Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik (Kurse 1653/54)

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1 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik (Kurse 1653/54) Vorbemerkungen Die nachfolgenden Fragen sind eine Zusammenstellung aus ca. 25 (+1) Protokollen von Januar 1990 bis Oktober 1993 (+ Juni 1994). Die Zahlen in Klammern hinter einer Frage geben die absolute Häufigkeit dieser Frage an. Die Antworten stammen teilweise aus den Protokollen, sowie aus dem Kurstext (Version 1993/94). In den neueren Protokollen (ab 1995) sind keine wesentlich anderen Fragen als die hier aufgeführten vorgekommen, außer zwei Fragen, die in den Abschnitten über das Pumping-Lemma für reguläre bzw. kontextfreie Sprachen mit (1995!) markiert sind. "(*)" hinter einer Frage bedeutet, daß diese Frage in den Protokollen nicht vorgekommen ist, sie meiner Meinung nach aber gut in den Zusammenhang paßt. Inhalt Theoretische Informatik A...2 Flußdiagramm, Registermaschine...2 Berechenbare Zahlenfunktionen...3 µ-rekursive Funktionen...4 "Register-berechenbar µ-rekursiv"...5 Berechenbare Wortfunktionen (Bandmaschine,...)...7 Hilfssymbol-Lemma...8 Kellermaschine,...9 Numerierung...10 Die Standardnumerierung ϕ von P(1)...11 utm- und smn-theorem...11 Rekursive (entscheidbare) und rekursiv-aufzählbare (beweisbare) Mengen...12 Entscheidbarkeit / Beweisbarkeit bei Schnitt, Vereinigung und Komplement...15 Die Menge Kϕ,...16 Theoretische Informatik B...18 Grammatiken (Allgemeines)...18 Reguläre Mengen / Sprachen...18 Rechts-lineare Grammatiken...18 Endliche Automaten, Pumping-Lemma für reguläre Mengen...20 Kontextfreie Sprachen...21 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen...23 Kellerautomaten...23 Turing-Maschinen, Komplexitätsklassen...24 Kontroll-Turingmaschinen, Komplexitätsklassen, P/NP-Problem...26 [VD1653] [Kim Adenau, Trifelsstr. 18, Frankfurt]

2 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 2 Theoretische Informatik A Flußdiagramm, Registermaschine Was ist ein Flußdiagramm? 6-Tupel F := (Q, D, σ, q 0, s, (p 1,..., p s )) mit: Q = Menge der Marken D = Datenmenge von F σ = Zustandsüberführungsfunktion, die jeder Marke (außer den Endmarken) eine Funktion, einen Test und ein Tupel der Nachfolgemarken zuweist q 0 = Anfangsmarke s = Anzahl der Endmarken (p 1,..., p s ) = Tupel der Endmarken Semantik eines Flußdiagramms: Paar (f F, t F ), d.h. die Semantik eines Flußdiagramms wird durch die Funktion und den Test (die Nummer der Endmarke) des Flußdiagramms bestimmt. Was ist KON in der Semantikdefinition? Wofür steht dabei Q, wofür D? KON := Q x D = Menge der Konfigurationen mit Q = Menge der Marken, D = Datenmenge Die Semantik wird mit Hilfe der Gesamtschrittfunktion GS: KON ---> KON bestimmt. Was ist eine Registermaschine? (3) 5-Tupel (F, N k, N, EC (k), AC) mit: F = Flußdiagramm mit der Datenmenge D = N N N k = Eingabemenge N = Ausgabemenge EC (k) = k-stellige Eingabecodierung AC = Ausgabecodierung Semantik einer (Register-) Maschine Paar (f M, t M ) mit f M = AC f F EC, t M = t F EC Arbeitsweise einer Registermaschine Eine Registermaschine arbeitet mit den zwei Befehlen "R i := R i + 1", "R i := R i - 1" und dem Test "R i = 0", also mit den Befehlen aufwärts- und abwärtszählen, sowie dem Test auf den Inhalt 0. Definition einer verallgemeinerten Registermaschine Eine verallgemeinerte Registermaschine (VRM) verwendet Funktionen und Tests, die schon als Register-berechenbar nachgewiesen worden sind. Dadurch wird das Flußdiagramm der VRM einfacher und übersichtlicher, der Beweis von f = f M wird ebenfalls erleichtert. Eine VRM verwendet Befehle und Tests der Art R n := g (R i1,..., R im ) bzw. t (R i1,..., R im ), mit g und t beliebig, d.h. insbesondere auch g und t partiell. Definition der Eingabecodierung von Registermaschinen (2) EC (k) : N k D mit EC (k) (x 1, x 2,..., x k ) = (0, x 1, x 2,..., x k, 0, 0,...) x 1,..., x k N Definition der Ausgabecodierung von Registermaschinen AC: D N mit AC (a 0, a 1,...) = a 0 Geben Sie die Datenmenge von Registermaschinen an. (3) D := N N = { d d : N N }, d.h. jedes der N Register enthält eine Zahl aus N.

3 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 3 Berechenbare Zahlenfunktionen Definition der Berechenbarkeit? Was ist alles berechenbar? (3) Funktionen und Tests sind berechenbar Was sind berechenbare Funktionen? Wann ist eine Funktion f: N k ---> N berechenbar? Wenn es eine k-stellige Registermaschine M gibt mit f = f M. Definition µ-berechenbar Wie sind die berechenbaren Zahlenfunktionen definiert? (6) Wann ist eine Zahlenfunktion berechenbar? (13) Wenn es eine Registermaschine M gibt mit f M = f. Wenn sie µ-rekursiv ist. Wenn es eine verallgemeinerte Registermaschine M gibt mit f M = f und sämtliche Tests und Funktionen der verallgemeinerten Registermaschine berechenbar sind. Zusatzfrage: Kann eine Registermaschine eine nicht berechenbare Funktion "berechnen"? Ja, z. B. eine verallgemeinerte Registermaschine, die eine nicht berechenbare Funktion aufruft. Ist die Funktion f (x) := ( 0 falls x gerade, div sonst ) berechenbar? Ja, entsprechende Registermaschine angeben bzw. Flußdiagramm skizzieren. Ist die Funktion f (x) := ( 0 falls x = n 2, n N, div sonst ) berechenbar? Ja, entsprechende Registermaschine angeben bzw. Flußdiagramm skizzieren. Geben Sie die Registermaschine für die (totale) Funktion f (x) := ( 0 falls x = n 2, n N, 1 sonst ) an. Ist die Funktion f (x, y) := max { x, y } berechenbar? Ist die Funktion f (x, y) := ( 0 falls x = y, div sonst ) berechenbar? (2) Ist die Funktion f (x, y) := ( div falls x > y, 0 sonst ) berechenbar? Ist f (x) = 3 x berechenbar? (3) Ja, denn die Funktion wird von einer Registermaschine mit folgendem Flußdiagramm berechnet: Flußdiagramm: Durch die Eingabecodierung steht in R 0 der Wert 0 und in R 1 der Wert x. R 1 = 0? Wenn ja, dann HALT; sonst: R 0 := R 0 + 1; R 0 := R 0 + 1; R 0 := R 0 + 1; R 1 := R 1-1 und wieder zur Abfrage R 1 = 0? Ist f (x) = div berechenbar? (6) Ja, denn die Funktion wird von einer Registermaschine mit folgendem Flußdiagramm berechnet: Flußdiagramm: Durch die Eingabecodierung steht in R 0 der Wert 0 und in R 1 der Wert x. R 0 = 0? Wenn ja, dann nochmal die gleiche Abfrage ( Endlosschleife) sonst: HALT Ist eine Funktion, die nur die leere Menge akzeptiert, berechenbar? Ja, für jede Eingabe erfolgt eine unendliche Berechnung (siehe f(x) := div).

