Informatik IC2. Balazs Simon

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Informatik IC2. Balazs Simon 2005.03.26."

Transkript

1 Informatik IC2 Balazs Simon

2 Inhaltsverzeichnis 1 Reguläre Sprachen Reguläre Sprachen und endliche Automaten Determinisieren Specifizieren Aufgaben Minimalisieren Equivalenz der regulären Grammatiken und der endlichen Automaten Aufgaben Bemerkungen In zwei Richtung bewegender Automat Reguläre Sprachen als Mengen

3 Kapitel 1 Reguläre Sprachen 1.1 Reguläre Sprachen und endliche Automaten Eine Reguläre Sprache lässt sich durch eine Grammatik von der 3. Sprachenklasse generiert. Die Automaten, die die Enthaltungsproblem dieser Sprachen lösen kann, heissen endliche Automaten. Ein endliche Automat ist die einfachste aus der Automaten, es kann nur lesen und es hat kein Memory. Es hat eine endliche Zustandsraum, so kommt der Name. Mathematische Definition: wo Q ist die Menge der Zustanden Σ ist die Alphabet der Sprache M(Q, Σ, δ, q 0, F ) δ ist die Menge der Bewegungsregeln, es ist auch endlich q 0 Q ist die Anfangszustand des Automats F Q ist die Menge der akzeptierenden Zustanden Die Bewegungsregeln: Q Σ Q (Chartesichen Produkt von Zustände und der Alphabet.) Es gibt eine Abbildung von Zustand-Charakter Paaren zu Zustände. Diese Abbildung muss nicht unbedingt volständig sein, und es kann auch nicht eindeutig sein. Definitionen: Deterministischer Automat: zu jede Zustand-Charakter Paar gehört höchstens 1 Bewegingsregeln, die Bewegung der Automat ist eindeutig Nicht deterministischer Automat: zu einige Zustand-Charakter Paaren gehören mehr als 1 Bewegingsregeln, der Automat kann in einer beliebiger Richtung weitergehen Völlig specifizierte Automat: zu jede Zustand-Charakter Paar gehört mindestens 1 Bewegingsregeln Nicht völlig specifizierte Automat: zu einige Zustand-Charakter Paaren gehören kein Bewegingsregeln Bewegung: wenn wir ein Bewegungsregel verwenden, lesen wir ein Charakter von der Band, und der nächste Charakter wird aktiv sein 3

4 4 KAPITEL 1. REGULÄRE SPRACHEN Akzeptierung: es hat 2 Bedingungen, beide müssen erfüllt sein. Der Automat muss die ganze Zeichenkette durchlesen, und nach der Einlesen der letzte Charakter befindet sich es in akzeptierenden Zustand. Die erste Bedingung ist darum wichtig, weil es kann passieren, dass für eine gewisse Zustand-Charakter Paar kein Bewegiungsregel existiert, der Automat haltet ohne die Zeichenkette durchzulesen. Ablehnung: Der Automat haltet ohne die Zeichenkette durchzulesen oder es haltet in ein nicht akzeptierende (Ablehnung-)Zustand. Abschreiben der Automat: grapisch, als ein gerichteter Graph Knotenpunkten: Zustände (Anfang, Akzeptieren, Ablehnen) Kanten: Bewegungsregeln: δ(a, b) = B Beispiele für deterministische, nicht deterministishe, völlig specifizierte, nicht völlig specifizierte Automaten, für den Sprache a i b j c k 1.2 Determinisieren Deterministischer Automat: zu jede Zustand-Charakter Paar gehört höchstens 1 Bewegingsregeln, die Bewegung der Automat ist eindeutig Nicht deterministischer Automat: zu einige Zustand-Charakter Paaren gehören mehr als 1 Bewegingsregeln, der Automat kann in einer beliebiger Richtung weitergehen Die deterministischer Automaten bilden eine Teilmenge der nichtdeterministischen Automaten. Frage: ist es eine echte Teilmenge, oder die zwei Mengen sind equivalent? Die sind equivalent, wir geben ein konstruktieves Beweis. Folgen die Zustandswechseln einer deterministischen Automat: wir nehmen eine Münze und plazieren es in die Anfangszustand. Für die Bewegungsregeln bewegen wir die Münze in der nächste Zustand. Falls wir nicht weitergehen können und wir noch nicht die ganze Zeichenkette durchlesen könnte, dann ablehnen wir. Falls wir die ganze Zeichenkette durchgelesen haben und die Münze ist in einer Akzeptierungszustand, dann akzeptieren wir die Zeichenkette. Was können wir machen beim nichtdeterministische Automaten? Wir sollen akzeptieren, wenn es eine solche Bewegungsfolge existiert, dass wir den ganze Zeichenkette durchgelesen haben und wir in einem Akzeptierenzustand sind. Wir nehmen auch eine Münze und plazieren es in die Anfangszustand. Falls wir die Münze nicht eindeutig bewegen können, nehmen wir die Münze ab, und plazieren wir neue Münzen in alle Zustände auf, die von der originale Zustand (oder Zustände) durch die aktuelle Bewegungsregeln erreichtbar sind. So können wir alle mögliche Benehmen der Automat folgen. Am Ende, wenn wir die ganze Zeichenkette durchgelesen haben, und mindesens eine Münze in einer Akzeptierungszustand ist, dann akzeptieren wir die Zeichenkette. Das grosse Unterschied: bei den deterministischen Automaten hatten wir immer eine Zustand, die wir erreichen konnten, bei den nichtdeterministischen Automaten haben wir eine Menge von Zustanden. Wir können eine neue Automat definieren, dessen Zustände sind die Mengen, die wir beim Folgen der Bewegungen bekommen hatten.

