Elektrotechnisches Praktikum II

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1 Elektrotechnisches Praktikum II Versuch 2: Versuchsinhalt 2 2 Versuchsvorbereitung 2 2. Zeitfunktionen Phasenverschiebung Parameterdarstellung Komplexer Widerstand eines Zweipols Definition Ortskurve Messverfahren komplexer Widerstände Messung mit dem Oszilloskop Spannungsmesser- und 3-Strommesser-Verfahren Wechselstrommessbrücke Fragen und Aufgaben zur Versuchsvorbereitung Versuchsdurchführung 4 3. Hinweise zum Versuchsaufbau Vergleich von Verfahren zur Bestimmung der Ortskurve eines komplexen Widerstandes Berechnung der Ortskurve Messung der Ortskurve

2 Versuchsinhalt In diesem Versuch werden verschiedene Verfahren behandelt, mit denen der komplexe Widerstand und die Ortskurve beliebiger passiver, linearer Zweipole messtechnisch bestimmt werden können. Passive, lineare Zweipole sind Schaltungen aus ohmschen Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten, die oft auch dazu verwandt werden, um in Form von Ersatzschaltbildern das elektrische Verhalten realer Anlagen und Geräte anschaulich abzubilden. Grundlegendes Hilfsmittel zur Bestimmung komplexer Widerstände ist die Wechselstrommessbrücke. Je nach Messobjekt ist die bestgeeignete Brückenschaltung mit ihren gezielten Eigenschaften (Frequenzabhängigkeit, Abgleichbarkeit) auszuwählen. 2 Versuchsvorbereitung 2. Zeitfunktionen 2.. Phasenverschiebung Der augenblickliche Schwingungszustand eines schwingenden Systems wird als Phase bezeichnet. Beschreibt man das System mit Hilfe von Zeitfunktionen, so spricht man x y τ x t y t t Bild : Phasenverschiebung zwischen zwei Zeitfunktionen von einer Phasenverschiebung zweier Zeitfunktionen, wenn jeweils gleiche Zustände (Phasen) der beiden Funktionen eine konstante zeitliche Verschiebung aufweisen. Die Zeitfunktionen x t und y t in Bild haben beispielsweise eine Phasenverschiebungszeit τ zwischen den vergleichbaren Zuständen Nulldurchgang gleicher Richtung oder Maximalwert. In Bild eilt die Zeitfunktion x t der Zeitfunktion y t um die Zeit τ voraus bzw. die Funktion y t der Funktion x t um τ nach. τ 2

3 Liegt an einem passiven, linearen Zweipol eine sinusförmige Spannung, fließt im eingeschwungenen Zustand ein ebenfalls sinusförmiger, grundsätzlich jedoch phasenverschobener Strom (Bild 2). u i u i u t i t passiver, linearer Zweipol ϕ u ϕ i ωt Bild 2: Strom- und Spannungsverlauf bei passivem, linearem Zweipol Für die Zeitfunktionen von Spannung und Strom gilt: u t i t Durch mformung von Gleichung () in u t u sin ωt ϕ u () i sin ωt ϕ i (2) u sin ωt ϕ i ϕ u ϕ i (3) lässt sich der Phasenverschiebungswinkel zwischen den Funktionen u t und i t ϕ ϕ u ϕ i (4) als Differenz der Nullphasenwinkel ϕ u und ϕ i direkt ablesen. Ist ϕ 0, so eilt die Spannung u t dem Strom i t um ϕ voraus. Der Zweipol zeigt dann induktives, bei ϕ 0 kapazitives Verhalten. Phasenverschiebungswinkel ϕ und Phasenverschiebungszeit τ sind über die Periodendauer T der Schwingung verknüpft: ϕ ω τ 2π T τ (5) 3

