FernUniversität Gesamthochschule in Hagen

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1 FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember

2 Inhltsverzeichnis Einleitung Qudrturformeln. Rechteckregel Trpezregel Simpsonregel Regel Newton-Cotes-Formeln Guß-Formeln Prktische Aspekte der numerischen Integrtion. Fehlerbschätzung Uneigentliche Integrle Integrle mit Singulritäten Zusmmenfssung

3 Einleitung Ds Integrl einer stetigen Funktion knn ls Fläche gedeutet werden. An der Bestimmung der Fläche unter der durch den Integrnden bestimmten Funktion über einem Intervll [, b] ist mn in vielen prktischen Anwendungen interessiert. Flls die Stmmfunktion F des Integrnden f formelmäßig bestimmt werden knn, gilt f(x)dx = F (b) F () Die numerische Auswertung eines bestimmten Integrls f(x)dx knn llerdings häufig nur näherungsweise erfolgen, denn für viele Integrle lässt sich die Stmmfunktion nur mit viel Aufwnd oder sogr überhupt nicht formelmäßig bestimmen. Ein Beispiel wäre etw ds Integrl e t dt In mnchen Anwendungsfällen liegt der Integrnd uch nur ls durch Messungen gegebene empirische Funktion vor. In solchen Situtionen helfen numerische Integrtionsmethoden, die mn uch ls Qudrturformeln bezeichnet, weiter. y b x Abbildung : Riemnnsches Integrl Eine erste Approximtion des Integrls knn us der Definition des Riemnnschen Integrls bgeleitet werden. Für stetige Funktionen und eine Zerlegung Z des Integrtionsintervlls [, b] in n Teilintervlle mit = < < < n = b sind die Riemnnsche Unter- und Obersumme definiert ls

4 U(f, Z) := O(f, Z) := n ( i i ) inf{f(x); i x i } i= n ( i i ) sup{f(x); i x i } i= und es gilt U(f, Z) f(x)dx O(f, Z) Für die prktische Anwendung ist diese Vorgehensweise jedoch ungeeignet, d insbesondere die Bestimmung des Infimums und des Supremums uf den Teilintervllen ufwendig ist. In der Prxis häufig erwünscht ist llerdings eine Eingrenzung des ttsächlichen Integrlwertes bzw. eine Abschätzung des Fehlers, der bei der numerischen Berechnung uftritt. Qudrturformeln Aus der großen Vielflt von Qudrturformeln sollen in den folgenden Abschnitten einige elementre Methoden vorgestellt werden.. Rechteckregel Die Definition des Riemnnschen Integrls legt die Idee nhe, die Fläche unter der durch die Funktion f(x) gegebenen Kurve uf einem Intervl [, b] durch Rechteckflächen nzunähern. Mn nennt diese einfche Approximtion Rechteckregel. Die Breite der Rechteckfläche ist durch ds Intervl bestimmt, für die Höhe gibt es zwei Möglichkeiten: der Funktionswert knn m linken oder uch m rechten Intervllende genommen werden. y h x Abbildung : Rechteck-Regel

5 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im folgenden ds Intervll uf [, h] festgelegt und der Funktionswert m linken Intervllende verwendet. Drus ergibt sich für ds Integrl die Näherungsformel : h f(x)dx h f() Es stellt sich nun ntürlich die Frge, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exkten Integrlwert ist. Der Fehler wird durch die Gleichung R(h) = h f(x)dx h f() bestimmt. Unter der Vorussetzung, dss die Funktion f einml stetig differenzierbr ist, ergibt sich drus durch zweimlige Differentition: R (h) = f(h) f() R (h) = f (h) R knn betrgsmäßig bgeschätzt werden: R (h) = f (h) M wobei M = sup f (t) t [,h] Integrtion ergibt die Fehlerbschätzung R(h) M h Indem ds Intervll, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich große Teilintervlle zerlegt wird und die Rechteckflächen über diesen Teilintervllen summiert werden, gelngt mn zum Rechteckverfhren, dem einfchsten numerischen Integrtionverfhren. D nch Vorussetzung die Funktion integrierbr ist, spielt es bei einer genügend feinen Zerlegung keine Rolle, ob der linke oder rechte Funktionswert für die Flächenberechnung benutzt wird. Im Flle der Existenz des Integrls, die j vorusgesetzt wird, konvergieren beide Summen gegen den gleichen Grenzwert. Als Näherung für ds Integrl einer Funktion f über ein Intervll [, b] erhält mn bei einer Zerlegung in n Teilintervlle der Länge h = b n n f(x)dx h f( + i h) Entsprechend der obigen Fehlerbschätzung beträgt der Gesmtfehler i= 4

