Was bisher geschah: Formale Sprachen

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1 Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln und -systeme Aleitungen, Aleitungsgraph durch Wortersetzungssysteme definierte Sprachen Wortprolem in Wortersetzungssystemen im Allgemeinen nicht algorithmisch lösar, aer algorithmisch lösar für nichtverlängernde Systeme nichtverkürzende Systeme Grammatiken Terminal-, Nichtterminalsymole Aleitungen in Grammatiken durch Grammatiken definierte Sprachen Äquivalenz von Grammatiken Chomsky-Hierarchie für Grammatiken und Sprachen 70

2 Wortprolem für Typ-1-Sprachen gegeen : Grammatik G = (N, T, P, S) vom Chomsky-Typ 1, Wort w T Frage : Gilt w L(G)? Satz Es existiert ein Algorithmus, welcher für jede elieige Eingae (G, w), woei T ein endliches Alphaet, w T und G eine monotone Grammatik (Chomsky-Typ 1) üer T sind die Wahrheit der Aussage w L(G) korrekt eantwortet. (folgt aus entsprechendem Satz für nichtverkürzende Wortersetzungssysteme) demnächst spezielle (effizientere) Verfahren für Grammatiken vom Chomsky-Typ 2 und 3 71

3 Dyck-Sprache Klammerpaar ( und ) Dyck-Sprache: Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke erzeugt durch Grammatik Beispiele: ()(()()) L(G) ())( L(G) ε L(G) Achtung: G hat Chomsky-Typ 0 G = ({S}, {(, )}, P, S) mit S ε P = S SS S (S) Dyck-Sprache hat Chomsky-Typ 2 72

4 Allgemeine Dyck-Sprachen Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke mit n Paaren von Klammern: ( i, ) i für i {1,..., n} erzeugt durch Grammatik G = ({S}, {( i, ) i i {1,..., n}}, P, S) mit { } S ε P = {S ( S SS i S) i i {1,..., n}} Symole müssen nicht notwendig Klammern sein, z.b. aacdacaadcad Dyck-Sprache mit a statt ( 1, statt ) 1, c statt ( 2 und d statt ) 2 73

5 Beispiel HTML mehrere Paare öffnender und schließender Klammern (Tags) <html> <head> <title> Theoretische Informatik </title> </head> <ody> <h1> Theoretische Informatik </h1>... </ody> </html> 74

6 Wiederholung: azählare Mengen (Mathematik 1. Semester) Eine Menge M heißt genau dann azählar, wenn sie höchstens so mächtig wie N ist. (also eine surjektive Funktion f : N M existiert) Mit dem ersten Diagonalverfahren von Cantor lässt sich z.b. zeigen: Z und Q sind azählar. Für jedes endliche Alphaet A ist die Menge A aller Wörter üer A azählar. Für jedes endliche Alphaet A ist jede Sprache L A azählar. Mengen, die nicht azählar sind, heißen üerazählar. 75

7 Beispiele üerazählarer Mengen Mit dem zweiten Diagonalverfahren von Cantor lässt sich zeigen: R ist üerazählar (mächtiger als N). (Es git üerazählar viele reelle Zahlen.) [0, 1] R ist üerazählar. (Intervall [0, 1] enthält üerazählar viele reelle Zahlen.) 2 N (Menge aller Mengen natürlicher Zahlen) ist mächtiger als N. (Üerazählarkeit der Menge 2 N ) Es git üerazählar viele Mengen natürlicher Zahlen. 2 {0,1} Menge aller Sprachen L {0, 1} ist mächtiger als {0, 1}. (Es git üerazählar viele Sprachen üer dem Alphaet {0, 1}.) 2 (A ) ist für elieiges endliches Alphaet A mächtiger als A (Für jedes endliche Alphaet A ist die Menge aller Sprachen üer A üerazählar. ) 76

