Studiengang Umweltschutz. Mathematik 2

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1 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Studiengng Umweltschutz Mthemtik Inhltsverzeichnis Grundlgen... Rechnen mit Potenzen...8 Binomische Formel... 6 Iterierte Abbildungen... 3 Komplee Zhlen Integrlrechnung... 6 Differentilgleichungen Linere Algebr Linere Näherung nichtlinerer Systeme... 7 Zusmmenfssung: Gekoppelte Differentilgleichungen... 7 Probeklusur Mthemtik... 35

2 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Vorbemerkung Alle kopierten Tete entstmmen dem Mthemtikskript für Biologen von Prof. Herz, München. Diesem soll n dieser Stelle für seine Arbeit freundlich gednkt werden. Bitte diese Unterlge nicht n dritte weitergeben, ohne den Verweis uf ds Skript von Prof. Herz. Grundlgen Funktionen Eine Funktion bildet eine Zhlenmenge mit Elementen uf eine ndere Zhlenmenge mit Elementen y b. Umkehrfunktion

3 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Bei der Funktion wurde verlngt, dss zu jedem genu ein y eindeutig zugeordnet ist. Ds gleiche y knn ber zu verschiedenen gehören. Eine Funktion besitzt eine Umkehrfunktion, wenn uch umgekehrt, zu jedem y uch nur genu ein eistiert. Grfisch knn mn die Umkehrfunktion drstellen, indem mn, und y-achse vertuscht. Beispiele Funktion Achsen Vertuschen Bemerkung Hier eistiert keine Umkehrfunktion. Zu einem Wert eistieren unendlich viele Werte Keine Umkehrfunktion, zu jedem positiven Wert gehören Werte. Umkehrfunktion eistiert für positive Zhlen. Umkehrfunktion eistiert für lle reellen Zhlen. 3

4 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Reihenentwicklungen Eine stetige, differenzierbre Funktion f() knn mn ls Reihe drstellen. Diese Drstellung ist meist nur in der Nähe eines Punktes o sinnvoll. Beispiel: f()o (-o) Ds ist die linere Näherung, die versucht die Funktion in der nähe von o durch eine Gerde zu beschreiben. ist die Steigung von f() m Punkt o. Beispiel: f()o (-o) b/ (-o)^ Ds ist die qudrtische Näherung. b ist die zweite Ableitung von f() m Punkt o. Beispiel zum Stz von Tylor: f () 4 f ' ()4 3 f '' () f '' '4 f ' '' '4 f 5und mehr 0 sei o und f(o), dnn gilt () ( )3 6 4 () ()4 3 () 6 () 3 4 () 4 bzw bzw 4 () 4 4

5 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Winkel im Bogenmß Jeder kennt die Angbe von Winkeln in Grd. Kommentr [K]: Ende. Sitzung 4.3.0, Tylorreihe wr totl unbeknnt. Ein rechter Winkel ht 90, etc. Alterntiv knn mn Winkel im Bogenmß ngeben. Ds Bogenmß ist die Länge/Umfng des Teilkreises mit rdius der zum Winkel gehört. Winkel in Grd Winkel in Bogenmß 30 π/6 90 π/ 80 π 70 π 3/ 5

6 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ ε π δ Übung Tetufgbe )Fläche d 3,45 *,3cm A π 00cm 4 4 d 3,45 * 0,3 m A π 0,000 m 4 4 b) 6

7 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ N Mittelwert m i m i.55g N N i i m N Stndrdbw. s ( m ) 0.44 oder 0.46 (lterntive Formel siehe Sttistik) c) Formel ist schon ngegeben J.55/(00*30) *000 ; Fktor 000 wegen Umrechnung g>mg 0.5 d) Geschwindigkeit 40cm/s 60 s/min *0,4m/s 4m/min 30 min *4 m /min 70 m Volumen L * Grundfläche 70 m * 0,0m^ 7,m^3 e),55g uf 7,m^3 550 mg/700l 0. mg/l f) Wie groß ist ds Netz der Lrve? 48mm^ Wie groß ist die Fliesgeschwindigkeit? 0,4m/s bzw 4m/min bzw 440m/h m/tg Wieviel Wsser driftet durch ds Netz? Umrechnung in m^ 48mm^0,000048m^ 34560*0, m^3/tg,65 m^3/tg Wsserfluss durch ds Netz 0, mg/l entsprechen 0, g/m^3,65m^3/tg*0,g/m^3 0,36g/tg 7

8 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Entsprechen 360 mg, ds ist mehr ls 85% des Körpergewichts. Die Antwort lutet j Rechnen mit Potenzen Potenzen Potenzen ntürlicher Zhlen Potenzfunktion 8

9 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Symmetrieverhlten gerder und ungerder Eponent Wurzelfunktion Umkehrfunktion der Potenzfunktion Ungerde n: Potenzfunktion ist für lle y invertierbr Gerde n : Potenzfunktion ist nur für positive y invertierbr. Achtung es gibt für jedes y -Werte y n sei eine Potenzfunktion v v* w Unter Verwendung der Rechenregeln für Potenzen insbesondere von ( ) Erhält mn für y : y n w 9

10 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Für y n ist uch diese Schreibweisen möglich y n Polynome 0

11 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Potenzen mit beliebigen reellen Eponenten Rechenregeln für Potenzen

12 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Beispiele Rechnen mit Potenzen.) Ein Würfel ht die Kntenlänge : Wie groß ist sein Volumen? Wie groß ist seine Oberfläche? Wenn die Kntenlänge um 50% vergrößert wird. Um wie viel Prozent erhöht sich sein Volumen, seine Oberfläche? Auskühlung A Wärmeproduktion V Wärmeverlust Wärmeproduktion A l V l 3 l Je größer ein Lebewesen ist, desto geringer sind seine Wärmeverluste. Im Vergleich zur Wärmeproduktion. Eponentilfunktion Bei einer Potenzfunktion ist die Bsis vribel und der Eponent konstnt. Bei Eponentilfunktionen ist die Bsis konstnt und der Eponent vribel.