4 2..2 Parameterdarstellung Verwendet man zwei phasenverschobene Sinusfunktionen gleicher Kreisfrequenz ω x t y t x sin ωt (6) y sin ωt ϕ als Koordinaten eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so wird hierdurch eine Ellipse beschrieben. Deren grafische Konstruktion erläutert Bild 3. Aus der Form der Ellipse kann der Betrag von ϕ abgeleitet werden. ϕ arcsin y y (7) ωt 0 2π y y 2 y 2 y x ϕ ωt ωt ωt ωt π 3π x ωt ωt Bild 3: Parameterdarstellung zweier Zeitfunktionen Für 0 ϕ π wird die Ellipse mit zunehmendem t rechtsherum durchlaufen, für π ϕ 0 linksherum. Im Sonderfall ϕ 0 π entartet die Ellipse zu einer Geraden mit der Steigung ÿ ẍ, im Sonderfall ϕ π 2 und x y zu einem Kreis. 4

5 2.2 Komplexer Widerstand eines Zweipols 2.2. Definition Sinusförmige Zeitfunktionen werden vorteilhaft durch komlexe Größen beschrieben. u t 2 sin ωt ϕ u Im 2 e j ωt ϕ u Im 2 e jωt Im u t (8) i t 2I sin ωt ϕ i Im 2I e j ωt ϕ i Im 2I e jωt Im i t (9) u t und i t sind komplexe Drehzeiger, und I sind Effektivwerte, und I sind komplexe Effektivwerte. Ein passiver, linearer Zweipol lässt sich dann als Ersatzschaltung nach Bild 4 I Z Bild 4: Ersatzschaltung eines passiven, linearen Zweipols mit dem komplexen Widersand Z (Impedanz) Z u t i t I I e j ϕ u ϕ i (0) Z e jϕ z darstellen. Der Betrag Z des komplexen Widerstandes wird als Scheinwiderstand bezeichnet. Der Winkel ϕ z des komplexen Widerstandes ist mit dem Phasenverschiebungswinkel ϕ zwischen der Spannung u t und dem Strom i t identisch. Ein passiver, linearer Zweipol kann auch durch seinen komplexen Leitwert (Admittanz) Y beschrieben werden: Aus Y Z folgt: Y I Y e jϕ y () Y (2) Z ϕ y ϕ z (3) 5

6 2.2.2 Ortskurve Komplexe Größen lassen sich in der komplexen Ebene als Zeiger dargestellen. Die Länge des Zeigers Z entspricht dem Scheinwiderstand Z, die Lage zur reellen Achse dem Winkel ϕ z. Die Spitze des Zeigers Z verlagert sich, wenn sich ein Parameter (z.b. ω) ändert. Die Verbindungslinie aller darausfolgenden Zeigerspitzen stellt die Ortskurve der komplexen Größe Z ω dar. Im Z L ω Z L ω 2 Z L ω Z L R L jωl L R L a) Im Z C R L ω 0 Re Z L R C Re Z C b) ω ω 0 Z C ω Z C ω 2 Z C R C jωr C C C R C Bild 5: Widerstandsortskurven einer verlustbehafteten Spule (a) und eines verlustbehafteten Kondensators (b) Bild 5a) zeigt die Widerstandsortskurve einer verlustbehafteten Spule, Bild 5b) eines verlustbehafteten Kondensators. 2.3 Messverfahren komplexer Widerstände 2.3. Messung mit dem Oszilloskop Mit dem Oszilloskop lässt sich nur der zeitliche Verlauf von Spannungen sichtbar machen. Ströme müssen deshalb zunächst induktiv (Stromzange) oder galvanisch (Messwiderstand) in äquivalente Spannungen umgewandelt werden. Dies kann zu Messfehlern führen. Zur gleichzeitigen Darstellung des zeitlichen Verlaufs zweier Messgrößen, hier u t und i t, benötigt man ein Oszilloskop mit zwei Kanälen. Damit lässt sich bei sinusförmiger Speisung eines passiven Zweipols der Winkel von dessen komplexem Widerstand Z aus der Zeitverschiebung von u t und i t sowie der 6

