FernUniversität Gesamthochschule in Hagen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "FernUniversität Gesamthochschule in Hagen"

Transkript

1 FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember

2 Inhltsverzeichnis Einleitung Qudrturformeln. Rechteckregel Trpezregel Simpsonregel Regel Newton-Cotes-Formeln Guß-Formeln Prktische Aspekte der numerischen Integrtion. Fehlerbschätzung Uneigentliche Integrle Integrle mit Singulritäten Zusmmenfssung

3 Einleitung Ds Integrl einer stetigen Funktion knn ls Fläche gedeutet werden. An der Bestimmung der Fläche unter der durch den Integrnden bestimmten Funktion über einem Intervll [, b] ist mn in vielen prktischen Anwendungen interessiert. Flls die Stmmfunktion F des Integrnden f formelmäßig bestimmt werden knn, gilt f(x)dx = F (b) F () Die numerische Auswertung eines bestimmten Integrls f(x)dx knn llerdings häufig nur näherungsweise erfolgen, denn für viele Integrle lässt sich die Stmmfunktion nur mit viel Aufwnd oder sogr überhupt nicht formelmäßig bestimmen. Ein Beispiel wäre etw ds Integrl e t dt In mnchen Anwendungsfällen liegt der Integrnd uch nur ls durch Messungen gegebene empirische Funktion vor. In solchen Situtionen helfen numerische Integrtionsmethoden, die mn uch ls Qudrturformeln bezeichnet, weiter. y b x Abbildung : Riemnnsches Integrl Eine erste Approximtion des Integrls knn us der Definition des Riemnnschen Integrls bgeleitet werden. Für stetige Funktionen und eine Zerlegung Z des Integrtionsintervlls [, b] in n Teilintervlle mit = < < < n = b sind die Riemnnsche Unter- und Obersumme definiert ls

4 U(f, Z) := O(f, Z) := n ( i i ) inf{f(x); i x i } i= n ( i i ) sup{f(x); i x i } i= und es gilt U(f, Z) f(x)dx O(f, Z) Für die prktische Anwendung ist diese Vorgehensweise jedoch ungeeignet, d insbesondere die Bestimmung des Infimums und des Supremums uf den Teilintervllen ufwendig ist. In der Prxis häufig erwünscht ist llerdings eine Eingrenzung des ttsächlichen Integrlwertes bzw. eine Abschätzung des Fehlers, der bei der numerischen Berechnung uftritt. Qudrturformeln Aus der großen Vielflt von Qudrturformeln sollen in den folgenden Abschnitten einige elementre Methoden vorgestellt werden.. Rechteckregel Die Definition des Riemnnschen Integrls legt die Idee nhe, die Fläche unter der durch die Funktion f(x) gegebenen Kurve uf einem Intervl [, b] durch Rechteckflächen nzunähern. Mn nennt diese einfche Approximtion Rechteckregel. Die Breite der Rechteckfläche ist durch ds Intervl bestimmt, für die Höhe gibt es zwei Möglichkeiten: der Funktionswert knn m linken oder uch m rechten Intervllende genommen werden. y h x Abbildung : Rechteck-Regel

5 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im folgenden ds Intervll uf [, h] festgelegt und der Funktionswert m linken Intervllende verwendet. Drus ergibt sich für ds Integrl die Näherungsformel : h f(x)dx h f() Es stellt sich nun ntürlich die Frge, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exkten Integrlwert ist. Der Fehler wird durch die Gleichung R(h) = h f(x)dx h f() bestimmt. Unter der Vorussetzung, dss die Funktion f einml stetig differenzierbr ist, ergibt sich drus durch zweimlige Differentition: R (h) = f(h) f() R (h) = f (h) R knn betrgsmäßig bgeschätzt werden: R (h) = f (h) M wobei M = sup f (t) t [,h] Integrtion ergibt die Fehlerbschätzung R(h) M h Indem ds Intervll, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich große Teilintervlle zerlegt wird und die Rechteckflächen über diesen Teilintervllen summiert werden, gelngt mn zum Rechteckverfhren, dem einfchsten numerischen Integrtionverfhren. D nch Vorussetzung die Funktion integrierbr ist, spielt es bei einer genügend feinen Zerlegung keine Rolle, ob der linke oder rechte Funktionswert für die Flächenberechnung benutzt wird. Im Flle der Existenz des Integrls, die j vorusgesetzt wird, konvergieren beide Summen gegen den gleichen Grenzwert. Als Näherung für ds Integrl einer Funktion f über ein Intervll [, b] erhält mn bei einer Zerlegung in n Teilintervlle der Länge h = b n n f(x)dx h f( + i h) Entsprechend der obigen Fehlerbschätzung beträgt der Gesmtfehler i= 4