8 Lässt sich jede Sprache durch eine Grammatik erzeugen? Existiert für jedes endliche Alphaet A zu jeder Sprache L A eine Grammatik G mit L = L(G)? Nein (Gegeneispiel später) Begründung: 1. Wieviele Sprachen L A git es? (Mächtigkeit von 2 (A ) ) üerazählar viele 2. Wieviele Grammatiken üer dem endlichen Alphaet A git es? azählar viele, weil Alphaet A = A {(, ),,, {, },, ε} endlich Menge (A ) aller Wörter üer A azählar jede Grammatik üer A ist ein Wort aus (A ) (endliche Beschreiung) Menge aller Grammatiken üer A ist Teilmenge der azählaren Menge (A ), also selst azählar Damit existieren sogar sehr viel mehr (üerazählar viele) Sprachen, die nicht durch Grammatiken eschrieen werden können. 77

9 Zustandsüergangssystem Münzschließfach fg S O Z A S G fo o g O Aktionen: A aufschließen Z zuschließen O Tür öffnen S Tür schließen G Geld einwerfen Zustände : fg frei, Tür zu fo frei, Tür offen o ezahlt, Tür offen g ezahlt, Tür zu elegt 78

10 Endliche Automaten Definition NFA (nondeterministic finite automaton) A = (X, Q, δ, I, F ) mit X endliches Alphaet, Q endliche Menge von Zuständen, δ Üergangsrelationen δ : X (Q Q), I Q Startzustände, F Q akzeptierende Zustände. 79

11 NFA: Beispiel A = (X, Q, δ, {0, 3}, {2, 3, 4}) mit X = {a,, c} Q = {0, 1, 2, 3, 4} δ(a) = {(0, 0), (0, 1), (1, 3)} δ() = {(0, 0), (1, 2)} δ(c) = {(0, 3), (3, 3), (4, 1)} a, 0 3 c a a 1 2 c c 4 80

12 Eigenschaften endlicher Automaten NFA A = (X, Q, δ, I, F ) heißt vollständig, falls a X p Q : {q (p, q) δ(a)} 1 deterministisch (DFA), falls 1. I = 1 und 2. a X p Q : {q (p, q) δ(a)} 1 Beispiele: a, 0 1 a a 0 1 a 0 1 vollständig nicht vollständig vollständig nicht deterministisch deterministisch deterministisch a 81

13 Wiederholung: zweistellige Relationen Verkettung der Relationen R M M und S M M: R S = {(a, ) c M : (a, c) R (c, ) S} Beispiel: M = {a,, c} R = {(a, a), (, c)} S = {(a, c), (c, )} R S = {(a, c), (, )} S R = {(c, c)} 82

14 Darstellung als Graph als gerichteter Graph G = (V, E) mit V = M und E = R M = {a,, c} R = {(a, a), (, c)} S = {(a, c), (c, )} a Verkettung als Wege mit passender Markierung c R S = {(a, c), (, )} S R = {(c, c)} a c 83

15 Darstellung als Matrix mit Booleschen Einträgen M = {a,, c} R = {(a, a), (, c)} S = {(a, c), (c, )} Verkettung als Matrixmultiplikation mit Booleschen Operationen R S = S R = = =

16 Üergangsrelation auf Wörtern Fortsetzung der Üergangsrelationen δ : X (Q Q) auf Wörter δ : X (Q Q): δ(ε) = {(q, q) q Q} = I Q (Identität auf Q) δ(wa) = δ(w) δ(a) für alle w X, a X = {(p, q) r Q : (p, r) δ(w) (r, q) δ(a)} Für w = w 1 w n X n gilt also δ(w) = δ(w 1 ) δ(w n ) (Multiplikation der Matrizen δ(w 1 ),..., δ(w n )) 85

17 Beispiel a, A = ({a, }, {0, 1}, δ, I, F ) mit δ(a) = {(0, 0)} und δ() = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} 0 1 δ(a) = δ(a) = δ()δ(a) = ( ) ( δ() = ) ( ( ) = ) ( ) δ(a) = δ(a)δ()δ() = ( ) ( ) ( ) = ( ) 86

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