7 Betrag von Z aus u und i ermitteln. Erlaubt das Oszilloskop den Anschluss einer externen Signalquelle an das X-Ablenksystem, so kann die komplexe Impedanz eines Zweipols aus der Parameterdarstellung der Zeitfunktionen u t und i t ermittelt werden. Hierzu legt man z.b. an das X-Ablenksystem eine zu i t und an das Y -Ablenksystem eine zu u t proportionale Spannung. Aus der bei sinusförmigen Signalen gleicher Frequenz folgenden Ellipse lassen sich Z und ϕ z bestimmen. Die mlaufrichtung des Elektronenstrahls und damit das Vorzeichen von ϕ z sind bei hohen Frequenzen wegen der Trägheit des Auges und des nachleuchtenden Bildschirms jedoch nicht zu erkennen Spannungsmesser- und 3-Strommesser-Verfahren Betrag und Winkel (allerdings ohne Vorzeichen) komplexer Widerstände lassen sich auch mit einfacheren Messgeräten wie dem Multimeter bestimmen. 3-Spannungsmesser-Verfahren Dem unbekannten Zweipol Z wird ein bekannter Wirkwiderstand R in Reihe geschaltet. Nach Bild 6 sind dann die drei Spannungen, Z und R messbar. Daraus lässt R V R V Z V Z Z Z ϕ z R R Bild 6: Schaltung und Zeigerdiagramm des 3-Spannungsmesser-Verfahrens bei induktivem Verhalten von Z sich bei bekanntem induktiven oder kapazitiven Verhalten des Zweipols das Spannungszeigerdiagramm konstruieren. Der Betrag Z kann mit Z R Z R (4) berechnet werden. Sein Winkel ϕ z ist gleich dem Winkel zwischen Z und R : ϕ z arccos 2 2 Z 2 R 2 Z R (5) 7

8 3-Strommesser-Verfahren Bei diesem Messverfahren wird dem unbekannten Zweipol mit dem komplexen Leitwert Y, ein bekannter Wirkleitwert G parallel geschaltet (Bild 7). A I A I Y A I G Y G I I Y I I Y ϕ y I G I G Bild 7: Schaltung und Zeigerdiagramm des 3-Strommesser-Verfahrens bei kapazitivem Verhalten von Y Analog zum 3-Spannungsmesserverfahren erhält man ϕ y Y G arccos I Y I G (6) I 2 I 2 Y I 2 G 2I Y I G (7) Wechselstrommessbrücke Das Hauptaugenmerk dieses Versuchs gilt den Wechselstrommessbrücken nach Bild 8. Z 2 Z 3 I 2 I I 24 B I 34 Z 24 Z 34 Bild 8: Grundschaltung einer Wechselstrommessbrücke 4 8

9 Abgleichbedingung Die Brücke ist dann abgeglichen, wenn die Knoten 2 und 3 gleiches Potential haben, die Brückenspannung B also Null ist: I 2 Z 2 I 3 Z 3 (8) I 24 Z 24 I 34 Z 34 (9) Da dann auch I 2 I 24 und I 3 I 34 gilt, ergibt sich durch Division der beiden Gleichungen (8) und (9) die komplexe Abgleichbedingung oder Z 2 Z 24 e j ϕ 2 ϕ 24 Z 2 Z 24 Z 3 Z 34 (20) Z 3 Z 34 e j ϕ 3 ϕ 34 (2) Beim Abgleich einer Wechselstrommessbrücke müssen demnach zwei voneinander unabhängige Bedingungen Z 2 Z 3 (22) Z 24 Z 34 und ϕ 2 ϕ 24 ϕ 3 ϕ 34 (23) erfüllt, also mindestens zwei variable Abgleichelemente vorhanden sein. Zur Vereinfachung des Abgleichprozesses sollten diese Elemente zudem voneinander linear unabhängig sein. Real- und Imaginärteil eines komplexen Widerstandes sind somit geeignete Abgleichelemente. Induktivitäten werden jedoch in der Praxis nicht angewandt, da ihre unvermeidlich höheren Verlustwiderstände keine unabhängige Einstellung von Real- und Imaginärteil erlauben. Mit Gleichung (23) lässt sich erkennen, ob eine Brückenschaltung mit beliebigen Elementen Z 2 bis Z 34 überhaupt abgleichbar ist. C x L x a) Z var b) Z var Bild 9: Brückenkonstellationen, bei denen ein Abgleich grundsätzlich möglich ist Ein Abgleich ist beispielsweise immer möglich, wenn. zwei der Brückenzweige durch reine Wirkwiderstände bekannter Größe realisiert und 9