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14 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Beispiele Verzinsung Durch Zinsen wächst ds Kpitl einer Festgeldnlge jedes Jhr um 4%.. Y 04 K O. ; Anlgeduer in Jhren, Y: Wert der Anlge Durch Infltion verliert Geld jedes Jhr 3% n Kufkrft. Z 97 Y 0. Anlgeduer in Jhren, Z: Kufkrft im Vergleich zum Anlgejhr. (.04 * 0. ) Z 97 K. O Kommentr [K]: Ende. Sitzung Bsen der Eponentilfunktion Folgende Zhlen werden häufig in Eponentilfunktionen verwendet. Bsis 0 D wir normlerweise im Dezimlsystem rechnen sehr hilfreich 0^zehn, 0^hundert, 0^3tusend, etc. Bsis EDV-Verwendung. Mit 8 Bit knn mn ^8 Zhlen drstellen, mit 6bit ^6, mit 64bit ^64 Merke ^004 lso ungefähr 0^3 Ddurch ^0 ungefähr 0^6, ^60 ungefähr 0^8 ^64 ungefähr.6*0^9 (Tschenrechner.8*0^9) Bsis e (.783) Eponentieller Zerfll Verringert sich die Menge einer Substnz proportionl zur gerde vorhndenen Menge, so ist ls Funktion der Zeit t durch eine Eponentilfunktion mit Bsis e gegeben. Die Begründung dfür folgt im Abschnitt Differentition. t e αt ( ) mit o α R 4

15 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Der Eponent ist für positive t immer negtiv. e^0 ist. e hoch eine negtive Zhl ergibt eine positive Zhl kleiner. Eponentielles Wchstum Erhöht sich die Menge einer Substnz proportionl zur gerde vorhndenen Menge, so ist ls Funktion der Zeit t durch eine Eponentilfunktion mit Bsis e gegeben. Die Begründung dfür folgt im Abschnitt Differentition. αt ( t) o e mit α R Diesml ist der Eponent positiv. Die Steigung der dzugehörenden Funktion ist ebenflls positiv. (Wrum?) Logrithmus Der Logrithmus ist die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion. D die Eponentilfunktion monoton wchsend oder monoton fllend ist, eistiert eine Umkehrfunktion. D die Werte der Eponentilfunktion immer positiv sind, ist die Umkehrfunktion nur für positive Argumente gültig. 5

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17 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ X Log0() X Log0() X Log0() X Log0() 0,0 0,0 00, ,0,5 0,,5, 5, 50 3,,6 0, 6, 60, 600 3, 0,3 0,3 00, ,3 4 0,6 40,6 400, ,6 8 0,9 80,9 800, ,9 Diese Logrithmenwerte sollten mn uswendig kennen. Zeichnen mit logrithmischer Sklierung Eine Funktion bildet die Menge X uf die Menge Y b. f : X Y Wir können die Funktion grphisch drstellen mit einem krtesischen Koordintensystem mit liner d.h. gleichmäßig sklierten Achsen. Der Abstnd zwischen und uf der Achse ist der gleiche wie zwischen und. Es gibt ber uch die Möglichkeit, die Achsen logritsch zu sklieren. Dnn ist der Abstnd zwischen und der gleiche wie zwischen 0 und 0 bzw. 00 und 00. Beispiele 7

18 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ liner y liner liner y log0 log0 y log0 Ws pssiert, wenn mn die Achsen logrithmisch ufträgt? Dzu folgendes Beispiel: yf()b*^ soll ls Funktion gezeichnet werden. Wir wählen zum Zeichnen b0 und 3/. Wir trgen in ds Digrmm ls zusätzliche Kurve log(y) ein. Diese Kurve erhält eine eigene y-achse uf die rechte Seite des Digrmms mit linerem Mßstb, ( Der Abstnd zwischen und ist der gleiche wie zwischen 9 und 0.) 8

19 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ y yf()0*^(3/) yf() (links) 8 Log(y) Benutzt mn nun für die ursprüngliche Funktion yf() eine logrithmisch sklierte Achse pssiert ds folgende: y yf()0*^(3/) yf() (links) Log(y) Die beiden Kurven fllen ufeinnder. Auf der logritschmischen Skl links entspricht dem Wert log()0 uf der lineren Skl rechts. Auf der logritschmischen Skl links entspricht 0 dem Wert log(0) uf der lineren Skl rechts. Auf der logritschmischen Skl links entspricht 00 dem Wert log(00) uf der lineren Skl rechts. u.s.w. 9

20 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Betrchten wir noch ml die Funktion yf()b*^ Log(y)Log(f())Log(b*^ ) Ds lässt sich umformen zu: Log(y)Log(b) Log() Trägt mn Log(y) nsttt über über Log() uf, müssten wir eine Gerde mit der Steigung und Y- Achsenbschnitt Log(b) erhlten. Im folgenden Digrmm gibt es eine zweite Ordinte mit den Werten von Log() m oberen Rnd yf()0*^(3/) Log() 8 y Log(y) yf() über (unten) log(y) über log() (oben) Wenn mn nun die -Achse (unten) im logrithmischen Mßstb ufträgt, in der Art und Weise, dss unten Log()0 oben und unten Log(0.000)4 oben entspricht, fllen die Kurven wieder ufeinnder. 0