6 y b x Abbildung : Summierte Rechteck-Regel R [,b] n M h = M (b ) n Der Verfhrensfehler geht zwr für n gegen, ber der Fehler nimmt nur proportionl zu n b. Anders usgedrückt: Um die Genuigkeit um eine Dezimlstelle zu verbessern muss n verzehnfcht werden.. Trpezregel Eine wesentliche Verbesserung des numerischen Integrlwertes gegenüber des einfchen Rechteckverfhrens lässt sich erzielen, indem sttt Rechteckflächen Trpezflächen für die Annäherung der Fläche unter der durch die Funktion f(x) gegebenen Kurve uf einem Intervl [, b] verwendet werden. Mn nennt diese Approximtion Trpezregel. y h x Abbildung 4: Trpez-Regel Für ds Intervll [, h] ergibt sich drus für ds Integrl die Näherungsformel : h f(x)dx h f(h) + f() 5

7 Es stellt sich nun wiederum die Frge, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exkten Integrlwert ist. Der Fehler wird durch die Gleichung R(h) = h f(x)dx h f(h) + f() bestimmt. Unter der Vorussetzung, dss die Funktion f zweiml stetig differenzierbr ist, ergibt sich drus durch zweimlige Differentition: R (h) = f(h) (f(h) + f()) h f (h) = f(h) f() h f (h) R (h) = f (h) f (h) h f (h) = h f (h) R knn betrgsmäßig bgeschätzt werden: R (h) = h f (h) M h wobei M = sup f (t) t [,h] Integrtion ergibt die Fehlerbschätzung R(h) M h Indem ds Intervll, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich große Teilintervlle zerlegt wird und die Trpezflächen über diesen Teilintervllen summiert werden, gelngt mn zum Trpezverfhren. y b x Abbildung 5: Summierte Trpez-Regel Als Näherung für ds Integrl einer Funktion f über ein Intervll [, b] erhält mn bei einer Zerlegung in n Teilintervlle der Länge h = b n ( f(x)dx h n ) {f() + f( + i h) + f(b)} i= 6

8 Entsprechend der obigen Fehlerbschätzung beträgt der Gesmtfehler R [,b] n M h = M (b ) n Der Verfhrensfehler nimmt proportionl zu n b.. Simpsonregel Gegenüber den in den vorngegngenen Abschnitten vorgestellten Verfhren (Rechteckregel und Trpezregel) lässt sich eine wesentliche Verbesserung erzielen, wenn die Intervllenden nicht durch eine Gerde, sondern durch Prbelbögen verbunden werden. Dies bringt eine wesentlich bessere Näherung, so dss deutlich weniger Rechenschritte für ein genues Resultt benötigt werden. Diese Integrtionsregel beruht uf der sogennnten keplerschen Fssregel, die vom beknnten Astronomen Johnnes Kepler (57-6) vorgestellt wurde, um die Fläche eines solchen fssförmigen Flächenelementes näherungsweise zu bestimmen. Der sonst nicht weiter beknnte englische Mthemtiker Thoms Simpson (7-76) benutzte diese Formel um den Integrlwert mit n Teilflächen zu berechnen. y -h h x Abbildung 6: Kepler sche Fssregel Die Näherungsfläche wird ls Prbelbogen, der durch die Punkte f(-h), f() und f(h) geht, gelegt. Es wird lso ein Doppelintervll betrchtet. Der Prbelbogen wird durch die Funktion y(x) = f() + f(h) f( h) f(h) f() + f( h) x + x h h beschrieben. Die Integrtion dieser Prbel über dem Intervll [-h,h] liefert h h y(x)dx = f() h + f(h) f( h) h + = h {6f() + f(h) f() + f( h)} = h {f( h) + 4f() + f(h)} f(h) f() + f( h) h h 7

9 Für ds Integrl ergibt sich dmit die folgende Näherungsformel: h h f(x)dx h {f( h) + 4f() + f(h)} Es stellt sich nun wiederum die Frge, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exkten Integrlwert ist. Der Fehler wird durch die Gleichung R(h) = h h f(x)dx h {f( h) + 4f() + f(h)} bestimmt. Unter der Vorussetzung, dss die Funktion f mindestens dreiml stetig differenzierbr ist, ergibt sich drus durch dreimlige Differentition: R (h) = f(h) + f( h) {f( h) + 4f() + f(h)} h { f ( h) + f (h)} = f( h) 4 f() + f(h) h { f ( h) + f (h)} R (h) = f ( h) + f (h) { f ( h) + f (h)} h { f ( h) + f (h)} = f ( h) + f (h) h { f ( h) + f (h)} R (h) = f ( h) + f (h) { f ( h) + f (h)} h { f ( h) + f (h)} = h { f ( h) + f (h)} R knn betrgsmäßig bgeschätzt werden: R (h) = h f (h) f ( h) h M wobei M = sup f (t) t [ h,h] Integrtion ergibt die Fehlerbschätzung R(h) M h4 6 Flls die Funktion f mindestens vierml stetig differenzierbr ist, knn mn uf R den Mittelwertstz nwenden: Drus ergibt sich folgende Abschätzung: R (h) = h f (4) (ξ) R(h) M 4 h5 9 wobei M 4 = sup f (4) (t) t [ h,h] 8

10 Hierus ergibt sich die bemerkenswerte Ttsche, dss durch die Keplersche Fssregel sogr kubische Prbeln exkt integriert werden. Indem ds Intervll, über dem die Funktion integriert werden soll, in eine gerde Anzhl kleinerer, gleich großer Teilintervlle zerlegt wird und die keplersche Fssregel jeweils uf Doppelteilintervllen ngwendet wird, gelngt mn zum Simpsonverfhren. Als Näherung für ds Integrl einer Funktion f über ein Intervll [, b] erhält mn bei einer Zerlegung in n Teilintervlle der Länge h = b n f(x)dx h n/ n/ {f() + 4 f( + (i ) h) + f( + (i) h) + f(b)} i= Entsprechend der obigen Fehlerbschätzung beträgt der Gesmtfehler i= bzw. R [,b] n M h4 6 = M (b )4 7n R [,b] n M 4 h5 9 = M (b )5 4 8n 4 Der Verfhrensfehler nimmt lso proportionl zu n oder sogr n 4 b Regel D ds Simpson-Verfhren nur nwendbr ist, wenn die Anzhl der Teilintervlle gerde ist, stellt sich die Frge, wie bei einer ungerden Anzhl verfhren werden knn. Von Newton stmmt eine Formel für die Integrtion über drei gleichgroße Intervlle der Länge h (lso mit 4 Stützstellen). Wegen ihrer Koeffizienten wird diese Formel uch -Regel gennnt; Newton soll 8 ihr den Nmen Pulcherim, die Schönste, gegeben hben: h f(x)dx h 8 {f() + f(h) + f(h) + f(h)} Für den Fehler gilt folgende Abschätzung: R(h) M 4 h5 8 wobei M 4 = sup f (4) (t) t [ h,h] Die Genuigkeit ist lso von der gleichen Ordnung wie die der keplerschen Fssregel. Die Formel ist dher in Verbindung mit dem Simpson-Verfhren nützlich, wenn die Anzhl der Teilintervlle ungerde ist. 9

11 .5 Newton-Cotes-Formeln Nchdem die Verwendung einer Prbel ls Näherung für die zu integrierende Funktion im Simpson-Verfhren zu einer deutlichen Verbesserung des Integrlwerts führt, liegt es nhe uch Funktionen höheren Grdes zu verwenden. Diese erbringen dnn in der Regel eine bessere Genuigkeit des Integrlwertes, sind llerdings uch mit einem höheren Rechenufwnd verbunden. Werden Polynome vom Grd n mit äquidistnten Stützstellen verwendet, gelngt mn zu den sogennnten Newton-Cotes-Formeln, die folgende Gestlt hben: wobei h = b n f(x)dx h n j= g (n) j f( + jh) für n >. Drüber hinus gilt n j= g(n) j = n. n = ist ein Sonderfll, für den h = b und g () = ) gilt. Für n =,, und entsprechen die Newton-Cotes-Formeln den bereits vorgestellten Verfhren. In der nchfolgenden Tbelle sind die Nmen, Koeffizienten und Fehlerbschätzungen für die ersten Newton-Cotes-Formeln ufgelistet. n Nme Koeffizienten g (n) j (j =,,...n) Fehlerbschätzung Rechteckregel h M Trpezregel Simpson-Regel /8-Regel 8 4 Milne-Regel Weddle-Regel h M M 4 h 5 9 M 4 h 5 8 M 6 8h M 6 75h 7 96 M 8 9h 9 4 Für größere n treten negtive Gewichte uf, und die Newton-Cotes-Formeln werden numerisch unbruchbr..6 Guß-Formeln Bei den bisher vorgestellten Formeln und Verfhren wurde ds Intervll [, b], über ds eine Funktion zu integrieren wr, stets in gleichgroße Teilintervlle unterteilt. Bei Verwendung von n Teilintervllen konnten so Qudrturformeln gewonnen werden, mit denen Polynome n-ten Grdes exkt integriert werden konnten. Es stellt sich die Frge, ob nicht durch eine günstigere Whl der Stützstellen Qudrturformeln konstruiert werden können, mit denen Polynome von höherem ls n-tem Grd exkt integriert werden können. Ttsächlich gibt es Qudrturformeln, die bei Verwendung von n + Stützstellen jedes Polynom bis höchstens vom Grd n + exkt integrieren. Diese Formeln heißen Guß-Formeln und hben folgende Gestlt: f(x)w(x)dx n ω j f(x j ) j=

12 Die Funktion w(x) heisst Gewichtsfunktion, wobei im Intervll [, b] gelten muss w(x) >. Die Stützstellen x j und die Gewichte ω j werden so bestimmt, dss sich ein möglichst hoher Exktheitsgrd ergibt. Dies ist genu dnn der Fll, wenn die Koeffizienten dem nichtlineren Gleichungssystem x i w(x)dx = (b ) n ω j x i j i =,,...n + j= genügen. Die Berechnung der Stützstellen und Gewichte erfolgt jedoch nicht durch Lösung dieses Gleichungssystems, sondern durch eine Methode, die in vereinfchter Form zuerst von Guß vorgeschlgen wurde. Eine usführlichere Diskussion der Methode würde llerdings n dieser Stelle den Rhmen sprengen. Dher soll nur die sogennnte Guß-Tschebyscheff-Formel ls Beispiel ngeführt werden: f(x)( x ) dx π n + n f j= ( ( )) j + cos (n + ) π Prktische Aspekte der numerischen Integrtion In der Prxis treten häufiger verschiedene Problemfälle uf, die im folgenden etws näher betrchtet werden sollen. Die Problemfälle beruhen lle druf, dss die Vorussetzungen für eine gute Konvergenz der Verfhren verletzt werden. Dies ist dnn gegeben, wenn die jeweiligen Fehlerbschätzungsformeln nicht ngewndt werden können.. Fehlerbschätzung Eines der Huptprobleme bei der numerischen Integrtion ist die Gewinnung relistischer Schätzungen für die Fehler. Die bei den vorgestellten Verfhren hergeleiteten,,-priori -Abschätzungen sind dzu in der Regel ungeeignet, d höhere Ableitungen des Integrnden häufig nur schwer zu berechnen sind. Bei Qudrturformeln, die von einem Schrittweitenprmeter h bhängen, knn mit Hilfe der ttsächlich berechneten Werte eine,,-posteriori -Abschätzung bestimmt werden, indem mn den Integrlwert sowohl mit der Schrittweite h ls uch mit hlbierter Schrittweite h berechnet. Als Mß für den Fehler knn die betrgliche Differenz dienen. Ist diese kleiner ls eine vorgegebene Tolernzgrenze, so wird der Approximtionsprozess bgebrochen. Andernflls wird die Schrittweite weiter verringert, bis eine vorgegebene minimle Schrittweite unterschritten wird, denn dnn ist ds Integrl offenbr nicht mit vertretbrem Aufwnd verlässlich berechenbr. Bei vergleichbrem Rechenufwnd liefern die Guß-Formeln die genuesten Resultte. Nur ist es leider,,-priori kum möglich, die optimle Schrittweite h zu bestimmen. D beim Übergng zur hlbierten Schrittweite die bis dhin berechneten Funktionswerte nicht weiterverwendet werden können, gehen die Vorzüge der Guß-Formeln schnell verloren. In mnchen Fällen knn mn mit sogennnten dptiven Verfhren eine Verbesserung der Genuigkeit erreichen. Diese Verfhren rbeiten nicht mehr mit konstnter Schrittweite, sondern

13 rechnen n den kritischen Stellen mit einer feineren Schrittweite.. Uneigentliche Integrle Bei den vorgestellten Verfhren wurde stets vorusgesetzt, dss die Integrnden der numerisch zu bestimmenden Integrle hinreichend oft differenzierbre Funktionen sind. In der Prxis kommen jedoch häufig uch Integrnden mit Singulritäten oder uneigentliche Integrle vor. Betrchtet mn beispielsweise ds ntürlich ls konvergent vorusgesetzte uneigentliche Integrl f(x)dx so knn mn versuchen, ds Integrl durch eine Vriblensubstitution in ein Integrl mit endlichen Grenzen zu trnsformieren. Setzt mn etw t = e x, d.h. x = ln t, so folgt Ist g(t) t f(x)dx = f( ln t) dt = t f( ln t) dt = t g(t) dt t in der Umgebung von t = beschränkt, so knn ds Integrl mit einem der üblichen numerischen Integrtionsverfhren berechnet werden. Andernflls versgt die Methode. Eine weitere Möglichkeit, sich dem Integrlwert des uneigentlichen Integrls nzunähern, ist, eine Folge von Zhlen < < < < n < zu wählen und ds Integrl ls Summe von eigentlichen Integrlen umzuschreiben: f(x)dx = f(x)dx + i+ i= i f(x)dx Die Rechnung wird nch n Teilintegrlen bgebrochen, wenn der Betrg des letzten Teilintegrls hinreichend klein ist. Dmit ist ntürlich noch nicht sichergestellt, dss uch n f(x)dx betrgsmäßig hinreichend klein ist. Dies muss durch theoretische oder experimentelle Untersuchungen bgeklärt werden.. Integrle mit Singulritäten Eine Funktion heißt beknntlich Riemnn-integrierbr, wenn sie im Integrtionsintervll beschränkt ist und höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen ht. Numerische Verfhren wie etw ds Simpson-Verfhren liefern für stetige Funktionen in der Regel eine gute Approximtion. Enthält der Integrtionsbereich jedoch eine (oder mehrere) Unstetigkeitsstellen, so können die

14 Teilflächen mit diesen Unstetigkeitsstellen nur sehr ungenu pproximiert werden. Dies äußert sich in einer mehr oder weniger großen Abweichung vom exkten Integrlwert. Als Beispiel soll folgende bei unstetige Funktion im Intervll [, +] mit dem Simpson- Verfhren integriert werden: f(x) := { x x > Als exkter Wert müsste sich ntürlich ergeben. Für verschiedene Anzhlen von Teilintervllen ergeben sich mehr oder minder große Abweichungen: n Simpson(n) Offensichtlich ist die Formel für die Fehlerbschätzung nicht nwendbr, d die Funktion nicht stetig differenzierbr ist. Flls die Funktion f(x) oder ihre erste Ableitung n den Stellen x < x < < x n b endliche Unstetigkeiten besitzt, dnn knn ds Integrl ls Summe der Integrle über den jeweiligen Teilintervllen usgedrückt werden: f(x)dx = x f(x)dx + n i= x i+ x i f(x)dx + x n f(x)dx Auf die Teilintervlle können die üblichen numerischen Verfhren ngewndt werden. Schwieriger ist in der Regel die numerische Berechnung von Integrlen, bei denen der Integrnd Unendlichkeitsstellen besitzt. Eine Möglichkeit besteht in einem solchen Fll mnchml drin, eine geeignete Vriblensubstitution durchzuführen. Eine weitere Möglichkeit stellt die Entwicklung des Integrnden in eine Tylor-Reihe dr. 4 Zusmmenfssung Die numerische Integrtion ist eine der ältesten Disziplinen der numerischen Mthemtik. Entsprechend umfngreich ist die Litertur uf diesem Gebiet. In dieser Ausrbeitung konnte dher nur ein Schlglicht uf die vielfältigen Berechnungsmethoden geworfen und die grundlegendsten Verfhren usführlicher drgestellt werden. Dneben existieren jedoch noch viele, viele ndere Methoden, die sich in der Bestimmung der Intervllzerlegung oder der Bildung und Verrechnung der Flächen unterscheiden.

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