4 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 4 µ-rekursive Funktionen µ-rekursivität mündlich definieren, µ-operator aufschreiben, µ-berechenbarkeit Welche andere Definition der berechenbaren Zahlenfunktionen wurde behandelt? Die Definition der µ-rekursiven Funktionen. Anmerkung 1: Die primitiv-rekursiven Zahlenfunktionen sind zwar ebenfalls berechenbar, aber nur eine (echte) Teilmenge der µ-rekursiven Funktionen. Anmerkung 2: Alle primitiv-rekursiven Zahlenfunktionen sind total. Wie lautet die Definition für µ-rekursiv? (4) Welches sind die µ-rekursiven Funktionen? Wie sind die µ-rekursiven Funktionen definiert? (2) Wann (genau) ist eine Funktion µ-rekursiv? (9) Eine Funktion ist µ-rekursiv, wenn sie sich durch wiederholtes Anwenden der Operatoren Sub, Prk und µ-schlange auf die Funktionen der Menge Gr in endlich vielen Schritten erzeugen läßt. Gr := Menge der primitiv-rekursiven Grundfunktionen Gr := { 0-Schlange, Z, S, pr i (k) }, 1 i k, d.h. Gr besteht aus der 0-stelligen Nullfunktion, der 1-stelligen Nullfunktion, der Nachfolgerfunktion und der i-ten k-stelligen Projektion Anmerkung: Ein Operator bildet Funktionen wieder auf Funktionen ab, d.h. das Argument eines Operators ist eine Funktion. Warum sind die µ-rekursiven Funktionen berechenbar? (2)... durch endliches Anwenden... bzw.... in endlich vielen Schritten... Dürfen die Operatoren nur auf Funktionen aus Gr angewandt werden? Nein. Wenn f schon durch Anwendung der Operatoren auf Gr entstanden ist, dann darf man natürlich wiederum die Operatoren auf f anwenden, um eine neue berechenbare Funktion zu erhalten. Können die Operatoren Sub, Prk und µ-schlange iterativ weiter angewendet werden? Ja, denn die 3 Operatoren bilden aus berechenbaren Funktionen wieder berechenbare Funktionen, was sich durch die Angabe der Flußdiagramme der entsprechenden verallgemeinerten Registermaschinen leicht nachweisen läßt. Sub-Operator (*) Sub (f, g 1, g 2,..., g m ) := h : N k ---> N mit k, m N, m 1, f : N m ---> N, g 1, g 2,..., g m : N k ---> N und h (x) := f (g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x)) für alle x N k. Operator der primitiven Rekursivität aufschreiben Wie ist der Operator der primitiven Rekursion definiert? (3) Wie ist der Prk-Operator definiert? (9) Prk (g, h) := f : N k+1 ---> N mit k N, g : N k ---> N, h : N k+2 ---> N und f (x, 0) = g (x), f (x, y + 1) = h (x, y, f (x, y)) für alle x N k, y N. Ist Ihnen die Eindeutigkeit des Prk-Operators klar? Nachweis? (2) Der Nachweis erfolgt mit Hilfe einer vollständigen Induktion über y. Annahme: Es gibt zwei Funktionen f 1 und f 2, die die Rekursionsgleichungen

5 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 5 erfüllen. Es kann gezeigt werden, daß dann für alle y N gilt: f 1 (x, y) = f 2 (x, y), d.h. f 1 = f 2. Damit ist f als eindeutig bewiesen. Ist dabei f: N k+1 ---> N genau definiert oder gibt es auch eine andere Funktion, die Prk (g, h) = f erfüllt? f ist genau definiert durch g und h und die rekursive Definition von f. Die Funktion Prk (g, h) ist rekursiv definiert. Ist die Funktion f := Prk (g, h) durch diese Definition eindeutig bestimmt? Ja. f (x, 0) ist eindeutig bestimmt durch f (x, 0) = g (x), f (x, 1) ist eindeutig bestimmt durch f (x, 1) = h (x, 0, f (x, 0)), usw. Beweis mit vollständiger Induktion. Wie ist der µ-schlange-operator definiert? (4) µ-schlange (h) : N k ---> N mit k N, h : N k+1 ---> N und µ-schlange (h) (x) := min(m) falls M := { n h (x, n) = 0 und ( i < n) (x, i) Def(h) }, div sonst, für alle x N k. Warum muß (i < n) (x, i) Def (h) gelten? Wäre einer der Werte h (x, i), i < n, nicht definiert, so könnte man nicht mehr mit einer Maschine entscheiden, welches die kleinste Nullstelle von h ist. Es könnte ja sein, daß man nur noch nicht lange genug gerechnet hat, um h (x, i) zu bestimmen. Warum dürfen die Werte unterhalb der Nullstelle h (x, t) = 0 nicht mitbetrachtet werden? "Register-berechenbar µ-rekursiv" Wie ist der Zusammenhang zwischen Register-berechenbaren und µ-rekursiven Funktionen? Warum gilt die Implikation: f ist µ-rekursiv f ist Register-berechenbar? Wie kann man die Äquivalenz von Register-berechenbar und µ-rekursiv zeigen? (14) Register-berechenbar µ-rekursiv w Beweisidee: Die in der Semantik-Definition der Register-Maschine auftretenden Funktionen werden als µ-rekursiv nachgewiesen. Es ist f M (x) = AC f F EC (k) (x) = AC pr 2 GS (q 0, EC (k) (x)) =... w Seien dazu o. B. d. A. die Marken des Flußdiagramms F als Q := {0, 1,..., N} mit 0 als Anfangsmarke und N als einzige Endmarke definiert. w Die Anzahl l der im Flußdiagramm verwendeten Register ist endlich (da auch das Flußdiagramm endlich ist). Durch die k-stellige Eingabecodierung ist die Anzahl der Register nach unten beschränkt. Sei also m mit m k und m l die endliche Anzahl der zu betrachtenden Register. w Die Marken und Register (= Konfigurationen) werden durch die Cantorsche Tupelfunktion in Nummern verschlüsselt. Für die Verschlüsselung wird eine Abbildung ι: N N x N N mit ι < a 0, a 1,..., a m, q > := (q, (a 0, a 1,..., a m, 0, 0,...)) definiert. w Die Einzelschrittfunktion ES wird durch eine Funktion es: N ---> N ersetzt. (ES (q, (a 0, a 1,..., a m, 0, 0,...)) wird durch es < a 0, a 1,..., a m, q > ersetzt.)