5 1.2. DETERMINISIEREN 5 Der undeterministische Automat: wo Q ist die Menge der Zustanden Σ ist die Alphabet der Sprache M(Q, Σ, δ, q 0, F ) δ ist die Menge der Bewegungsregeln, es ist auch endlich q 0 Q ist die Anfangszustand des Automats F Q ist die Menge der akzeptierenden Zustanden Mathematische Beschreibung den neuen Automat: wo M (Q, Σ, δ, q 0, F ) Q 2 Q ist eine Teilmenge der Potenzmenge von Q, Q Σ = Σ ist die Alphabet der Sprache δ (p, a) = δ(q, a), wo p ist der Zustand des neuen Automats: wir nehmen alle originale q p Zustände von p, lesen wir a und der neue Zustand des deterministischen Automats ist die Menge der neuen Zustände des undetermischen Automats q 0 = q 0 ist die Anfangszustand des Automats F = {p p F } ist die Menge der Zustanden p, in denen solche Elemente es gibt, die in dem undeterministischen Automat akzeptierende Zustände sind Wir müssen nicht alle 2 Q Zustände aufnehmen, nur die, die eigentlich vorkommen. Beispiele: 1. a i b j c k 2. Nehmen wir eine Sprache, der solche Zeichenketten enthält, in denen aa oder bb als Teilzeichenketten vorkommt. Bilden wir einen deterministischer Automat für diese Sprache! Bemerkungen: Der deterministische Automat hat 9 Zuständen statt 2 5 = 32 Zustände. Der deterministische Automat hat mehr Zustände, als der nichtdeterministische, aber es ist nicht obligatorisch. Es kann vorkommen, dass es weniger Zustände hat. Wir können über deterministische Grammatiken und auch über deterministische Sprachen sprechen. 1. Eine Grammatik ist deterministisch, falls der zugehörige Automat deterministisch ist. 2. Eine Sprache ist determinisch, falls es eine deterministiche Grammatik existiert, die diese Sprache akzeptiert. Wir haben bewiesen, dass wir zu jedem nichtdeterminischen Automat einen deterministischen Automat auch konstruieren können, deshalb die deterministische Automaten bedecken die Sprachenklasse 3. Wir können unser Ergebnis auch so sagen, dass die deterministische Grammatiken können die ganze 3. Sprachenklasse generieren, also die reguläre Sprachen sind deterministische Sprachen.

