Finanzmathematik. Überblick über die Veranstaltung. Die Veranstaltung. Was Sie so erwartet. im Master-Studiengang Management (Accounting & Finance)

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1 Finanzmathematik im Master-Studiengang Management (Accounting & Finance) Dipl.-Math. Norman Markgraf Überblick über die Veranstaltung Hochschule für Oekonomie und Management Sommersemester 2011 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Die Veranstaltung Die Veranstaltung gliedert sich in zwei Teile: (1) Methodische Grundlagen (a) Ausgesuchte Wiederholung von Finanzmathematik aus dem Bachelorstudium (b) Grundlagen aus der Mathematik (2) Angewandte Finanzmathematik (a) Einführung in die Finanzmathematik festverzinslicher Wertpapiere (b) Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept (c) Derivative Finanzinstrumente Was Sie so erwartet Wir haben 34 Unterrichtsstunden verteilt auf sieben Termine an fünf Tagen, bei zwei Dozenten. In der Regel werden wir nach ca. zwei Stunden werden wir eine Pause machen. Die erste Veranstaltung umfasst die methodischen Grundlagen. Ab dem zweiten Termin werden von Ihnen Vorträge zum aktuellen Thema gehaltenund Übungsaufgaben gerechnet. Dazu können Sie sich zu einen von elf (bzw. zwölf) Vorträge anmelden. Vortragende erhalten für Ihren Vortrag bis zu zwanzig Bonuspunkte für die Klausur. Das Modul Finanzmathematik wird am mit einer Klausur (120 min.) abgeschlossen. Webseite zur Vorlesung: N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

2 Termine und Vorträge (geplant) (5 h - Dozent: N. Markgraf) Grundlagen der Kursberechnung und Renditeermittlung Kurs und Rendite bei ganzzahligen Restlaufzeiten Kurs und Rendite bei beliebigen Zeitpunkten - Stückzinsen und Börsenkurs (5 h - Dozent: A. Thrun) Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen Die Duration von Standard-Anleihen - Berechnungsverfahren und Einflussgrößen (10h - Dozent: N. Markgraf) Die immunisierende Eigenschaft der Duration Duration und Convexity Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Optionen: Basisformen (4 h - Dozent: A. Thrun) Einfache Kombinationen aus Fixgeschften und Optionen / Spreads Straddles / Strangles / Combinations Einführung in die Optionspreisbewertung N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Grundlagen N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Grundaufgaben der Prozentrechnung Wiederholung einiger Grundlagen der Finanzmathematik a) Auf einen Warenwert von 938 e werden 16% Mehrwertsteuer erhoben. Wie hoch ist die Mehrwertsteuer? b) Bei einem Skontobetrag von 3% ergibt sich ein Skonto-Betrag von 22,50 e. Wie hoch ist der ursprüngliche Rechnungsbetrag? c) 186 von 240 Klausurteilnehmern haben die Klausur bestanden. Wie hoch (in %) ist die so genannte Durchfallquote (d.h. der Anteil der nicht erfolgreichen Klausurteilnehmer bezogen auf sämtliche Klausurteilnehmer)? d) Wie hoch ist der Bruttobetrag für Aufgabe a)? e) Wie hoch ist der zu bezahlende Betrag für Aufgabe b)? f) Nach Abzug von 13% Personalrabatt, Aufschlag von 16% Mehrwertsteuer und Abzug von 3% Skonto zahlt der Kunde 844,89 e. Wie hoch war der Warenwert vor Berücksichtigung aller Zu- und Abschläge? N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