21 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ y yf()0*^(3/) Log() 8 Log(y) yf() über (unten) log(y) über log() (oben) Die logrithmische Sklierung der X- und Y-Achse ist sehr gut geeignet, um beliebige Potenzgesetze der Form yb * ^ drzustellen, bzw. zu identifizieren. Ein Potenzgesetz wird dnn ls Gerde drgestellt. Diese Gerde knn bis zum Punkt verlängert werden. An diesem Punkt ist yb. Auf diese Weise knn b identifiziert werden. Die Steigung der Gerden entspricht. Will mn die Steigung mit dem Linel messen ist druf zu chten, dss beide Achsen die gleiche Teilung pro Dekde hben. Eine Dekde bezeichnet die Spnnweite des Fktors 0. Im unteren Beispiel steigt Log(y) um,5 wenn Log() um wächst.ds entspricht einer Steigung von,5 in der logrithmischen Sklierung. Im unteren Beispiel steigt y um den Fktor 3,7 pro Dekde, bzw um den Fktor 000 nch Dekden. Ds entspricht der Potenz,5 Dezibel Skript von R&S us OLAT: lle Bilder in diesem Abschnitt stmmen us dieser Unterlge, die in OLAT gespeichert ist. Ws ist ein db? Zu Wert einer Leistung P eistiert ein Referenzwert Po.

22 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Ds Verhältnis von P/Po wird logrithmiert und mit 0 multipliziert. Ds Ergebnis heißt Pegel in db. Pegel dher, d es sich immer uf einen Referenzwert bezieht. Der Referenzwert knn verschiedenen Einheiten hben: Wtt, Volt, P, mbr, m^, etc. Der Pegelwert ht immer die gleiche Einheit db. L 0 log 0 P Po Wrum benutzen wir db? Um einfcher rechnen zu können. Siehe Skript von R&S Unterschied db mit Leistung und mit Amplitude Der db-wert bezieht sich immer uf die Leistung eines Signls etc. In den meisten Fällen ist die Leistung eine Funktion des Qudrts der Amplitude. Ds knn die Amplitude der Spnnung, der Stromstärke, des Schlldrucks etc. sein. Ist der Wert A eine Amplitude und der Referenzwert Ao ebenflls eine Amplitude berechnet mn den Pegel nch folgender Formel; A L 0 log 0 Begründung: die Leistung berechnet sich us dem Qudrt von A Ao A 0 log0 0 log Ao L 0 A Ao Dämpfung von Leitungen etc.. Kommentr [K3]: Ende 3. Sitzung.3.0

23 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Addition von db 3

24 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 4

25 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 5

26 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Mittelung von db Bitte benutzen Sie die Unterlgen zum Rechnen mit Pegelwerten in der Dtenbnk MATH in OLAT. Binomische Formel Kommentr [K4]: Ende 4. Sitzung (zusätzlich wurde Drstellung von Digrmmen mit logrithmischer Sklierung behndelt.) Wie sieht ber der Ausdruck für (b)^3 us? 6

27 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Ein Term entsteht us der Summe des linken und rechten oberen Nchbrn. 7

28 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 8

29 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Übungen Aufgben us Ppul Bnd. St. 30, Aufgben,, 3, 5, 6,, 3 Anwendung in der Whrscheinlichkeitsrechnung Ein Ereignis knn entweder eintreten oder nicht eintreten. p sei die Whrscheinlichkeit, dss es eintritt, dnn ist q(-p) die Whrscheinlichkeit, dss es nicht eintritt. Die Summe beider Whrscheinlichkeiten ist pq, ws bedeutet, es gibt keine weiteren Möglichkeiten. Beispiel Münzwurf. p sei die Whrscheinlichkeit für Wppen q sei die Whrscheinlichkeit für Zhl Es wird ml geworfen. Die Whrscheinlichkeiten von Wurf und Wurf sind voneinnder unbhängig. Dher drf mn sie einfch miteinnder multiplizieren. Wir multiplizieren nun ber die Whrscheinlichkeit, dss überhupt ein Ergebnis eintritt. ( p q)( p q) p pq q Die Whrscheinlichkeit, dss wir nch Münzwürfen wieder ein Ergebnis hben ist lso immer noch. Mit pq0.5 erhlten wir 0.5 ls Whrscheinlichkeit dss gleiche Ereignisse uftreten und 0.5 dfür dss einml Wppen und einml Zhl uftreten. Ds funktioniert ntürlich uf mit höheren Potenzen. 9

30 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ ( p q)( p q)( p q) p 3 p q pq Oder llgemein q 3 ( p q) p N N N p N N q p Übung Multiplizieren Sie us: N q N K K p q N N q N Kommentr [K5]: Ende 5. Sitzung (zusätzlich wurde Drstellung von Digrmmen mit logrithmischer Sklierung ein weiteres Ml wiederholt. Es wurden einige Beispiele zu Binomen mit Anwendung in Whrscheinlichkeitsrechnung vorgestellt und berechnet. ) (b)^ (-b) (b)^3 (--)^ (-b)^ (-3)(3) (-3b)^ (b)^5 (--b)^ (-3b)^3 Zusmmenfssen: Bitte ls Produkt/Binom drstellen. ^-4 ^-44 4^-9 Kürzen ^69 3 9^4b6b^ 68b (c)^ c^-4 Binominlkoeffizient: Bitte ohne Hilfsmittel berechnen. ( ( 0 ) 6 ) 30