6 y b x Abbildung : Summierte Rechteck-Regel R [,b] n M h = M (b ) n Der Verfhrensfehler geht zwr für n gegen, ber der Fehler nimmt nur proportionl zu n b. Anders usgedrückt: Um die Genuigkeit um eine Dezimlstelle zu verbessern muss n verzehnfcht werden.. Trpezregel Eine wesentliche Verbesserung des numerischen Integrlwertes gegenüber des einfchen Rechteckverfhrens lässt sich erzielen, indem sttt Rechteckflächen Trpezflächen für die Annäherung der Fläche unter der durch die Funktion f(x) gegebenen Kurve uf einem Intervl [, b] verwendet werden. Mn nennt diese Approximtion Trpezregel. y h x Abbildung 4: Trpez-Regel Für ds Intervll [, h] ergibt sich drus für ds Integrl die Näherungsformel : h f(x)dx h f(h) + f() 5

7 Es stellt sich nun wiederum die Frge, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exkten Integrlwert ist. Der Fehler wird durch die Gleichung R(h) = h f(x)dx h f(h) + f() bestimmt. Unter der Vorussetzung, dss die Funktion f zweiml stetig differenzierbr ist, ergibt sich drus durch zweimlige Differentition: R (h) = f(h) (f(h) + f()) h f (h) = f(h) f() h f (h) R (h) = f (h) f (h) h f (h) = h f (h) R knn betrgsmäßig bgeschätzt werden: R (h) = h f (h) M h wobei M = sup f (t) t [,h] Integrtion ergibt die Fehlerbschätzung R(h) M h Indem ds Intervll, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich große Teilintervlle zerlegt wird und die Trpezflächen über diesen Teilintervllen summiert werden, gelngt mn zum Trpezverfhren. y b x Abbildung 5: Summierte Trpez-Regel Als Näherung für ds Integrl einer Funktion f über ein Intervll [, b] erhält mn bei einer Zerlegung in n Teilintervlle der Länge h = b n ( f(x)dx h n ) {f() + f( + i h) + f(b)} i= 6

8 Entsprechend der obigen Fehlerbschätzung beträgt der Gesmtfehler R [,b] n M h = M (b ) n Der Verfhrensfehler nimmt proportionl zu n b.. Simpsonregel Gegenüber den in den vorngegngenen Abschnitten vorgestellten Verfhren (Rechteckregel und Trpezregel) lässt sich eine wesentliche Verbesserung erzielen, wenn die Intervllenden nicht durch eine Gerde, sondern durch Prbelbögen verbunden werden. Dies bringt eine wesentlich bessere Näherung, so dss deutlich weniger Rechenschritte für ein genues Resultt benötigt werden. Diese Integrtionsregel beruht uf der sogennnten keplerschen Fssregel, die vom beknnten Astronomen Johnnes Kepler (57-6) vorgestellt wurde, um die Fläche eines solchen fssförmigen Flächenelementes näherungsweise zu bestimmen. Der sonst nicht weiter beknnte englische Mthemtiker Thoms Simpson (7-76) benutzte diese Formel um den Integrlwert mit n Teilflächen zu berechnen. y -h h x Abbildung 6: Kepler sche Fssregel Die Näherungsfläche wird ls Prbelbogen, der durch die Punkte f(-h), f() und f(h) geht, gelegt. Es wird lso ein Doppelintervll betrchtet. Der Prbelbogen wird durch die Funktion y(x) = f() + f(h) f( h) f(h) f() + f( h) x + x h h beschrieben. Die Integrtion dieser Prbel über dem Intervll [-h,h] liefert h h y(x)dx = f() h + f(h) f( h) h + = h {6f() + f(h) f() + f( h)} = h {f( h) + 4f() + f(h)} f(h) f() + f( h) h h 7