6 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 6 Dabei gilt es(z) = z, falls ι(z) Def (ES), also insbesondere falls z eine Endkonfiguration verschlüsselt. w "R i := R i + 1", "R i := R i - 1" und "R i = 0" werden auf der Funktion es als primitivrekursiv nachgewiesen. w Angabe der Schrittzahlfunktion SZ (hier und nur hier wird der µ-schlange- Operator gebraucht) w Folgerung zur Gesamtschrittfunktion [GS (ι(z)) = ES SZ(ι(z)) (ι(z))] w Angabe, wo der µ-schlange-operator gebraucht wird (SZ, GS) w Angabe, wo der Prk-Operator gebraucht wird (ES, EC, AC) µ-rekursiv Register-berechenbar w Sei zunächst f: N k ---> N µ-rekursiv. Dann entsteht f in endlich vielen Schritten durch Anwenden der Operatoren Sub, PRK und µ-schlange auf die sog. "primitiv-rekursiven Grundfunktionen". Zunächst zeigt man durch die Angabe der entsprechenden Flußdiagramme, daß die Funktionen der Menge Gr Register-berechenbar sind. Danach zeigt man, daß die Operatoren Sub, PRK und µ-schlange berechenbare Funktionen wieder in berechenbare Funktionen überführen. Damit ist jede Funktion, die in endlich vielen solchen Schritten entsteht, wiederum berechenbar. Somit ist jede µ-rekursive Funktion berechenbar. w Andere Formulierung: Es muß gezeigt werden, daß 1. die primitiv-rekursiven Grundfunktionen Register-berechenbar sind 2. durch Anwendung der Operatoren Sub, Prk und µ-schlange auf Registerberechenbare Funktionen wieder Register-berechenbare Funktionen entstehen. Wieso gilt das letztgenannte? Nach dem Satz über die verallgemeinerte Registermaschine (VRM) ist die Funktion einer VRM genau dann berechenbar, wenn sämtliche in der VRM vorkommenden Funktionen und Tests berechenbar sind. Wie werden für "Register-berechenbar µ-rekursiv" die Konfigurationen codiert? Wie ist die Menge der Konfigurationen (genau) definiert? (3) KON := Q x N N N x N N Was ist ein wichtiges Ergebnis des Beweises "Register-berechenbar µ-rekursiv" bzgl. primitiv-rekursiver Funktionen? (3) Rechenzeitsatz für primitiv-rekursive Funktionen Um nachzuweisen, daß eine Funktion f primitiv-rekursiv ist, genügt es, eine Registermaschine M mit f = f M anzugeben und zu zeigen, daß Zeit M durch eine primitiv-rekursive Funktion (z. B. durch die stark wachsenden Ackermannschen Funktionen A n ) beschränkt ist. Rechenzeitfunktion: Zeit M : N k ---> N mit Zeit M (x) := SZ (q 0, EC (k) (x)) Wg. es t (z) = z, falls z Endkonfiguration ist, genügt es, wenn es einen Wert t oder eine Funktion r(z) gibt mit t bzw. r(z) SZ(ι(z)) für alle z N. Wenn diese Funktion r primitiv-rekursiv ist, dann tauchen in der Semantik-Definition nur primitiv-rekursive Funktionen auf, die Funktion ist damit (nur) primitiv-rekursiv. µ-schreibweise: (*) µi[a(i)] = Min(M) falls M = { i N A(i) ist wahr }, div sonst. Im Falle totaler Funktionen kann die µ-schlange-schreibweise durch die µ-schreibweise ersetzt werden, denn es ist µ-schlange f(x)= µt[f(x, t) = 0].

7 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 7 Berechenbare Wortfunktionen (Bandmaschine,...) Wann ist eine Wort-Funktion f berechenbar? Wenn es eine Keller- oder Band-Maschine M gibt, die die Funktion berechnet, wenn also f = f M gilt. Definition der Wort-Berechenbarkeit (6) mit Band- (Turing-) Maschinen mit Keller-Maschinen Anschauliche Vorstellung / Erklärung / Beschreibung einer Bandmaschine (5) Erläuterung der Arbeitsweise einer Bandmaschine (2) (Anschauliche) Erläuterung der Definition einer Bandmaschine (2) Was für Alphabete gibt es bei einer Bandmaschine? (2) Bandalphabet Γ, Eingabealphabet Σ, mit Σ Γ und B Σ Anmerkung: Alphabete sind immer endliche, nicht leere Mengen). Was ist Γ bzw. Σ bei Bandmaschinen und ist Γ genau definiert? Unterschied vom Bandalphabet Γ zum Eingabealphabet Σ bei Bandmaschinen? Die beiden Alphabete unterscheiden sich mindestens durch das Zeichen B, das in Γ enthalten ist, aber nicht in Σ. Wie hängen das Ein- / Ausgabe- und das Band-Alphabet zusammen? In welchem Verhältnis stehen diese beiden Mengen (Alphabete) zueinander? (2) Σ Γ (Σ ist echte Teilmenge von Γ, da B Σ aber B Γ gilt.) Γ ist endliche Obermenge von Σ. Was versteht man unter dem Band einer Band-Maschine? Man kann das Band als einen beidseitig (nach links und rechts) unendlichen sequentiellen Speicher auffassen. Das Band ist in Felder eingeteilt, jedes Feld enthält genau ein Zeichen aus dem Bandalphabet Γ. Was ist (also) die Datenmenge einer Bandmaschine? Definition der Datenmenge einer Bandmaschine inklusive einer anschaulichen Erklärung, wo der Schreib- / Lesekopf steht. Wie ist die Datenmenge einer Bandmaschine definiert? (9) D := Γ Z D := { d: Z Γ mit nur endlich vielen Elementen d(i) B, i Z } Wie sehen die Datenelemente bei einer Bandmaschine aus? Ein Datenelement der Bandmaschine ist eine Bandbelegung [d(-r)... d(-1), d(0), d(1)... d(t)] mit d(i) = B für i < -r bzw. i > t Wie lautet die Eingabecodierung einer Bandmaschine? (15) EC (k) (w 1, w 2,..., w k ) = [ε, B, w 1 Bw 2 B... Bw k ] Was ist d(0), d(-1), d(1), d(-2),...? (6) jeweils ein Zeichen aus dem Bandalphabet Γ d(0) = Zeichen unter dem Schreib- / Lesekopf d(-1) = 1. Zeichen links vom Schreib- / Lesekopf (oder letztes Zeichen des Wortes links vom Schreib- /Lesekopf) d(1) = 1. Zeichen rechts vom Schreib- / Lesekopf (oder 1. Zeichen des Wortes rechts vom Schreib- /Lesekopf, d. h. von w 1 direkt nach der Eingabecodierung) Mit welchem Symbol ist das Element d(-1) bei der EC belegt? (2) Nach der Definition der Eingabecodierung müßte d(-1) = ε lauten. Da ε aber das leere Wort ist und das gesamte Band links von w 1 bzw. rechts von w k mit B's beschrieben ist, ist d(-1) = B. Kann d(-1) = ε sein? Nein. Es ist d(-1) = B.

8 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 8 Ausgabecodierung: (*) AC [v, a, w] := das längste Präfix x von w mit x W(Σ). Welche Befehle / Operationen gibt es bei einer Bandmaschine? (3) L (ein Zeichen nach links gehen): L [ua, b, w] = [u, a, bw] R (ein Zeichen nach rechts gehen): R [u, a, bw] = [ua, b, w] f a (ein Zeichen schreiben): f a [u, b, w] = [u, a, w] t a (Test auf das Zeichen a): t a [u, b, w] = 1 falls b = a, 2 sonst jeweils mit a, b Γ, u, w W(Γ) Welche Funktionen sind auf Bandmaschinen möglich? Hilfssymbol-Lemma Gibt es eine Bandmaschine, die bis auf B ohne Hilfssymbole auskommt? Es gibt eine Möglichkeit, das Bandalphabet zu reduzieren. Was ist gemeint? Wie lautet das Hilfssymbol-Lemma? Geben Sie die Beweisidee an. Was ist bei diesem Beweis besonders schwierig? Die Ein- / Ausgabeanpassung bzw. allgemein die Verfeinerung zur Bandmaschine. Was besagt das Hilfssymbol-Lemma genau? Hilfssymbol-Lemma mündlich erläutern (6) Zu jeder k-stelligen Bandmaschine M über (Γ, Σ, B) gibt es eine k-stellige Bandmaschine M' über (Γ', Σ, B) mit f M = f M und t M = t M mit Γ' = Σ {B}, d.h. man benötigt nur ein Hilfssymbol B. Formulierung der Beweisidee für das Hilfssymbol-Lemma (6) Verschlüsselung von Γ durch W n ({A, B}) mit A Σ, 2 n Γ, d.h. jedes Zeichen aus Γ wird durch ein (beliebiges aber festes) Zeichen aus Σ und das Zeichen B verschlüsselt. Dazu wird eine Abbildung ι: Γ W n (Γ') gebildet, die leicht auf Worte ausgedehnt werden kann. B wird dabei als B n codiert! (Damit gibt es keine Probleme mit den nicht beschriebenen Feldern.) Die Befehle und Tests von M werden von M' wie folgt simuliert: L M = "gehe n Felder nach links" R M = "gehe n Felder nach rechts" f M a = "überschreibe das Zeichen unter dem Schreib- / Lesekopf und die n-1 Felder rechts davon mit dem Wort ι(a)" t M a = "teste, ob ι(a) das Wort, bestehend aus dem Zeichen unter dem Schreib- / Lesekopf sowie den ersten n-1 Zeichen rechts davon ist" Ein- / Ausgabecodierung, Ein- / Ausgabeanpassung Wie funktioniert das Verfahren aus dem Beweis zum Hilfssymbol-Lemma? Zusatzfrage: Worauf wird die Funktion ι abgebildet? ι wird auf ein Wort der Länge n aus Γ' abgebildet, also ι(c) W n (Γ'). Hinweis zum Hilfssymbol-Lemma: Teile des Beweises mußten schriftlich angegeben werden, die Bandstruktur mußte skizziert werden können. Es wird im Kurs u. a. für die Definition der Standardnumerierung ϕ i benötigt (wg. der dort verwendeten normierten Bandmaschine).