31 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ ( ( ( ( ( 0 ) 3 0 ) 9 0 ) ) 7 3 ) Münzwurf Eine Münze wird 5 ml geworfen. Bitte Ergebnisse ls gekürzter Bruch gnzer Zhlen. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss 5 ml Kopf erscheint? Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss genu ml Zhl erscheint? Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss ml Kopf und 3ml Zhl erscheint? Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss mindestens ml Zhl erscheint? Iterierte Abbildungen Beschreibung von zeitlichen Prozessen. Zu : ) diskrete Beschreibung. Die Zeit mcht Sprünge. Abfolge von Genertionen, Jhren, Vegettionsperioden, etc. b) Kontinuierliche Beschreibung ohne Sprünge. Siehe Differentilgleichungen im späteren Verluf der Vorlesung. Die Größe beschreibt beispielsweise den Bestnd n Holz in einem Wld, der jedes Jhr vom Förster m.. nch vorgegebenen Regeln bgeschätzt wird. Die Größe eines Jhres hängt ntürlich vom Bestnd des Vorjhres b. Die Funktion, die die Entwicklung des Bumbestnds beschreibt sei f(). Der Bumbestnd des Jhres t berechnet sich ls 3

32 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ D in dieser Abbildung f in jedem einzelnen Zeitschritt uf sich selbst ngewendet wird, bezeichnen wir die Abblidung uch ls Iterierte Abbildung. Um die Hndhbung zur vereinfchen, hben wir vereinfchende Annhmen getroffen. Wir können uch uf diese verzichten, ws die Berechnung ber wesentlich verkompliziert und letzten Endes meist zu einer Computersimultion führt. Die interessntesten Eigenschften von Itertionen können ber uch n vereinfchten Modellen gezeigt werden. Vereinfchung im oberen Beispiel: - Es gibt keine eplizite Zeitbhängigkeit. Wenn in zwei beliebigen Jhren der Bumbestnd gleich ist, wäre uch in den jeweiligen Folgejhren der Bumbestnd gleich. - Der Bumbestnd hängt nur vom Bumbestnd des Vorjhrs b. Nicht von Bumrten. Nicht von Witterungseinflüssen etc. Alles ist in diesem Beispiel vorherbestimmt. Es gibt keinen Zufll. - Der Bumbestnd hängt nur vom Bumbestnd des Vorjhrs b. Weiter zurückliegende Jhre spielen keine Rolle. Dmit spielt die Altersverteilung des Bumbestnds keine Rolle. D wir nur Jhr zurückschuen, sprechen wir von iterierter Abbildung. Ordnung. Hätten wir eine Funktion, die sich uf Vorjhre bezieht, wäre ds eine iterierte Abbildung. Ordnung. Unter diesen Vorussetzungen gibt es für jeden Strtwert o eine eindeutige Zhlenfolge ( ) ls Lösung der Entwicklung für die folgenden Jhre. Auf gleiche Weise knn mn uch jede rekursiv definierte Zhlenfolge ls eine iterierte Abbildung verstehen. Fipunkt und Fipunkt-Lösung Iterierte Abbildungen können höchst unterschiedliche Lösungen erzeugen. Die einfchsten Lösungen entsprechen Gleichgewichtszuständen, in denen sich nichts ändert. In der Biologie und im Umweltschutz sind Gleichgewichtszustände ntürlich von besonderem Interesse. Dbei interessiert uns: Wie stbil ist der Gleichgewichtszustnde? Ws pssiert bei einer großen Störung? Knn mn ds System so mnipulieren, dss mn den ursprünglichen Zustnd wieder erreicht? 3

33 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Beispiel Holzschlg im Wld Modell I Strtwert nhe Null 33

34 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Beispiel Holzschlg im Wld II Strtwert nhe Strtwert nhe über

35 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Allgemeine Betrchtung: Strtwert nhe unter 5000 Steigung > 35

36 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Steigung <- Ist der Betrg der Steigung größer dnn läuft die iterierte Abbildung vom Fipunkt weg, uch wenn mn sehr nhe m Fipunkt strtet. 0< Steigung < 36

37 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ -<Steigung <0 Ist der Betrg der Steigung kleiner, bewegt sich die Itertion uf den Fipunkt zu. 37

38 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Schneidet die Funktion der iterierten Abbildung us dem stbilen Bereich kommend die Gerde y ist der Fipunkt stbil. Ansonsten ist er instbil. Beispiel Zins und Tilgung Drlehen, 7.5% Zinsen, 000 Tilgung Beispiel: nichtlinere Funktion Die Fipunkte sind die Schnittpunkte mit der Gerden y 38

39 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_,5 0, ,5 y(*- - 4*^4*^3)/8 y -,5 - Die Funktion ist läuft im Bereich -0,74 bis,8 uf den Wert 0,5 zu. Die nderen beiden Fiwerte sind instbil. WARUM? Strtpunkt.7. Verluf der Itertion bis zum Fipunkt. 39

40 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Strtpunkt -0,9. Verluf der Itertion bis zum Fipunkt. Wenn eine von ußen einwirkende Störung vom Fipunkt blenkt, läuft in den nächsten Itertionen zurück, flls die Auslenkung nicht zu groß sind. Ist die Störung zu groß, läuft gegen plus oder minus unendlich. Linere Abbildungen Definition Linere iterierte Abbildung. Ordnung: Kommentr [K6]: Ende 6. Sitzung Zusätzlich wurde eine Lernstndskontrolle durchgeführt. Zusätzlich wurde der Abschnitt Schweinezyklus vorgeschoben. Sei t N, R und f:r R, f eine Funktion, die liner mit wächst oder fällt, d.h. f()b Dnn heißt f b eine linere iterierte Abbildung. Ordnung. Ist b0 so nennt mn die iterierte Abbildung homogen, ist b<>0, so nennt mn sie inhomogen. Homogene Lösung t t L t t t t 0 t Die homogene linere iterierte Abbildung t t ht die llgemeine Lösung t 0 Abhängig vom Wert von o erhält mn unterschiedliche Lösungen. Jede einzelne Lösung ist lso durch einen bestimmten Wert des Prmeters o chrkterisiert. 40

