Analytische Berechnung magnetischer Felder in Permanentmagnet erregten Maschinen

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1 Analytische Beechnung magnetische Felde in Pemanentmagnet eegten Maschinen Vom Fachbeeich Elektotechnik de Helmut-Schmidt-Univesität Univesität de Bundesweh Hambug zu Elangung des akademischen Gades eines Dokto-Ingenieus genehmigte DISSERTATION von Jög Peschke aus Rheine Hambug 006

2 Refeent: Pof. D.-Ing. E. Bolte Koefeent: Pof. D. e. nat. M. lemens Tag de mündlichen Püfung:

3 Vowot Diese Abeit entstand wähend meine Zeit als wissenschaftliche Mitabeite an de Pofessu fü Elektische Maschinen und Antiebe de Helmut-Schmidt-Univesität / Univesität de Bundesweh in Hambug. Mein Dank gilt insbesondee Hen Pof. D.-Ing. E. Bolte fü die Möglichkeit, diese Abeit an seine Pofessu zu fetigen. Seine Anleitung, sein wetvolle Rat und seine ständige Beeitschaft zu fachkundigen Diskussion haben die voliegende Veöffentlichung emöglicht. Auch die Mitabeiteinnen und Mitabeite de Pofessu haben mit zahleichen Ideen und Hinweisen sowie feundschaftlichem Anspon viel zu meine Abeit beigetagen. Meine Lebensgefähtin Gaby danke ich fü den wohl schwieigsten Teil bei de Vobeeitung des Skiptes: Sie hat mich wähend dessen Entstehung stets emutigt, etagen und gehalten, in jede Situation. Ein abschließende, goße Dank sei meinen Elten gewidmet. Sie haben mi stets beiseite gestanden, den Weg zu diese Veöffentlichung vobeeitet und mich untestützt, wo imme es Ihnen möglich wa. Hambug, im Oktobe 006 Jög Peschke

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5 . Einleitung Gegenstand de Abeit Quellen des esten Kapitels Detaillieung des mathematischen Modells Pemanentmagnet eegte Radialflussmaschinen Allgemeines zu Modellieung Betachtete Maschinenausfühungen Aufteilung des elektomagnetischen Feldes de Maschine Efassung de Eigenschaften de Magnetwekstoffe Bescheibung des vewendeten mathematischen Modells....3 Quellen des zweiten Kapitels Ableitung des magnetischen Vektopotentials aus den Maxwellschen Gleichungen Ableitung des magnetischen Vektopotentials im Vakuum Betachtung des Einflusses de Mateialgleichungen Betachtung dia- und paamagnetische Wekstoffe Betachtung feomagnetische Wekstoffe Betachtung des magnetischen Vektopotentials unte dem Einfluss von Mateie Das Vektopotential in dia- und paamagnetische Mateie Das magnetische Vektopotential in feomagnetische Mateie Magnetisiete Mateie als Usache magnetischen Vektopotentials Randbedingung des magnetischen Vektopotentials Schlussfolgeungen zu Anwendung des magnetischen Vektopotentials Quellen des ditten Kapitels Beechung eines 6-Schichtenmodells Pemanentmagnet eegte Maschinen Fomulieung des Feldpoblems Dastellung des Gebietes pemanente Polaisation Bescheibung de Magnetisieungsfunktion Bescheibung de Magnetisieung duch eine Esatzstomdichte Bescheibung de Magnetisieung duch einen Esatzstombelag Lösung des Feldpoblems Lösung des Feldpoblems de nicht eegten Räume in Zylindekoodinaten Lösung des Ansatzes fü den Pemanentmagnet eegten Raum in Zylindekoodinaten Zusammenstellung de Lösungsansätze Auswetung de Randbedingungen an den Genzflächen Randbedingungen in allen Feldäumen Randbedingungen an de Genzfläche Welle Läufejoch Randbedingungen an de Genzfläche Stände - Außenaum Randbedingungen an de Genzfläche Luftspalt - Stände Randbedingungen an de Genzfläche Läufejoch Dauemagnet Randbedingungen an de Genzfläche Dauemagnet - Luftspalt Eechnen de Konstanten fü den Feldaum des Dauemagneten Seite

6 4.3.5 Zusammenstellung de eechneten Konstanten Emittlung von Feldgößen aus den Vektopotentialen Beechnung de Poladspannung Beechnung de Flussvekettung eine Spule Beechnung de Flussvekettung eine Spulenguppe Beechnung de Flussvekettung de Wicklungsstänge Beechnung de Stangspannungen Numeische Beechnung eines Beispielpoblems Quellen des vieten Kapitels Bestimmung de Steuziffe aus de zweidimensionalen Feldbeechnung Quellen des fünften Kapitels Beechnung eines Vielschichtenmodells Pemanent eegte Maschinen Fomulieung des Feldpoblems Lösung des Feldpoblems Lösungsansatz Fomulieung eines Algoithmus zu Konstantenbestimmung Bestimmung de Konstanten Allgemeine Bestimmung de Konstanten an den Genzflächen i Bestimmung de Konstanten an den Genzflächen = und = M Bestimmung de Konstanten an den Genzflächen = E- und = E Zusammenfassende Dastellung des Algoithmus zu Beechnung alle Konstanten des Gleichungssystems Anwendung des Algoithmus Quellen des sechsten Kapitels Definition und Bestimmung von Esatzpemeabilitäten fü die zweidimensionale Feldbeechnung Definition und Bestimmung von Esatzpemeabilitäten fü die zweidimensionale Feldbeechnung Bestimmung und Fomulieung de Wekstoffkennlinie Intepolation disket voliegende Wetepaae von Magnetisieungskuven Appoximation de Magnetisieungskuve duch eine paametiete Hilfsfunktion Bestimmung de die Esatzpemeabilität festlegenden Feldgöße Konvegenz und Abbuch des Algoithmus zu Esatzpemeabilitätsbestimmung Beechnung eines Beispielpoblems Quellen des siebten Kapitels Nutung Beücksichtigung de Nutung duch einen vegößeten Luftspalt Quellen des achten Kapitels Seite

7 9. Integation de Ankewicklung in das zweidimensionale Schichtenmodell Fomulieung des Feldpoblems Entwicklung des Stombelags de Statowicklung Supeposition de Spulen zu eine Spulenguppe Supeposition de Spulenguppen zu einem Stang Supeposition de Statostänge Integation des Stombelags in die Modellanodnung Numeische Beechnung eines Beispielpoblems Beechnung de Statoflussvekettung Quelle des neunten Kapitels Beispielechnungen Beechnungsegebnisse fü den Synchonmoto MSKS 07-3 de Fima Lenze GmbH & o. KG Eingabedaten Beechnungsegebnisse atefakto Modellieung de Pemeabilitätsveteilung in Roto und Stato Beechnung des magnetischen Vektopotentials Beechnung magnetische Flussdichte im Leelauf Beechnung des Bohungsfeldes Beechnung von aus den Felden abgeleitete Gößen Beechnung von Flussvekettung und Poladspannung Beechnungsegebnisse fü den Toquemoto MBT0 de Fima Bosch-Rexoth AG Eingabedaten Eingabedaten konzentiete Wicklungen Beechnungsegebnisse atefakto Modellieung de Pemeabilitätsveteilung in Roto und Stato Beechnung des magnetischen Vektopotentials Beechnung von aus den Felden abgeleitete Gößen Beechnung von Flussvekettung und Poladspannung Quellen des zehnten Kapitels Zusammenfassung und Ausblick Seite 3

8 Anlage : Technische Daten des Sevomotos de Fima Lenze Anlage : Technische Daten des Toquemotos de Fima Bosch-Rexoth Anlage 3: Pogammbescheibung... 5 Anlage 4: Quellenvezeichnis... 5 Anlage 5: Vezeichnis de vewendeten Vaiablen Anlage 6: Lebenslauf des Autos Seite 4

