Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3

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1 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 Ü3.1: a) Die Start-Buchungslimits betragen b 1 = 25, b 2 = 20 und b 3 = 10. In der folgenden Tabelle sind jeweils die Annahmen ( ) und Ablehnungen ( ) der Anfragen für die zu untersuchenden Verfahren dargestellt: Anfrage Standard Nesting Theft Nesting Dynamische Anpassung? b 1 b 2 b 3? b 1 b 2 b 3? b 1 b 2 b 3 x 1 x 2 x P P P

2 2 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 Anfrage Standard Nesting Theft Nesting Dynamische Anpassung? b 1 b 2 b 3? b 1 b 2 b 3? b 1 b 2 b 3 x 1 x 2 x P P P P P P b) Die erzielten Gesamterlöse belaufen sich bei der Verwendung von Standard Nesting auf 1375 GE, bei Theft Nesting auf 1225 GE und bei Dynamischer Anpassung auf 1350 GE. c) Nur Standard Nesting führt zu einer vollständigen Auslastung. Bei Theft Nesting wird aufgrund von frühzeitigem, außerordentlichen Eintreffen von Anfragen nach und P 2 das Buchungslimit von reduziert. Dies hat zur Folge, dass später eintreffende Anfragen nach abgelehnt werden, da dem Low Before High- Prinzip folgend erwartet wird, dass die ursprünglich prognostizierten, regulären Anfragen nach und P 2 noch eintreffen. Bei der Dynamischen Anpassung kann aufgrund der Reduktion des Buchungslimits von bei den Anfragen 11 und 13 die Anfrage 19 nicht angenommen werden (vgl. auch Aufgabenteil d)). d) Der Unterschied zwischen den beiden Vorgehensweisen besteht darin, dass bei einer aktuellen Anfrage für ein höherwertiges Produkt, für welches kein eigenes Kontingent mehr vorhanden ist, auf unterschiedliche niederwertigere Kontingente zurückgegrif-

3 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 3 fen wird. Bei Standard Nesting nutzt man das Kontingent der nächst-günstigeren Klasse, während bei der Dynamischen Anpassung auf das Kontingent der günstigsten Klasse ausgewichen wird. Dieses Vorgehen zeigt sich bei der Betrachtung der Anfragen 11 und 13. Ü3.2: a) Die Bewertungen zur Ermittlung der Schachtelungshierarchien werden mit Hilfe der folgenden Formel ermittelt: r hi = ( r i k π kt a ki ) a hi A i Dadurch ergibt sich für Ressource A: r A1 = ( ) 1 = 40 r A2 = ( ) 1 = 90 Wir erhalten die Schachtelungshierarchie 21,. Analog resultiert für Ressource B: r B1 = ( ) 1 = 40 r B2 = ( ) 3 = 30 Die Schachtelungshierarchie ist 12,. b) Die ressourcenspezifischen Buchungslimits errechnen sich wie folgt: k 1 b hik, = max 0, c h j = 1a hij x* ij Für die Ressourcen A bzw. B gilt dementsprechend: b A1 = 1 b B1 = 4 b A2 = 2 b B2 = 3 c) Aufgrund der Buchungslimits b A1 = 1 1 und b B1 = 4 1 wird die Anfrage nach angenommen. Passt man die Buchungslimits gemäß Theft Nesting an, so erhält man für Ressource A b A1 = 0 und b A2 = 1. Für Ressource B ergibt sich b B1 = 3 und b B2 = 2. Das Problem besteht nun darin, dass von Ressource A und B noch 1 bzw. 3 KE vorhanden sind, aber aufgrund der Buchungslimits