9 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 9 Kellermaschine,... Was ist eine Kellermaschine und wie ist ihre Datenmenge genau erklärt? 5-Tupel (F, (W(Σ)) k, W(Σ), EC (k), AC) D := { d: N (W(Γ) } = (W(Γ)) N D = Menge der Kellerbelegungen; N Keller enthalten jeweils ein Wort w W(Γ). Die Funktionen und Tests der Kellermaschine sind: w "R i := R i a" = ein Zeichen a an das Wort in Keller i anhängen w "R i := pop R i " = das letzte Symbol des Wortes in Keller i löschen w "R i top a" = Test, ob das letzte Symbol des Wortes im Keller i gleich a ist Beweis: Keller-berechenbar Band-berechenbar (*) Beweisidee für Keller-berechenbar Band-berechenbar: Simulation der Kellermaschine durch eine kammartige Speicherung der Kellerinhalte. Der "Kamm" hat die Weite m (m jeder Nummer i eines benutzten Kellers R i ). Im Kamm werden zuerst die untersten Symbole aller m Keller gespeichert, dann die zweituntersten Symbole, etc. Unterschiedliche Kellertiefen werden durch B's ausgeglichen. Beweisidee für Band-berechenbar Keller-berechenbar: Simulation der Bandmaschine durch eine Kellermaschine mit 3 Kellern (für das Wort links vom Schreib- / Lesekopf, für das Zeichen unter dem Schreib- / Lesekopf und für das gespiegelte Wort rechts vom Schreib- / Lesekopf). Wie hängen Register- und Kellerberechenbarkeit zusammen? Wie ist der Zusammenhang zwischen Register- und Wort-berechenbar? Formulierung: Für alle Wort-berechenbaren Funktionen f gibt es eine Registerberechenbare Funktion g und eine Numerierung ν mit f := ν g ν -1. Beweisen Sie, daß die Menge der Register-berechenbaren und die Menge der Kellerberechenbaren Funktionen übereinstimmen. (3) Wieso sind berechenbare Zahlen- und berechenbare Wortfunktionen gleichwertig? Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Berechenbarkeit von Zahlen- und Wortfunktionen? Wie wird er hergestellt? Zusammenhang zwischen der Berechenbarkeit von Zahlen- und Wortfunktionen (7) Satz Sei g: N k ---> N, f: (W(Σ)) k ---> W(Σ) Dann gilt: (1) g ist Register-berechenbar ν g ν -1 ist Keller-berechenbar (2) f ist Keller-berechenbar ν -1 f ν ist Register-berechenbar Die Transformation g ν g ν -1 bildet die k-stelligen partiellen Zahlenfunktionen (= die Register-berechenbaren Funktionen) bijektiv auf die k-stelligen partiellen Wortfunktionen (= die Keller-berechenbaren Funktionen) ab. Beweisidee zu (1): Die Zahlenfunktionen und -tests werden durch Wortfunktionen und -tests simuliert. Es ist: "R i := R i + 1" = "R i := S Σ (R i )" = ν S ν -1 (R i ), "R i := R i - 1" = "R i := V Σ (R i )" = ν V ν -1 (R i ), "R i = 0" = "R i = ε". Die Registerinhalte (i 0, i 1,...) werden durch Kellerinhalte (ν(i 0 ), ν(i 1 ),...) codiert. Beweisidee zu (2): Die Wortfunktionen und -tests werden durch Zahlenfunktionen und -tests simuliert.

10 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 10 Die Kellerinhalte (v 0, v 1,...) werden durch Registerinhalte (ν Γ -1(v 0 ), ν Γ -1(v 1 ),...) verschlüsselt. Welche Numerierung benutzt man bei diesem Satz? Die Standardnumerierung ν Σ von W(Σ). Wichtig ist vor allem, daß ν Σ effektiv ist. Erklären Sie anschaulich die Bedeutung dieses Satzes. Zusammenhang Register-berechenbar und Keller-berechenbar (für n = 1) erläutern (2) Diagramm zu f ν = ν g erläutern f ν Verschlüsselung der Eingabe und nachfolgende Berechnung von f ν g Berechnung von g und Verschlüsselung des Funktionswertes von g Numerierung Was ist eine Numerierung (allgemein)? (8) Eine Numerierung ist eine surjektive Abbildung von N auf eine Menge M (ν: N ---> M). Dabei ist M höchstens eine abzählbare Menge. Warum muß eine Numerierung surjektiv sein? Damit jedes Element der Menge M eine Nummer erhält. Bedeutung von ν bzw. was ist ν? (2) Standardnumerierung von Worten (genaue Definition war aber nicht verlangt) Wie ist die Standardnumerierung ν Σ : N W(Σ) definiert? Sei m := Σ und a : {1,..., m} Σ eine Ordnungsfunktion für Σ. Dann ist σ: W(Σ) N definiert durch σ (ε) := 0 und σ (a ik... a i0 ) := m k *i k m*i 1 + i 0. Die Standardnumerierung ν Σ ist definiert als ν Σ := σ -1. Welche Eigenschaften der Standardnumerierung ν Σ kennen Sie? Die Standardnumerierung ν Σ ist eine bijektive Funktion. Damit ist sie surjektiv (wie jede Numerierung), aber auch injektiv und total (wie nicht jede Numerierung). Außerdem ist sie effektiv (siehe unten). Reduzierbarkeit von Numerierungen: Seien ν, ν' Numerierungen. Dann ist ν reduzierbar auf ν' ν ν' ( f P (1) ) ( i Def(ν)) ν(i) = ν' f(i). Äquivalenz von Numerierungen: Seien ν, ν' Numerierungen. Dann sind ν und ν' äquivalent, d.h. ν = ν' wenn ν ν' und ν' ν gelten. Effektivitätseigenschaften von Numerierungen: Da eine Numerierung nicht auf die Berechenbarkeitsbegriffe paßt (wg. N ---> W(Σ)), wird der Begriff der Effektivität eingeführt. So gibt es Zahlen- und Wortfunktionen, so daß ν Σ Zahlenfunktion ν Σ -1 Wort-berechenbar und ν Σ -1 Wortfunktion ν Σ Zahlen-berechenbar ist. Definieren Sie einen Berechenbarkeitsbegriff für abzählbare Mengen Relative Berechenbarkeit: Seien ν 1 und ν 2 totale Numerierungen mit ν 1 : N M 1, ν 2 : N M 2. Dann ist eine Funktion f: M 1 ---> M 2 (ν 1, ν 2 )-berechenbar, wenn es eine berechenbare Funktion g gibt mit f ν 1 (i) = ν 2 g(i) für alle i Def(f ν 1 ) und g(i) = div für alle i (Def(ν 1 ) \ Def(f ν 1 )). Der Begriff der relativen Berechenbarkeit kann auf Funktionen M 1 x... x M k ---> M 0 ausgedehnt werden.

