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1 Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( (( 3 ( 3 Betrchte u die Summe ( (( 3 ( 3 Hierbei fällt uf, dss für die eizele Summeglieder gilt: ( 3 ( { 3 3 für gerde für ugerde ( Fll: Nehme zuerst, dss N gerde ist, dh es existiert ei ñ N mit ñ D folgt us (, dss lle ugerde Summde, für welche l mit l N ud l < ñ gilt, ull sid Somit reicht es über lle gerde Summde, für welche l mit l N ud l ñ gilt, zu summiere: ( (( 3 ( 3 ñ l ñ l ( (( 3 l ( 3 l l ( (3 l 3 l l ñ l ( 3 l ( l Nu ist och zu überlege, dss ( l ud 3 l türliche Zhle für l ñ sid Somit ist der Ausdruc ( ls Multiplitio ud Additio türlicher Zhle wieder eie türliche Zhl ud die Behuptug für de Fll gerde bewiese Fll: Der Fll für ugerde futioiert log - dh ch gleicher Vorgehesweise mit gewisse Äderuge de etspreche Stelle D die Aussge für lle mögliche Fälle ( ugerde ud gerde gezeigt wurde, gilt die Behuptug

2 Aufgbe : (3 Pute Beweise Sie folgede Aussge durch vollstädige Idutio N N : ( ( m m ud verschuliche Sie diese Zusmmehg im Psclsche Dreiec Lösug : A(, ( ( m m Afg der Idutio über : : A(, Beweis dieser Aussge wiederum mit Idutio über ud Afg der Idutio über : A(, A(, ( m m ist erfüllt Vorussetzug für Idutio über : ( l < : A(, l Schritt der Idutio über : A(, A(, A(, Id-V ( 3 ( ( m m ( ( ( m m ( ( ( ( ( ( 3 ( 3 Implitio erfüllt; lso schließt m: N : A(, Dmit ist der Afg der Idutio über erfüllt Vorussetzug für Idutio über : m < N : A(m,

3 Schritt der Idutio über : A(, A(, ( ( m A(, m ( (( ( ( m m m ( m ( ( m m m ( Id-V ( ( m m ( ( m m ( ( ( µ } {{ } µ ( ( Id-V Implitio erfüllt Also schließt m:, N : A(, (( ist dbei die Idetität ( ( ( Ds Pscl sche Dreiec lässt sich wie folgt illustriere: N\K ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dbei gilt stets ( Die bewiesee Summeformel A(, sgt u, dss die Summe der Eiträge i der -te Splte bis zur ( -te Zeile eischließlich gerde dem Eitrg i der ( -te Splte i der ( -te Zeile etspricht 3

4 Aufgbe 3: (4 Pute Beweise Sie mit Hilfe der Körper- ud Aordugsxiome i R:, b R : b b b b Begrüde Sie mit Hilfe dieser Ugleichug, dss vo lle Rechtece mit festgelegtem Umfg U ds Qudrt de mximle Flächeihlt ht Lösug 3: Es gilt: ( Recheregel im Körper b b b b b (i Die erste Ugleichug erhält m wie folgt: b Aordugsxiome b b (ii Aus de Aordugsxiome folgt betermße die Positivität ller Qudrtzhle Isbesodere (iii ( b Biom b b b b b Aordugsxiome b b b b Für die Seiteläge eies Rechtecs b mit ( b : U gilt für die Fläche A : b ch der obge Ugleichug: A b b b b mit Gleichheit geu d, we ( b b Also ht ds Qudrt mit de Seiteläge b U/4 de mximle Ihlt 4

5 Aufgbe 4: (4 Pute Fide Sie lle x R, welche die Ugleichug x x erfülle Fide Sie lle x R, welche die Ugleichug x erfülle 3 Beschreibe Sie ei Verfhre zur Lösug vo Ugleichuge der Form x b < c für, b, c ud x R Lösug 4: Im Folgede verwede wir die Defiitio des Absolutbetrges ud eie Flluterscheidug um lle x R zu bestimme, welche der Ugleichug geüge: x x gdw x x (x x gdw x < x x x (x (x gdw x < x < x (x gdw x x < gdw x x gdw x < x gdw x < x gdw x x < x x x ], [ x [, /] x ] ; /] 5

6 Beträge uflöse per Flluterscheidug { (x für x x (x für x < x für x x x für x x < 3 x für x < 3 x 3 x für x < 3 x < x für x x x für x x > x für x < x 3 x 4 für x < x < 3 x [, ] x ], ] x [ 3, ] x [ 4, 3[ x [ 4, ] [, ] 3 Für c ist die Lösugsmege leer Für c > ist x b < c c < x b < c c b < x < c b { cb < x < c b für > cb > x > c b für < { x ] cb ; c b [ für > x ] c b ; cb [ für < Flls, ist für b < c die Lösugsmege gz R Flls ud b c ist die Lösugsmege leer 6

7 Aufgbe 5: (3 Pute Nee Sie Ihre Vermutuge über die Bedeutug des Terms xy x y, wobei x, y R, ud beweise Sie diese Zeige Sie mit ei pr Worte uf, wie Sie zu Ihrer Vermutuge me? Lösug 5: Idee ist es, die beide mögliche Fälle zu betrchte, wie der Betrg ufgelöst werde : Flls x y gilt: Ud flls y x gilt: x y x y x y x y x x Also ist x y x y x y x y x y y x y y mx(x, y x, y R 7

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