4 4 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 b A1 = 0 und b B2 = 2< 3 weder eine Anfrage nach noch nach P 2 angenommem werden kann. Die Ursache für diesen Deadlock sind die beiden unterschiedlichen ressourcenspezifischen Schachtelungshierarchien. Ü3.3: a) DLP-Modell Maximiere Vc ( = ( 22, )) = 120x x x x 4 unter den Nebenbedingungen x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + x 2 + x 4 2 x 1 1 ; x 2 1 ; x 3 0 ; x 4 1 x 1 0 ; x 2 0 ; x 3 0 ; x 4 0 (Kapazitätsrestriktion AGB FRA ) (Kapazitätsrestriktion FRA HAM ) Durch scharfes Hinsehen erkennt man, dass in der optimalen Lösung die beiden Produkte und P 2 abgesetzt werden. Die optimalen Kontingente lauten x* = ( 1100,,, ). Der Resterlös beläuft sich auf = 220. b) Die inputorientierten Opportunitätskosten ρ A und ρ B betragen: ρ A = V( c) V( c ( 10, )) = V22 (, ) V12 (, ) ρ A = = 25 ρ B = V( c) V( c ( 01, )) = V22 (, ) V21 (, ) ρ B = Dabei lassen sich die optimalen Lösungen der Wertfunktion erneut durch scharfes Hinsehen ermitteln. c) Die outputorientierten Opportunitätskosten ρ i für die Produkte i = 1,, 4 werden wie folgt berechnet: ρ 1 = V( c) V( c ( 11, )) = V22 (, ) V11 (, ) ρ 1 = = 100 ρ 2 = V( c) V( c ( 11, )) = V22 (, ) V11 (, ) ρ 2 = = 100

5 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 5 ρ 3 = V( c) V( c ( 10, )) = V22 (, ) V12 (, ) ρ 3 = = 25 ρ 4 = V( c) V( c ( 01, )) = V22 (, ) V21 (, ) ρ 4 = = 100 d) Mit den inputorientierten Opportunitätskosten können die outputorientierten Opportunitätskosten hier nur sehr schlecht approximiert werden (deutliche Überschätzung). Als Approximation für ρ 1 bzw. ρ 2 ergibt sich: ρ A + ρ B = = 125 Da selbst der Erlös des teuersten Produkts unter dem Bid-Preis liegt ( 125 > 120 ), können weder Anfragen nach noch nach angenommen werden. Damit ist der Vorschlag nicht sinnvoll. P 2 e) Da die inputorientierten Opportunitätskosten über dem Angebot des Ölscheichs liegen ( ρ B = 100 > 95 ), ist es nicht sinnvoll, das Angebot des Ölscheichs anzunehmen. f) Es müssen mindestens die Opportunitätskosten in Höhe von ρ 3 = 25 erzielt werden. Dementsprechend beläuft sich der maximale Rabatt auf = 45. Ü3.4: a) D 3 wird nicht benötigt, D 1 und D 2 dagegen sind erforderlich. b) Zunächst müssen die paarweisen Schutzlimits s 13 und s 23 mit der Regel von Littlewood bestimmt werden: Für s 13 wird sukzessive r 3 r 1 PD ( 1 c) überprüft. Das Symbol deutet dabei an, dass die Ungleichung erfüllt ist und das Schutzlimit gesenkt werden muss. Dagegen repräsentiert das Symbol die Verletzung der Ungleichung und damit das Erreichen des optimalen Schutzlimits. s 13 = 2 : P( D 1 2)? 100 0? s 13 = 1 : P( D 1 1)? ? s 13 = 1 Analog gilt für s 23 : s 23 = 2 : P( D 1 2)? 100 0?

6 6 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 s 23 = 1 : P( D 1 1)? ? s 23 = 1. Das gesamte Schutzlimit wird mittels der Formel für EMSR-a bestimmt: j 1 s j = min i = 1s ij, C 2 s 3 = min i = 1s i3, C = min{ s 13 + s 23, C} = 2 Die Anfrage nach wird bei einer Restkapazität von c = 2 abgelehnt. c) Für eine übersichtlichere Darstellung wird der Baum in zwei Teilbäume zerlegt. Der erste Teilbaum analysiert die Ablehnung der Anfrage nach, der zweite eine Annahme der Anfrage nach. Folgende Bezeichnungen werden eingeführt: p Wahrscheinlichkeit, dass eine Anfrage nach P 2 eintrifft q Wahrscheinlichkeit, dass eine Anfrage nach eintrifft Annahme der jeweiligen Anfrage Ablehnung der jeweiligen Anfrage Teilbaum 1: (+200) μ = 150 q = q = p = p = 0.4 μ = 150 μ = 150 q = q = 0.5 q = q = μ = Anfrage nach P 2 Anfrage nach Bei Ablehnung der Anfrage nach beträgt der erwartete Erlös gemäß dem Entscheidungsbaum 270 GE.