41 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 4 Abhängig von unterscheidet mn folgendes Verhlten: Eponentielles Wchstum wenn bs()> Eponentieller Zerfll wenn bs()< Stbil nur wenn. Oszlllierend wenn - Inhomogene Lösung ist die inhomogene Abbildung. Wie leiten wir eine Lösung für eine beliebige Genertion t her, wenn wir den Anfngswert o und die Werte von und b kennen? Ekurs Wie berechnet mn folgende Summe? 3 t A K Durch einfches Erweitern und Umformen erhält mn: ( ) A t t t t K K Die inhomogene linere Abbildung ht die folgende Form ( ) ( ) ( ) ) ( b b b b b b b b b b b b t t t t t t t t t t t t K L Mit dem oben hergeleiteten Ausdruck für die Summe bei b erhlten wir ls llgemeine Lösung der inhomogenen Abblidung:

42 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ t t 0 t b Diese Formel wird uch bei Zins und Tilgungsrechnung benutzt. > 0<< b>0 Wchstum Wchsen oder Schrumpfen b<0 Wchstum wenn (-)Xo>bs(b) Schrumpfen wenn (-)Xo<bs(b) Schrumpfen Beispiel: Der Bestnd n Rehen in einem Wld beträgt 000 Stück zu Beginn der Schonzeit. In einem Jhr erhöht sich der Bestnd um 5% uf ntürliche Weise. Jede Jhr sind 00 Rehe zum Abschuss freigegeben. Wie hoch ist der Bestnd nch 5 Jhren? t t 0 t b Xo000, t5,,5, b-00 Alterntive Berechnung mit Ecel. X(t)(t-)*,5-00 mit o Beispiel In einem ähnlichen Wld mit Anfngspopultion 000 sollen jedes Jhr 300 Rehe geschossen werden. Nch wievielen Perioden sind die Rehe usgerottet? Gehen wir dvon us, dss die Jäger uch bei verringerter Popultion immer 300 Rehe finden. Gesucht ist ds t für ds (t)0 t 0 0 t b 5 5 ( )

43 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Xo000,,5, b-300 Wir müssen erst umformen und ^t isolieren. t b b 0 t t 0 0 Bzw: b b t 0 b b Jetzt lohnt es sich, dss wir gelernt hben, den Logrithmus zu benutzen. b b log t 0 log b b ( ) log log t log 0 t b b log log 0 log Xo000,,5, b-300 Durch Einsetzen erhlten wir log t ( 00) log ( ) log,5 Nch ziemlich genu 8 Jhren sind die Rehe usgerottet. 00 log 00 log,5 Alterntive Berechnung mit Ecel. X(t)(t-)*,5-300 mit o ,03 43

44 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Nicht-Linere Abbildungen Während bei lineren Abbildungen die Funktion eine konstnte Steigung ht, ist ds bei nichtlineren Abbildungen ntürlich nicht der Fll. Betrchten wir einen noch sehr einfchen Fll, die sogennnte Logistische Gleichung. t f ( t ) t c bzw. t t f ( t ) t t c Diskussion der logistischen Gleichung Qudrtische Gleichung. Nch unten geöffnete Prbel Geht durch 0 und c Mimum bei c/ Setzen wir c/ in die Gleichung ein: c c c f ( ) c / 4 c 4 0,75 0,5 y / c 0,5 f()-/c ^ 0-0,5 0 0,5 / c,5-0,5-0,5-0,75 - Nur positive y sollen sinnvoll sein. Drus folgt 0<t<c Fipunkt bei t0. Wo ni ist, pssiert uch ni. 44

45 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Mimum bei c/ ht den Wert c/4 Achtung, wenn <c gilt ber fmc/4, muss <4 gelten. Ansonsten knn ds der nächsten Genertion negtiv werden. Am Rechner Beispiele rechnen. 45

46 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 46

47 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Wie ist die Steigung der Funktion der logistischen Gleichung? f ( t ) t t c Ableituung f ( ) c Der Schnittpunt von f() mit y ist folgendermßen zu finden: c 0 Bzw. c ( ) Der Schnittpunkt 0 interessiert und nicht. Wir teilen dher durch und erhlten: ( ) c c ( ) Für die Steigung m Schnittpunkt erhlten wir dmit: f ( c ( )) c ( ) c Ds heisst für positive ist die Steigung größer - solnge <3 ist. Sobld >3 ist die Steigung zu steil für eine stbile Lösung. Zielpunkt der Itertion Fipunkte bzw. Itertionsziele für verschiedene Werte von,8,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0,,4,6,8 3 3, 3,4 3,6 3,8 4 47