11 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 11 Anmerkung zum Diagramm: Die Berechnung über die rechte obere Ecke liefert das gleiche Ergebnis wie die Berechnung über die linke untere Ecke. Church'sche These: (*) Die Register-berechenbaren Funktionen sind genau die im intuitiven Sinne berechenbaren Zahlenfunktionen. Die Standardnumerierung ϕ von P (1) Was ist ϕ? ϕ ist die Standardnumerierung von P (1). Sie ordnet jeder Funktion aus P (1) eindeutig eine Nummer zu. ϕ(i) := ϕ i ist "die von der i-ten Bandmaschine berechnete Funktion". Wie lautet die Definition von ϕ? Wie ist die Standardnumerierung von P (1) definiert? Die Definition erfolgt mit Hilfe einer normierten Bandmaschine über ({1, B}, {1}, B), also mit Bandalphabet {1, B} und Eingabealphabet {1}. Weiter seien alle Marken natürliche Zahlen und die Bandmaschine habe nur eine einzige Endmarke. ϕ : N P (1) mit ϕ(i) := ϕ i := ξ ν M ν P (i), ξ := ι -1 f M ι und ι(i) := 1 i ν P ordnet jeder Zahl i N ein Bandprogramm zu. ν M ist die durch ν P bestimmte Bandmaschine. ξ wandelt das Argument j N in ein Argument 1 j W({1}) um, berechnet den Wert f M und wandelt dann das Ergebnis wieder in eine natürliche Zahl um. N νp BP νm BM ξ P (1) Standardkomplexität Φ: (*) Φ(i)(x) := Φ i (x) := SZ i (q 0i, [ε, B, 1 x ]) utm- und smn-theorem Wie lautet das utm-theorem? Formulierung des utm-theorems (8) ϕ sei Standardnumerierung von P (1). Es sei u ϕ : N 2 ---> N die universelle Funktion von ϕ (d.h. u ϕ (i, x) := ϕ i (x) für alle i, x N). Dann gilt u ϕ P (2). Die universelle Funktion u von ϕ, definiert durch u ϕ (i, x) := ϕ i (x), ist partiell rekursiv (= berechenbar). Was gehört zur Prämisse, was zur Folgerung? Prämisse: ϕ sei Standardnumerierung von P (1). u ϕ (i, x) sei definiert als ϕ i (x). Folgerung: u ϕ P (2), d.h. u ϕ ist partiell-rekursiv, d.h. u ϕ ist berechenbar. Was besagt das utm-theorem (was bedeutet es, wie lautet es, wann und wozu kann es angewandt werden?) (3) Anschaulich: Es gibt einen "universellen" Rechner, der bei Eingabe eines Programms i und eines Arguments x den Wert ϕ i (x) berechnet (falls er existiert) und ansonsten nicht hält. Warum ist die Berechenbarkeit von u ϕ etwas Besonderes? (Schließlich ist doch ϕ i für jedes i berechenbar?) Für jedes i ist ϕ i eine andere Funktion, kann also z. B. nicht in einer verallgemeinerten Registermaschine verwendet werden. u ϕ (i, x) hingegen ist eine berechenbare Funktion für jedes i.

12 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 12 Was besagt das smn-theorem (was bedeutet es, wie lautet es, wann und wozu kann es angewandt werden?) (3) Definition: Es sei ϕ die Standardnumerierung von P (1). Es sei f P (2). Dann gibt es eine total-rekursive Funktion r R (1) mit ( i, j N) f (i, j) = ϕ r(i) (j). ( f P (2) ) ( r R (1) ) ( i, j N) f (i, j) = ϕ r(i) (j) Das smn-theorem wird auch Übersetzungslemma genannt. Es besagt nämlich, daß jede 2-stellige Funktion in eine gleichwertige 1-stellige Funktion übersetzt werden kann. (Bzw. (in einer allgemeineren Darstellung), daß jede m-stellige Funktion in eine gleichwertige n-stellige Funktion übersetzt werden kann. (?)) Beweisidee zu utm- und smn-theorem (was wird wie warum konstruiert?) Die Funktion h (siehe dazu den nächsten Punkt) ist berechenbar und total. Seien h 1 (i, n, t) := 1 - h(i, n, t), g(i, n) := µ-schlange h 1 (i, n). Dann ist h 1 total, g ist berechenbar. Dann ist g(i, n) = µt[h 1 (i, n, t) = 0] = µt[h(i, n, t) 0]. h(i, n, t) wird mit t Min = Φ(i, n) Schritten berechnet, es ist also g(i, n) = Φ(i, n). Es ist h(i, n, t) = h(i, n, Φ(i, n)) = h(i, n, g(i, n)) = 1 + ϕ i (n) h(i, n, t) - 1 = ϕ i (n) =u ϕ (i, n). Damit ist u ϕ (i, n) berechenbar. h (i, n, t) (Beweis des utm-theorems) h(i, n, t) := (1 + ϕ i (n) falls Φ i (n) t, 0 sonst) ist berechenbar. Beweisidee des smn-theorems: Die Funktion r(i) überführt die Eingabekonfiguration [ε, B, 1 j ] in eine neue Konfiguration [ε, B, 1 i B1 j ]. r(i) liefert also eine neue Eingabekonfiguration und das Flußdiagramm zu f. Äquivalenzsatz von Rogers: Es sei ψ : N P (1) eine Numerierung von P (1). Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent: (1) ϕ ψ (2) ψ erfüllt das smn- und das utm-theorem. Rekursive (entscheidbare) und rekursiv-aufzählbare (beweisbare) Mengen Definition rekursiver Mengen (5) Wie sind rekursive Teilmengen A N definiert? (2) Wie ist die Entscheidbarkeit von Mengen definiert? Wann heißt eine Menge A N entscheidbar? (2) Anschaulich: Es gibt eine Maschine, die für jede Eingabe x N hält (da f total-rekursiv ist) und 0 ausgibt für x A, ein Zeichen 0 sonst. Wann ist eine Menge (Teilmenge von N) rekursiv? (Definition) (8) f R (1).A = f -1 {0}. A ist die Nullstellenmenge von f.

13 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 13 A ist das Urbild der Menge {0}. (f M (x) = 0) (x A) Was bedeutet f -1 {0}? Wie lautet denn die mathematische Definition für f -1 {0}? (2) f -1 {0} = { x Def (f) f (x) = 0 } bzw. f -1 {0} = { x Def (f) f (x) {0} } hier: f -1 {0} = { x N f (x) = 0 } Rekursivität für Wortfunktionen: (*) Sei f : (W(Σ)) k W(Σ) berechenbar. Dann ist A W(Σ) mit A := f -1 {ε} rekursiv. Definition rekursiv-aufzählbarer Mengen (2) Was sind rekursiv-aufzählbare Mengen? Wie sind rekursiv-aufzählbare Teilmengen A N definiert? Wann ist eine Menge beweisbar? Anschaulich: Es gibt eine Maschine, die für eine Eingabe x hält, falls x A gilt und sonst nicht hält. Aus dem "Nicht-Halten" der Maschine kann aber nicht x A gefolgert werden, da es ja sein kann, daß die Maschine nur noch nicht lange genug gerechnet hat, um zu einem HALT zu kommen. Wann heißt eine Menge A N beweisbar? Wann ist eine Menge (Teilmenge von N) rekursiv-aufzählbar? (Definition) (10) f P (1).A = Def(f). Wie ist eine weitere Definition für rekursiv-aufzählbar? Gibt es noch andere Charakterisierungen rekursiv-aufzählbarer Mengen? (3) A ist rekursiv-aufzählbar genau dann, wenn A die leere Menge ist oder wenn es eine total-rekursive Funktion f gibt mit A = Bild(f). Eine Menge A ist rekursiv-aufzählbar genau dann, wenn A = oder A = Bild(f) für ein f R (1). (f also total.) Anmerkung: Der folgende Projektionssatz steht zwar im Kurstext, wurde aber in keinem der mir vorliegenden Protokolle erwähnt. Projektionssatz: A ist rekursiv-aufzählbar genau dann, wenn ( B N) [B ist rekursiv und A = { x t <x, t> B} ] Definition rekursiver und rekursiv-aufzählbarer Mengen (4) Wann heißt eine Teilmenge von N rekursiv, wann rekursiv aufzählbar? (2) Sei A Teilmenge der natürlichen Zahlen. Wann ist A rekursiv, wann beweisbar? Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den beiden Begriffen? Zusammenhang von rekursiven und rekursiv-aufzählbaren Mengen (2) Wenn A rekursiv ist, dann ist auch A bzw. N \ A rekursiv aufzählbar. Gilt auch die Umkehrung von A rekursiv A beweisbar? Nein. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Entscheidbarkeit und Beweisbarkeit? (3) Wenn eine Menge entscheidbar ist, dann ist sie auch beweisbar. Die umgekehrte Richtung gilt im allgemeinen nicht. Kurz: rekursiv rekursiv-aufzählbar. Eine Menge A ist entscheidbar genau dann, wenn A beweisbar und N \ A beweisbar gilt. Ist die Menge der Quadratzahlen rekursiv? Ja. Angabe des Flußdiagramms.

