ihren Lernerfolg. 1 2 3 4 Vermeiden Sie es sich bei einer deutlich erfahreneren Person "dranzuhängen", Sie sind persönlich verantwortlich für Ihren Lernerfolg. Gerade beim Einstig in der Programmierung muss kontinuierlich

Mehr

Multimedia Technologie II

Multimedia Technologie II Vorlesung / Übungen Multimedia Technologie II Prof. Dr. Michael Frank / Prof. Dr. Klaus Hering Sommersemester 2004 HTWK Leipzig, FB IMN Für die externe Vorhaltung der DTD werden sämtliche zwischen den

Mehr

HTML5. Wie funktioniert HTML5? Tags: Attribute:

HTML5. Wie funktioniert HTML5? Tags: Attribute: HTML5 HTML bedeutet Hypertext Markup Language und liegt aktuell in der fünften Fassung, also HTML5 vor. HTML5 ist eine Auszeichnungssprache mit der Webseiten geschrieben werden. In HTML5 wird festgelegt,

Mehr

1 Syntax von Programmiersprachen

1 Syntax von Programmiersprachen 1 Syntax von Programmiersprachen Syntax ( Lehre vom Satzbau ): formale Beschreibung des Aufbaus der Worte und Sätze, die zu einer Sprache gehören; im Falle einer Programmier-Sprache Festlegung, wie Programme

Mehr

Formica 2.0: Montageauftrag erfassen: Auftragsgruppe

Formica 2.0: Montageauftrag erfassen: Auftragsgruppe Formica 2.0: Montageauftrag erfassen: Auftragsgruppe Wenn dieses Häkchen gesetzt ist, muss im Auftrag angegeben werden, an welchem Gerät die Montage durchgeführt wurde, um später die Zuordnung zu ermöglichen.

Mehr