9 Für ds Integrl ergibt sich dmit die folgende Näherungsformel: h h f(x)dx h {f( h) + 4f() + f(h)} Es stellt sich nun wiederum die Frge, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exkten Integrlwert ist. Der Fehler wird durch die Gleichung R(h) = h h f(x)dx h {f( h) + 4f() + f(h)} bestimmt. Unter der Vorussetzung, dss die Funktion f mindestens dreiml stetig differenzierbr ist, ergibt sich drus durch dreimlige Differentition: R (h) = f(h) + f( h) {f( h) + 4f() + f(h)} h { f ( h) + f (h)} = f( h) 4 f() + f(h) h { f ( h) + f (h)} R (h) = f ( h) + f (h) { f ( h) + f (h)} h { f ( h) + f (h)} = f ( h) + f (h) h { f ( h) + f (h)} R (h) = f ( h) + f (h) { f ( h) + f (h)} h { f ( h) + f (h)} = h { f ( h) + f (h)} R knn betrgsmäßig bgeschätzt werden: R (h) = h f (h) f ( h) h M wobei M = sup f (t) t [ h,h] Integrtion ergibt die Fehlerbschätzung R(h) M h4 6 Flls die Funktion f mindestens vierml stetig differenzierbr ist, knn mn uf R den Mittelwertstz nwenden: Drus ergibt sich folgende Abschätzung: R (h) = h f (4) (ξ) R(h) M 4 h5 9 wobei M 4 = sup f (4) (t) t [ h,h] 8

10 Hierus ergibt sich die bemerkenswerte Ttsche, dss durch die Keplersche Fssregel sogr kubische Prbeln exkt integriert werden. Indem ds Intervll, über dem die Funktion integriert werden soll, in eine gerde Anzhl kleinerer, gleich großer Teilintervlle zerlegt wird und die keplersche Fssregel jeweils uf Doppelteilintervllen ngwendet wird, gelngt mn zum Simpsonverfhren. Als Näherung für ds Integrl einer Funktion f über ein Intervll [, b] erhält mn bei einer Zerlegung in n Teilintervlle der Länge h = b n f(x)dx h n/ n/ {f() + 4 f( + (i ) h) + f( + (i) h) + f(b)} i= Entsprechend der obigen Fehlerbschätzung beträgt der Gesmtfehler i= bzw. R [,b] n M h4 6 = M (b )4 7n R [,b] n M 4 h5 9 = M (b )5 4 8n 4 Der Verfhrensfehler nimmt lso proportionl zu n oder sogr n 4 b Regel D ds Simpson-Verfhren nur nwendbr ist, wenn die Anzhl der Teilintervlle gerde ist, stellt sich die Frge, wie bei einer ungerden Anzhl verfhren werden knn. Von Newton stmmt eine Formel für die Integrtion über drei gleichgroße Intervlle der Länge h (lso mit 4 Stützstellen). Wegen ihrer Koeffizienten wird diese Formel uch -Regel gennnt; Newton soll 8 ihr den Nmen Pulcherim, die Schönste, gegeben hben: h f(x)dx h 8 {f() + f(h) + f(h) + f(h)} Für den Fehler gilt folgende Abschätzung: R(h) M 4 h5 8 wobei M 4 = sup f (4) (t) t [ h,h] Die Genuigkeit ist lso von der gleichen Ordnung wie die der keplerschen Fssregel. Die Formel ist dher in Verbindung mit dem Simpson-Verfhren nützlich, wenn die Anzhl der Teilintervlle ungerde ist. 9

11 .5 Newton-Cotes-Formeln Nchdem die Verwendung einer Prbel ls Näherung für die zu integrierende Funktion im Simpson-Verfhren zu einer deutlichen Verbesserung des Integrlwerts führt, liegt es nhe uch Funktionen höheren Grdes zu verwenden. Diese erbringen dnn in der Regel eine bessere Genuigkeit des Integrlwertes, sind llerdings uch mit einem höheren Rechenufwnd verbunden. Werden Polynome vom Grd n mit äquidistnten Stützstellen verwendet, gelngt mn zu den sogennnten Newton-Cotes-Formeln, die folgende Gestlt hben: wobei h = b n f(x)dx h n j= g (n) j f( + jh) für n >. Drüber hinus gilt n j= g(n) j = n. n = ist ein Sonderfll, für den h = b und g () = ) gilt. Für n =,, und entsprechen die Newton-Cotes-Formeln den bereits vorgestellten Verfhren. In der nchfolgenden Tbelle sind die Nmen, Koeffizienten und Fehlerbschätzungen für die ersten Newton-Cotes-Formeln ufgelistet. n Nme Koeffizienten g (n) j (j =,,...n) Fehlerbschätzung Rechteckregel h M Trpezregel Simpson-Regel /8-Regel 8 4 Milne-Regel Weddle-Regel h M M 4 h 5 9 M 4 h 5 8 M 6 8h M 6 75h 7 96 M 8 9h 9 4 Für größere n treten negtive Gewichte uf, und die Newton-Cotes-Formeln werden numerisch unbruchbr..6 Guß-Formeln Bei den bisher vorgestellten Formeln und Verfhren wurde ds Intervll [, b], über ds eine Funktion zu integrieren wr, stets in gleichgroße Teilintervlle unterteilt. Bei Verwendung von n Teilintervllen konnten so Qudrturformeln gewonnen werden, mit denen Polynome n-ten Grdes exkt integriert werden konnten. Es stellt sich die Frge, ob nicht durch eine günstigere Whl der Stützstellen Qudrturformeln konstruiert werden können, mit denen Polynome von höherem ls n-tem Grd exkt integriert werden können. Ttsächlich gibt es Qudrturformeln, die bei Verwendung von n + Stützstellen jedes Polynom bis höchstens vom Grd n + exkt integrieren. Diese Formeln heißen Guß-Formeln und hben folgende Gestlt: f(x)w(x)dx n ω j f(x j ) j=

12 Die Funktion w(x) heisst Gewichtsfunktion, wobei im Intervll [, b] gelten muss w(x) >. Die Stützstellen x j und die Gewichte ω j werden so bestimmt, dss sich ein möglichst hoher Exktheitsgrd ergibt. Dies ist genu dnn der Fll, wenn die Koeffizienten dem nichtlineren Gleichungssystem x i w(x)dx = (b ) n ω j x i j i =,,...n + j= genügen. Die Berechnung der Stützstellen und Gewichte erfolgt jedoch nicht durch Lösung dieses Gleichungssystems, sondern durch eine Methode, die in vereinfchter Form zuerst von Guß vorgeschlgen wurde. Eine usführlichere Diskussion der Methode würde llerdings n dieser Stelle den Rhmen sprengen. Dher soll nur die sogennnte Guß-Tschebyscheff-Formel ls Beispiel ngeführt werden: f(x)( x ) dx π n + n f j= ( ( )) j + cos (n + ) π Prktische Aspekte der numerischen Integrtion In der Prxis treten häufiger verschiedene Problemfälle uf, die im folgenden etws näher betrchtet werden sollen. Die Problemfälle beruhen lle druf, dss die Vorussetzungen für eine gute Konvergenz der Verfhren verletzt werden. Dies ist dnn gegeben, wenn die jeweiligen Fehlerbschätzungsformeln nicht ngewndt werden können.. Fehlerbschätzung Eines der Huptprobleme bei der numerischen Integrtion ist die Gewinnung relistischer Schätzungen für die Fehler. Die bei den vorgestellten Verfhren hergeleiteten,,-priori -Abschätzungen sind dzu in der Regel ungeeignet, d höhere Ableitungen des Integrnden häufig nur schwer zu berechnen sind. Bei Qudrturformeln, die von einem Schrittweitenprmeter h bhängen, knn mit Hilfe der ttsächlich berechneten Werte eine,,-posteriori -Abschätzung bestimmt werden, indem mn den Integrlwert sowohl mit der Schrittweite h ls uch mit hlbierter Schrittweite h berechnet. Als Mß für den Fehler knn die betrgliche Differenz dienen. Ist diese kleiner ls eine vorgegebene Tolernzgrenze, so wird der Approximtionsprozess bgebrochen. Andernflls wird die Schrittweite weiter verringert, bis eine vorgegebene minimle Schrittweite unterschritten wird, denn dnn ist ds Integrl offenbr nicht mit vertretbrem Aufwnd verlässlich berechenbr. Bei vergleichbrem Rechenufwnd liefern die Guß-Formeln die genuesten Resultte. Nur ist es leider,,-priori kum möglich, die optimle Schrittweite h zu bestimmen. D beim Übergng zur hlbierten Schrittweite die bis dhin berechneten Funktionswerte nicht weiterverwendet werden können, gehen die Vorzüge der Guß-Formeln schnell verloren. In mnchen Fällen knn mn mit sogennnten dptiven Verfhren eine Verbesserung der Genuigkeit erreichen. Diese Verfhren rbeiten nicht mehr mit konstnter Schrittweite, sondern

13 rechnen n den kritischen Stellen mit einer feineren Schrittweite.. Uneigentliche Integrle Bei den vorgestellten Verfhren wurde stets vorusgesetzt, dss die Integrnden der numerisch zu bestimmenden Integrle hinreichend oft differenzierbre Funktionen sind. In der Prxis kommen jedoch häufig uch Integrnden mit Singulritäten oder uneigentliche Integrle vor. Betrchtet mn beispielsweise ds ntürlich ls konvergent vorusgesetzte uneigentliche Integrl f(x)dx so knn mn versuchen, ds Integrl durch eine Vriblensubstitution in ein Integrl mit endlichen Grenzen zu trnsformieren. Setzt mn etw t = e x, d.h. x = ln t, so folgt Ist g(t) t f(x)dx = f( ln t) dt = t f( ln t) dt = t g(t) dt t in der Umgebung von t = beschränkt, so knn ds Integrl mit einem der üblichen numerischen Integrtionsverfhren berechnet werden. Andernflls versgt die Methode. Eine weitere Möglichkeit, sich dem Integrlwert des uneigentlichen Integrls nzunähern, ist, eine Folge von Zhlen < < < < n < zu wählen und ds Integrl ls Summe von eigentlichen Integrlen umzuschreiben: f(x)dx = f(x)dx + i+ i= i f(x)dx Die Rechnung wird nch n Teilintegrlen bgebrochen, wenn der Betrg des letzten Teilintegrls hinreichend klein ist. Dmit ist ntürlich noch nicht sichergestellt, dss uch n f(x)dx betrgsmäßig hinreichend klein ist. Dies muss durch theoretische oder experimentelle Untersuchungen bgeklärt werden.. Integrle mit Singulritäten Eine Funktion heißt beknntlich Riemnn-integrierbr, wenn sie im Integrtionsintervll beschränkt ist und höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen ht. Numerische Verfhren wie etw ds Simpson-Verfhren liefern für stetige Funktionen in der Regel eine gute Approximtion. Enthält der Integrtionsbereich jedoch eine (oder mehrere) Unstetigkeitsstellen, so können die

14 Teilflächen mit diesen Unstetigkeitsstellen nur sehr ungenu pproximiert werden. Dies äußert sich in einer mehr oder weniger großen Abweichung vom exkten Integrlwert. Als Beispiel soll folgende bei unstetige Funktion im Intervll [, +] mit dem Simpson- Verfhren integriert werden: f(x) := { x x > Als exkter Wert müsste sich ntürlich ergeben. Für verschiedene Anzhlen von Teilintervllen ergeben sich mehr oder minder große Abweichungen: n Simpson(n) Offensichtlich ist die Formel für die Fehlerbschätzung nicht nwendbr, d die Funktion nicht stetig differenzierbr ist. Flls die Funktion f(x) oder ihre erste Ableitung n den Stellen x < x < < x n b endliche Unstetigkeiten besitzt, dnn knn ds Integrl ls Summe der Integrle über den jeweiligen Teilintervllen usgedrückt werden: f(x)dx = x f(x)dx + n i= x i+ x i f(x)dx + x n f(x)dx Auf die Teilintervlle können die üblichen numerischen Verfhren ngewndt werden. Schwieriger ist in der Regel die numerische Berechnung von Integrlen, bei denen der Integrnd Unendlichkeitsstellen besitzt. Eine Möglichkeit besteht in einem solchen Fll mnchml drin, eine geeignete Vriblensubstitution durchzuführen. Eine weitere Möglichkeit stellt die Entwicklung des Integrnden in eine Tylor-Reihe dr. 4 Zusmmenfssung Die numerische Integrtion ist eine der ältesten Disziplinen der numerischen Mthemtik. Entsprechend umfngreich ist die Litertur uf diesem Gebiet. In dieser Ausrbeitung konnte dher nur ein Schlglicht uf die vielfältigen Berechnungsmethoden geworfen und die grundlegendsten Verfhren usführlicher drgestellt werden. Dneben existieren jedoch noch viele, viele ndere Methoden, die sich in der Bestimmung der Intervllzerlegung oder der Bildung und Verrechnung der Flächen unterscheiden.

Numerische Integration

Numerische Integration Numerische Integrtion Bei vielen Problemen des nturwissenschftlichen Rechnens treten Integrle uf, die nicht in expliziter Form drgestellt werden können, sei es, dß kein geschlossener Ausdruck für eine

Mehr

In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b

In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b Kpitel Numerische Integrtion In diesem Kpitel stellen wir einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle f(x)dx vor. Integrtionsufgbe: Zu gegebenem integrierbrem f : [, b]

Mehr

Numerische Integration durch Extrapolation

Numerische Integration durch Extrapolation Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren

Mehr

Crashkurs - Integration

Crashkurs - Integration Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Integration von Funktionen einer Variablen

Integration von Funktionen einer Variablen Integrtion von Funktionen einer Vriblen Ds Riemnnintegrl Motivtion: Wie knn mn den Weg w berechnen, den ein Fhrzeug zwischen den Zeitpunkten und b zurückgelegt ht, wenn mn seine Geschwindigkeit v(t) für

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

6 Numerische Integration

6 Numerische Integration Numerik I 251 6 Numerische Integrtion Ziel numerischer Integrtion (Qudrtur): Näherungswerte für f(t) dt. Wozu? Eine Apprtur liefere Messwerte x i = x i + ε i. Angenommen, die Messfehler ε i sind stndrdnormlverteilt

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration

Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral 8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei

Mehr

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0 Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $ Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun

Mehr

Kapitel 4 Numerische Integration

Kapitel 4 Numerische Integration Kpitel 4 Numerische Integrtion Einführung und Motivtion Newton-Cotes-Formeln Zusmmengesetzte Integrtionsformeln Adptive Verfhren Romberg Verfhren Fzit Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 1 Problemstellung:

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

10 Das Riemannsche Integral

10 Das Riemannsche Integral 10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

Mathematik Rechenfertigkeiten

Mathematik Rechenfertigkeiten 26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

2.4 Elementare Substitution

2.4 Elementare Substitution .4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe

Mehr

Grundwissen Abitur Analysis

Grundwissen Abitur Analysis GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).

Mehr

Interpolation und Integration

Interpolation und Integration Kpitel Interpoltion und Integrtion. Polynom-Interpoltion Nähere Funktion/Dten durch einfche Funktionen (eg. Polynome) n. Bruchbr für: - Integrtion - Interpoltion - Lösung gew. Differentilgleichungen -

Mehr

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014 Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24

Mehr

Mathematik II. Vorlesung 31

Mathematik II. Vorlesung 31 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur,

Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur, Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur,

Mehr

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

8.4 Integrationsmethoden

8.4 Integrationsmethoden 8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung

Mehr

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung Wolfgng Kippels 8. April 018 Inhltsverzeichnis 1 Vorwort Ds unbestimmte Integrl Ds bestimmte Integrl 5 4 Beispielufgben 8 4.1 Beispielufgbe 1...............................