14 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 14 Ist die Menge der geraden Zahlen rekursiv? (3) Ja. Angabe des Flußdiagramms einer entsprechenden Registermaschine. Ist die Menge der geraden Zahlen auch rekursiv-aufzählbar? Ja, weil jede rekursive Menge auch rekursiv-aufzählbar ist. Im Flußdiagramm muß statt der Ausgabe eines Wertes ungleich 0 in R 0 eine Endlosschleife eingebaut werden. Ist die Menge der Vielfachen von 7 ({0, 7, 14,...}) entscheidbar? Ist 2 i rekursiv? Wie zeigt man das? Ja. Angabe des Flußdiagramms. Ist { n 3 n N } entscheidbar? (2) Ja. Angabe des Flußdiagramms. Welche Eigenschaften der Funktion f (n) := n 3 fließen dabei ein? Monotonie und Berechenbarkeit. Ist die leere Menge rekursiv? Wie kann man das zeigen? (4) Ja. Sei g R (1) mit g(n) = 1 für alle n N. Dann ist g -1 {0} =. Ist N entscheidbar? Ja. Sei h R (1) mit h(n) = 0 für alle n N. Dann ist h -1 {0} = N. Oder: Die leere Menge ist entscheidbar, dann ist auch N \ = N entscheidbar. Ist die leere Menge (auch) rekursiv-aufzählbar? (2) Ja. Beweis: Definiere f: N ---> N mit ( i) f(i) := div. Dann ist Def(f) =. Ist die Menge M = { y y = 2 x } rekursiv? Idee für ein Flußdiagramm einer verallgemeinerten Registermaschine Ist die Menge M auch rekursiv-aufzählbar? Ja, denn jede rekursive Menge ist auch rekursiv-aufzählbar. Ja. Wenn man das Abbruchkriterium aus dem "rekursiven" Flußdiagramm wegläßt, entsteht eine Endlosschleife falls y keine Zweier-Potenz ist. Wie kann aus dem Flußdiagramm für den Nachweis "f ist rekursiv" das Flußdiagramm für den Nachweis "f ist rekursiv-aufzählbar" gewonnen werden? Statt der Ausgabe eines Wertes 0 muß eine Endlosschleife in das Flußdiagramm eingebaut werden. Was bedeutet es, wenn eine Menge ν-rekursiv ist? (3) Was versteht man unter ν-rekursivität? Wann heißt eine Menge M X ν-rekursiv? Definition ν-rekursiver Mengen (5) Es sei ν : N ---> M eine Numerierung. Es sei X M. X heißt ν-rekursiv genau dann, wenn es ein f P (1) gibt mit Def(ν) Def(f) und f(i) = 0 ν(i) X. Was versteht man unter ν-beweisbarkeit? Es sei ν : N ---> M eine Numerierung. Es sei X M. X heißt ν-beweisbar genau dann, wenn es ein f P (1) gibt mit f(i) existiert ν(i) X für alle i Def(ν).

15 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 15 Entscheidbarkeit / Beweisbarkeit bei Schnitt, Vereinigung und Komplement Wie weise ich diese Eigenschaften (entscheidbar bzw. beweisbar) bei Schnittmengen und Vereinigungen nach, sofern sie für zwei Mengen A und B bestehen? Ist die Vereinigung von rekursiven Mengen auch rekursiv? Ja. Sei A = f -1 {0}, B = g -1 {0}. Dann ist A B = h -1 {0} mit h(x) := f(x) * g(x), denn h(x) ist gleich Null, wenn f(x) = 0 oder g(x) = 0 gilt (inklusives Oder). Ist der Schnitt rekursiver Teilmengen auch rekursiv? Mit Beweis. (2) Ja. Sei A = f -1 {0}, B = g -1 {0}. Dann ist A B = h -1 {0} mit h(x) := f(x) + g(x), denn h(x) ist gleich Null, wenn f(x) = 0 und g(x) = 0 gilt. Sei A rekursiv. Ist dann das Komplement auch rekursiv? Mit Beweis. Ja. Sei A = f -1 {0}. Dann ist A-quer = h -1 {0} mit h(x) := 1 - f(x). Ist der Durchschnitt bzw. die Vereinigung von rekursiv-aufzählbaren Mengen auch rekursiv-aufzählbar? Ja. Gilt A, B beweisbar A B bzw. A B beweisbar? Es gilt beides. Beweisidee: f, g P (1).A = Def(f), B = Def(g) f + g berechenbar und Def(f + g) = A B. Für A B ist die Idee ähnlich. Allerdings muß es 2 Maschinen geben, die f bzw. g berechnen und deren Programme "parallel" in einer neu zu schaffenden Maschine abgearbeitet werden müssen, die genau dann hält, wenn die Maschine für f oder für g hält. Ist der Durchschnitt zweier rekursiv-aufzählbarer Mengen wieder rekursiv-aufzählbar? Ja. Wie kann das gezeigt werden? Sei A 1 = Def(g 1 ) und A 2 = Def(g 2 ). Dann ist A := A 1 A 2 = Def(g) mit g(x) = g 1 (x) + g 2 (x). (g 1, g 2 seien P (1), dann ist auch g P (1).) Ist die Vereinigung zweier beweisbarer Mengen wieder beweisbar? Beweis (3) Ja. Was gilt für die Vereinigung zweier rekursiv-aufzählbarer Mengen? Beweis (4) Die Vereinigung ist auch rekursiv-aufzählbar. Idee: Mit geraden und ungeraden Zahlen beide Teilmengen aufzählen. Sei A 1 = Bild(g 1 ) und A 2 = Bild(g 2 ). Dann ist A := A 1 A 2 = Bild(g) mit g(2x) := g 1 (x) und g(2x + 1) := g 2 (x). (g 1, g 2 seien R (1), dann ist auch g R (1).) Was ist mit der Vereinigung leerer Mengen? Bei der Vereinigung einer rekursiv-aufzählbaren Menge A mit einer leeren Menge ist die entstehende Menge A natürlich rekursiv-aufzählbar. Dieser Fall muß jedoch getrennt von dem obigen Verfahren betrachtet werden, da A 1 = Bild(g 1 ) nur dann gilt, wenn A 1 nicht leer ist! Ist das Komplement einer rekursiv-aufzählbaren Menge rekursiv-aufzählbar? Nein, denn sonst wäre aufgrund der Äquivalenz "A ist rekursiv" "A und N \ A sind rekursiv-aufzählbar" auch Kϕ rekursiv. Ist A-quer beweisbar, wenn A beweisbar ist? Nein. (Außer wenn A auch entscheidbar ist.)