10 2. die komplexen Widerstände der beiden restliche Zweige entweder bei gleichartigem Blindwiderstand entsprechend Bild 9a) benachbart sind oder ungleichartigem Blindwiderstand entsprechend Bild 9b) gegenüber liegen. Die Überprüfung des Abgleichs erfolgt im Versuch mit einem Multimeter. Konvergenz des Abgleichs Bei unbekanntem komplexem Widerstand Z 3 Z x müssen Realteil und Imaginärteil des Abgleichzweiges (Z 34 im Beispiel von Bild 0) sukzessive variiert werden. Im Z Re Z R 2 R x C x Z 2 Z 34 Start 2 B 3 ϑ 90 R var R 24 4 R 34 C 34 C var R var Z 3 Z 24 Cvar D Start D min R var Bild 0: Beispiel einer Brückenschaltung mit guter Abgleichkonvergenz Gute Konvergenz liegt vor, wenn der Abgleich D Z 3 Z 24 Z 2 Z 34 0 (24) in wenigen Schritten erreicht wird, d.h. der beeinflussbare Zeiger Z 2 Z 34 R 2 R var jωc var (25) mit dem festliegenden Zeiger Z 3 Z 24 R 24 R x jωc x R x (26) zur Deckung gebracht wird. Im Beispiel von Bild 0 ist dies zunächst durch alleinige Anpassung von R var und anschließend C var (oder umgekehrt) sehr schnell erreichbar, da die gestrichelt gezeichneten Ortskurven Z 2 Z 34 R var und Z 2 Z 34 C var nach Gleichung (25) orthogonal sind. 0

11 Ein Brückenabgleich wäre nach Gleichung (24) grundsätzlich auch mit variablem R 2 statt R 34 möglich (Bild ). Im Z Re Z R 2 R var R x C x Z 2 Z 34 Start 2 3 B R 24 4 R 34 C 34 C var Z 3 Z 24 ϑ 90 D min R var D Start C var D min C var R var Bild : Beispiel einer Brückenschaltung mit schlechter Abgleichkonvergenz Die Konvergenz des iterativen Abgleichs ist schlecht, da über Z 2 Z 34 R var R 34 jωc var (27) die beiden Stellgrößen gekoppelt sind. Frequenzunabhängige Wechselstrommessbrücke Frequenzunabhängige Abgleichbedingungen erhält man immer dann, wenn der variable Zweipol das gleiche Phasenverhalten in Abhängigkeit von ω aufweist, wie der zu messende Zweipol. Tabelle zeigt die dementsprechenden Kombinationsmöglichkeiten der Zweipole für den zuvor begründeten Fall, dass für Z 2 ein ohmscher Widerstand und zum Abgleich stets eine Widerstands- und eine Kapazitätsdekade eingesetzt werden. Beispielhaft zeigt der Fall Z x R x jωl x (28) mit Z 2 R 2 (29) Z 34 R 34 (30) Z 24 R var (3) jωc var

12 die Frequenzunabhängigkeit der Abgleichbedingungen: R x R 2 R 34 R var (32) L x C var R 2 R 34 (33) Z 2 Z 3 Z x tanϕ 3 Z 34 tanϕ 34 Z 24 tanϕ 24 ωrc ωrc 0 ωrc ωrc 0 ωl R 0 ωrc R ωl 0 ωrc Tabelle : Kombinationsmöglichkeiten für frequenzunabhängige Wechselstrommessbrücken Frequenzabhängige Wechselstrommessbrücke Frequenzabhängige Wechselstrommessbrücken werden z.b. dann eingesetzt, wenn das Verhalten eines Zweipols in Abhängigkeit von der Frequenz bestimmt werden soll. Damit eignen sie sich auch für Frequenzmessungen. Die hierfür möglichen Schaltungen unter den sonst gleichen Nebenbedingungen der Tabelle sind in der Tabelle 2 zusammengestellt. Die Abgleichbedingungen für frequenzabhängige Messbrücken gelten natürlich nur bei rein sinusförmiger Speisung der Brücke. Im hierfür gewählten Beispiel mit Z x R x jωc x (34) Z 2 R 2 (35) Z 24 R 24 (36) Z 34 R var (37) jωc var 2