7 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 7 Teilbaum 2: 280 (+100) μ = p = p = 0.4 Anfrage nach P 2 (+200) μ = 150 μ = 150 q = q = 0.5 q = q = Anfrage nach Bei Annahme der Anfrage nach resultiert ein erwarteter Erlös von 280 GE. Insgesamt besteht die optimale Strategie somit darin, die Anfrage anzunehmen (280>270). EMSR-a liefert folglich in diesem Beispiel nicht die optimale Lösung. d) Zuerst werden die Wahrscheinlichkeiten für die verbleibende Gesamtnachfrage nach den Produkten und P 2 der aggregierten Zufallsvariable ( = ) berechnet: D j 1 D 2 PD ( 2 = 0) PD ( 2 = 1) PD ( 2 = 2) Um den Durchschnittsertrag ( ) ermitteln zu können, r j 1 = r 2 sind im nächsten Schritt die Erwartungswerte der Restnachfrage zu bestimmen: D 1 = 0.5 ME, D 2 = 0.6 ME r 2 [ 2 r i D ] 2 [ i = 1 i i = 1 D ] = = = i Das Schutzlimit s 12 wird anschließend mit Hilfe der Regel von Littlewood durch Überprüfung von r 3 r 2 PD ( 2 c) bestimmt: = 2 : P( D?? s ) = 1 : P( D?? s ) s 12 = 1 Die Anfrage nach wird angenommen. Folglich liefert EMSRb in diesem Beispiel im Gegensatz zu EMSR-a die optimale Lösung.

8 8 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 Ü3.5: a) In dem unten stehenden Koordinatensystem sind die Buchungsverläufe der drei Produkte, P 2 und dargestellt. Es liegen trianguläre Buchungskurven vor. 4 lambda λ Buchungskurve 1 Buchungskurve 2 Buchungskurve t t Die Buchungsverläufe entsprechen den Erwartungen, da den höchsten Preis hat und sich damit an kurzfristig buchende, wenig preissensitive Kunden richtet. Das Produkt erzielt den niedrigsten Preis, wodurch Anfragen bereits früh im Buchungszeitraum eingehen (z.b. von Touristen). b) Zuerst müssen die Erwartungswerte für die Nachfrage nach und P 2, welche den Dreiecksflächen entsprechen, berechnet werden: ( 85 30) 2 ED ( 2 ) = = 55 2 Daraus resultiert für P 2 eine P 55 -Verteilung, d.h. eine Poissonverteilung mit dem Parameter μ = 55. ( ) 3.5 ED ( 1 ) = = 70 2 Für erhält man eine P 70 -Verteilung. Die paarweisen Schutzlimits s12, s13 und s23 werden mit der Regel von Littlewood bestimmt. Dabei geben wir im Folgenden nur die entscheidungsrelevanten Werte an.

9 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 9 s 12 : s12 = 72 : P( D 1 > 72) = = 188? s 12 = 71 : 200 < 500 P( D 1 > 71) = = 210.5? s 12 = 71 s 13 : P( D1 > 77) = = 92? 100 < 500 P( D 1 > 76) = = 108? s 13 = 76 s 23 : P( D2 > 55) = = 92.8? 100 < 200 P( D 2 > 54) = = 103.6? s 23 = 54. Die aggregierten Schutzlimits werden gemäß EMSR-a bestimmt: j 1 s j = min i = 1s ij, C Die resultierenden Schutz- und Buchungslimits lauten: s 2 = s 12 = 71 b 2 = = 89 s 3 = s 13 + s 23 = = 130 b 3 = = 30