16 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 16 Die Menge Kϕ,... Gibt es ein nicht rekursives aber aufzählbares Problem? Welche Menge ist rekursiv-aufzählbar aber nicht rekursiv? (2) Gibt es Mengen, die rekursiv-aufzählbar (beweisbar) aber nicht rekursiv (entscheidbar) sind? (16) K ϕ (Selbstanwendbarkeitsproblem) Definition des Selbstanwendbarkeitsproblems (3) Definition von K ϕ (11) K ϕ := { i N ϕ i (i) existiert } K ϕ := { i N i Def(ϕ i ) } Was bedeutet dabei "ϕ i "? Was bedeutet das "ϕ" in K ϕ? (2) ϕ ist die Standardnumerierung der berechenbaren partiellen Funktionen f: N ---> N. Was bedeutet Numerierung? Nennen Sie Beispiele. Beweis für K ϕ ist nicht rekursiv (inklusive Beweis für g ist nicht berechenbar) (12) Der Beweis erfolgt in 2 Schritten mittels Diagonalisierung. (1) Die im folgenden Punkt definierte Funktion g wird als nicht berechenbar nachgewiesen. (2) Es wird angenommen, daß K ϕ rekursiv sei. Mit dieser Annahme wird gefolgert, daß die als nicht berechenbar nachgewiesene Funktion g berechenbar ist. Aufgrund dieses Widerspruchs kann K ϕ nicht rekursiv sein. Genauer: Es wird angenommen, daß K ϕ rekursiv sei. Dann gibt es f R (1) mit f -1 {0} = K ϕ, d.h. f(i) = 0 falls ϕ i (i) existiert und f(i) 0 sonst. Dann gilt: g(i) = [div falls f(i) = 0, 0 sonst (d.h. falls f(i) 0 gilt)]. Da nach Annahme f R (1) gilt, ist g berechenbar. Dies ist aber ein Widerspruch zu der bewiesenen Eigenschaft g P (1). Warum ist die Funktion g (i) := ( div falls ϕ i (i) existiert, 0 sonst ) nicht berechenbar? Es wird angenommen, daß die Funktion g berechenbar ist. Dann gibt es ein j N mit g = ϕ j. Insbesondere an der Stelle j gilt: g(j) = ϕ j (j) = div falls ϕ j (j) existiert bzw. g(j) = 0 sonst (d.h. falls ϕ j (j) nicht existiert) = ϕ j (j) = div. In beiden Fällen führt die Annahme, g sei berechenbar, zu einem Widerspruch. Also kann g nicht berechenbar sein. Anmerkung: Daß g nicht berechenbar ist, muß im Beweis, daß K ϕ nicht rekursiv ist, gezeigt werden können!!! Beweis für K ϕ ist rekursiv-aufzählbar (5) Der Beweis erfolgt mit Hilfe des utm-theorems. Es sei u ϕ die universelle Funktion von φ. Dann gilt u ϕ P (2). Es sei f P (1) definiert durch f(i) := u ϕ (i, i). Dann gilt i Def(f) i Def (φ i ) i K φ. Damit ist K φ rekursiv-aufzählbar. Zeigen Sie, daß K ϕ rekursiv-aufzählbar aber nicht rekursiv ist. (3) Genauestens: Diagonalisierung. Was bedeutet das ϕ bei u ϕ? Was ist ϕ i? Die i-te partiell-berechenbare Funktion aufgrund der Standardnumerierung ϕ.

17 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 17 Kann K ϕ -quer rekursiv-aufzählbar sein? Nein, denn dann wäre K ϕ rekursiv (siehe auch die nächste Frage). Beweis für N \ K ϕ ist nicht rekursiv-aufzählbar Sei K ϕ als rekursiv-aufzählbar aber nicht rekursiv nachgewiesen. Wenn N \ K ϕ rekursiv-aufzählbar wäre, wäre auch K ϕ rekursiv (wg. A rekursivaufzählbar und A-quer rekursiv-aufzählbar A ist rekursiv) Widerspruch! Beweisen Sie, daß K ϕ -quer nicht rekursiv-aufzählbar ist oder daß K ϕ nicht rekursiv ist. Halteproblem: (*) K ϕ 0 := { <i, x> N x Def(ϕ i ) } ist rekursiv aufzählbar aber nicht rekursiv. Gibt es auch eine Menge, die nicht rekursiv-aufzählbar ist? K ϕ -quer M f := { i ϕ i = f } (Korrektheitsproblem) Beispiel für eine nicht rekursiv-aufzählbare Menge? Die Menge M := { (i, j) ϕ i = ϕ j } ist nicht rekursiv-aufzählbar (Äquivalenzproblem). Erläutern Sie das Äquivalenzproblem Definition: Die Menge M := { (i, j) ϕ i = ϕ j } ist nicht rekursiv-aufzählbar.

18 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 18 Theoretische Informatik B Grammatiken (Allgemeines) Genaue Erklärung der Alphabete Π und Σ einer Grammatik Sei G = (Π, Σ, R, S) eine Grammatik. Π ist das Alphabet der Nicht-Terminalsymbole, d.h. jedes Element aus Π kann weiter abgeleitet werden. Σ ist das Alphabet der Terminalsymbole, d.h. kein Element aus Σ kann weiter abgeleitet werden. Die Schnittmenge von Π und Σ ist leer (Π Σ = ). Das Startsymbol S muß ein Zeichen aus der Menge Π sein (S Π). Chomsky-Grammatik (oder Chomsky-Typ 0-Grammatik) (*) Sei G = (Π, Σ, R, S) eine Grammatik mit R [W(Π Σ) \ W(Σ)] x W(Π Σ) endlich. Reguläre Mengen / Sprachen Was sind reguläre Mengen? (3) Wie sind die regulären Mengen (Sprachen) definiert? (3) Definition: Zusammensetzung aus, {a},,. und * 1), {a} mit a Σ sind reguläre Mengen. 2) Seien X, Y reguläre Mengen. Dann sind X Y, X*, X. Y reguläre Mengen. 3) Jede reguläre Menge läßt sich mit 1) und 2) definieren. Reguläre Ausdrücke (als "Erzeugungsvorschrift" für reguläre Mengen) w 1) ist ein regulärer Ausdruck und für jedes a Σ ist das Wort a ein regulärer Ausdruck. 2) Wenn α und β reguläre Ausdrücke sind, dann sind auch "(α β)", "(α β)" und "α*" reguläre Ausdrücke. 3) Andere reguläre Ausdrücke gibt es nicht. w Eine Semantikfunktion L ordnet jedem regulären Ausdruck α Reg(Σ) eine Sprache L(α) W(Σ) zu. Klassifizierung durch reguläre Ausdrücke, rechtslineare Chomsky-Grammatiken, endliche Automaten, Charakterisierung regulärer Mengen durch reguläre Ausdrücke Reguläre Mengen werden von rechtslinearen Grammatiken erzeugt rechtslinearen Normalformgrammatiken erzeugt endlichen (nicht-determinierten) Automaten erkannt endlichen determinierten Automaten erkannt Rechts-lineare Grammatiken Definition für eine rechtslineare Grammatik Welche Form haben die Regeln in einer rechts-linearen Grammatik? (2) A wb, A w mit w W(Σ) und A, B Π