6 6 KAPITEL 1. REGULÄRE SPRACHEN 1.3 Specifizieren Wenn ein Automat nicht völlig specifiziert, das bedeutet, dass es solche Zustand-Charakter Paar existiert, zu dem keine Bewegungsregen gibt. Führen wir einen neuen T Trap Zustand ein, der nicht akzeptierender Zustand ist. Für jede solche Zustand-Charakter Paaren, wofür keine Bewegungsregen existieren, ergänzen wir unsere Regeln mit einer solchen Regel, die für diese Zustand-Charakter Paar den Automat in den T Zustand bringt. Wir machen es für alle solche Zustand-Charakter Paaren. Der Zustand T wird immer in T bleiben für alle gelesene Charaktere, wir können nie ausgehen. Der neue Automat wird dieselbe Sprache akzeptieren, wie der originale. Falls der originale Automat haltet ohne die Zeichenkette durchzulesen, wird der neue in den Trap Zustand gehen, und dort bleiben. Wegen dieser Zustand einen Ablehnungszustand ist, wird die Zeichenkette nicht akzeptiert. Falls der originale Automat die Zeichenkette akzeptiert hat, wird der neue Automat auch akzeptieren. Beispiele: 1. a i b j c k 2. Nehmen wir eine Sprache, der solche Zeichenketten enthält, in denen aa oder bb als Teilzeichenketten vorkommt. Bilden wir einen völlig spezifizierten Automat für diese Sprache! Das bedeutet, dass wir können einen beliebigen Automat haben, wir können einfach eine deterministische und völlig spezifizierte Automat von ihnen konstruieren. 1.4 Aufgaben Geben wir deterministische und völlig specifizierte Automaten für die folgende Sprachen: 1. L = {w {a, b} in w: a ist mit 3 teilbar, b ist gerade} 2. L = {w {a, b} in w der 3. Charakter von hinten ist b } 3. L = {w {a, b} in w zwei a Charakters sind nie benachbart} 1.5 Minimalisieren Fragen: 1. Wie können wir die einfachste deterministische und völlig spezifizierte Automaten einer Sprache finden? (einfachste bedeutet, dass es möglichst wenig Zustände hat: es existiert, weil einen endliche Automat endlich viele Zustände hat) 2. Ist dieser einfachste Automat eindeutig, oder können mehrere solcher Automaten existieren? Antwort: ja, es ist unikal und ist als Minimalautomat der Sprache genannt Wir werden wieder ein konstruktieves Beweis geben. Wir haben einen deterministiche und völlig spezifizierte Automat, und wir möchten es minimalisieren. Zu jeder Zustand des Automats ordnen wir eine Sprache. Diese Sprache ist durch einen solchen Automat akzeptiert, die identisch mit dem originalen Automat ist, aber es hat den neuen Zustand als Anfangszustand. Zu den originalen Anfangszustand gehört dieselbe Sprache, wie vorher. Bezeichnung: zu dem Zustand A gehört die Sprache L A. Führen wir eine Relation ein. Die Zustände A und B sind in Relation, falls L A = L B gilt. Diese Relation ist equivalenzrelation: es ist reflexiv (A A), symmetrisch (A B B A) und auch transitiv (A B B C A C).