10 10 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 c) Die folgende Tabelle enthält die Entscheidungen über die Annahme und Ablehnung der Anfragen, wobei b i dem Rest-Buchungslimit für Produkt entspricht: P i Zeitpunkt Anfragen Annahme? b 3 b 2 b Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach P Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach P Anfragen nach d) Im Zuge der Reoptimierung müssen die Rest-Erwartungswerte für die Nachfrage nach und P 2 berechnet werden. Diese Erwartungswerte entsprechen den Restflächen unter den Dreiekken ab dem Zeitpunkt t = 59: ED ( 2 ) ( 75 59) ( 85 75) 2 = = Daraus resultiert für die verbleibende Nachfrage nach -Verteilung P 2 eine ED ( 1 ) = ED ( 1 ) = 70 Der Erwartungswert für ändert sich somit nicht ( P 70 -Verteilung). Daher gelten für die beiden Schutzlimits und wei- s 12 s 13

11 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 11 terhin die Werte = 71 bzw. = 76, die in Aufgabenteil b) s 12 s 13 ermittelt wurden. Für s 23 gilt: s 23 = 36 : P( D 2 > 36) = = 95.2? = 35 : 100 < 200 P( D? s 23 2 > 35) = = = 35 s 23 Die aggregierten Schutzlimits werden gemäß der Formel für EMSR-a bestimmt: j 1 s j = min i = 1s ij, C Die Restkapazität zum Zeitpunkt t = 59 beträgt C = = 120 KE. Dadurch ergeben sich für die Schutzlimits und sowie die dazu gehörigen Buchungslimits b 2 bzw. b 3 die folgen- s 2 s 3 den Werte: = = 71 b s 2 s 12 2 = = 49 s 3 = s 13 + s 23 = = 111 b 3 = = 9 In der folgenden Tabelle wird der verbleibende Anfragestrom aus Aufgabenteil c) dargestellt: Zeitpunkt Anfragen Annahme? b 3 b 2 b Anfragen nach REOPTIMIERUNG Anfragen nach P Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach Anfragen nach P Anfragen nach Die Veränderung der Buchungslimits und der Annahmestrategie liegt darin begründet, dass die vor t = 59 erwartete Nachfrage

12 12 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 3 nach P 2 nicht eintrifft (Fehlprognose?). Der positive Effekt für das Buchungslimit von wird jedoch teilweise dadurch kompensiert, dass vor t = 59 zusätzlich unerwartete Nachfrage nach eintrifft. i j e) Die in der Regel unrealistische Annahme, dass für > die Nachfrage nach P i vollständig vor der Nachfrage nach P j eintrifft, ist hier verletzt. Dennoch ist eine Verwendung von EMSR Heuristiken als Approximation in diesem Fall durchaus üblich. Grundsätzlich problematisch ist hingegen die Behandlung von eintreffenden Gruppenbuchungsanfragen, da bei der Berechnung der verwendeten Buchungslimits lediglich die Grenzerlöse für die jeweils nächste Kapazitätseinheit in Betracht gezogen werden. Für Gruppenbuchungen müsste daher eine differenziertere Betrachtung vorgenommen werden, bei welcher der Gesamterlös der Gruppenanfrage den gesamten durch deren Annahme verursachten Opportunitätskosten gegenübergestellt wird. Eine Steuerung auf Grundlage von Buchungslimits wird dadurch faktisch unmöglich. In diesem Zusammenhang ist jedoch anzumerken, dass im betrachteten Beispiel in allen Fällen, in denen Gruppenanfragen abgelehnt werden, das betreffende Buchungslimit bereits vollständig auf 0 reduziert ist, so dass die beschriebene Problematik hier (zufällig) nicht auftritt. Dennoch sollte die Möglichkeit von Gruppenanfragen grundsätzlich auch im Rahmen der Prognose und somit bei der Bestimmung der Zufallsvariablen berücksichtigt werden. D i geeignet

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5

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