9 . Einleitung Die Pemanentmagnet eegte Maschine hat mit de Weiteentwicklung von Magnetwekstoffen in den letzten Jahen (siehe auch Bild.) eine apide Zunahme von Anwendungsmöglichkeiten efahen. Fühee Genzen, gesetzt duch die Enegiedichte, themische Belastbakeit und Koosionsanfälligkeit von Dauemagneten sind übewunden. Die esultieende Motoentechnologie veeint nunmeh einige hevoagende Eigenschaften wie guten Wikungsgad und höchste Kompaktheit (Dehmoment po Volumen) mit einfache Positioniebakeit, hohe Gleichlaufgüte und Watungsfeiheit. Dahe weden Pemanentmagnet eegte Maschinen nun auch fü gößee Leistungen inteessant. Goßmaschinen im Schiffbau ( min - ), langsam laufende Windenegiegeneatoen (7 min - ), getiebelose Taktionsantiebe (00 min - ) und schnell laufende Geneatoen (3000 min - ) in Beeichen von (...4 MW) sind Beispiele dafü, wie Pemanentmagnet eegte Maschinen vielfältige Anwendungen eoben (siehe auch Quelle [., S. ]). Bild. Enegiedichte veschiedene Pemanentmagnetmateialien Seite 5

10 . Gegenstand de Abeit Zuvelässige und genaue Egebnisse de Feldbeechnung sind nicht nu die Voaussetzung fü velässliche Kaft- und Momentbeechnungen, sonden auch ein unelässliches Hilfsmittel fü Entwuf und Dimensionieung Pemanentmagnet eegte Maschinen. In diese Abeit wid die analytische Beechnung de magnetischen Felde in solchen Maschinen thematisiet. Die entwickelte Theoie de Feldechnungen soll dabei in keine Weise in Konkuenz zu beeits etablieten numeischen Methoden (z.b. Methode de finiten Elemente) stehen, sonden diese um die Einblicke und Möglichkeiten eines analytischen Fomelweks egänzen. Die Ausfühungen weden, obwohl univesell anwendba, fü die Klasse de Radialflussmaschinen ausgestaltet. Bild.. zeigt die gebäuchlichen Ausfühungsfomen solche Maschinen fü innen liegende Eegeteile. Ankewicklungsvaianten: - Dahtwicklung in Nuten - Luftspaltwicklung - Konzentiete Wicklungen um einen Zahn Vaianten des Eegeteils: - Feldwicklung - PM-Ring am Luftspalt - PM-Blöcke am Luftspalt - PM-Blöcke in Flussfühung Bild... Ausfühungsfomen von femd eegten Maschinen mit adiale Flussoientieung und innen liegendem Eegeteil Seite 6

11 Die Motivation diese Abeit basiet auf de Lektüe von Quelle [.] ( Instantaneous Magnetic Field Distibution in Bushless Pemanent Magnet D Motos ). In diese Veöffentlichung wid die magnetische Feldveteilung an zylindisch modellieten dauemagneteegten Motoen mit Hilfe des magnetischen Skalapotentials duchgefüht. Aufgund de Veeinfachungen de vewendeten Motoenmodellieung bieten die Egebnisse des Beichts vielfältige Möglichkeiten de Weiteentwicklung. Die gundsätzliche Idee de Feldbeechnung soll in diese Abeit einen Fotgang finden, jedoch wid das Motoenmodell in vielen Aspekten - mit einem besondeen Augenmek auf die Bescheibung de magnetischen Wekstoffeigenschaften de Eisenwege - eheblich vebesset und egänzt. Eine diesbezügliche, detailliete Einfühung in die angewendete Motoenmodellieung diese Abeit wid im Folgekapitel gegeben. Die zu Veanschaulichung und Veifikation des Fomelweks duchgefühten numeischen Rechnungen diese Veöffentlichung vewenden als Beispiele einen univesell einsetzbaen Synchon-Sevomoto MDSKSRS 07-3 de Fima Lenze GmbH & o. KG sowie einen hochmodenen Dehmoment- (Toque-) Moto MBT0 de Fima Bosch Rexoth AG. Die technischen Daten diese Motoen sind in den beigefügten Anlagen und einzusehen.. Quellen des esten Kapitels [.] E. Bolte Technische Beicht N. 7 Auslegung von Pemanentmagnet eegten Maschinen mit adiale Flussoientieung Univesität de Bundesweh Hambug 00 [.] Z.Q. Zhu Instantaneous Magnetic Field Distibution in Bushless D. Howe Pemanent Magnet D Motos E. Bolte IEEE Tansactions on Magnetics B. Ackemann Volume 9. No., S Seite 7

12 . Detaillieung des mathematischen Modells Pemanentmagnet eegte Radialflussmaschinen. Allgemeines zu Modellieung Ziel de Modellbildung ist es, das Betiebsvehalten eine otieenden elektischen Maschine quantitativ zu bescheiben. Die Bescheibung des nach Außen in Escheinung tetenden Vehaltens an de Welle und den elektischen Zuleitungen liegt dann in Fom mathematische Beziehungen vo. Die Modellieung efolgt entwede analytisch, von den physikalischen Vogängen im Innen de Maschine ausgehend, ode man bescheibt das beobachtete Vehalten mit Hilfe empiisch gefundene Beziehungen. Die hie angestebte analytische Behandlung basiet auf de Anwendung allgemeine Feldgleichungen zu Bescheibung elektomagnetische Vogänge in Pemanentmagnet eegten Maschinen. Dabei soll die Auflösung so weit gehen, dass die fü einen Vogang maßgebenden Paamete auf die geometischen Abmessungen und die Wekstoffeigenschaften zuückgefüht weden. De allgemeine Ausgang de Betachtungen sind also die Feldgleichungen des quasistationäen Magnetfeldes. Ihe Anwendung auf die betachtete Anodnung macht aufgund ihe Komplexität stets veeinfachende Annahmen efodelich. Sie müssen so gut gewählt weden, dass die zu untesuchenden Einflüsse möglichst gut efasst und nicht duch Andee übedeckt weden. Die Lösung de Feldgleichungen liefet schließlich Beziehungen zwischen Integalgößen (wie Spannungen, Stomstäken und Flussvekettungen), die übe Integalpaamete (wie Widestände und Induktivitäten) miteinande veknüpft sind. Dabei weden diese Integalpaamete als Funktion de Geometie und Wekstoffdaten gewonnen (siehe auch Quelle [., S. 5]). Die Veeinfachungen zu Anwendung de Feldgleichungen de quasistationäen Felde sollen nun vogestellt weden... Betachtete Maschinenausfühungen Rotieende elektische Maschinen weisen im Allgemeinen eine Reihe von Symmetieeigenschaften auf, deen Beücksichtigung die Analyse von vonheein wesentlich Seite 8

13 veeinfacht. Zu diesen Symmetieeigenschaften gehöt vo allem de sich peiodisch in jedem Polpaa wiedeholende geometische Aufbau. Bei de Analyse des Betiebsvehaltens soll im Folgenden angenommen weden, dass diese Symmetie vollständig ist. Eine weitee Symmetieeigenschaft ist daduch gegeben, dass die Wicklungsstänge mehstängige Maschinen gleichatig aufgebaut und um den de Stangzahl entspechenden Teil de Polpaateilung gegeneinande vesetzt sind. Damit weden vo allem duch die Fetigung de Maschinen bedingte geingfügige Abweichungen de Symmetie duch das vewendete Modell negiet. Die Modellieung von Betiebsstöungen - veusacht duch Veletzungen de Symmetie - wid mit dem angestebten Modell nicht möglich sein... Aufteilung des elektomagnetischen Feldes de Maschine Die Aufteilung des Feldes in Luftspalt- und Steufelde ist stets möglich, sieht abe von Zeitpunkt zu Zeitpunkt in Abhängigkeit von de Läufestellung etwas andes aus (siehe auch Quelle [., S. 43]). Deshalb ist die Feldaufteilung nu im Zusammenhang mit den Annahmen sinnvoll, dass die Steufelde unabhängig von de Läufebewegung und sättigungsunabhängig sind. Sie füht jedoch auf seh paktikable Modelle, die sich vo allem in de Beechnungspaxis bewäht haben (siehe auch die Quellen [., S. 43] und [., S. 9.]). Bild... Zelegung des deidimensionalen Feldes eine otationssymmetischen elektischen Maschine in entkoppelte Teilfelde: Luftspaltfeld, Stinsteufeld und Nutsteufeld. Seite 9