7 1.6. EQUIVALENZ DER REGULÄREN GRAMMATIKEN UND DER ENDLICHEN AUTOMATEN7 Diese Relation ordnet die Menge der Zustände in Equivalenzklassen. Zwei Zustände A und B sind in dieselbe Equivalenzklasse, falls sie gemeinsame generierte Sprachen haben. Also wir können sie nicht unterscheiden, es gibt keine Zeichenkette, die dieser Zustände unterscheidet. Wenn wir eine Zeichenkette aus A oder aus B startet durchlesen möchten, dann wird der Automat aus beide Zustände startet entweder akzeptieren oder ablehnen. Falls C und D nicht in dieselbe Equivalenzklasse sind, existiert eine solche Zeichenkette, die von C und D startet bekommen wir Akzeptierung in einem Fall und Ablehnung in dem anderen Fall. Existierte solche Zeichenkette nicht, könnten wir C und D nicht unterscheiden. Sie wären in dieselbe Equivalenzklasse. Es wäre logisch, wenn wir statt jede Equivalenzklasse nur einen einzige Zustand aufnehmen, weil wir die Zustände dieser Equivalenzklasse nicht unterscheiden können. Dieser neuen Automat wird der Minimalautomat sein. Wie können wir die Equivalenzklassen in endliche Schritten finden? Führen wir eine neue Relation ein: sei zwei Zustände i equivalent, falls wir sie mit höchstens i lange Zeichenketten nicht unterscheiden können. Die originale Relation bedeutet, dass i. Aus der i Equivalenzklassen können wir die i + 1 Equivalenzklassen einfach finden. Falls zwei Zuständen nicht i equivalent sind, werden sie auch nicht i + 1 equivalent sein (wir könnten sie mit i lange Zeichenketten unterscheiden, aber nicht mit i + 1 lage). Wir müssen nur darauf beachten, wenn in einer i Equivalenzklasse mehr als 1 Zustand ist. Diese Klasse kann zerfallen, wenn wir eine neue Character einlesen. Eine Klasse zerfällt, falls wir aus zwei Zustände dieser Klasse in zwei verchiedene i Equivalenzklasse gehen, wenn wir eine neue Charakter einlesen. Falls die i und i + 1 Equivalenzklassen gleich sind, dann werden die spätere Equivalenzklassen auch so aussehen, wir können später sie auch nicht unterscheiden, also die sind gleich mit der Equivalenzklassen. Wir anfangen mit der 0 Equivalenzklasse, wir haben die Zeichenkette ɛ. Es gibt zwei Klassen: Akzeptierung- und Ablehnungzustände. Bei jeder schritt können einige Klassen zerfallen. Falls diese in einer Schritt nicht passiert, dann sind wir fertig. Also wir brauchen höchstens Q Schritten die Equivalenzklassen zu bestimmen. Die Minimalautomat ist unikal, aber wir werden es nicht beweisen. Beispiele: 1. a i b j c k 2. Nehmen wir eine Sprache, der solche Zeichenketten enthält, in denen aa oder bb als Teilzeichenketten vorkommt. Bilden wir einen Minimalautomat für diese Sprache! 1.6 Equivalenz der regulären Grammatiken und der endlichen Automaten Satz. Durch die regulären Grammatiken generierte Sprachen sind equivalent mit durch die endlichen Automaten generierte Sprachen. Wir nehmen den Beweis nicht, nur die Konstruktion für linksreguläre Grammatiken. Es ist ähnlich für rechtsreguläre Grammatiken auch. Die 2 Arten von Regeln bei linksregulären Grammatiken: A ab, A a. 1. : Gegeben sei einen Automat. Konstruieren wir einen Grammatik aus dieser Automat. Σ wird die gleiche sein für die Grammatik. Zu die Zustände der Automat ordnen wir eine Nichtterminalsymbol in der Grammatik zu. Statt eine δ(a, a) = B Regel ordnen wir eine A ab Regel zu. Für jede Akzeptierungszustand führen wir eine A ɛ ein. Falls wir eine solche Regel benutzen, wird das Nichtterminalsymbol verschwinden, und der Satz ist fertig.

8 8 KAPITEL 1. REGULÄRE SPRACHEN 2. : Wir werden die Grammatik so ändern, dass die akzeptierte Sprache bleibt die selbe. Führen wir eine neue Nichtterminalsymbol E ein, und die zugehörige Regel sei E ɛ. Falls wir eine Regel in Form A a haben, nehmen wir statt dieser Regel A ae. Zu jede Nichtterminalsymbol nehmen wir eine Zustand in dem Automat. E wird der Akzeptierungszustand, alle andere Zustände werden Ablehnungszustände sein. Zu eine Regel A ab ordnen wir eine Regel δ(a, a) = B. Wenn existiert auch eine Regel A ɛ), dann wird A auch Akzeptierungszustand sein. Beispiele: 1. Konstruieren wir einen Automat für die Sprache, die durch den folgenden Grammatik generiert werden kann: S as bb b A aa a bc B bb b aa a C bc as 2. Konstruieren wir einen Grammatik für die Sprache, die durch den folgenden Automat akzeptiert werden kann: (die Automat der gerade Anzahl von a-s und b-s akzeptiert) 1.7 Aufgaben Minimalisieren wir den folgenden Automaten: 1. Anfangszustand: A, Akzeptierungszustand: B δ(a, 0) = A, B δ(a, 1) = B δ(b, 0) = A δ(b, 1) = B 2. Anfangszustand: A, Akzeptierungszustände: D und F δ(a, 0) = E δ(a, 1) = B δ(b, 0) = C δ(b, 1) = B δ(c, 0) = D δ(d, 1) = D δ(e, 0) = F δ(f, 1) = D 3. Anfangszustand: A, Akzeptierungszustände: C,D,F,G und H δ(a, a) = E δ(a, b) = C δ(b, a) = H δ(b, b) = A δ(c, a) = C δ(c, b) = G δ(d, a) = D δ(d, b) = H δ(e, a) = H δ(e, b) = F δ(f, a) = F δ(f, b) = D δ(g, a) = D δ(g, b) = F δ(h, a) = H δ(h, b) = H