48 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Schweinezyklus Ein strk vereinfchtes Modell des "Schweinezyklus" Ds momentn m Mrkt herrschende Angebot n Schweinefleisch bezeichnen wir mit. Dieses Angebot führt zu einem Stückpreis y. Nch den Gesetzen des Mrktes fällt der Preis mit wchsendem Angebot. Ein einfcher Anstz dieses Gesetzes vom bnehmenden Grenznutzen ht die Form y (- /b). Hierin bezeichnet den Höchstpreis, der sich bei bsoluter Wrenknppheit erzielen lässt; und b ist die Sättigungsmenge, lso die Menge, die sich nur dnn erzielen lässt, wenn mn die Wre verschenkt. Dmit ht mn schon diejenige Komponente des Modells, die für die negtive Rückkopplung sorgt. Kommentr [K7]: Ende 7. Sitzung Them Itertionen ist bgeschlossen, d Schweinezyklus bereits in der 6. Sitzung vorgestellt. Den Bestnd n Schweinen in der ktuellen Periode bezeichnen wir mit z. Dieser Bestnd gelngt in der folgenden Wirtschftsperiode uf den Mrkt. Wir setzen lso z, wobei ds ""-Zeichen nzeigt, dss es sich um den Wert in der folgenden Periode hndelt. Diese Verzögerung um eine Wirtschftsperiode wird in der Systemtheorie ls Totzeit bezeichnet. Worin liegt der Anreiz, die Produktion zu erhöhen? Wir nehmen einml n, dss es einen minimlen Preis c gibt, unterhlb dessen es sich nicht lohnt, überhupt Schweine in den Stll zu stellen. Den Zuwchs n Schweinen setzen wir folgendermßen n: z z d(y- c). Also: der zukünftige Bestnd n Schweinen z erhöht sich gegenüber dem momentnen Stnd z proportionl zur Differenz us dem dnn erzielbren und dem minimlen Preis; der Proportionlitätsfktor wird mit d bezeichnet. C:\Dokumente und Einstellungen\fku\Desktop\SbUnterlgen\MtheSS009\Schweinezyklus.ls Ws pssiert, wenn mn m Anreizfktor d dreht? Übungen Zinsen.) Ein Student besitzt ein Kpitlvermögen. Dieses wird mit 7,5% p.. verzinst. Am Ende eines jeden Jhres hebt der Student b, um seinen Lebensunterhlt zu bestreiten. Wo liegt der Fipunkt dieser Abbildung?.) Ein Sprvertrg läuft über 0 Jhre. Zu Beginn werden 000 eingezhlt. Dies ist die Rte für ds erste Jhr. Am Ende eines jeden Jhres werden uf ds vorhndene Kpitl 4% Zinsen gerechnet. Diese werden nicht usgeschüttet sondern smmeln sich n. Zum Beginn der Folgejhre werden nochml 000 eingezhlt. Wieviel Geld erhält der Sprer m Ende des 0. Jhrs? Aus 48

49 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Wie hoch müssten die Zinsen sein, dmit sich ds eingezhlte Kpitl (0.000 ) verdoppelt? 3.) Hypothek Eine Hypothek über wird mit Rten m Ende eines jeden Jhres bedient. Der Hypothekenzins ist 5,% Wie groß ist die Rte bei einer nfänglichen Tilgung von %. Nch wievielen Jhren wird die Schlussrte bezhlt? Wie hoch ist die Schlussrte? Wie hoch muss die Rte sein, um innerhlb von 0 Jhren zu tilgen? Kninchen Ein Pr Feldkninchen bringt lle 6 Monte 6 Junge zur Welt (50%weiblich, der Rest männlich). Diese sind selbst in kürzesters Zeit Geschlechtsreif und bringen im Alter von 6 Monten 6 Junge zur Welt. Wie lutet die itertive Formel für die Entwicklung der Popultion? Wenn 0 Kninchen (dvon 5 weiblich, der Rest männlich) uf einer Insel ohne biologische Feinde usgesetzt werden. Wieviele Kninchen leben uf der Insel nch 48 Monten? Wieviel Prozent der Bevölkerung muss innerhlb einer Fortpflnzungsperiode sterben, dmit die Popultion stbil ist? Es werden 8 Kninchen uf einer Insel usgesetzt. Auf mehr oder weniger ntürliche Weise sterben jeweils 50% der Weibchen in einem Zeitrum von 6 Monten. D die Kninchenweibchen immer schwnger sind, sind uch die sterbenden Weibchen schwnger, gebären ber nicht mehr lebend. Wie lutet die Formel der iterierten Abbildung? Wie groß ist die Popultion ungefähr nch 4 Monten? Wie entwickelt sich die Popultion, wenn wir wirklich nur die Weibchen sterben? Strtpopultion wueder 8. Wie groß muss die Sterblichkeit der Weibchen sein, dmit die Popultion weder uf über 00 wächst noch zu Grunde geht. Komplee Zhlen Komplee Zhlen mchen ds Leben einfcher und nicht komple!. Ds Qudrt einer reellen Zhl ist immer positiv. Dher knn die Wurzel us - nicht reell sein. Um die Frge nch der Wurzel us - zu klären erfinden bzw. definieren wir einfch eine Lösung. 49

50 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Arithmetische Drstellung und Gußsche Zhlenebene I ist keine reelle Zhl. Sie liegt dher nicht uf dem reellen Zhlenstrhl. Wir stellen uns die kompleen Zhlen ls uf einer zweidimensionlen Ebene liegend vor. komplee Ebene oder Gußsche Zhlenebene C. Achtung, ds ht nichts mit Vektoren zu tun!!!! Eine komplee Zhl ist kein Vektor. Wrum? weil ( 0 i)*(0 i) i. Wäre es ein Vektor wäre ds Produkt 0! 50

51 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Addition und Subtrktion 5

52 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Multipliktion Es gelten die gleichen Gesetze wie bei reellen Zhlen. Mn muss ber bechten: i*i- Drstellung in Polrkoordinten Die Punkte uf der Gußschen Ebene können uch über Polrkoordinten dressiert werden. z iy z r(cosϕ isin ϕ) r cosϕ y r sin ϕ 5