14 Die Ausfühungen diese Abeit sollen sich auf die koppelnden Luftspaltfelde beschänken, da das Betiebsvehalten elektische Maschinen im Wesentlichen duch diese bestimmt ist (siehe auch Quelle [., S. 9.]). Die Modellieung de (entkoppelten) Steufelde wid Gegenstand weitee Abeiten sein (siehe auch Quelle [.])...3 Efassung de Eigenschaften de Magnetwekstoffe Die ealen Eigenschaften de feomagnetischen Stoffe sind in geschlossene analytische Fom kaum zu beücksichtigen. Usache dafü ist de nichtlineae mehdeutige und von de Vogeschichte abhängige Velauf de Magnetisieungskuve des vewendeten Wekstoffs. Außedem kommt es in feomagnetischen Abschnitten eines Magnetkeises bei zeitlich veändelichem Feld zu Ausbildung von Wibelstömen. Vielfach genügt es, diese Einflüsse genähet zu efassen. Folgende Veeinfachungsebenen weden unteschiedlich hohen Anspüchen geecht: Annahme unendliche Eisenpemeabilität und fehlende Wibelstöme, Annahme magnetisch lineae Vehältnisse und fehlende Wibelstöme, Genähete Beücksichtigung de Nichtlineaität de Wekstoffe, Genähete Beücksichtigung de Nichtlineaität de Wekstoffe und de Wibelstöme. Die esten beiden Veeinfachungsebenen sind die meistvewendeten Ausgangspunkte fü die analytische Behandlung des Betiebsvehaltens elektische Maschinen. Die Ausfühungen diese Abeit sollen - ausgehend von de Annahme magnetisch lineae Vehältnisse - ein Modell entwickeln, welche die Nichtlineaität de Wekstoffe beücksichtigt und den Schitt zu noch genaueen Beechnungen vobeeitet...4. Mathematische Fomulieung de elektomagnetischen Felde Die Hauptaufgabe ist es nun, elektomagnetische Felde in adialsymmetischen elektischen Maschinen zu emitteln. Die Efahung zeigt, dass die Einfühung eine zweckmäßig gewählten Hilfsfunktion die Feldbeechnung stak veeinfacht. In diese Abeit soll die Lösung des Feldpoblems im magnetischen Vektopotential - abgeleitet aus den Maxwellschen Gleichungen - efolgen. Neben de Möglichkeit, die Feldechnungen beachtlich zu veküzen, weist das magnetische Vektopotential weitee beachtliche Eigenschaften und Mekmale auf (siehe auch Quelle [., S. 9.4]): Seite 0

15 A B = ot A Φ= Adl... Magnetisches Vektopotential... Magnetische Flussdichte. Magnetische Fluss Wm = / AJdv... Magnetische Enegie A = const.... Magnetische Feldlinien fü ebene Felde z-geichteten Vektopotentials Die Definition des magnetischen Vektopotentials wid im Rahmen diese Abeit aus den Maxwellschen Gleichungen abgeleitet weden.. Bescheibung des vewendeten mathematischen Modells Mit den voangegangenen Übelegungen ist es nun möglich, eine Esatzanodnung zu Beechnung des Feldpoblems zu detaillieen. De Beechnung des Luftspaltfeldes Pemanentmagnet eegte Maschinen wid eine zweidimensionale Feldveteilung in Außenaum, Stato- und Rotoeisen, Welle, Pemanentmagnetanodnung und Luftspalt zugunde gelegt. Bild.. gibt die folgende Übesicht: Bild.. Untesuchte Modellanodnung am Beispiel eines Innenläufemotos. Dagestellt ist de Queschnitt in de (,ϕ)-ebene. Die betachteten Feldäume sind: Welle (), Roto (), Pemanentmagnetanodnung (3), Luftspalt (4), Anke (5) und Außenaum (6). Seite

16 Die in diese Abeit dokumentiete Theoie schließt sowohl Innen- als auch Außenläufemotoenmodellieung folgende Eigenschaften ein: Beechnung eines zweidimensionalen Magnetfeldes in de (,ϕ)-ebene, angeegt duch eine Pemanentmagnetanodnung auf dem Roto und duch Stöme in de Statowicklung. Die Pemanentmagnetanodnung wid duch eine Stomdichteveteilung im Feldaum (3) in die Rechnung eingefüht. Die Stomveteilung de Statowicklung wid duch einen flächigen Stombelag auf dem Radius (4) des Statos eingefüht. Die dem Roto zugewandte zylindische Statofläche auf dem Radius (4) wid als glatt angenommen. Die Statonutung wid näheungsweise duch einen vegößeten Luftspalt modelliet. Alle Feldäume weden modelliet duch konzentisch angeodnete, glattflächige (Hohl-) Keiszylinde. Fü alle Feldäume ( bis 6) weden homogene und isotope Wekstoffeigenschaften untestellt. Die (unteschiedlichen) nichtlineaen Wekstoffeigenschaften von Rotoeisen im Feldaum () und Statoeisen im Feldaum (5) weden iteativ aus dem e- lektomagnetischen Feld de Maschine bestimmt. Fü die veschiedenen Feldäume ( bis 6) weden jeweils konstante Tempeatuen untestellt. Die Zeitabhängigkeit ist daduch definiet, dass ein Betieb mit konstante Dehzahl an einem symmetischen Dehspannungssystem untesucht wid. Zu mathematischen Bescheibung wid das magnetische Vektopotential in Zylindekoodinaten genutzt Weitee zweckmäßige Detaillieungen des Modells weden in den veschiedenen Kapiteln diese Abeit vogenommen weden. Seite

17 .3 Quellen des zweiten Kapitels [.] G. Mülle Theoie elektische Maschinen VH Velagsgesellschaft GmbH 995 [.] E. Bolte Volesungsskipt Elektische Maschinen und Antiebe Helmut Schmidt Univesität Univesität de Bundesweh Hambug 005 Seite 3

18 3. Ableitung des magnetischen Vektopotentials aus den Maxwellschen Gleichungen 3. Ableitung des magnetischen Vektopotentials im Vakuum Diese Abeit behandelt die Maxwellschen Gleichungen als Gundlage fü die Beechnung magnetische Felde. Die Maxwellschen Gleichungen bilden ein System von Beziehungen, die veschiedene Feldgößen so miteinande vekoppeln, dass sie mit den expeimentellen Befunden elektomagnetische Escheinungen in völlige Übeeinstimmung stehen. (3...a) (3...b) A Edl = t DdA = V A ρdτ BdA (3...c) Hdl = J + D da A t (3...d) BdA = 0 A Die Beechnung elektische Maschinen efodet oft, Magnetfelde gegebene geometische Anodnungen von Stömen zu beechnen. Bei Poblemen einfache, zeitunabhängige magnetische Keise können diese Felde mittels de Gleichung (3...c) diekt angegeben weden: Hdl = J + D da A t Hdl = JdA A Hdl = I Meist sind die gegebenen Anodnungen jedoch kompliziete und es muss zu umständlicheen Methoden gegiffen weden. Hiebei spielt die Anwendung de Hilfsgöße des magnetischen Vektopotentials eine besondes wichtige Rolle. Zu dessen Seite 4