9 1.8. BEMERKUNGEN Bemerkungen In zwei Richtung bewegender Automat Es existieren solche endliche Automaten, die in beide Richtungen lesen können. Es kann bewiesen werden, dass dieser Automaten dieselbe Kraft haben, wie die Automaten, die nur in einer Richtung lesen Reguläre Sprachen als Mengen Eine Sprache L ist eine Menge von Sätze. Deshalb können wir die Mengeoperationen auch für die Sprachen betrachten. Die Operationen sind die folgenden: Σ ist das Universum L ist das Komplement der Sprache L: L = Σ L L 1 L 2 ist die Union zweier Sprachen L 1 L 2 ist der Durchschnitt zweier Sprachen L 1 L 2 (oder kürzer: L 1 L 2 ) ist die Konkatenierte zweier Sprachen L ist die transitive Hülle einer Sprache: L = L i i=0 Falls wir Σ als eine Sprache nehmen, dann Σ ist die transitive Hülle von dieser Sprache: es enthält alle mögliche Zeichenketten, die aus Charaktere von Σ stehen. Es kann bewiesen sein, dass die reguläre Sprachen für alle dieser Operationen geschlossen sind. Also wenn wir eine dieser Operationen verwenden, bekommen wir wieder eine reguläre Sprache. Später werden wir sehen, dass nicht alle Sprachenklassen geschlossen für diese Operationen sind.

Grammatiken. Einführung

Grammatiken. Einführung Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel. Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de

Mehr

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik I Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Logik

Mehr

Informatik IC2. Balazs Simon

Informatik IC2. Balazs Simon Informatik IC2 Balazs Simon Inhaltsverzeichnis 1 Contextfreie Sprachen 3 1.1 Ableitungsbaum..................................... 3 1.2 Schönheit........................................ 4 1.3 Normalformen......................................

Mehr

Sprachen/Grammatiken eine Wiederholung

Sprachen/Grammatiken eine Wiederholung Sprachen/Grammatiken eine Wiederholung Was sind reguläre Sprachen? Eigenschaften regulärer Sprachen Sprachen Begriffe Symbol: unzerlegbare Grundzeichen Alphabet: endliche Menge von Symbolen Zeichenreihe:

Mehr

Was bisher geschah: Formale Sprachen

Was bisher geschah: Formale Sprachen Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln

Mehr

Vorlesung Theoretische Informatik

Vorlesung Theoretische Informatik Vorlesung Theoretische Informatik Automaten und Formale Sprachen Hochschule Reutlingen Fakultät für Informatik Masterstudiengang Wirtschaftsinformatik überarbeitet von F. Laux (Stand: 09.06.2010) Sommersemester

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

Deterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395

Deterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395 Deterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395 Turing-Machine Wir suchen ein Modell zur formalen Definition der Berechenbarkeit von Funktionen und deren Zeit- und Platzbedarf. Verschiedene Modelle

Mehr

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation 4. Relationen Relationen spielen bei Datenbanken eine wichtige Rolle. Die meisten Datenbanksysteme sind relational. 4.1 Binäre Relationen Eine binäre Relation (Beziehung) R zwischen zwei Mengen A und B

Mehr

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen 19

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen 19 Inhalt 1 inführung 2 Automatentheorie und ormale prachen Grammatiken Reguläre prachen und endliche Automaten Kontextfreie prachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und yp 0-prachen 3 Berechenbarkeitstheorie

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 8: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/37 Überblick Kontextfreie Grammatiken

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit

Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Sommersemester 2011 Dozent: Prof. Dr. J. Rothe, Prof. Dr. M. Leuschel J. Rothe (HHU Düsseldorf)

Mehr

Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen

Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Thorsten Haupt Betreuer: Tim Priesnitz -Proseminar Theorie kommunizierender Systeme SS 24- Prof. Gert Smolka, PS-Lab, Universität des Saarlandes

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Reguläre Sprachen und endliche Automaten

Reguläre Sprachen und endliche Automaten Reguläre Sprachen und endliche Automaten 1 Motivation: Syntaxüberprüfung Definition: Fließkommazahlen in Java A floating-point literal has the following parts: a whole-number part, a decimal point (represented

Mehr

THEORETISCHE INFORMATIK

THEORETISCHE INFORMATIK THEORETISCHE INFORMATIK Vorlesungsskript Jiří Adámek Institut für Theoretische Informatik Technische Universität Braunschweig Januar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Automaten 1 1.1 Mathematische Grundbegriffe.......................