13 erweisen sich die Ableichbedingungen als frequenzabhängig. R x R var C x C var R 2 R 24 R 24 R 2 ω 2 R 2 varc 2 var ω 2 R 2 var C2 var (38) (39) Z 2 Z 3 Z x tanϕ 3 Z 34 tanϕ 34 Z 24 tanϕ 24 ωrc ωrc 0 ωrc ωrc 0 ωl R 0 ωrc R ωl 0 ωrc Tabelle 2: Kombinationsmöglichkeiten für frequenzabhängige Wechselstrommessbrücken 2.4 Fragen und Aufgaben zur Versuchsvorbereitung. Durch welche Kenngrößen lässt sich ein komplexer Widerstand beschreiben, was sagt das Vorzeichen seines Winkels aus? 2. Wie macht man zeitliche Verläufe von Strömen mit dem Oszilloskop sichtbar? 3. Anhand welcher Bedingung ist sofort erkennbar, ob eine Brücke abgleichbar ist? 4. Wie ändert sich die Brückenschaltung nach Bild 9, wenn induktive Abgleichelemente eingesetzt werden? 5. Wann wird eine Brücke frequenzabhängig und wann frequenzunabhängig genannt? 6. Was versteht man unter einer Ortskurve? 7. Berechnen Sie im Kapitel 3.3. den Ortskurvenverlauf des komplexen Widerstandes der Schaltung in Bild 7 und zeichnen Sie ihn in Bild 20 ein. 8. Führen Sie im Kapitel die Versuchsvorbereitungen für die Ortskurvenmessung im kapazitiven und induktiven Bereich durch. 3

14 3 Versuchsdurchführung 3. Hinweise zum Versuchsaufbau Bild 2 zeigt das verwendete Rasterstecksystem, auf dessen Grundplatte alle Schaltungen des Versuchs mit den erforderlichen Bauteilen aufgebaut werden. Bild 2: Rasterstecksystem Als Messgeräte stehen ein Oszilloskop (Beschreibung siehe Versuch ) und ein Multimeter zur Verfügung. Ein Funktionsgenerator dient als Spannungsquelle. Die Quellenspannung beträgt 20V pp. 4

15 3.2 Vergleich von Verfahren zur Messung komplexer Widerstände Für den vorliegenden unbekannten Zweipol sind sein Scheinwiderstand Z x und sein Winkel ϕ Zx bei der Frequenz f 50Hz nach den folgenden vier Verfahren zu bestimmen:. Gleichzeitiges Oszillografieren von sinusförmigem Strom und Spannung des Zweipols Wählen Sie einen geeigneten Maßstab und übertragen Sie das Schirmbild des Oszilloskops in das nachfolgende Diagramm. Auswertung: Bild 3: Schirmbild der. Messung Z x ϕ Zx 5

16 2. Oszillografieren des zur Parameterdarstellung von u t und i t gehörenden Graphen Übertragen Sie das Schirmbild unter Angabe des gewählten Maßstabes in das nachfolgende Diagramm. Auswertung: Bild 4: Schirmbild der 2. Messung Z x ϕ Zx 6

17 3. Anwendung des 3-Spannungsmesser-Verfahrens bei geeigneter Wahl des Vorwiderstandes R nach Bild 6 R R Z Zeichnen Sie mit den Messergebnissen das Spannungsdreieck in Bild 5 ein. Geben Sie den gewählten Maßstab an. 0 Bild 5: Spannungsdreieck des 3-Spannungsmesser-Verfahrens Auswertung: Z x ϕ Zx 7