19 Heleitung ist es sinnvoll, die integale Dastellung de Maxwellschen Gleichungen umzufomen. Wähend die Gleichungen (3..) geometische Gößen enthalten können, weden in den äquivalenten Gleichungen diffeentielle Fom ausschließlich Feldgößen in eine vom Koodinatensystem unabhängigen Dastellung genutzt: (3...a) ot E = B t (3...b) div D = ρ (3...c) ot H = J + D t (3...d) div B = 0 Da die magnetische Flussdichte B quellenfei definiet ist (3...d), ist deen Dastellung duch ihe Wibel möglich (siehe auch Quelle [3., S. 8 ff.]): (3..3) div B = 0, B= ot A div ot A= A = A= 0 ( ) ( ) Zu Bescheibung des magnetischen Feldes ist - im Gegensatz zum elektostatischen Feld - also eine vektoielle Funktion notwendig. Lediglich in nicht Stom duchflossenen Gebieten lässt sich auch die magnetische Feldstäke als Gadient eines skalaen magnetischen Potentials beechnen. Das Vektopotential A ist aus Gleichung (3..3) nu bis auf den Gadienten eine skalaen Funktion bestimmba: A = A0 + gad A S B= ot A= ot A + ot gad A = ot A 0 S 0 Um A eindeutig zu definieen, benötigt man also neben Aussagen übe seine Wibel auch Aussagen übe seine Quellen. Es zeigt sich nun alledings, dass man - ohne Seite 5

20 die physikalischen Eigenschaften (3..) zu veletzen - übe die Quellen beliebig vefügen kann (siehe auch Quelle [3., S. 8 ff.]). Um diese ausstehende Nebenbedingung so zu wählen, dass Rechenvoteile entstehen, ist es notwendig, die Gleichungen (3...a) und (3...c) zu veknüpfen. Die Egänzung des untebestimmten maxwellschen Gleichungssystems efolgt duch die Mateialgleichungen. Im Vakuum gelten die Kopplungen (3..4.a) D = ε0e (3..4.b) B= 0H As [ ε ] = Vm Vs [ ] = Am, 0, 0 Haben wi es mit andeen Medien zu tun, so müssen wi in igendeine Weise D in Abhängigkeit von E und B als Funktion von H angeben. Diese Zusammenhänge weden zu einem späteen Zeitpunkt ausfühlich betachtet. Die Maxwell-Gleichung (3...c) egänzt mit dem magnetischen Vektopotential und den Mateialgleichungen des Vakuums lautet: ot H = J + D t ot B = 0J + 0 D t ot B = 0J + ε00 E t (3..5) ot ot A 0J ε0 = + 0 E t Um nun die Feldgöße E in (3..5) zu eliminieen, wid die Maxwell-Gleichung (3...a) umgefomt und eingesetzt (siehe auch Quelle [3.7, S. 8]): Seite 6

21 ot E = B = ot A t t ot E+ A = 0 ot gadϕ t E+ A=gadϕ t (3..6) E = Agadϕ t ot ot A= 0J ε00 gadϕ ε00 A t t Mit de Definition des vektoiellen Laplace-Opeatos ehalten wi schließlich das Egebnis: Δ A= gad div A ot ot A Δ A= gad div A 0J + ε00 gadϕ + ε00 A t t (3..7) A ε 0 0 A 0J gad div A 0 0 gad t ε t ϕ Δ = + + Nun ist de Zeitpunkt gekommen, um die noch imme unbekannte Divegenz von A zu wählen. De Feiheitsgad wid genutzt, um die Wellengleichung (3..7) zu veeinfachen: (3..8.a) div A =ε ϕ 0 0 t (3..8.b) ΔA ε00 A= 0J t Diese Wahl de Divegenz des magnetischen Vektopotentials (3..8) ist unte dem Namen Loentz-Eichung bekannt (siehe auch Quelle [3., S. 97 ff.]); mit de in Seite 7

22 (3..6) eingefühten Hilfsgöße ϕ ist das elektische Skalapotential eingefüht, fü welches folgende skalae Wellengleichung gefunden wid: (3..8.c) ρ Δϕ ε00 ϕ = t ε 0 Die Bescheibung de Potentialfunktionen (3..7) und (3..8) veeinfacht sich fü den statischen Fall zu Poisson-Gleichung und de veeinfachten oulomb-eichung (siehe auch Quelle [3., S. 8]): (3..9a) Δ A= 0J + gad div A+ 0 Δ A= J 0 ( ) (3..9b) div A = 0 Mit den Gleichungen (3..8) und (3..9) ist fü den zeitunabhängigen Fall die Hilfsgöße des magnetischen Vektopotentials im Vakuum eindeutig definiet. 3. Betachtung des Einflusses de Mateialgleichungen Die bisheige Betachtung de Maxwellschen Gleichungen, deen Wechselwikungen und die Ableitung de Hilfspotentiale wude im Vakuum duchgefüht. In diesem gelten die Definitionen: D = ε0e B= H ε Dabei weden die Skalae 0 0 (Dielektizitätskonstante des Vakuums) und 0 (Pemeabilitätskonstante des Vakuums) als zeitunabhängig konstant angenommen. Weitehin hat Maxwell in Zusammenhang mit de Hypothese eines Licht tagenden Mediums (Äthe) folgende Definition eingefüht, um de Wellengleichung zu genügen (siehe auch Quelle [3.6, S ]): Seite 8

23 ε 0 0 = c Diese einfache Kopplung de Maxwellschen Gleichungen duch die popotionale Veknüpfung de Feldgößen veliet mit dem Einbingen allgemeinen Mateials jedoch seine Gültigkeit. Nun ist es notwendig, die Wechselwikungen elektomagnetische Stahlung mit Mateie duch geeignete Paamete (Leitfähigkeit, Pemeabilität und Pemittivität) zu bescheiben. Wikt ein elektisches Feld E 0 auf ein Mateial, so weden sich die Ladungsveteilungen de Moleküle dieses Mateials ausichten, was zu eine Dipolmomentmenge p fühen wid (siehe auch Quelle [3.8]). Bei N Molekülen füht dies zu eine so genannten Polaisation P : P = Np Diese Polaisation wiedeum bedingt die Entstehung eine Obeflächenladungsdichte ρ pol und damit auch ein Gegenfeld E pol zum Eegefeld E 0 : ρ pol =Pn, div P =ρ pol (3..) E = E0 + Epol, E pol ρ = ε pol 0 Falls sich die Polaisation als Funktion de Zeit ändet, so entsteht zudem ein Stom mit de Stomdichte J : pol dl dp (3..) Jpol = Nqv = Nq = dt dt Analog zu Polaisation bei einem elektischen Feld spicht man von de Magnetisieung M als Konsequenz eines Magnetfeldes B 0 auf Mateie (siehe auch Quelle [3.8, S. 3 ff.]). m wid hiebei als das magnetische Moment bezeichnet: Seite 9

24 m= AI (3..3) B = B0 M, M = Nm Duch die induzieten Ringstöme entsteht wiedeum eine Stomdichte J mag : (3..4) J = ot M mag Anhand diese Wechselwikungen mit eingebachte Mateie können die Maxwellschen Gleichungen (3..) koigiet weden (siehe auch Quelle [3.7]): (3..5.a) ot E = B t (3..5.b) P ρ div E0 + = ε0 ε 0 (3..5.c) P ot ( B0 0M) = 0( J0 + J pol + Jmag ) + 0ε0 E0 + t ε0 (3..5.d) div B = 0 Um dieses Gleichungssystem elegante scheiben zu können, definiet man häufig (siehe auch Quelle [3.7]): (3..6) D ε0e 0 + P B H M, 0 0 und J J = J0 + J + J ges pol mag Das Gleichungssystem (3..5) kann mit Hilfe de Definitionen (3..6) wiede in das System de uspünglichen Maxwellschen Gleichungen (3..) übegehen, alledings geht damit oft die Einsicht de voangegangenen Betachtungen veloen. Nun ist es an de Zeit, die Magnetisieung M = f( B) und die Polaisation P= g( E) genaue zu bestimmen. De funktionale Zusammenhang ist duch das Mateial gegeben. Falls die Funktion bekannt sein sollte, können M und P eliminiet und das System de Maxwellschen Gleichungen gelöst weden. Im Allgemeinen sind die Funktionen f und g seh kompliziet. Seite 0

25 3.. Betachtung dia- und paamagnetische Wekstoffe Unte de Annahme des Ausschlusses stake Felde und feomagnetische Mateialien kann fü lineae und isotope Mateialien folgende Zusammenhang festgehalten weden (siehe auch Quelle [3.8]): (3...a) M = f( B) =α B (3...b) P = g( E) = β E Somit wid aus den Maxwellgleichungen ein Satz lineae Diffeentialgleichungen und es gilt das Supepositionspinzip. De Zusammenhang de Gleichungen (3...) gilt leide nicht fü beliebig schnell veändeliche Felde; die Tägheit de Elektonen macht sich bemekba. Damit hängt M () t nicht nu von B zu Zeit t ab, sonden auch von den füheen Zeiten t (Vogeschichte). Damit ist α konst = α ( t t ). Analoges gilt auch fü die Polaisation (siehe auch Quelle [3.9]). Mt () = α( tt ) Et ( ) Δt t t = α( t t ) E( t ) dt t = = ατ ( ) Et ( τ) dτ, τ= tt τ = 0 Um die unte diesen Umständen seh schwe zu lösende Kopplung de Maxwellgleichungen zu veeinfachen, sei hie die Annahme de hamonischen Ändeung de magnetischen und elektischen Felde eingefüht: (3...a) B() t = B( x, y, z) e jωt (3...b) E() t = E( x, y, z) e jωt,, ( ) Bt ( τ ) Bxyze (,, ) jω t = τ ( ) Et ( τ ) Exyze (,, ) jω t = τ Damit egeben sich folgende Zusammenhänge: Seite

26 jωt jωτ M () t = B( x, y, z) e ( ) e d (3...3.a) α τ τ τ = 0 Bt () αω ( ) jωt jωτ Pt () = Exyze (,, ) ( ) e d (3...3.b) β τ τ τ = 0 Et () βω ( ) Daaus folgt, dass Mateie, die einem schwachen stationäen Feld von beliebige Fequenz ausgesetzt ist, linea eagiet. Die Popotionalitätsfaktoen α(ω) und β(ω) sind fequenzabhängig und komplex (siehe auch Quelle [6]); die nicht tiviale Bestimmung muss aus dem Expeiment ode de Theoie de Wekstoffwissenschaften efolgen und ist nicht Teil diese Ausabeitung). Aus histoischen Günden wid de Zusammenhang (3...3) zwischen Magnetisieung, Polaisation und dem Feld in andee Weise notiet: (3...4.a) M () t = B() t 0 ( ω) () ( ) Et () (3...4.b) Pt = ε ( ε ω ) 0 Die neu eingefühte Funktion ( ω ) heißt dabei elative Pemeabilität, ε ( ω ) wid mit elative Pemittivität bezeichnet. Mit den Gleichungen (3...5) weden die magnetische Suszeptibilität χm( ω ) und die elektische Suszeptibilität χe( ω ) eingefüht (siehe auch Quelle [3.7]). (3...5.a) m( ) m( ) M () t χ ω B() t χ ω = = B() t + χ ( ω) 0 0 m ( ω) = ( + χ ( ω)), 0 m ( ω) ( ω) = = + χm( ω), ( ω) = 0 ( ω) 0 Seite

27 (3...5.b) Pt () = εχ 0 e( ω) Et () ε ( ω) ε = ε0 ( + χe( ω)), ε( ω) = = + χe( ω), ε( ω) = ε0ε ( ω) ε 0 Anhand de Beschaffenheit de Konstanten ( ω ), welche die Wikung des inneen Magnetfeldes von Mateie umscheibt, weden Mateialien in veschiedene Klassen eingeteilt: ( ) > Diamagnetische Wekstoffe (Innees B -Feld leicht eniedigt): De Diamagnetismus existiet in allen Köpen; e kann jedoch duch andee Effekte übedeckt weden. In diamagnetische Mateialien sind die Elektonen jeweils in Paaen vohanden, deen magnetische Momente entgegengesetzt ausgeichtet sind. Daaus folgt, dass diese - unabhängig von de Tempeatu - nicht zum Magnetismus beitagen (siehe auch Quelle [3.5, S. 80 ff.]). Typische diamagnetische Wekstoffe sind Ag, Au, Bi und u mit ( ) < Paamagnetische Wekstoffe (Innees B -Feld leicht ehöht): In paamagnetische Mateialien existieen magnetische Momente, welche ohne Magnetfeld zufällig oientiet sind und sich deshalb gegenseitig kompensieen. Liegt ein äußees Magnetfeld an, so weden die magnetischen Momente teilweise ausgeichtet und ezeugen eine Polaisation paallel zum äußeen Feld. Die Stäke diese Polaisation ist duch das Gleichgewicht zwischen dem Enegiegewinn duch paallele Oientieung und de themischen Bewegung gegeben. Diese Zusammenhang ist duch das uie-weiß sche Gesetz beschieben (siehe auch Quelle [3.5, S. 80 ff.]). Typische paamagnetische Wekstoffe sind Sn, Pt, W und Al mit,00. Die Fomeln de Gleichungen (3...5) können fü paamagnetische Mateie mit Hilfe des uie-weiß-gesetzes koigiet weden. Abweichungen des lineaen Vehaltens findet man bei tiefen Tempeatuen und hohen Felden. Diese können daduch eklät weden, dass dann alle Dipole vollständig ausgeichtet sind. Eine quantitative Seite 3

28 Behandlung ist nu mit Hilfe de Quantenmechanik möglich und soll hie auße Acht gelassen weden. (3...6.a) χm, paa( ω, T) = ( ω)/ T... uie-weiß-gesetz paa( ω, T ), paa( ω, T) = = + ( ω)/ T 0 (3...6.b) ( ω, T) = 0 ( ω, T) ε ( ω) ε( ω) = = + χe( ω) ε 0 (3...6.c) ε( ω) = ε0ε ( ω) Die mateialabhängige Konstante ist unte den Namen uie-konstante bekannt. Mit diesen Feststellungen sollen die Betachtungen de Mateialgleichungen von diaund paamagnetischen Wekstoffen abgeschlossen weden. Auswikungen diese Gleichung auf die Beechnung magnetische Felde mit Hilfe des magnetischen Vektopotentials weden späte diskutiet weden. 3.. Betachtung feomagnetische Wekstoffe Nun sollen die bishe ausgeschlossenen feomagnetischen Substanzen diskutiet weden: ( ) < Feomagnetische Wekstoffe (Innees B -Feld stak ehöht): In feomagnetischen Wekstoffen liegt eine so stake Wechselwikung einzelne magnetische Dipole unteeinande vo, dass eine Ausichtung spontan efolgen kann, ohne äußees angelegtes Feld. Diese Beeiche geodnete Dipole - auch als Weißsche Bezike bezeichnet - ezeugen mit dem Anlegen eines äußeen Feldes eine zum Feld paallel ausgeichtete stake Polaisation. Themische Bewegungen, Seite 4

29 beschieben duch das uie- und das uie-weiß-gesetz, wiken diese paallelen Oientieung entgegen. Typische feomagnetische Wekstoffe sind Fe, Ni, o und seltene Eden (siehe auch Quelle [3.5, S. 8 ff.]). Um Aussagen übe die Abhängigkeiten von Magnetisieung und Pemeabilität zu gewinnen, wid das einfache Modell gemäß Fomel (3..3) weiteentwickelt. Fene ist zu beücksichtigen, dass - de Quantentheoie zufolge - nu zwei Einstellungsichtungen de Dipole zum Magnetfeld möglich sind, nämlich paallel und antipaallel. Am Ot des Atoms wid nicht nu das angelegte äußee Feld H 0 wiksam sein, sonden es weden sich auch die Einflüsse benachbate Dipole in igendeine Weise bemekba machen. Diese Einflüsse weden pauschal als innees Feld H i popotional zu Magnetisieung angesetzt. (3...) m= AI, M = Nm * H = W M... W i * Weissche Fakto Damit kann man das Feld an de Stelle des Dipols bescheiben duch: * (3...) H = H + H = H + W M 0 i 0 Mit de Enegie des Dipols und de Feststellung, dass nu zwei Einstellungsmöglichkeiten fü dessen Oientieung möglich sind, kann man den Mittelwet des Dipolmoments m eechnen (siehe auch Quelle [3.5]): * (3...3) W = 0m( H0 + W M) (3...4) 0m H0 m= mtanh kt * ( + W M) Da in diesem Fall die Wechselwikung de Dipole unteeinande nicht klein ist (wie bei den dia- und paamagnetischen Wekstoffen), kann die hypebolische Funktion Seite 5

30 nicht duch ih eigenes Agument angenähet weden, sonden muss ehalten bleiben (siehe auch Quelle [3.5]). Somit egibt sich fü die Magnetisieung: M = Nm (3...5) M 0m H0 = Msmtanh kt * ( + W M) mit M s = Nm M s ist die Sättigungsmagnetisieung, d.h. die Magnetisieung, die sich bei vollständige Ausichtung alle Dipole egibt. Gegen die spontane Magnetisieung feomagnetische Wekstoffe wikt die themische Bewegung. Dahe existiet fü jedes feomagnetische Mateial eine Tempeatu T c, obehalb dee sich die Wekstoffe wie Paamagnetika vehalten. Die genaue Tempeatuabhängigkeit de Suszeptibilität in diesem Fall ist jedoch etwas andes als bei einen Paamagneten beschieben: ( ω) χ m, feo ( T ) = T T fü T > T Die Suszeptibilität nimmt also mit abnehmende Tempeatu zu und divegiet bei de kitischen Tempeatu T c, de uie Tempeatu. Bei diese Tempeatu genügt (idealisiet) schon ein beliebig kleines Feld, um eine makoskopische magnetische Polaisation zu ezeugen, es entsteht eine tempeatuabhängige spontane Polaisation nach (3...5). Aus dem beschiebenen Vehalten de spontanen Magnetisieung lässt sich schließen, dass de Zusammenhang von Magnetisieung und Magnetfeld nicht nu statistisch bestimmt ist, sonden auch nichtlinea von de Vogeschichte des Mateials und von de Tempeatu abhängt. Zudem lässt sich die Pemeabilität nicht als eindeutige Funktion bescheiben. Dahe ist man im Allgemeinen dazu übegegangen, diesen Zusammenhang duch die Angabe eine Kuve zu bescheiben: Seite 6

31 M M s M H c H Bild 3... Magnetisieungskuve feomagnetische Mateialien Die Magnetisieung in einem feomagnetischen Mateial hängt nicht nu von de angelegten Feldstäke ab, sonden auch von de Vogeschichte, die das Mateial duchlaufen hat: Ausgehend vom nicht magnetisieten Mateial (Nullpunkt) wächst M mit zunehmende Feldstäke bis zu Sättigungsmagnetisieung Die zugehöige Feldstäke M s an (ot dagestellte Neukuve ). H s wid als Sättigungsfeldstäke bezeichnet. Bei Veingeung des Magnetfeldes wid eine höhe gelegene Kuve duchlaufen; bei ( H = 0 ) ist noch eine Magnetisieung, die Remanenz M vohanden. Bei Umkeh de Feldichtung veschwindet schließlich die Magnetisieung, die efodelich Feldstäke ist die Koezivfeldstäke H. c Bei weichmagnetischen Mateialien - Wekstoffen mit eine schmalen Magnetisieungskennlinie - und Aussteueung ohne Gleichstomvomagnetisieung ist es meist zulässig, die beiden äußeen Äste de Hysteeseschleife duch eine mittlee Kuve zu esetzen (siehe auch Quelle [3.5, S. 8 ff.]). (3...6) M = f( H) Seite 7

32 Mit diese so genannten Magnetisieungskuve ist zwa ein eindeutige Zusammenhang ezwungen woden, abe die entstandene Funktion stellt imme noch einen nichtlineaen Zusammenhang da. Est unte de Voaussetzung magnetisch weiche Mateialien und de Fodeung seh kleine niedigfequente ode statische und nicht vomagnetisiete Felde kann ein lineae Zusammenhang angenähet weden, um eine Lösung des Maxwellschen Gleichungssystems eeichen zu können: M M = f( H) P ΔM N ΔB PN P ΔH N ΔH H Bild 3... Hysteeseschleife, Magnetisieungsfunktion und veschiedene Pemeabilitätszahlen bei Feomagnetika. M = f( H) d ΔM (3...7) N ( P ) = f ( H) = ( P) ( P ) 0 N 0 0 dh ΔH N Die bishe nicht betachtete elektische Suszeptibilität feomagnetische Wekstoffe vehält sich im Allgemeinen ähnlich, wie beeits bei den paa- und diamagnetischen Mateialien aufgezeigt (siehe auch Quelle [3.5]). Dahe sollen hie nu die Egebnisse aus (3..) übenommen und notiet weden: Seite 8

33 (3...8) Pt () = εχ 0 e( ω) Et () ε = ε ( + χ ( ω)), 0 e ε ( ω) ε( ω) = = + χe( ω), ε( ω) = ε0ε ( ω) ε 0 Mit diese Feststellung soll die Abhandlung de Mateialeigenschaften feomagnetische Wekstoffe abgeschlossen weden. Betachtungen in Bezug auf das magnetische Vektopotential weden im nächsten Kapitel eötet weden. 3.3 Betachtung des magnetischen Vektopotentials unte dem Einfluss von Mateie Nun sollen die Wechselwikungen elektomagnetische Stahlung mit Mateie in die Ableitung des magnetischen Vektopotentials eingebacht weden. Hiezu soll nicht nu die Isotopie des eingebachten Wekstoffs voausgesetzt weden, sonden auch dessen Homogenität - das heißt, das Mateial im gesamten betachteten Feldaum kann duch die beiden Funktionen ε = ε( ω, T, E) und = ( ω, t, T, H) chaakteisiet weden. Da aufgund de Egebnisse aus Kapitel 3. gundsätzlich veschiedene nicht lineae Mateialgleichungen voausgesetzt weden müssen, bietet es sich an, die Ableitung des Vektopotentials in den veschiedenen Wekstoffaten Dia- und paamagnetische Mateie, Feomagnetische Mateie und Spontan magnetisiete feomagnetische Mateie (Pemanentmagnete) gesondet zu betachten. Zum Schluss de Betachtungen weden die Randbedingungen des Potentials an de Genze zweie Medien hegeleitet Das magnetische Vektopotential in dia- und paamagnetische Mateie In Kapitel 3.. wuden die Maxwellschen Gleichungen mit den Stoffeigenschaften (3..6) gekoppelt. Unte de Voaussetzung schwache stationäe Felde und nicht Seite 9

34 niedige - von den Feldgößen unabhängige - Tempeatuen wude ein lineae Zusammenhang hegeleitet. Damit ist die Kopplung de Maxwellschen Gleichungen (3..5) mit den folgenden Mateialgleichungen ohne weitees möglich (siehe auch Quelle [3.7]): B = ω (, T) H ( ω, T) = 0 ( ω, T), ( ω, T) = + χm( ω, T) D = εω ( ) E ε( ω) = ε ε ( ω), ε ( ω) = + χ ( ω) 0 e Die Egebnisse de Heleitung des magnetischen Vektopotentials im Vakuum können somit - unte Modifikation de Mateialgleichung - diekt übenommen weden und egeben: (3.3..) ΔA εωω ( ) (, T) A=ω (, T) J t ϕ div A=εωω ( ) (, T) t 0 Diese Diffeentialgleichung wid unte de Fodeung des quellenfei definieten magnetischen Vektopotentials besondes einfach: (3.3..) Δ A=ω (, T) J Das magnetische Vektopotential in feomagnetische Mateie Aufgund de komplexen Zusammenhänge in den Mateialgleichungen feomagnetische Wekstoffe ist eine diekte Kopplung de Maxwellschen Gleichungen ohne gößee Einschänkungen de Allgemeinheit nicht meh möglich. Dahe soll die Ableitung eines magnetischen Vektopotentials nu fü die veeinfachten Abbildungen mit Hilfe eine Magnetisieungsfunktion (3...6) duchgefüht weden: Seite 30

35 B = ot A, B = 0 f( H) ot( H) = J0 + D t ot ( f ( B) ) = 0J0 + 0ε0ε ( ω, T) E t, D = ε0ε E ot f (ot A) = 0J0 + εε 0 0 ( ω, T) Agadϕ t (3.3..) ( ) Diese Gleichung ist unte Vogabe de Funktion de magnetischen Flussdichte in Abhängigkeit von de Feldstäke zu lösen, um das Vektopotential analytisch zu bestimmen. Dies - und das Finden de Lösung de dann entstandenen Diffeentialgleichung - ist im Regelfall jedoch kein tiviale mathematische Vogang, so dass in de Regel auf andee Möglichkeiten zuückgegiffen wid (siehe auch Quelle [3., S. 9 ff.]). Daauf soll jedoch est späte eingegangen weden. Um eine analytische Lösung fü das Potential vozustellen, geift man dahe oft auf die Veeinfachung de Gleichungen (3...6) zuück. Mittels diese Methode geht das magnetische Vektopotential übe in die bekannte Gleichung (3.3..). ΔA εωω ( ) (, T) A=ω (, T) J t ϕ div A=εωω ( ) (, T) t Magnetisiete Mateie als Usache magnetischen Vektopotentials Ist die spontane Magnetisieung von Mateie (Pemanentmagnet) alleinige Usache eines Feldes, so wid die Magnetisieungsvogabe konstant ode zumindest mit einem konstanten Anteil angenommen weden (siehe auch Quelle [3.]): (3.3.3.) M = M0 + M ( H, T) V Seite 3

36 Um die Maxwellschen Gleichungen fü diesen Fall koppeln zu können, soll de vaiable Anteil M V de Magnetisieung nach (3.3.) bei von den Feldgößen unabhängige Tempeatu als linea abhängig von de äußeen magnetischen Feldstäke angenommen weden: (3.3.3.) ( ) M = M0 + χ m T H0 Aufgund de vohandenen Magnetisieung wid sich im Inneen des Mateials sowie bei endlichen Abmessungen des Volumens auch außehalb des spontan magnetisieten Mateials ein Feld aufbauen. Da im Beeich eines so ezeugten Feldes kein Feld ezeugende Stom vohanden sein soll, nehmen die Maxwellschen Gleichungen (3..4) und (3..5) zu Bescheibung des Feldzustandes folgende Fom an: div B = 0 = ot 0, J0 H0 Zwischen de Feldstäke und de magnetischen Flussdichte gilt im Inneen des magnetisieten Mateials unte Anwendung des Zusammenhangs aus (3..6): B = H + M + χ H = M + H + χ H ( m ) ( m ) Aufgund de Rotationsfeiheit de magnetischen Feldstäke könnte diese als Gadientenfeld eine skalaen magnetischen Potentialfunktion dagestellt weden. Fü die magnetische Flussdichte wid nun jedoch wie bishe ein Vektopotential angegeben, welches zweckmäßig nach oulomb geeicht wude (siehe Gleichung (3..9)): B = ot A, div A = 0 Um eine Bescheibung von Flussdichte und Feldstäke zu ehalten, wid nun die Rotation de Feld eegenden Magnetisieung untesucht: B ( ) M = ( χ + ) H 0 m 0 0 B B ot = ot + ot H = ot, M ( χ ) 0 m Seite 3

37 ot B = ot M 0 0 Die Rotation de magnetischen Feldstäke egibt sich mangels Feld eegende Stomdichten nach (3...c) zu Null. Wid de Vekto de magnetischen Flussdichte duch das magnetische Vektopotential ausgedückt, folgt: 0ot M 0 = ot B = ot ot A= gaddiv AΔA ( ) Δ A =0ot M 0 Diese Gleichung des divegenzfeien magnetischen Vektopotentials entspicht vollkommen de Gleichung (3.3..), falls die Rotation de Magnetisieung duch eine zeitunabhängige Stomdichte esetzt wid: ( ) ot M 0 ( ω, T) J Das heißt, die Rotation de Magnetisieung kann duch eine Stomdichteveteilung als Anegungsgöße sowohl fü das magnetische Vektopotential, als auch fü das magnetische Skalapotential substituiet weden (siehe auch Quelle [3.]) Randbedingung des magnetischen Vektopotentials Um Betachtungen an de Genze zweie Medien duchfühen zu können, ist es notwendig, Randbedingungen fü das magnetische Vektopotential an de Genzfläche zu definieen. Nun kann dem Anwende neben den bekannten Bedingungen fü die magnetische Flussdichte und Feldstäke eine weitee Randbedingung - abgeleitet aus de Definition des magnetischen Vektopotentials - zu Vefügung gestellt weden. Zu Heleitung weden dahe zuest die Bescheibung de Rotation des Vektopotentials, danach die Bescheibung seine Quellen ausgewetet. Den nun folgenden Ausfühungen ist die Geometie des Bildes zugunde gelegt: Die Betachtung de elektomagnetischen Gößen efolgt fü eine kleine echt- Seite 33

38 eckfömige Fläche F. Die Fläche F duchsetzt die Genze zweie Medien senkecht. De Nomaleneinheitsvekto steht senkecht zu Genzfläche und weist vom esten Medium in das zweite. ds n df Δh Medium Medium ds Bild Anodnung zu Ableitung de Randbedingungen Aus de Definition de Quellen des magnetischen Vektopotentials ehält man mit Hilfe des Stokes schen Satzes: B = ot A (3.3.4.) Bdf = ot Adf = Ads F F Kontu( F ) Wid nun das Integationsgebiet auf de Genzlinie de Medien zusammengezogen, indem Δh gegen Null definiet wid, so ehält man aufgund de Endlichkeit de Kaftflussdichte: (3.3.4.) lim Bdf = 0 Δh 0 F Ads Ads Ads A A ds ( ) lim = + = ( ) Δ h 0 Kontu( F ) Δs Δs Δs ds =ds Seite 34

39 Aus (3.3.4.) und ( ) kann man schließen, dass die Tangentialkomponente des Vektopotentials an de Genze zweie Medien stetig ist. Bedingungen fü die Betachtung de Nomalkomponenten des magnetischen Vektopotentials weden aus de Eichung de Quellen des Potentials gewonnen: div A div A = 0 =ε ϕ t Loentz-Eichung oulomb-eichung df n Δh Medium df Medium Bild Anodnung zu Ableitung de Randbedingungen Zu Bescheibung de Divegenz wid ein zylindefömiges Volumenelement mit de Höhe Δh und den Stinflächen f betachtet, das die Genzfläche zwischen den Medien duchsetzt. Die Vekleineung des Volumenelementes wid wiedeum duch die Veingeung de Höhe Δh eeicht. Damit ehält man fü die Divegenz: lim Adf = Adf + Adf = A A ndf ( ) ( ) Δh 0 Fläche( V ) F F df = df = ndf Seite 35

40 Wi ehalten also das Egebnis, dass die Nomalkomponente stetig duch die Genze zweie Medien geht, falls das magnetische Vektopotential quellenfei definiet ist. Andeenfalls spingt die Nomalkomponente - abhängig von de Eichung des Potentials - um einen endlichen Wet. Das Vehalten des quellenfeien magnetischen Vektopotentials an eine Genzfläche zweie Medien ist also insgesamt stetig. n A A ( ) 0 = ( ) n ( A A) = 0 mit diva= 0 A = A 3.4 Schlussfolgeungen zu Anwendung des magnetischen Vektopotentials In den bisheigen Ausfühungen ist es gelungen, die Maxwellschen Gleichungen mit veschiedenen Mateialgleichungen zu koppeln und daaus ein magnetisches Vektopotential abzuleiten: ot E = t B P ρ div E0 + = ε0 ε 0 P ot ( B0 0M0) = 0( J0 + J pol + Jmag ) + 0ε0 E0 + t ε0 div B = 0 Explizite analytische Lösungen fü das magnetische Vektopotential ließen sich jedoch nu fü veeinfachte Wekstoffmodelle anfühen. Seite 36

41 Δ A= ot M ( ω, T) J ( ω, T) (, T) ( ) ε ε ( ω) = 0 ω, ε ω = 0 Die Voaussetzung von Lineaität, Homogenität und Isotopie de Wekstoffe wid vo allem bei de Beechnung elektische Maschinen zu Konflikten fühen, da geade hie häufig feomagnetische Mateialien vewendetet weden. Um sich den in Abschnitt 3 ausgefühten mathematischen Schwieigkeiten nicht auszusetzen, soll hie abschließend ein Lösungsweg aufgezeigt weden, de vo allem unte Nutzung technische Hilfsmittel eine gewisse Attaktivität hat (siehe auch Quelle [3.], S. 03 f.). Anhand de fü eingebachte allgemeine Mateie koigieten Maxwellschen Gleichungen (3..5) ekennt man, dass sich die Gleichungen nu duch zusätzliche Teme von den im Vakuum gültigen Maxwellgleichungen untescheiden. Daaus folgt, dass man unte de Nutzung des - beeits in ( ) angefühten - Substitutionsode Äquivalenzpinzips jedes Mateial duch entspechende Quellen esetzen kann. Das Mateial kann also unte Esatz duch fiktive Quellenveteilungen negiet weden; die nun genutzten Mateialgleichungen fü das Vakuum sind linea und entspechend einfach zu beabeiten. Wesentlich ist, dass nun die Gleichungen, falls alle Ladungs- und Stomdichten bekannt sind, mit den beeits bespochenen Vefahen diekt gelöst weden können. Natülich sind die mateialbedingten Quellen nicht sofot im Voaus bekannt und im Allgemeinen von den Feldstäken abhängig. Dahe folgt die Beechnung folgendem iteativen Schema:. Schitt: Die feien Feldquellen ezeugen ein Feld im gesamten betachteten Raum (Vakuum).. Schitt: Dieses Feld polaisiet / magnetisiet das Mateial. 3. Schitt: Die Polaisation und die Magnetisieung haben die Wikung zusätzliche Quellen und ezeugen ein zusätzliches Feld, das zum bisheigen Feld de Quellen zu addieen ist. 4. Schitt: Gehe zum zweiten Schitt, bis die gewünschte Rechengenauigkeit eeicht und das System ausgeegelt ist. Seite 37

42 Beachtenswet ist, dass höchstens de zweite Schitt dieses Vefahens nichtlinea sein kann. Diese Ausfühungen sollen die Diskussion um das magnetische Vektopotential in Abhängigkeit von den Mateialgleichungen mit dem Veweis auf weitee Liteatu abschließen. 3.5 Quellen des ditten Kapitels [3.] S. Blume Theoie elektomagnetische Felde Studientexte de Elektotechnik Eltex Velag 98 [3.] P. Leuchtmann Einfühung in die elektomagnetische Feldtheoie Peason Education Deutschland 005 [3.3] G. Lautz Elektomagnetische Felde Teubne Studienbüche 985 [3.4] I. Wolff Maxwellsche Theoie Gundlagen und Anwendungen Spinge Velag 997 [3.5] W. Schultz Dielektische und magnetische Eigenschaften de Wekstoffe Vieweg Velag 978 [3.6] H. Schilling Elektomagnetische Felde und Wellen Physik in Beispielen Velag Hay Deutsch 975 Seite 38

43 [3.7] M. Ehich Volesungsskipt Theoetische Elektotechnik Univesität de Bundesweh Hambug 994 [3.8] A. Zippelius Volesungsskipt Theoetische Physik Maxwell Gleichung in Wechselwikung mit Mateie Geog-August-Univesität Göttingen 005 [3.9] M. Kämpfe Volesungsskipt Mikowellenphysik Univesität Ben 005 Seite 39

44 4. Beechung eines 6-Schichtenmodells Pemanentmagnet eegte Maschinen 4. Fomulieung des Feldpoblems Mit den Übelegungen aus Kapitel wude eine Esatzanodnung zu Beechnung des Feldpoblems elektische Maschinen detailliet. In diesem Kapitel soll zunächst mit de Beechnung des zeitunabhängigen Rotofeldes in einem Modell von 6 Schichten konstant angenommene Pemeabilität die Basis fü das weitee Vogehen geschaffen weden. Bild 4.. gibt eine Übesicht übe das veeinfachte Motoenmodell: Bild 4.. Untesuchte Modellanodnung am Beispiel eines Innenläufemotos. Dagestellt ist de Queschnitt in de (,ϕ)-ebene. Die betachteten Feldäume sind: Welle (), Roto (), Pemanentmagnetanodnung (3), Luftspalt (4), Anke (5) und Außenaum (6). Seite 40

45 Die Modellieung basiet auf folgenden Annahmen: Beechnung eines zweidimensionalen Magnetfeldes in de (,ϕ)-ebene, angeegt duch eine Pemanentmagnetanodnung auf dem Roto. Die Pemanentmagnetanodnung wid duch eine Stomdichteveteilung im Feldaum (3) in die Rechnung eingefüht. Die dem Roto zugewandte zylindische Statofläche auf dem Radius (4) wid als glatt angenommen. Sechs Feldäume weden duch konzentisch angeodnete, glatte (Hohl-) Keiszylinde modelliet. Fü alle sechs Feldäume weden lineae, homogene und isotope Wekstoffeigenschaften untestellt. Fü die veschiedenen Feldäume ( bis 6) weden jeweils konstante Tempeatuen untestellt. Es ist keine Zeitabhängigkeit des Rotofeldes definiet. Das magnetische Vektopotential wid in Zylindekoodinaten bestimmt. Es bietet sich die Vogehensweise an, die Magnetisieung im Feldaum 3 duch eine Stomdichte zu bescheiben (siehe auch Gleichung ( )), um die - von de Stomdichte abhängigen - Diffeentialgleichungen fü die einzelnen Feldäume zu lösen. Am Ende des Kapitels soll eine analytische Lösung fü das magnetische Vektopotential A vogestellt weden. 4. Dastellung des Gebietes pemanente Polaisation 4.. Bescheibung de Magnetisieungsfunktion M (, ) ϕ Fü die Beechnungen des magnetischen Vektopotentials soll das in gesteckte Dastellung abgebildete zweipolige Magnetisieungsmuste angenommen weden (siehe Bild 4... auf de Folgeseite). Die Magnetisieungsfunktion des Pemanentmagnetings sei fü die Beechnungen vom Radius unabhängig; als Bezugsadius Seite 4

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