Mehr

Mathematische Grundlagen der Informatik 2

Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Zusammenfassung Math2I Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Emanuel Duss emanuel.duss@gmail.com 12. April 2013 1 Zusammenfassung Math2I Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Dieses Dokument basiert

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

7. Formale Sprachen und Grammatiken

7. Formale Sprachen und Grammatiken 7. Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur Verarbeitung von Daten und Informationen künstliche, formale Sprachen (Maschinenspr., Assemblerspachen, Programmierspr., Datenbankspr., Wissensrepräsentationsspr.,...)

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG

Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August

Mehr

Formale Sprachen und Grammatiken

Formale Sprachen und Grammatiken Formale Sprachen und Grammatiken Jede Sprache besitzt die Aspekte Semantik (Bedeutung) und Syntax (formaler Aufbau). Die zulässige und korrekte Form der Wörter und Sätze einer Sprache wird durch die Syntax

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur

Mehr

Programmiersprachen und Übersetzer

Programmiersprachen und Übersetzer Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch

Mehr

Aufgabentypen die in der Klausur vorkommen

Aufgabentypen die in der Klausur vorkommen Aufgabentypen die in der Klausur vorkommen können 1. Nennen Sie fünf wichtige Anwendungsgebiete der Computerlinguistik. 2. Für welches der drei Anwendungsgebiete Maschinelle Übersetzung, Rechtschreibkorrektur

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Tutorium 4 26..25 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Mehr

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 20.12.07 Bastian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Rückblick Semi-Thue-Systeme Ein Semi-Thue-System besteht

Mehr

Die mathematische Seite

Die mathematische Seite Kellerautomaten In der ersten Vorlesung haben wir den endlichen Automaten kennengelernt. Mit diesem werden wir uns in der zweiten Vorlesung noch etwas eingängiger beschäftigen und bspw. Ansätze zur Konstruktion

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Tutorium 27 29..24 FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Definition

Mehr

Formale Sprachen. Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen. Rudolf Freund, Marian Kogler

Formale Sprachen. Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen. Rudolf Freund, Marian Kogler Formale Sprachen Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen Rudolf Freund, Marian Kogler Es gibt reguläre Sprachen, die nicht von einer nichtregulären kontextfreien Grammatik erzeugt werden können.

Mehr

Die Komplexitätsklassen P und NP

Die Komplexitätsklassen P und NP Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und

Mehr

Kapitel 0: Grundbegriffe Gliederung

Kapitel 0: Grundbegriffe Gliederung Gliederung 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechenbarkeitstheorie 4. Komplexitätstheorie 5. Kryptographie 0/2, Folie 1 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

Mehr

Automaten und Formale Sprachen SoSe 2007 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Automaten und Formale Sprachen SoSe 2007 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Automaten und Formale Sprachen SoSe 2007 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Automaten und Formale Sprachen Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Endliche

Mehr

Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie

Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) besteht aus endlichem Alphabet Σ endlicher Variablenmenge V mit V Σ= Startsymbol SєV endlicher Menge R с (V Σ) + x(v Σ)* von Ableitungsregeln

Mehr

Reguläre Sprachen Endliche Automaten

Reguläre Sprachen Endliche Automaten Endliche Automaten (Folie 54, Seite 16 im Skript) Einige Vorteile endlicher deterministischer Automaten: durch Computer schnell simulierbar wenig Speicher benötigt: Tabelle für δ (read-only), aktueller

Mehr

4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls

4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls 4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls δ(q, a, Z) + δ(q, ɛ, Z) 1 (q, a, Z) Q Σ. Die von einem DPDA, der mit leerem Keller akzeptiert,

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informatik Woche 10 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Satz Sei G = (V, Σ, R, S) eine kontextfreie