19 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 19 Wie sieht die Regelmenge für eine rechtslineare Grammatik aus? (5) (Beispiel) R Π x W(Σ)ì(Π {ε}) Definition für eine rechtslineare Normalform-Grammatik Welche Form haben die Regeln in einer rechts-linearen Normalform-Grammatik? (2) A ab, A ε mit a Σ und A, B Π Wie sieht die Regelmenge für eine rechtslineare Normalform-Grammatik aus? (5) (Beispiel) R Π x (ΣìΠ {ε}) Wie überführt man eine rechtslineare Grammatik in eine rechtslineare Normalform- Grammatik? (8) Durch die 3 Transformationen Normieren (NT), Verkürzen (VR), Eliminieren (EL) w Normieren der Terminalregeln: Regeln der Form A a werden zu A ae und E ε umgeformt. Ebenso wird A abc zu A abce und E ε umgeformt. w Verkürzen der Regellängen: Regeln der Form A abcd werden zu A ab, B bc, C cd umgeformt. w Eliminieren längentreuer Regeln (d.h. der Form A B): Regeln der Form A B und B bc werden zu A bc und B bc umgeformt. NT muß genau 1x angewandt werden, VR und EL ggf. mehrmals. Dabei bleiben das Startsymbol S und das Terminalalphabet Σ unverändert, nur das Nicht-Terminalalphabet Π und die Regelmenge R ändern sich. (Genau. Auch mit Beispiel für das Eliminieren von A B zeigen.) Endliche Automaten,... Definition eines endlichen Automaten: (*) Quintupel (Σ, Q, q 0, F, δ) mit Σ = Eingabealphabet, Q = Menge der Zustände, q 0 = Anfangszustand, F = Endzustand, δ Q x Σ x Q = Überführungsrelation Ein endlicher Automat ist vollständig genau dann, wenn #{ q Q (p, a, q) δ } 1 für alle p Q, a Σ gilt. Ein endlicher Automat ist determiniert genau dann, wenn #{ q Q (p, a, q) δ } 1 für alle p Q, a Σ gilt. Die von einem endlichen Automaten akzeptierte Sprache L(A) ist definiert als L(A) := { x W(Σ) q F. (q 0, x, q) δ* }. Wie transformiert man einen nicht-deterministischen Automaten in einen äquivalenten deterministischen Automaten? (2) Mit Hilfe eines Potenzautomaten. Der Name Potenzautomat leitet sich dadurch ab, daß die Zustandsmenge des neuen (determinierten) Automaten die Potenzmenge 2 Q der Zustände des alten (nicht-determinierten) Automaten ist. Da der Potenzautomat i. a. überflüssige Zustände enthält, so z. B. Zustände, die vom Anfangszustand gar nicht erreicht werden können, wird der vereinfachte Potenzautomat verwendet, der nur die Zustände enthält, die vom Anfangszustand aus erreichbar sind.

20 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 20 Konstruktionsalgorithmus für den vereinfachten Potenzautomaten: 1) Bilde eine Menge V der schon betrachteten Zustände (am Anfang gilt V = ) und eine Menge W der noch zu betrachtenden Zustände (mit W = q 0 zu Anfang). 2) w Wähle einen noch nicht betrachteten Zustand P aus W w ermittle alle Zustände, die von P aus aufgrund der Zustandsübergangstabelle des nicht-deterministischen Automaten erreicht werden können w aktualisiere dabei die Zustandsübergangstabelle des (neuen) deterministischen Automaten w aktualisiere die Menge V mit V = V P w aktualisiere die Menge W mit W = W {Menge aller von P aus erreichbaren Zustände} 3) Führe 2) solange aus, bis alle Zustände aus W betrachtet worden sind. Endzustände sind alle Zustände, die einen Endzustand des nicht-deterministischen Automaten enthalten. Die Terminierung des Verfahrens ist sichergestellt, da W durch 2 Q beschränkt ist und V bei jedem Schleifendurchlauf um ein Element wächst. Erläutern des Konstruktionsbeweises: Endlicher Automat regulärer Ausdruck Wie läßt sich ein deterministischer endlicher Automat in einen regulären Ausdruck überführen / umwandeln? (4) Wie kann man zu einem endlichen Automaten den regulären Ausdruck bestimmen? (3) 1.) Man bestimmt L(A) nach dem untenstehenden Verfahren. 2.) Man definiert einen entsprechenden regulären Ausdruck α mit L(A) = L(α), d.h. man wandelt die Mengenschreibweise von L(A) in einen regulären Ausdruck um. Sei A = (Σ, Q, q 0, F, δ) mit Q = {1,..., n} und q 0 = 1. Es ist L(A) = { L n 1j j F } N ε, wobei N ε = {ε} falls 1 F, sonst. D.h. L(A) ist die Vereinigung aller Worte, die den Anfangszustand in einen Endzustand überführen, vereinigt mit der Menge {ε}, falls der Anfangszustand auch gleichzeitig Endzustand ist. Die L k ij sind wie folgt rekursiv definiert: L k ij = L k-1 ij L k-1 ik ì (L k-1 kk)* ì L k-1 kj und L 0 ij = { a (i, a, j) δ Zusammenhang zwischen regulären Ausdrücken und endlichen Automaten Beweis, Formeln für die L k ij Was bedeutet dabei L k ij? Die Menge aller Worte w W(Σ) \ {ε}, die den Zustand i in den Zustand j überführen, wobei nur Zustände von 0 bis k als Zwischenzustände vorkommen (dürfen). Wg. i, j {1,..., n} und k {0,..., n} bedeutet L 0 ij den direkten Übergang, also ohne einen Zwischenzustand, von i nach j. Pumping-Lemma für reguläre Mengen Formulierung und Erläuterung des Pumping-Lemmas für reguläre Mengen (5) Sei L W(Σ) regulär. Dann existiert ein n N, so daß für alle t, z, t' W(Σ) mit z = n und tzt' L gilt: Es gibt Worte u, v, w W(Σ) mit v ε und z = uvw, so daß für alle i N gilt: tuv i wt' L.

21 Zusammenstellung von Fragen der Vordiplomsprüfung Theoretische Informatik Seite 21 Sei L W(Σ) regulär. Dann gilt: ( n N) t, z, t' W(Σ) mit z = n und tzt' L. u, v, w W(Σ). v ε. z = uvw. ( i N) tuv i wt' L. Das Pumping-Lemma stellt eine notwendige Eigenschaft regulärer Sprachen dar. Sprachen, die diese Eigenschaft nicht besitzen, können nicht regulär sein. Wie beweist man, daß eine Sprache nicht regulär ist? Formal: Mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Dabei wird ein Widerspruchsbeweis geführt, indem zunächst angenommen wird, daß eine Sprache L regulär ist. Dann wird nachgewiesen, daß die Folgerung aus dem Pumping-Lemma nicht erfüllt ist, also ein Widerspruch zur Annahme besteht. Für den Widerspruchsbeweis genügt es, für eine Zerlegung eines Wortes tzt' L zu zeigen, daß es keine Zerlegung z = uvw gibt, für die tuv i wt' L gilt. Anschaulich: Reguläre Sprachen werden von endlichen Automaten (EA) erkannt. Um einen Ausdruck a n b n (n N beliebig) zu erkennen, muß der EA zwei Schleifen besitzen. Da der EA kein "Gedächtnis" hat, kann er aber nicht die Anzahl der Durchläufe einer Schleife zählen und auch nicht die Anzahlen der Durchläufe verschiedener Schleifen miteinander vergleichen. Also kann a n b n nicht regulär sein. Ist L = { w$w w W({0, 1}) } regulär? (1995!) Nein. Beweis mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Ist L = { a m b n m n } regulär? (3) Nein. Beweis mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Ist die Menge { a m ba n m n } regulär? (2) Gründe für die eigene Meinung Beweisidee mit Pumping-Lemma Ist die Menge { a n ba m 2m = n } regulär? Nein. Beweis mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Ist L = { a i b j c k i j k } regulär? (2) Nein. Beweis mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. Ist L = { a i bc j de k i j k } regulär? Falls nicht: Nachweis wodurch? Nein. Nachweis mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen. L = { a m ba n m n }. Was können Sie zu dieser Sprache sagen? (2) nicht regulär, aber kontextfrei Kontextfreie Sprachen Wann ist eine Sprache kontextfrei? Kontextfreie Sprachen, Definition, Darstellungsformen, Pumping-Lemma nur verbale Erläuterungen, keine schriftlichen Details Wie sieht die Regelmenge für eine kontextfreie Grammatik aus? (2) Welche Form haben die Regeln in einer kontextfreien Grammatik? R Π x W(Σ Π) Was ist die Chomsky-Normalform? Wie sieht die Normalform aus? Chomsky-Normalform: R Π x (W 2 (Π) Σ), d.h. A BC oder A a Greibach-Normalform: R Π x (Σ ì W(Π)), d.h. A a, A ab oder A abc...z Bei beiden Normalformen gilt jeweils ε L(G). Es ist jedoch möglich, zu einer