3 Das Summenzeichen Beispiele Summenzeichen Wenn man gewisse Glieder einer Folge aufsummiert, so schreibt man anstatt kurz: a m + a m+1 + a m a n 1 + a n n a k. k=m Das Symbol heißt Summenzeichen. Das k nennen wir Summationsindex, m und n nennen wir Summationsgrenzen. Insbesondere ist und Beispiele: : n a i = a 1 + a 2 + a a n i=1 n a i = a 0 + a 1 + a a n. i= = = 10 k k=2 5 2 k k= 1 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Grundaufgaben Summenzeichen Schreiben Sie mit einem Summenzeichen: Das Gauß-Märchen a) b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 c) a 1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x b) b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 d) i i i i 1 12 Schreiben Sie die Summenzeichen aus: 8 6 G e) a i h) i i=0 i=0 q i 10 4 f ) i i) G i q 4 i i=1 i=0 5 g) a i b i i=1 Johann Carl Friedrich Gauß * 1777 in Braunschweig; 1855 in Göttingen Als Schulkind wurde Gauß die Aufgabe gestellt, die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen zu berechnen. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

4 Arithemtische Summen Geometrische Summen Summen, bei denen die Summanden die Gestalt a k = A k + B mit festen Zahlen A und B haben, heißen arithmetisch. Es gilt dafür dann die Arithmetische Summenformel n (A k + B) = n k=1 ( A n B 2 ). Summiert man die Potenzen einer Zahl q auf, so spricht man von einer geometrischen Summe: Geometrische Summenformel Für eine beliebige Zahl q = 1 gilt n q k = 1 + q + q q n. k=0 n q k = qn+1 1 q 1. k=0 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Grundaufgaben Summenzeichen Berechnen Sie: j) l) 1000 i k) i=1 10 (1,01) i m) i=0 3 i=1 10 i=0 1 i ( 1 1,01 ) i Zinseszinsrechnung N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

5 Zinsen auf Zinsen? Das Prinzip der Zinseszinsrechnung Darf man auf Zinsen überhaupt Zinsen zahlen? BGB 248 (Zinseszinsen) (2) Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgeschäften können im Voraus vereinbaren, dass nicht erhobene Zinsen von Einlagen als neue verzinsliche Einlagen gelten sollen. Kreditanstalten, die berechtigt sind, für den Betrag der von ihnen gewährten Darlehen verzinsliche Schuldverschreibungen auf den Inhaber auszugeben, können sich bei solchen Darlehen die Verzinsung rückständiger Zinsen im Voraus versprechen lassen. Wieder erkannt? Es geht hierbei um das Sparbuch! Bei der Zinseszinsrechnung (oder auch exponentiellen Verzinsung) wird innerhalb der Kapitalüberlassungsfrist an einem oder mehreren Zinsverrechnungs- oder Zinszuschlagstermin(en) die bis dahin entstandenen Zinsen dem Kapital hinzugefügt (Zinszuschlag, Zinsverrechnung). Diese Summe bildet dann das neue zu verzinsende Kapitel. Sind Anfangs- und Endzeitpunkt des betrachteten Zeitintervals Zinszuschlagstermine, so spricht man von reiner Zinseszinsrechnung, andernfalls von gemischter Zinseszinsrechnung. Zunächst betrachten wir nur den reinen Fall. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Die Zinseszinsformel (Herleitung) Wir legen das Kapital K 0 für eine Zinsperiode (z.b. ein Jahr) zum Zinssatz i an. K 1 = K 0 (1 + i). Jetzt legen wir das Kapital K 1 für eine weitere Zinsperiode zum selben Zinssatz an. K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) (1 + i) = K 0 (1 + i) 2 Danach legen wir das Kapital K 2 genauso wieder an. Die Zinseszinsformel Wir erhalten so: Zinseszinsformel Für das Anfangskapital K 0 ergibt sich nach n Zinsperioden das Endkapital K n durch ( K n = K 0 (1 + i) n = K 0 q n = K p ) n. 100 Wir nennen q = 1 + i den Periodenzinsfaktor oder Aufzinsungsfaktor; i = p% = p 100 den Periodenzinssatz, Periodenzinsrate und p den Periodenzinsfuß. etc. K 3 = K 2 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2 (1 + i) = K 0 (1 + i) 3 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

6 Die Zinseszinsformel (Folgerungen) Durch leichte Umformungen erhalten wir außerdem: Umgestellte Zinseszinsformeln Für das Anfangskapital K 0, das Endkapital K n und die n Zinsperioden ergibt sich: K 0 = K n q n = K n 1 q n. q = ( Kn K 0 ) 1 n = n Kn K 0. n = log K n K 0 log q = log K n log K 0. log q Beispiel: , e, 10 v.h. p. a. und 9 Jahre Zeit Ein Anfangskapital von , e (= K 0 ) wächst bei 10% p. a. und jährlicher Zinsverrechnung in 9 Jahren zu folgendem Endkapital K 9 an: K 9 = ,10 9 = ,54 e. Aufgabe: Erstellen Sie eine Kontostaffel der folgenden Art: Jahr Kontostand 1.1. Zinsen Kontostand , , , , , , , , , , , , ,54 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Beispiel: , e, 2,5 v.h. p.q. und 9 Jahre Zeit Beispiel: Welcher Zinssatz? Ein Anfangskapital von , e (= K 0 ) wächst bei 2, 5% p.q. und vierteljährlicher Zinsverrechnung in 9 Jahren zu folgendem Endkapital K 36 an: (36 = 9 4!) K 36 = , = ,06 e. Aufgabe: Wie großwäre das Endkapital in beiden Fällen bei linearer Verzinsung mit i = 10% p. a. (bzw. i = 2,5% p.q.) in 9 Jahren? Antwort: (1 + 0,10 9) = (1 + 0,025 36) = , e Der Kontostand eines Festgeldkontos beträgt am (0:00 Uhr) exakt , e. Die Konditionen sehen einen monatlichen Zinszuschlag vor. Mit welchem gleichbleibenden Monatszins i wird die Geldanlage verzinst, wenn sich am (0:00 Uhr) ein Kontostand von , e ergibt? = q 36 q = 1, = 1, Also ergibt sich i = q 1 = 0,62% p.m. als (monatlicher) Zinssatz. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

7 Beispiel: Wie lange noch? Äquivalenz zweier Zahlungen bei Zinseszins Wie lange müssen Sie warten damit bei einem Zinssatz von 6% p.h. (pro Halbjahr) aus einem Kapital von , e ein Kapital von , e wird? K n = = ,06 n Dabei ist n die Anzahl der Halbjahre. 1,06 n = 1,8 n = Frage: Wie lautet der korrekte Antwortsatz? ln 1,8 = 10,09 Halbjahr. ln 1,06 Antwort (bis jetzt): Man muss 5,5 Jahre warten bis aus , e bei 6% p.h. eine Summe von (mind.) , e wird. Wieso das? Definition Zwei Zahlungen K 0 und K n (mit n Zinsperioden Abstand) heißen äquivalent, wenn zwischen ihnen die Beziehung K n = K 0 (1 + i) n = K 0 q n besteht. Dabei ist i der Periodenzinssatz. Ist n positiv (negativ), so liegt K n zeitlich n Zinsperioden später (früher) als K 0. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Beispiel: Was ist wann wie viel Wert? Wir erhalten Bei i = 10% p. a. sind 100, e, fällig am und 121, e, fällig am , äquivalent,denn es gilt: 121 = 100 1,1 2 Man könnte etwa den Betrag 121, e als Endwert des früher fälligen Betrages von 100, e interpretieren. Ebenso könnte man die 100, e als Barwert des später fälligen Betrags von 121, e ansehen. Wie schaut das am mit 146,41 e aus? Wie schaute das bei der linearen Verzinsung aus? Theorem ( Einmal äquivalent - immer äquivalent ) Sind zwei zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällige Zahlungen äquivalent bezüglich eines Zeitpunktes, so sind sie es auch in Bezug auf jeden anderen Zeitpunkt. Dieser Satz gilt nur für zwei Zahlungsreihen bei exponentieller Verzinsung und konstantem Zinssatz. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

8 Und wofür das ganze? Beispiel Theorem Zwei zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällige Zahlungen dürfen nur dann zu einem (zeitbezogenen) Gesamtwert zusammengefasst werden, wenn sie zuvor aus einen gemeinsamen Bezugstermin aus-/abgezinst werden. Es sei die Summe der Beträge 1 000, e ( ) und 2 000, e ( ) gesucht, bei i = 8% pro Jahr. Diese Frage macht nur dann Sinn, wenn für die Summenbildung ein Bezugstermin angegeben wird. Wir wollen also die Summe für den ausrechnen. Der Gesamtwert K 11 lautet somit: K 11 = , ,08 2 = 3 802,13 e Wie hoch wäre der Gesamtwert K 05 am ? Wir müssen dazu nur den Gesamtwert K 11 auf den Gesamtwert K 05 abzinsen. Es gilt also: K 05 = K 11 1,08 6 = 2 395,99 e = , ,08 4 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Der fundermentale Satz der Finanzmathematik Theorem (Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik) Zwei Zahlungsreihen (Leistung/Gegenleistung bzw. Zahlungsreihe A/Zahlungsreihe B) dürfen nur dann verglichen (im Sinne der Äquivalenz) saldiert addiert subtrahiert werden, wenn zuvor sämtliche vorkommenden Zahlungen (mit Hilfe einer zuvor definierten oder vereinbarten Verzinsungsmethode) auf ein und denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden. Der dabei verwendete Zinsatzsatz heißt Kalkulationszinssatz oder (im Falle der Äquivalenz) Effektivzinssatz. Beispiel: Ein Schuldner muss am und am je , e zahlen. Er möchte stattdessen lieber vier nominell gleich hohe Zahlungen R am /08/10/13 leisten. Wie hoch ist jede der vier Raten bei einer exponentiellen Verzinung zu i = 9% Wir wählen den Stichtag Dann liefert das Äquivalenzprinzip die Äquivalenzgleichung: q q 4 } {{ } (aufgeszinste Leistung) = R q 6 + R q 5 + R q 3 + R } {{ } (aufgezinste Gegenleistung) Klammert man nun R aus, so erhält man (mit q = 1,09): R = (q7 + q 4 ) q 6 + q 5 + q = ,45 e N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

9 Effektiver Zins Beispiel Der effektive Jahreszinssatz i eff gibt die Kapitalvergrößerung an, die effektiv (=tatsächlich) nach einem Jahr aufgetreten ist. Bei einer unterjährigen zinseszinslichen Verzinsung ist der effektive Jahreszinssatz größer als der nominale Jahreszinssatz. Der effektive Jahreszinssatz ergibt sich aus ( i eff = 1 + i ) m 1 m zwei Anlagealternativen: e zu einem nominalen Jahreszinssatz von 6% oder e mit einer monatlichen zinseszinslichen Verzinsung zu i m = 0,06 12 = 0,005. Endkapital bei jährlicher Verzinsung: K n = (1 + 0,06) = e Endkapital bei monatlicher Verzinsung: K n = (1 + 0,005) 12 = 1 061,68 e effektiver Prozentzinssatz: 6,17%, nomineller Prozentzinssatz: 6% Konformer Periodenzinssatz Praxisanspruch: trotz unterjähriger Zinszahlungen soll ein nominaler Jahreszinssatz nicht überschritten werden Damit soll der Effektivzinssatz dem nominellen Zinssatz entsprechen. Die unterjährige Verzinsung kann nicht mit dem relativen Periodenzinssatz erfolgen, sondern mit dem etwas geringerem konformen unterjährigen Periodenzinssatz k. Bei unterjähriger Verzinsung ist der konforme unterjährige Zinssatz k zum nominalen Zinssatz i gegeben durch Beispiel Forts. von S. 36 k = m 1 + i 1 Der konforme unterjährige Periodenzinssatz beträgt demnach k = 12 (1 + 0,06) 1 = 0,00487 (statt i = 0,005) N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Stetige Verzinsung Lässt man m wachsen, so erhält man aus der obigen Formel ( K n = lim K i ) m n [ = K 0 m m die Formel für die stetige Verzinsung: lim m (( 1 + i ) m )] n ( ) = K 0 e i n m Beispiel zur stetigen Verzinsung Beispiel K 0 = e, n = 5, nominaler Jahreszins i = 0,05. Wie hoch ist K n und i eff bei stetiger Verzinsung? Lösung: K n = K 0 e i n = e 0,05 5 = ,25 e i eff = e 0,05 1 = 0,05127 K n = K 0 e i n Für den effektiven Jahreszinssatz gilt damit: i eff = e i 1 Anwendung stetiger Wachstumsprozesse: Ökonomie (Bevölkerungswachstum), Physik (radioaktiver Zerfall), BWL (Portfolio- und Kapitalmarkttheorie) N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Anmerkung 1: Bei Variation von m ergeben sich: m i eff 0,05 0, , , ,05127 Anmerkung 2: Die stetige Verzinsung wird z.b. in der Portfoliotheorie verwendet, da sie mathematisch einfacher zu handhaben ist als die diskrete Verzinsung. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

10 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung a) Wie hoch ist das Endkapital bei einem Anfangskapital von e bei einer jährlichen Verzinsung von 5% in sieben Jahren? b) Wie hoch muss das Anfangskapital sein, damit man bei 5 % Verzinsung nach acht Jahren ein Endkapital von e hat? c) Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit e in sieben Jahren e Endkapital bringen? d) Wie viele Jahre müssen e bei 5 % verzinst werden, damit sie e Endkapital bringen? e) Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit e in sieben Jahren e Zinsen bringen? f) Wie viel Jahre müssen e bei 5 % verzinst werden, damit sie e Zinsen bringen? g) Wie hoch muss das Anfangskapital sein, damit man bei 5% Verzinsung nach 8 Jahren e Zinsen hat? h) Ein Anfangskapital K 0 = e wird mit einem Zinssatz von 0,05 verzinst. Nach wie vielen Jahren hat sich das Anfangskapital verdoppelt? N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Investitionsrechnung N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Einführungsbeispiel Einführungsbeispiel Ein Taxiunternehmer schafft einen neuen Personenkraftwagen an. Diese Investition führt zunächst zu einer einmaligen Anschaffungsauszahlung in Höhe des Kaufpreises über e. Weiterhin sind regelmäßig für Kfz-Steuer, Kfz-Versicherung, Beiträge zur Taxizentrale und dergleichen 700 e jährlich im Voraus zu entrichten. Die übrigen Kosten wie Dieselkraftstoff, Inspektionen, Reparaturen und Gehaltszahlungen für die Taxifahrer werden mit den Einnahmen aus den Fahrpreiszahlungen der Taxibenutzer verrechnet. Der Taxiunternehmer erwartet dabei einen konstanten Einnahmeüberschuss von jährlich e. Nach fünf Jahren soll das Fahrzeug ausrangiert werden, der Wiederverkaufswert zu diesem Zeitpunkt ist mit e anzusetzen. Die diese Investition charakterisierenden Ausgaben und Einnahmen lassen sich übersichtlich anhand eines Zahlenstrahls veranschaulichen. Dabei werden alle Zahlungsgrößen aus der Sicht des Taxiunternehmers bewertet, so dass seine Ausgaben durch negative Zahlen und seine Einnahmen durch positive Zahlen dargestellt werden. Um zu entscheiden, ob diese Investition vorteilhaft ist, muss sie mit anderen Geldanlagemöglichkeiten verglichen werden. Dies ist aber nur möglich, wenn die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallenden Zahlungen vergleichbar gemacht werden können. Die Umrechnung auf einen einheitlichen Zeitpunkt wird dadurch erreicht, dass man alle vorher anfallenden Zahlungen entsprechend aufzinst und alle späteren Zahlungen auf diesen Zeitpunkt abzinst (diskontiert). Wie das zu Lösen ist wird später behandelt... N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

11 Investitionen Investitionen Definition (Investitionen im weitesten Sinne) Unter Investitionen im weitesten Sinne versteht man jegliche Verwendung von Zahlungsmitteln. Definition (Investitionen im engeren Sinne) Unter Investitionen im engeren Sinne versteht man (a) eine Verwendung von Zahlungsmitteln, die (b) die Struktur (ggf. auch die Höhe) des Vermögens eines Unternehmens nachhaltig, das heißt über mehrere Betrachtungsperioden hinweg beeinflusst. Definition (Investitionen im engsten Sinne) Unter Investitionen im engsten Sinne versteht man (a) eine Verwendung von Zahlungsmitteln, die (b) die Struktur (ggf. auch die Höhe) des Vermögens eines Unternehmens nachhaltig, das heißt über mehrere Betrachtungsperioden hinweg beeinflusst und (c) sich im Anlagevermögen des Unternehmens niederschlägt. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Der vollkommene Finanzmarkt Auswirkungen auf den Investor und sein Ziel Definition (Vollkommener Finanzmarkt) Für einen vollkommenen Finanzmarkt treffen folgende Annahmen zu: (a) Eine Kreditaufnahme ist in beliebiger Höhe und für beliebige Laufzeiten möglich. (b) Die Anlage ist in beliebiger Höhe und für beliebige Laufzeiten möglich. (c) Die Höhe des Zinses für die Kreditaufnahme ( Sollzins ) und die Höhe des Zinses für die Anlage ( Habenzins ) sind gleich und in der Entscheidungssituation bereits fest vorgegeben. In einem vollkommenen Finanzmarkt kann der Investor also davon aus gehen, dass er mit Sicherheit zu jedem zukünftigen Zeitpunkt für jeweils eine Periode zu einem im Zeitablauf konstanten für Geldanlagen und Geldaufnahmen identischen Zinssatz in jeder Höhe Kredite aufnehmen und liquide Mittel anlegen kann. Das Ziel ist die Endwertmaximierung. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

12 Unterlassungsalternativen Entscheidungen Aus der Sicht eines Investors gibt es immer eine der beiden folgenden sogenannten Unterlassungsalternativen: (a) Falls er im Besitz von liquiden Mitteln ist, die für eine geplante Investition zur Verfügung hat, so kann er statt der Investition das Geld zum Kalkulationszins(=Habenzins) anlegen. (b) Sind keine liquiden Mittel vorhanden, so kann er das Geld für die geplante Investition zum Kalkulationszins(=Sollzins) aufgenommen werden oder alternativ eben nicht. Projektindividuelle Entscheidung Steht ein Investor vor der Entscheidung sich für oder gegen ein Einzelprojekt zu entscheiden, so kann er zwischen dem Einzelinvesition und der Unterlassungsalternative entscheiden. Dazu kann er die Endwerte der beiden Alternativen unterscheiden. Auswahlentscheidung aus mehrerer Alternativen Steht der Investor vor der Möglichkeit aus mehreren Investitionen zu wählen, so kann er diese untereinander und mit den jeweiligen Unterlassungsalternativen vergleichen. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Grundbegriffe Definition (Zahlungsreihe) Finanzmathematische Kennzahlen Eine Investition wird dargestellt durch eine Reihe von Zahlungen e 0... e T jeweils zu den Zinsterminen zu den Zeitpunkten 0... T. Definition (Endwert) Der Endwert (EW) ist die Summe der aufgezinsten Zahlungen. Definition (Barwert) Der Barwert oder Kapitalwert (K) ist die Summe der abgezinsten Zahlungen. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

13 Endwert und Barwert Theorem (End- und Barwert) Für eine Investition e 0... e T gilt: Endwert: EW = e 0 q T + e 1 q T e T 1 q 1 + e T = Kapitalwert / Barwert: K = e 0 + e 1 q + e 2 q e T 1 q T 1 + e T T q T = e t t=0 q t T e t q T t t=0 Aufgabe: Kapital- und Endwert Berechnen Sie für folgende Investitionen denen den Kapital- und Endwert bei gegebenem Aufzinsungsfaktor q a) q = 1,05 100; +10; +10; +100 b) q = 1,1 400; +400; 300; +400 c) q = 1,1 460; +130; +141; +20 Es gilt somit: EW = K q T N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Kapitalwertfunktion Aufgabe: Kapitalwertfunktion Der Kapitalwert kann als eine Funktion vom Zinssatz r [oder Aufzinsungsfaktor q] gesehen und als Graph dargestellt werden: K (r) r Berechnen Sie für folgende Investitionen die Kapitalwertfunktion für den Zinssatz r = 0%, 5%, 10%, 15% und stellen Sie die Ergebnisse jeweils grafisch dar. a) -100; +10; +10; +100 b) -400; +400; -300; +400 c) -460; +130; +141; +20 d) ; ; +200; -810 K (r) N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

14 Investition mit Eigenkapital Investition mit Fremdkapital Tilgungs- und Anlagenplan (TAP) Kalkulatorischer Zins 5 v.h. Jahr Anfangsbestand Zinsen Zu-und Abgänge Endbestand 0 - e 10, e 1 10, e 2 100, e Tilgungs- und Anlagenplan (TAP) Kalkulatorischer Zins 5 v.h. Jahr Anfangsbestand Zinsen Zu-und Abgänge Endbestand 0-100, e 10, e 1 10, e 2 100, e Unterlassungsalternative: EW u = K 0 q 3 = Unterlassungsalternative: EW u = 0 Da wir kein Geld zum Anlegen haben. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Aufgabe: Tilgungs- und Anlageplan (TAP) Ökonomische Interpretation des Endwertes Der kalkulatorische Aufzinsungsfaktor betrage q. Geben Sie die Tilgungsund Anlagepläne für Eigen- und Fremdfinanzierung für folgende Investitionen an. Berechnen Sie auch jeweils den Endwert der Unterlassungsalternative und vergleichen Sie diese Ergebnisse mit dem Kapitalendwert (siehe Aufgabe: Kapital- und Endwert) a) q = 1,05 100; +10; +10; +100 b) q = 1,1 400; +400; 300; +400 Der Endwert einer Investition ist der Betrag, um den das Vermögen am Ende des Projektes höher oder niedriger ist als bei Realisierung der Unterlassungsalternative. Achtung: Der Endwert einer Investition ist nicht das Endvermögen des Investors! N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

15 Ökonomische Interpretation des Kapitalwertes Aufgabe: Barwert Der Kapitalwert oder Barwert einer Investition gibt die Vermögenserhöhung oder -minderung an, die der Investor am Anfang des Projektes durch den Übergang von der Unterlassungsalternative zu dem Investitionsprojekt erfährt. Der Kapitalwert gibt den Betrag an, um den die anfängliche Auszahlung verändert werden dürfte, damit die Durchführung des Investitionsprojekt gerade noch so gut ist wie Wahl der Unterlassungsalternative. Wie groß dürfte die 1. Auszahlung sein, damit sich das Investitionsprojekt gerade noch lohnt! a) q = 1,05 100; +10; +10; +100 b) q = 1,1 400; +400; 300; +400 c) q = 1,1 460; +130; +141; +20 d) q = 1, ; ; +200; 810 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Normalinvestition Aufgabe: Normalinvestitionen Welche der nachfolgenden Investitionen ist eine Normalinvestition: Eine Investition heißt Normalinvestition, wenn sie mit einer Auszahlung beginnt, nur ein Vorzeichenwechsel beim Gewinn bzw. Verlust aufweist und die nominelle Summe der Einzahlungen größer als die nominelle Summe der Auszahlungen ist (Deckungskriterium). a) -100; +10; +10; +100 b) -400; +400; -300; +400 c) -460; +130; +141; +20 d) ; ; +200; -810 e) ; ; ; f) -200; 500; -100 g) -100; -100; -100; 400 h) ; 400; 400 i) ; -500; -300 j) ; ; ; N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

16 Lösung: Normalinvestitionen Normalinvestition a) -100; +10; +10; +100 Normalinvestition b) -400; +400; -300; Vorzeichenwechsel c) -460; +130; +141; +20 Deckungskriterium nicht erfüllt d) ; ; +200; -810 Zwei Vorzeichenwechsel e) ; ; ; Normalinvestition f) -200; 500; -100 Zwei Vorzeichenwechsel g) -100; -100; -100; 400 Normalinvestition h) ; 400; 400 Deckungskriterium nicht erfüllt i) ; -500; -300 Beginnt mit einer Einzahlung j) ; ; ; Beginnt mit einer Einzahlung Für Normalinvestitionen gilt: Für den Kalkulationszins 0% ist der Kapitalwert positiv: (Deckungskriterium). K I (0) > 0 K I (r) besitzt genau eine Nullstelle q 0, d.h. der interne Zins r 0 (bzw. q 0 ) ist eindeutig bestimmt. Die Kapitalwertfunktion K I (r) ist beginnend bei r = 0% im relevanten Bereich um die einzige Nullstelle r 0 herum streng monoton fallend. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Kapitalwertfunktion einer Normalinvestition Zusammenfassung projektindividuelle Entscheidung Eine Investition e 0... e T bei einem kalkulatorischen Zins q k lohnt sich, wenn EW I > 0 (Ziel Endwertmaximierung!) K I > 0 und für Normalinvestitionen q k < q 0 gilt. In allen anderen Fällen ist die Unterlassungsalternative besser! N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

17 Interner Zinsfuß Es werden folgenden Investitionen angeboten: (1) -100; 15; 115 (2) -100; 100; 25 (3) -100; 55; 80 (4) -100; 80; 60; 10 (5) -80; -12; 50; 66 (6) -100; 10; 70; 90 (a) Sind das jeweils Normalinvestitionen? (b) Berechnen Sie jeweils den Internen Zinsfuß r 0. (c) Geben Sie die Tilgungs- und Anlagepläne für Eigen- und Fremdfinanzierung für die Investition (5) und dem kalkulatorischen Zins r = 10% an. Berechnen Sie auch jeweils den Endwert der Unterlassungsalternative und vergleichen Sie die Ergebnisse. Gehen Sie bei der Eigenfinanzierung davon aus, dass ein Anfangskapital von 100, e vorhanden ist. (d) Berechnen Sie für Fremdfinanzierung fur die Investition (5) und dem kalkulatorischen Zins r = 10% die Summe des gebunden Kapitals, die Summe der Zinsen, so wie den Quotienten aus Summe der Zinsen durch Summe des gebunden Kapitals. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Ökonomische Interpretation des Internen Zinsfußes Für den internen Zinsfuß ist der Kapitalwert K I = 0, d.h. die Durchführung des Investitionsprojekt ist gerade noch so gut wie Wahl der Unterlassungsalternative. Der interne Zinsfuß einer Normalinvestition kann als die Verzinsung des durchschnittlich gebundenen Kapitals des betrachteten Investitionsprojektes betrachtet werden. N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67 Aufgabe: Auswahlentscheidungen Es werden folgenden Investitionen angeboten: (1) -100, 15, 115 (2) -100, 100, 25 (a) Sind beides Normalinvestitionen? (b) Welche der beiden Investitionen werden bevorzugt, wenn man für die Kapitalwertmethode einem Kalkulationszinsfuß von 0%, 5%, 10% und 15% setzt? (c) wenn man die Methode des internen Zinsfußes anwendet? (d) Stellen Sie die berechneten Werte in einer Grafik dar mit Prozentzahlen auf der waagrechten Achse und K 0 auf der senkrechten Achse. Was kann man aus der Grafik ablesen? (e) Berechnen Sie nochmals die Aufgaben (b) bis (d) für die beiden Investitionen: (3) -100, 55, 80 (4) -100, 100, 25 N.Markgraf (FOM) Finanzmathematik Sommersemester / 67

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