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Tutorium 7

Grundbegriffe der Informatik Tutorium 7 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 7 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 16. Dezember 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 23. November 2017 1/40 Satz 4.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für

Mehr

GTI. Hannes Diener. 6. Juni - 13. Juni. ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de

GTI. Hannes Diener. 6. Juni - 13. Juni. ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de GTI Hannes Diener ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de 6. Juni - 13. Juni 1 / 49 Die Turingmaschine war das erste (bzw. zweite) formale Modell der Berechenbarkeit. Sie wurden bereits 1936 (also lange

Mehr

Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche. Automaten

Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche. Automaten Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche Automaten Prof.-Dr. Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft Universität Wien, Liechtensteinstraße 22 090 Wien Tel. : 0/4277 38825 E-mail : brezany@par.univie.ac.at

Mehr

Theoretische Informatik I

Theoretische Informatik I Theoretische Informatik I Einheit 2.4 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibungsformen für Sprachen Mathematische Mengennotation Prädikate beschreiben Eigenschaften

Mehr

Formalismen für REG. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen. Das Pumping Lemma. Abschlusseigenschaften

Formalismen für REG. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen. Das Pumping Lemma. Abschlusseigenschaften Formalismen für RE Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Satz Zu jeder regulären Sprache L gibt es einen DFA A mit L(A) =

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Das Pumping-Lemma Formulierung

Das Pumping-Lemma Formulierung Das Pumping-Lemma Formulierung Sei L reguläre Sprache. Dann gibt es ein n N mit: jedes Wort w L mit w n kann zerlegt werden in w = xyz, so dass gilt: 1. xy n 2. y 1 3. für alle k 0 ist xy k z L. 59 / 162

Mehr

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012 Die Klassen P und NP Dr. Eva Richter 29. Juni 2012 1 / 35 Die Klasse P P = DTIME(Pol) Klasse der Probleme, die sich von DTM in polynomieller Zeit lösen lassen nach Dogma die praktikablen Probleme beim

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 9. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/23

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 9. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/23 1/23 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 9. Januar 2008 2/23 Automaten (informell) gedachte Maschine/abstraktes Modell einer Maschine verhält sich

Mehr

Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I. Skript zur Vorlesung im WS 2001/02 an der TU München

Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I. Skript zur Vorlesung im WS 2001/02 an der TU München Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I Skript zur Vorlesung im WS 2001/02 an der TU München Ekkart Kindler Steffen Manthey Version: 1.30 vom 30. April 2002 ii Redaktioneller Hinweis: Es gibt

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 12 Zusammenfassung

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 12 Zusammenfassung Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 12 Zusammenfassung Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 13. Mai 2014 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/17 Überblick Wir hatten

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik. Vorlesung am 02. November INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Theoretische Grundlagen der Informatik. Vorlesung am 02. November INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 2. November 27 2..27 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik KIT Die Forschungsuniversität in der Vorlesung am 2. November 27 Helmholtz-Gemeinschaft

Mehr

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Ulrich Loup 24.03.2006 Prüfungsstoff: Alegebra I, Analysis IV, Graphentheorie I Prüfer: Prof. Dr. Wilhelm Plesken Protokollant: Dipl.

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Für jede Sprache L X sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Für jede Sprache L X sind die folgenden Aussagen äquivalent: Was bisher geschah Für jede Sprache L X sind die folgenden Aussagen äquivalent: Es existiert ein NFA A mit L = L(A) (L REC(NFA)). Es existiert ein vollständiger NFA B mit L = L(B). Es existiert ein ε-nfa

Mehr

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN im Wintersemester 2000/2001 Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans (Betreuer) Vortrag vom 15.11.2000 von Jan Schmitt Thema : Finden eines

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Software Engineering Ergänzung zur Vorlesung

Software Engineering Ergänzung zur Vorlesung Ergänzung zur Vorlesung Prof. Dr. Markus Müller-Olm WS 2008 2009 2.6.1 Endliche und reguläre Sprachen Endliche und reguläre Sprache: fundamental in vielen Bereichen der Informatik: theorie Formale Sprachen

Mehr

Reguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer,

Reguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer, Reguläre Sprachen Reguläre Sprachen (Typ-3-Sprachen) haben große Bedeutung in Textverarbeitung und Programmierung (z.b. lexikalische Analyse) besitzen für viele Entscheidungsprobleme effiziente Algorithmen