Mehr

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral. VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition

Mehr

Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel

Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b

Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b . Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y

KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität

Mehr

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt

Mehr

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt. Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x

Mehr

13-1 Funktionen

13-1 Funktionen 3- Funktionen 3 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist

Mehr

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine

Mehr

12 Numerische Quadratur

12 Numerische Quadratur Numerische Qudrtur Ausgngssitution: Zu berechnen sei ein bestimmtes Integrl I = I[f] = mit einem numerischen Algorithmus. f(x) dx Verwenden Numerische Qudrtur (Qudrturformel) der Form mit I[f] I n [f]

Mehr

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =

Mehr

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration TU Ilmenu Institut für Mthemtik FG Numerische Mthemtik und Informtionsverrbeitung PD Dr. W. Neundorf Dtei: UEBG9.TEX Übungsufgben zum Lehrgebiet Numerische Mthemtik - Serie 9 Numerische Integrtion. Mn

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 20/202 Mthemtik für Anwender I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f :[,b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Langzeitverhalten von ODE Lösungen

Langzeitverhalten von ODE Lösungen Euler Verfhren für Systeme von ODEs Bemerkung zum Lngzeitverhlten Häufig ist von Interesse (z.b. in der Klimvorhersge), wie sich Lösungen y(t) der ODE ẏ = F (y) für sehr grosse t qulittiv verhlten, und

Mehr

Vorlesungsvertretung Analysis II, H. P. Kiani, SoSe 2014 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske

Vorlesungsvertretung Analysis II, H. P. Kiani, SoSe 2014 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske Fchbereich Mthemtik der Universität Hmburg Dr. H. P. Kini Vorlesungsvertretung Anlysis II, H. P. Kini, SoSe 4 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske Qudrtur von f(x) uf [, 3] Mittelpunksregel,

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N

Mehr

Monte-Carlo-Integration

Monte-Carlo-Integration Monte-Crlo-Integrtion von Dietmr Herrmnn, Anzing Kurzfssung: An Hnd eines einfchen Beispiels wird gezeigt, dß jedes Integrl ls Erwrtungswert einer reellen Zufllsgröße ufgefßt werden knn. een einer symptotischen

Mehr

Analysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a

Analysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion

Mehr

Integrationsmethoden

Integrationsmethoden Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der

Mehr

6 Numerische Integration (Quadratur)

6 Numerische Integration (Quadratur) 6 Numerisce Integrtion (Qudrtur) In diesem Kpitel get es um die pproximtive Berecnung des Wertes eines bestimmten Integrls Anwendungen sind zb die Berecnung von Oberfläcen, Volumin, Wrsceinlickeiten, ber

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004 Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur 2004 1 Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $ Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v 1.35 015/04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion

Mehr

Doppel- und Dreifachintegrale

Doppel- und Dreifachintegrale KAPITEL 6 Doppel- und Dreifchintegrle 6. Doppelintegrle................................... 74 6.. Flächeninhlt ebener ereiche.......................... 74 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls..............

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter

Mehr

2.6 Unendliche Reihen

2.6 Unendliche Reihen 2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

Die Zufallsvariable und ihre Verteilung

Die Zufallsvariable und ihre Verteilung Die Zufllsvrible und ihre Verteilung Die Zufllsvrible In der Whrscheinlichkeitstheorie bzw. Sttistik betrchtet mn Zufllsvriblen. Eine Zufllsvrible ist eine Funktion, die Ergebnissen eines Zufllsexperimentes

Mehr

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen

Mehr

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer Integrlrechnung 20.05.09 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion

Mehr

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung:  wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere

Mehr

Komplexe Integration

Komplexe Integration Komplexe Integrtion Michel Hrtwig 23. April 2004 Der Unterschied zwischen reeller und komplexer Integrtion Vorbemerkung: Aus Gründen der Anschulichkeit, hbe ich weitgehend uf eine exkte mthemtische Drstellung

Mehr