18 4. Impedanzmessung mit einer geeigneten Messbrücke nach Kapitel Ergänzen Sie unter Berücksichtigung der Ergebnisse der. Messung die Schaltung der zu verwendenden Messbrücke in Bild 6 so, dass Sie anschließend Z x 2 3 B Bild 6: Schaltung der verwendeten Messbrücke aus den Abgleichbedingungen (22) und (23) einfache Beziehungen zur Berechnung von Z x und ϕ Zx ableiten können. Verwenden Sie für die ohmschen Zweige der Brückenschaltung Festwiderstände der Größe R kω. Abgleichbedingungen: 4 Auswertung: Z x ϕ Zx Diskutieren Sie, ob sich das Vorzeichen von ϕ Zx mit den im Kapitel 3.2 verwendeten vier Messverfahren bestimmen lässt. 8

19 3.3 Bestimmung der Ortskurve eines komplexen Widerstandes Der Ortskurvenverlauf eines komplexen Widerstandes Z x mit der Ersatzschaltung nach Bild 7 ist in Abhängigkeit von f rechnerisch und mit geeigneten Wechselstrommessbrücken zu ermitteln. R L 00Ω Z x L 6 8mH R C 220Ω C µf Bild 7: Ersatzschaltung des komplexen Widerstandes 3.3. Berechnung der Ortskurve Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z x f der Schaltung in Bild 7 Z x f Bestimmen Sie Z x f 0 und den asymptotischen Verlauf Z x f 9

20 Berechnen Sie die Frequenz f 0, bei der Z x vom kapazitiven zum induktiven Verhalten wechselt. f 0 In welchem Bereich verhält sich der Zweipol kapazitiv, in welchem induktiv? 0 f f 0 : f 0 f : Wie groß ist der Widerstand des Zweipols bei f f 0? Z x f f 0 Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf der Widerstandsortskurve des Zweipols aus Bild 7 in Bild 20 ein Messung der Ortskurve Für einige Frequenzen oberhalb und unterhalb von f 0 ist Z x zu messen. Bauen Sie zunächst die Ersatzschaltung nach Bild 7 auf. Gleichstromwiderstand Messen Sie den Gleichstromwiderstand Z x f 0 20

21 Kapazitiver Bereich - Versuchsvorbereitung Vervollständigen Sie Bild 8 zu einer geeigneten Brückenschaltung für die Messung der Zweipolimpedanz Z x im kapazitiven Bereich. Achten Sie dabei darauf, dass sich aus der komplexen Abgleichbedingung (20) möglichst einfache Beziehungen zur Berechnung des Real- und Imaginärteils von Z x ergeben. Z x 2 3 B Bild 8: Messbrücke für den kapazitiven Bereich Leiten Sie aus der komplexen Abgleichbedingung (20) die Gleichungen zur Berechnung des Real- und Imaginärteils von Z x ab. 4 Z x Re Z x jim Z x Kapazitiver Bereich - Messung Bauen Sie die gewählte Brückenschaltung unter Verwendung der Festwiderstände R kω auf und messen Sie Z x bei den Frequenzen f Hz R var C var Re Z x Im Z x

22 Induktiver Bereich - Versuchsvorbereitung Vervollständigen Sie Bild 9 zu einer geeigneten Brückenschaltung für die Messung der Zweipolimpedanz Z x im induktiven Bereich. Achten Sie auch hier darauf, dass sich aus der komplexen Abgleichbedingung (20) möglichst einfache Beziehungen zur Berechnung des Real- und Imaginärteils von Z x ergeben. Z x 2 3 B Bild 9: Messbrücke für den induktiven Bereich Leiten Sie aus der komplexen Abgleichbedingung (20) die Gleichungen zur Berechnung des Real- und Imaginärteils von Z x ab. 4 Z x Re Z x jim Z x Induktiver Bereich - Messung Bauen Sie die gewählte Brückenschaltung unter Verwendung der Festwiderstände R kω auf und messen Sie Z x bei den Frequenzen f Hz R var C var Re Z x Im Z x Tragen Sie den gemessenen Verlauf der Ortskurve Z x f ebenfalls in das Bild 20 ein. 22

23 Im Z x Ω Re Z x Ω 00 Bild 20: Qualitativer und gemessener Verlauf der Widerstandsortskurve des Zweipols aus Bild 7 23