Mehr

Kontextfreie Grammatiken

Kontextfreie Grammatiken Kontextfreie Grammatiken Bisher haben wir verschiedene Automatenmodelle kennengelernt. Diesen Automaten können Wörter vorgelegt werden, die von den Automaten gelesen und dann akzeptiert oder abgelehnt

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

1. Welche der folgenden Aussagen zur Entscheidbarkeit beziehungsweise Unentscheidbarkeit

1. Welche der folgenden Aussagen zur Entscheidbarkeit beziehungsweise Unentscheidbarkeit 1. Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der folgenden Aussagen zur Entscheidbarkeit beziehungsweise Unentscheidbarkeit ist richtig? A. Keine der Aussagen. B. Eine Menge oder ihr Komplement

Mehr

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume 2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle

Mehr

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 1. Automaten und Sprachen 1.1 Endlicher Automat Einen endlichen Automaten stellen wir uns als Black Box vor, die sich aufgrund einer Folge von

Mehr

1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen. I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen.

1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen. I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen. 1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen. - 1 - 1. Der Begriff Informatik "Informatik" = Kunstwort aus Information und Mathematik

Mehr

1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,

1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln, Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs

Mehr

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen / Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen / Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Inhalt 1 Einführung 2 Automatentheorie und Formale Sprachen Grammatiken Reguläre Sprachen und endliche Automaten Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen 3 Berechenbarkeitstheorie

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Endliche Automaten. Endliche Automaten J. Blömer 1/23

Endliche Automaten. Endliche Automaten J. Blömer 1/23 Endliche Automaten Endliche Automaten sind ein Kalkül zur Spezifikation von realen oder abstrakten Maschinen regieren auf äußere Ereignisse (=Eingaben) ändern ihren inneren Zustand produzieren gegebenenfalls

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

5.2 Endliche Automaten

5.2 Endliche Automaten 114 5.2 Endliche Automaten Endliche Automaten sind Turingmaschinen, die nur endlichen Speicher besitzen. Wie wir bereits im Zusammenhang mit Turingmaschinen gesehen haben, kann endlicher Speicher durch

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Formale Sprachen. Spezialgebiet für Komplexe Systeme. Yimin Ge. 5ahdvn. 1 Grundlagen 1. 2 Formale Grammatiken 4. 3 Endliche Automaten 5.

Formale Sprachen. Spezialgebiet für Komplexe Systeme. Yimin Ge. 5ahdvn. 1 Grundlagen 1. 2 Formale Grammatiken 4. 3 Endliche Automaten 5. Formale Sprachen Spezialgebiet für Komplexe Systeme Yimin Ge 5ahdvn Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Formale Grammatien 4 Endliche Automaten 5 4 Reguläre Sprachen 9 5 Anwendungen bei Abzählproblemen

Mehr

Kapitel 2: Formale Sprachen Kontextfreie Sprachen. reguläre Grammatiken/Sprachen. kontextfreie Grammatiken/Sprachen

Kapitel 2: Formale Sprachen Kontextfreie Sprachen. reguläre Grammatiken/Sprachen. kontextfreie Grammatiken/Sprachen reguläre Grammatiken/prachen Beschreibung für Bezeichner in Programmiersprachen Beschreibung für wild cards in kriptsprachen (/* reguläre Ausdrücke */)?; [a-z]; * kontextfreie Grammatiken/prachen Beschreibung

Mehr

Grundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik

Grundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik Grundlagen der Informatik II Teil I: Formale Modelle der Informatik 1 Einführung GdInfoII 1-2 Ziele/Fragestellungen der Theoretischen Informatik 1. Einführung abstrakter Modelle für informationsverarbeitende

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten

Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten Universität Freiburg PD Dr. A. Jakoby Sommer 27 Übungen zum Repetitorium Informatik III Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten. Untersuchen Sie das folgende Spiel: A B x x 2 x 3 C D Eine Murmel

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

Kurzanleitung. SpaceController

Kurzanleitung. SpaceController Kurzanleitung SpaceController V ielen Dank, dass Sie sich für den SpaceController entschieden haben. Natürlich haben Sie hinreichende Erfahrung in der Installation von Treibern und Software. Dennoch sollten

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr