Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung

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1 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt 1 w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall cht etrtt = Azahl der Verchergehmer = Azahl der Verchergehmer, de ee Schade habe = Azahl der Verchergehmer, de kee Schade habe Z betmme t S = Geamtchade der Verchergterehmg w = Wahrchelchket für de Geamtchade der Verchergterehmg Der Schade ee jede Verchergehmer m betrachtete Zetram e etweder oder ll. Da jeder Verchergehmer afgrd deer Aahme r ee Schade habe ka (we ma o wll, ee drchchttlche Schade), t, de Azahl der Verchergehmer, de ee Schade erlede, glech der Azahl der Schäde geamt. De Größe t ll, we keer der Verchergehmer ee Schade hat, d, we alle Verchergehmer ee Schade habe. Dazwche ka de Größe alle gazzahlge Werte aehme. Der Geamtchade der Verchergterehmg, de Verchergletg geamt, t alo (1) S = Uter der Voraetzg, da der Schadeetrtt be jedem Verchergehmer abhägg vom Schadeetrtt be alle adere Verchergehmer t, betmmt ch de Wahrchelchket für de Etrtt ee betmmte Geamtchade ach folgeder Formel: (2) w ( ) = w 1 w!! ( ) De Fkto w (), welche dee Zammehag für alle möglche Werte vo = 0 bechrebt, t ee Bomalvertelg. Dee wrd m Folgede hergeletet. Herz t e erforderlch, ege Zammehäge der Kombatork darztelle. De Kombatork t e Telgebet der Mathematk, welche ch mt der Awahl vo Elemete a gegebee Mege befat. E wchtger Satz der Kombatork t de Prodktregel, ach Fdametalprzp der Kombatork geat. E beagt: We e Zfallexpermet k Schrtte drchgeführt wrd d de Azahl der Möglchkete für de erte Schrtt m 1, für de zwete Schrtt m 2 d für de k. Schrtt m k beträgt, da hat da Expermet m1 m2 m3 m k Möglchkete der Drchführg. Wrd bepelwee m erte Schrtt ee Müze geworfe d m zwete Schrtt e Würfel, da gbt e für da Ergeb de Müzwrf zwe Möglchkete, Kopf oder Zahl. Der Würfel ka af ech verchedee Wee falle; d alle dee Möglchkete köe mteader kombert werde. Legt alo Kopf bem Müzwrf obe, ka dee Ergeb mt de 6 Ergebe de Würfel zammefalle, da d 6 Möglchkete. Legt dagege Zahl bem Müzwrf obe, ka ach dee Ergeb mt de 6 Möglchkete de Würfel kombert werde, oda e geamt 2 mal 6 Möglchkete gbt. Erwetert ma da Expermet m ee ee Stfe, o köe alle bherge Möglchkete mt der Azahl der Möglchkete der ee Stfe mltplzert werde, d o weter. De t ebe da Przp der Mltplkato, we e m Fdametalprzp der Kombatork zm Adrck kommt. We de Azahl der Möglchkete jeder Stfe glech groß t, we alo glt m = m = m = m = m k da t de Azahl der Möglchkete geamt ach dem Fdametalprzp der Kombatork bom01.doc - 1 -

2 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg m m m m = m kfaktore k Zm Bepel gbt e be Wer wrd Mlloär? 15 Frage mt jewel 4 möglche Atworte da d geamt 15 4 = verchedee Möglchkete, de Frage z beatworte. Fall ch jemad etchleßt, alle Frage ohe jede Ahg (d ohe de 50:50-Joker) ach dem Zfallprzp z beatworte, da t de Wahrchelchket, de rchtge Atwortkette z treffe, zemlch kle, gea geomme Dagege t de Wahrchelchket, 6 Rchtge m Lotto z habe, detlch höher. We ee Verchergterehmg Verchergehmer hat, de jeder zwe Möglchkete hchtlch de Schadeetrtt afwee (Schade ja oder Schade e), da gbt e 2 Möglchkete für de Etrtt deer Schäde d damt 2 Möglchkete für de Geamtchade. Für ee überchabare Azahl vo Verchergehmer, zm Bepel für 2 3 = 8 oder 2 4 = 16 lae ch dee Fälle och ezel afführe. Be eer realtche Zahl vo Verchergehmer t dee Methode der volltädge Emerato z afwedg. Da beötgt ma adere Itrmete. E wetere deer Itrmete t de Permtato. Gegebe e ee Mege vo Elemete. Da heßt ee Zammetellg aller deer Elemete eer belebge Rehefolge ee Permtato. Zm Bepel lae ch a der Mege {a, b, c} folgede 6 Permtatoe blde: We größer wrd, tegt de Zahl der möglche Permtatoe chell a. So hat de Mege {a, b, c, d} beret 24 Permtatoe, de her cht alle afgeführt werde. abc acb bac bca cab cba Offechtlch hägt de Azahl der möglche Permtatoe vo der Azahl der Elemete ab. Für ee Permtato vo Elemete gbt e geamt Plätze, de vo de ezele Elemete beetzt werde köe. So beetzt der Permtato abc da Elemet a de erte Platz, da Elemet b de zwete Platz d da Elemet c de drtte Platz. Be Elemete gbt e für de Beetzg de erte Platze Möglchkete, de jede der Elemete ka agewählt werde. Für de Beetzg de zwete Platze gbt e ee Möglchket weger, alo ( 1) Möglchkete, da ee der Elemete de erte Platz cho beetzt hat. Etpreched d e bem drtte Platz r och ( 2) Möglchkete, d o verrgert ch de Zahl der Möglchkete mt jedem beetzte Platz m 1. Für de Beetzg de letzte Platze t r och e Elemet übrg, für da e r och ee Platz gbt, de letzte ebe. Alle dee Möglchkete der Aordg d mteader z kombere. Nach dem Fdametalprzp der Kombatork t de Zahl der möglche Aordge da Prodkt der ezele Möglchkete. De Zahl der möglche Permtatoe t alo ( ) ( ) P = Dee Prodkt ka ach ach aftegedem Wert der Faktore ageordet werde: ( ) P = Da Prodkt der erte atürlche Zahle wrd gechrebe al (geproche Fakltät ): = bom01.doc

3 Zm Bepel t De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für = 1 d = 0 wrd geetzt 4! = = 24 1! = 1 0! = 1 De Azahl der Permtatoe vo Elemete ka ach o gechrebe werde: P = We ch ter de Elemete ee gewe Azahl glechartger Elemete befdet, da köe de eader gleche Elemete zwar ebefall terchedlch ageordet werde, e köe alo ebefall Permtatoe blde, aber dee Permtatoe d cht mehr terchedbar. So lae ch de Elemete der Mege {a, a, a} af 3! = 6 verchedee Wee aorde, aber jede der Permtatoe aaa t cht vo de adere z terchede. I der Geamtzahl vo Permtatoe d de Permtatoe glechartger Elemete aber ethalte. Ma m ch frage, ob de Permtatoe der glechartge Elemete be der Ermttlg der Geamtzahl der möglche Permtatoe überhapt mtgezählt werde olle. We bepelwee da Elemet a ee Schademeldg ee Verchergehmer eer betmmte Höhe dartellt d de Mege {a, a, a} de glechartge Schademeldge vo dre verchedee Verchergehmer ethält, da kommt e für de Geamtchade der Verchergterehmg cht daraf a, welcher Rehefolge der Schadeachbearbeter dee Schademeldge af eem Schrebtch aordet. E kommt zwar af de Azahl der Schadefälle d der Ncht-Schadefälle a, alo af de Azahl der terchedlche Fälle, aber cht af de Azahl der Permtatoe glechartger Elemete. Ma m de Azahl der terchedbare Permtatoe ermttel. Se 1 de Azahl glecher Elemete der Mege. Da ethält de Azahl aller möglche Permtatoe P = al Telmege de cht terchedbare Permtatoe 1 P = 1!. We de terchedbare Permtatoe al P 1 bezechet werde, beteht zwche P, 1 P d P 1 folgeder Zammehag: de terchedbare Permtatoe d möglche Aordge, de cht terchedbare Permtatoe d möglche Aordge. De Kombato beder möglcher Aordge d alle möglche Aordge, de terchedbare d de cht terchedbare. Nach dem Fdametalprzp der Kombato t de Kombato möglcher Aordge hr Prodkt, oda alo de terchedbare Permtatoe mt de cht terchedbare Permtatoe mltplzert de Geamtzahl der möglche Permtatoe ergbt. E glt alo oder, mt de verwedete Symbole: Da P = d 1 P = 1! t ach P1 1P = P P! = 1 1 Hera folgt für de Azahl der terchedbare Permtatoe vo Elemete, ter dee ch 1 gleche Elemete befde: P1 = bom01.doc

4 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg We ch ter de Elemete ee wetere Grppe glechartger Elemete 2 befdet, köe dee 2! cht terchedbare Permtatoe blde. Dee e hzkommede Azahl möglcher Aordge m mt de bherge mltplzert werde, m de Geamtzahl aller möglcher Permtatoe z erhalte. Wrd de Azahl der terchedbare Permtatoe deem Fall mt P 1,2 bezechet, o glt ach dem Fdametalprzp der Kombatork oder, Symbole: P1,2 1! 2! = Hera folgt für de Azahl der terchedbare Permtatoe vo Elemete, ter dee ch 1 d 2 jewel gleche Elemete befde P 1,2 =! 1 2 We ch ter de Elemete 1, 2 g gleche Elemete befde, glt für de terchedbare Permtatoe etpreched P 1 g = 1 2 g Welche Permtatoe d für de Schadevercherg vo Bedetg? I der her betrachtete Verchergterehmg gbt e für jede Verchergehmer r de Fall, da etweder der Schade etrtt oder ke Schade. Wrd der Fall de Nchtetrtt mt o bezechet, lae ch de Ergebe de Schadejahre al Permtato chrebe, z der jeder der Verchergehmer gea e Elemet beträgt, etweder oder o. Bepelwee gbt e be 4 Verchergehmer für alle Möglchkete de Schadeetrtt de folgede terchedbare Permtatoe: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Nr de Permtatoe (alle Verchergehmer habe ee Schade) d o o o o (ke Verchergehmer hat ee Schade) komme jewel emal vor. De Fälle mt jewel eem Schade, zwe Schäde oder dre Schäde d dagege mehrfach ethalte d müte ezel gezählt werde, m de Azahl der möglche Fälle mt eem, zwe oder dre Schäde z erhalte bom01.doc

5 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Um de Wahrchelchkete der verchedee Fallkotellatoe betmme z köe, wäre e zweckmäßg, de Azahl der Permtatoe, de jewel glech vele Schäde ethalte, eem Arbetgag betmme z köe, atatt e a eer Lte der volltädg afgeführte Fälle herazche. Dafür t da etwckelte Kozept der terchedbare Permtatoe geeget. Her ethalte de Permtatoe r zwe terchedlche Elemete, oder o, Schade oder ke Schade. Für dee Fall glt de obe abgeletete Formel P 1,2 =! 1 2 De Telmege 1 d 2 köe belebg groß e, olage e bede zamme cht übertege. Da 1 d 2 ot kee Telmege mehr d, m alo gelte Im Fall der Schadevercherg allerdg gbt e kee adere Elemete al d o, da heßt, de bede Telmege addere ch gerade z. E glt = Ee Telmege beteht a de Schadefälle, de adere beteht a Fälle, dee ke Schade aftrtt. Bede Mege d de ezge Telmege der Elemete: Elemete Elemete o o o o o o o o o Elemete De Formel für de Azahl der Permtatoe vo Elemete, ter dee ch r zwe Mege glecher Elemete befde, latet da P =,!! ( ) Für dee Soderform der Permtatoe t ach de Bezechg al Kombatoe gebrächlch. Mt dem Symbol C (de Azahl möglcher Kombatoe. Ordg a Elemete ohe Berückchtgg der Aordg) glt alo C =!! ( ) De Adrck ka ma abkürzed chrebe [geproche: über ].! ( )! Mthlfe dee Adrck, de ogeate Bomalkoeffzete, ka ma betmme, we vele Fälle e gbt, dee Schäde aftrete. De m ma für jede möglche Wert vo ermttel. Für da obge Bepel ergbt ch: = = 1 0 0! 4! = = 4 1 1! 3! = = 6 2 2! 2! = = 4 3 3! 1! bom01.doc

6 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg = = 1 4 4! 0! De Rchtgket deer Berechge lät ch drch Abzähle der obge Lte der Permtatoe überprüfe. E gbt r ee Permtato, der ll Mal vorkommt, ämlch o o o o. E gbt 4 Permtatoe, dee emal vorkommt, ämlch o o o, o o o, o o o, o o o. So ka ma mt dem Abzähle d Afchrebe der ezele Permtatoe fortfahre, aber ebe da erpart eem da Kozept der Kombatoe. I eer jede Kombato t de vorgegebee Azahl vo Fälle ethalte, dee Mal d ( ) Mal o vorkommt. Mt der Azahl deer Kombatoe C hat ma de Azahl der Fälle, dee Schäde etrete d ( ) Nchtchäde. Mehr bracht ma für de Betmmg der Wahrchelchkete deer Fälle cht z we. I eer betmmte Kombato, de Mal ethält d ( ) Mal o, trete Schäde gemeam af. De Wahrchelchket, da e Verchergehmer de Schade erledet, t w. Dee Wahrchelchket t abhägg davo, ob rgede aderer Verchergehmer ee Schade hat. Der Etrtt de Schade t e vom Schadeetrtt be adere Verchergehmer abhägge Ereg. De Wahrchelchket für da gemeame Etrete vo abhägge Erege t ach dem Mltplkatoatz für Wahrchelchkete da Prodkt hrer Wahrchelchkete. Alo t de Wahrchelchket dafür, da Verchergehmer gemeam ee Schade erlede w w w w = w Faktore De übrge Elemete eer betmmte Kombato d de Fälle, dee der Schade cht etrtt. De Wahrchelchket, da der Schade be eem Verchergehmer cht etrtt, t 1 w. De Wahrchelchket, da der Schade be Verchergehmer abhägg voeader cht etrtt, t ( 1 w ) ( 1 w ) ( 1 w ) ( 1 w ) = ( 1 w ) Faktore De Erege Verchergehmer habe ee Schade d Verchergehmer habe kee Schade trete gemeam e. De Wahrchelchket für da Ereg Verchergehmer habe ee Schade t abhägg vo der Wahrchelchket für da Ereg Verchergehmer habe kee Schade. E hadelt ch alo m voeader abhägge Erege. De Wahrchelchket für da gemeame Etrete deer Erege t ach dem Mltplkatoatz ( ) w 1 w De t de Wahrchelchket für ee der möglche Kombatoe, de Mal d ( ) Mal o ethalte. Nr ee vo dee Kombatoe ka tatächlch etrete. We bepelwee vo de Kombatoe o o o, o o o, o o o, o o o ee egetrete t, köe de adere cht mehr etrete. E ka alo etweder de Kombato o o o oder o o o oder o o o oder o o o etrete. De Kombatoe chleße ch gegeetg a; e hadelt ch m djkte Erege. De Wahrchelchket dafür, da e Ereg oder e adere djkte Ereg etrtt, t de Smme hrer Wahrchelchkete; de Wahrchelchket, da rgede djkte Ereg a eer Azahl vo djkte Erege etrtt, t de Smme aller Wahrchelchkete deer Azahl. Alo t de Wahrchelchket, da rgedee der Kombatoe mt Mal d ( ) Mal o etrtt ( ) ( ) ( ) ( ) w 1 w w 1 w w 1 w w 1 w Azahl der Smmade = Azahl der möglche Kombatoe Da de Smmade alle glech d, ka ma de Smme ach ermttel, dem ma ( ) mt der Azahl der möglche Kombatoe mltplzert. w 1 w bom01.doc

7 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg De Azahl möglcher Kombatoe t C = =! ( )! Somt t de Wahrchelchket, da Schäde (d Nchtchäde) aftrete w 1 w!! ( ) ( ) De Wahrchelchket, da Schäde aftrete, t aber cht adere al de Wahrchelchket für ee betmmte Geamtchade der Verchergterehmg w, oda w ( ) = w 1 w!! ( ) De t Glechg (2). De Fkto für de Bomalvertelg latet alo der Tat: (3) w() = w 1 w!! ( ) ( ) Wedet ma dee Fkto af da Bepel mt 4 Verchergehmer a, o erhält ma folgede Ergebe: De Addto der Wahrchelchkete ergbt 4! 0 w ( ) ( ) 4 = 0 = 0,1 1 0,1 = 0,6561 0! 4! 4! 1 w ( ) ( ) 3 = 1 = 0,1 1 0,1 = 0,2916 1! 3! 4! 2 w ( ) ( ) 2 = 2 = 0,1 1 0,1 = 0,0486 2! 2! 4! 3 w ( ) ( ) 1 = 3 = 0,1 1 0,1 = 0,0036 3! 1! 4! 4 w ( ) ( ) 0 = 4 = 0,1 1 0,1 = 0,0001 4! 0! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w = 0 + w = 1 + w = 2 + w = 3 + w = 4 = 0, , , , ,0001= 1 womt de Wahrchelchketvertelg volltädg erfat wrde. Grafch ergbt ch für de Wahrchelchketvertelg w ( ) () () F = w = 0 mt de Date de Bepel folgede Bld: d für de Vertelgfkto bom01.doc

8 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Wahrchelchketvertelg 0.8 w () Vertelgfkto 1 F () Für de praktche Awedg der Bomalvertelg m ma bedeke, da der Bomalkoeffzet!! ( ) be größere Werte vo lecht de Kapaztät vo Tacherecher d Compter übertegt, we der Adrck chrttwee berechet wrd. Da m ma zächt de Adrck bereche, d deer Wert tegt mt größer werdedem ehr rach a. Allerdg ka ma de Bomalkoeffzete vor der Berechg verefache. Betrachtet ma bepelwee de Adrck = = 4 1 1! 3! d formlert dee explzt, da eht ma, da der Brch gekürzt werde ka: bom01.doc

9 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg = = = 4 1 1! 3! 123 De glt grdätzlch, de m Zähler de Bomalkoeffzete teht der Adrck d m Neer = ( ) = ( )! 1 2 3! Da (e köe a Elemete cht mehr al Elemete agewählt werde), t der Adrck ( )! jedem Fall owohl m Zähler al ach m Neer al Faktor vorhade d ka weggekürzt werde. Für de Bomalkoeffzete ergbt ch da allerdg der elegate Adrck ( ) ( ) ! Mthlfe deer Verefachg ka ma aber ach größere Bomalkoeffzete lechter areche. So t de Azahl der Möglchkete, ohe Berückchtgg der Rehefolge 6 Zahle a 49 z zehe 49 49! = = = = ! 43! 6! ! Dreht ma m letzte Brch de Faktore m, ka ma erkee, da de Azahl der möglche Kombatoe, 6 Zahle a 49 z zehe, ach af recht efache Wee abgeletet werde ka: ! E gbt 49 Möglchkete, de erte Zahl z zehe. Für de zwete Zahl gbt e ee Möglchket weger, alo 48 w. b zr echte Zahl. Alle dee Möglchkete köe mteader kombert werde, de geamte Zahl der Möglchkete t alo da Prodkt der Zahle vo 44 b 49. I deer Zahl der Möglchkete t de Azahl der Möglchkete, de 6 Gewzahle terchedlch azorde, aber ethalte. Jedoch kommt e af de Rehefolge, der de Gewzahle gezoge werde, cht a. Für de Aordg der 6 Gewzahle gbt e 6! Möglchkete, d m dee Faktor t de Azahl der Zehgmöglchkete z verkleer, dem ach dem Fdametalprzp der Kombatork drch de Faktor getelt wrd. Möchte ma ee Bomalvertelg am Compter elbt bae, m ma dee Verefachg cht vorehme. Ma ka her tattdee de egebate Fktoe verwede. So teht Excel de Fkto KOMBINATIONEN(;) zr Verfügg d Mathcad de Fkto comb(,). Trotz aller Verefachge wrd ee Bomalvertelg be größere Werte vo chell überchtlch. Dewege d Kezahle etwckelt worde, mt dee ma Wahrchelchketvertelge charakterere ka, ohe de Vertelg geamt darztelle. Dee Kezahle d der Erwartgwert, de Varaz d de Stadardabwechg. Allgeme t der Erwartgwert eer dkrete Zfallvarable (da t ee Varable, de edlch vele oder abzählbar edlch vele Werte aehme ka) de Smme aller mt hre Wahrchelchkete gewchtete möglche Aprägge der Zfallvarable. Bezechet ma mt P(X = x ) de Wahrchelchket, da de Zfallvarable X de Wert x ammt, da t der Erwartgwert E(X), für de ma ach µ chrebt: (4) E( X ) = µ = x P( X = x) Agewedet af de Modellvercherg d af ee ezge Verchergehmer, t der Erwartgwert de Schade bom01.doc

10 De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg ( ) w w = w We ee Verchergterehmg r dee ezge Verchergehmer hat, t der Erwartgwert hre Geamtchade atürlch mt dem Erwartgwert de Ezelchade detch. De Frage t, we ch der Erwartgwert de Geamtchade verädert, we de Azahl der Verchergehmer erhöht wrd. E legt zwar de Vermtg ahe, da der zätzlche Erwartgwert de Ezelchade efach addert werde ka, aber e Bewe t da cht. Für zwe Verchergehmer lät ch dee och ee volltädge Emerato der möglche Fälle drchführe, d ma erhält für de Erwartgwert de Schade vo zwe glechartge Verchergehmer: ( + ) w w + ( + 0) w ( 1 w ) + ( 0+ ) ( 1 w ) w + ( 0+ 0) ( 1 w ) ( 1 w ) = 2 w + w w + w w = 2 w Der Erwartgwert de Geamtchade erhöht ch alo we vermtet m de Erwartgwert de zätzlche Ezelchade. Ma ka zege, da folgeder Addtoatz für Erwartgwerte glt: Se E(X) der Erwartgwert eer Zfallvarable X d E(Y) der Erwartgwert eer adere Zfallvarable Y, da t der Erwartgwert der gemeame Zfallvarable X + Y E( X+ Y) = E( X) + E( Y) De Erwartgwerte der Schäde weterer Verchergehmer köe alo efach zm Erwartgwert de Geamtchade der Verchergterehmg addert werde. Der Erwartgwert de Geamtchade vo glechartge Verchergehmer t omt (5) µ = w De Varaz t der Erwartgwert der qadrerte Abwechge der Zfallvarable vom Erwartgwert µ. E glt folgede Defto der Varaz Var(X) oder σ 2 : 2 (6) Var ( X) =σ = ( x ) 2 µ P( X = x) De Varaz der Schadevertelg ee Verchergehmer t mt Defto 2 2 ( w ) w + ( 0 w ) ( 1 w ) ( 2 w w ) w w ( 1 w) = + + = w 2 w + w + w w = w w = w 1 w ( ) Für de Smme vo Varaze glt der Addtoatz Var ( X + Y) = Var ( X) + Var ( Y) µ = w ach deer we de Zfallvarable abhägg voeader d, wa her der Fall t. De Varaze für Verchergehmer köe alo addert werde, oda für de Varaz de Geamtchade glt 2 2 (7) σ = w ( 1 w ) De Stadardabwechg t de potve Qadratwrzel a der Varaz, oda (8) σ= w ( 1 w ) bom01.doc

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