53 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Der gleiche Punkt uf der kompleen Ebene knn sowohl durch die Drstellung der krtesischen koordinten und y ls uch in Polrkoordinten r und ϕ drgestellt werden. Diese Drstellung scheint uf den ersten Blick kompliziert. Sie bietet ber Möglichkeiten zur Vereinfchung beispielsweise bei der Multipliktion: z z z z r (cos ϕ i sin ϕ ) r (cosϕ isin ϕ ) r (cos ϕ i sin ϕ ) r (cos ϕ i sin ϕ ) r r (cosϕ cosϕ sin ϕ sin ϕ ) i r r (cos ϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ ) Dieser Ausdruck lässt sich unter Benutzung der Additionstheoreme für cos und sin umformen: z ( cos( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ )) z r r i sin 53

54 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Komple konjugierte Zhl Sei! " eine komplee Zhl. Dnn ist die komple konjugierte Zhl zu z, #, definiert ls # $! " Dbei gilt insbesondere % #! " $! ". Durch usmultiplizieren erhält mn % # & y & Die Länge eines eine komplee Zhl drstellenden Pfeils ist ( & ) & %% Diese Größe nennt mn Betrg der kompleen Zhl z. % %% Komplee Zhlen knn mn nicht in ihrer Größe unterscheiden. Der Betrg einer komplezen Zhl ist jedoch eine Reelle Zhl. Mn knn Komplee Zhlen nch der Größe ihres Betrgs unterscheiden. Zur Multipliktion zweier kompleer Zhlen knn mn uch die Beträge der Zhlen miteinnder multiplizieren und im Anschluss die Phsen ddieren, um zum Ergebnis zu kommen. 54

55 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Drstellung in Polrkoordinten Sei -./0! 0! eine komplee Zhl. Dnn ist die komple konjugierte Zhl zu z, #, definiert ls # - 3./0$! 0!$4 Der Betrg bleibt gleich, die Phse wird mit - multipliziert. Ds entspricht der Spiegelung n der -Achse. Bechten Sie cos(-)cos(); sin(-)-sin() Division Kommentr [K8]: Ende 8. Sitzung vom Liegt Z nicht in Polrkoordinten vor, knn mn folgendermßen dividieren. Ds Inverse Element knn mn uch ls Kehrwert von z berechnen. z iy z r cosϕ i sin ϕ Wir formen nun so um, dss im Nenner eine reelle Zhl steht. Dzu erweitern wir. z iy iy iy iy y z r cosϕ isin ϕ cosϕ i sin ϕ cosϕ i sin ϕ cosϕ isin ϕ cosϕ i sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r r r Diesen Umformungstrick benutzen wir nun für die Division. 55

56 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ z z r cosϕ i sinϕ r cosϕ i sinϕ r r ( cosϕ isin ϕ )( cosϕ isin ϕ ) Nch den Gesetzen der Multipliktion ergibt ds (mit cos(f)cos(-f) und sin(f)sin(-f)): r i sin r ( cos( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ )) Entscheidend ist, dss mn ein Ergebnis erhält, dss eine Summe us einem reellen Ausdruck und einem rein imginären Ausdruck drstellt. Es soll kein i mehr im Nenner stehen. Die komplee e-funktion Für Eponentilfunktionen und Potenzen kompleer Zhlen gelten die gleichen Regeln wie für reeller Zhlen. Speziell gilt: iy e e e iy Vergleicht mn die Definitionsgleichung der Zhl e und ihrer Potenzen %8 9! mit der Reihenentwicklung für cos und sin. Erhält mn folgenden Zusmmenhng für e^iy ; 8< Gleichzeitig gilt uch 56

57 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Sinus und Cosinus ls komplee e-funktion Betrchten wir noch ml die Drstellung mit Polrkoordinten Z iy ( cos( ϕ) isin( )) r * ϕ Mit 5 > cosbcsinb Dnn erhlten wir nun Z iy r * e iϕ Eine komplee Zhl knn lso entweder lso entweder ls Summe von Relteil und Imginärteil wobei jeder Teil von einer beliebigen reellen Zhl drgestellt wird geschrieben werden oder lterntiv ls Betrg und Phse unter Benutzung der kompleen e-funktion. Der Betrg ist dbei immer positiv. die Phse ist eine Zhl zwischen 0 und pi. Sie knn ber uch ndere Werte nnehmen, dnn ist nur die Umrechnung nicht mehr umkehrbr eindeutig. Umrechnung zwischen krtesicher Drstellung und Drstellung in Polrkoordinten. E & ) & Kommentr [K9]: Ende 9. Sitzung m Additionstheorem für sinus und cosinus hergeleitet. 57

58 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ B EFtn G für positive H B IEFtn G für negtive H Umkehrfunktion des Tngens In Ecel gibt es eine Funktion tn(-koordinte, y-koordinte), die den Winkel im Bogenmß ls Wert von pi bis pi zurückgibt. Beispiele versuchen Sie die folgenden Umformungen nchzuvollziehen. Mn erhält ddurch lterntive Schreibweisen für folgende Terme cos(b) ; sin(b) Gleichung : 5 J 5 K coscsin coscsin 5 J 5 K coscos$sin sin Csincoscossin Gleichung : 5 J 5 K 5 JLK coscsin Gleichung und werden gleichgesetzt. 58

59 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ coscsin FMNFMN$NC9 NC9 Csincoscossin Trennt mn die Gleichung uf in eine Gleichung für den Relteil und eine Gleichung für den Imginärteil erhält mn folgende Ausdrücke: cosb coscos$sin sin sinb sincosbcossinb cos() ; sin() Gleichung : 5 J 5 J coscsin coscsin 5 J 5 J FMN & $NC9 & Csincos Gleichung : 5 J 5 J 5 &J coscsin Gleichung und werden gleichgesetzt. coscsin FMN & $NC9 & Csincos Trennt mn die Gleichung uf in eine Gleichung für den Relteil und eine Gleichung für den Imginärteil erhält mn folgende Ausdrücke: coscos & $sin & sin sincos Beispiel Abklingende e-funktion P 5 Q Übungen Ausmultiplizieren (3i)(5i) (i 3)(-i 3)(i) (6i)(i)(-i) (i)(-i)(i) (-i)(3i)(i)(3-i) Dividieren (i) / (-i) (6i) / (3i) (84i ) / (8-4i) (5i)(5-i) / (i) Wir bilden die Ableitung von 59

60 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ d e dϕ iϕ d e dϕ ie iϕ iϕ e iϕ Ws ist die Ableitung von d/d(e^)? Ws ist die Ableitung von d/dz(e^z)? Ableitung ist gleichbedeutend mit Multipliktion mit Ws ist der Relteil von e^iϕ Ws ist der Relteil von d/dϕ( e^iϕ ) Ws ist der Relteil von d /dϕ ( e^iϕ ) Ws ist der Imginärteil von e^iϕ Ws ist der Imginärteil von d/dϕ( e^iϕ ) Ws ist der Imginärteil von d /dϕ ( e^iϕ ) Kommentr [K0]: Ende 0. Sitzung

61 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Integrlrechnung Berechnung der Fläche mit Untersumme oder Obersumme. Untersumme: Summe ller Rechtecke, die unter der Funktion liegen und diese nur berühren. Obersumme: Summe ller Rechtecke, die über der Funktion liegen und diese nur berühren. Beispiel 6

62 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Ein Funktion ist integrierbr, wenn ls Grenzwert für kleiner werdender Intervlle die Obersumme in die Untersumme übergeht. Wir stellen uns folgende Summe vor. läuft ls Schleifenvrible vom Strtwert bis zum Zielwert b. Dbei erhöht sich jeweils um die Schrittweite. K STU H 7 H<J ist dnn der Ausdruck für die Fläche unter der Kurve f() 6

63 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Frge: Um wie viel ändert sich die Fläche unter der Summe, wenn mn um erhöht? Antwort: Um den Betrg f()* Definition Stmmfunktion: eine Funktion F() heißt Stmmfunktion von f(), wenn gilt: f() ist die Ableitung von F(). Behuptung: Die Stmmfunktion F() beschreibt die Fläche unter der Kurve f() in der Art und Weise, dss F(b)-F() die Fläche unter der Kurve im Intervll <<b. Ds funktioniert genu us dem Grund, weil die Ableitung von F() die Funktion f() ergibt. Beweis: f ( ) d d F( ) F( ) F( ) lim 0 Aber wegen Anwort oben: F( ) F( ) lim 0 f ( ) Zusmmenfssung Wir nennen F() Stmmfunktion. Die Ableitung der Stmmfunktion F() ist die Funktion f(). Die Stmmfunktion beschreibt die Fläche unter der Kurve f(). Wir nennen die Opertion um us f() F() zu gewinnen Integrtion. Leider ist integrieren nicht so einfch wie ds bilden der Ableitung - ds differenzieren. Oft muss mn rten und usprobieren, ob die Ableitung der Stmmfunktion die richtige Funktion f ergibt. Hinweise zur Schreibweise 63

64 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ lim H K STU H 7 XY Z[\ K J [$[ H<J J K Unbestimmtes Integrl ( ) d F ( ) b f Jede Stmmfunktion ist eine Lösung. Bestimmtes Integrl f ( ) d F( b) F( ) Es gibt nur eine Lösung. Die Konstnten Anteile in F(b) und F() heben sich gegenseitig uf.. Eine Funktion muss nicht differenzierbr sein, um integrierbr zu sein. Sie knn uch Knicke und evtl. Sprünge hben. 64

65 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 65

66 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Tbelle elementrer Stmmfunktionen 66

67 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 67

68 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Rechenbeispiele zur Integrtion Kommentr [K]: Ende der Sitzung vom Eindeutigkeit der Stmmfunktion nicht behndelt. 68

69 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Rechenbeispiel zweifches Integrl die Geschwindigkeit ist ds Integrl der Beschleunigung. Ist die Beschleunigung zeitlich konstnt, gilt für die Geschwindigkeit: ]X Y Z \ Hier ist to die Integrtionsvribel. t ist die obere Integrtionsgrenze. für die zurückgelegte Strecke für einen beliebigen Zeitpunkt t gilt & N & X ] & Y X Y _ & ` & & Nun ist t die Integrtionsvrible. t ist die Integrtionsgrenze. Um die zurückgelegte Strecke m Zeitpunkt t zu berechnen, muss mn lle Geschwindigkeiten v(t) vom Zeitpunkt Null bis zum Zeitpunkt t mit der Zeitschrittweite dt integrieren. bkürzend knn mn uch ein doppeltes Integrl schreiben: & N & X X Y Y 3 & & 4 t0, t und t sind voneinnder unbhängige Vriblen. t bezeichnet die Zeit, für die die Strecke s(t) berechnet wird. t bezeichnet die Zeit, für die die Geschwindigkeit v(t) berechnet wurde. t0 wurde ls Integrtionsvrible im ersten Integrl benutzt. Rechenbeispiel Integrl mit kompleen Zhlen Sie sollten ds Integrl einer kompleen Funktion einer reellen Vriblen berechnen können. Alle Regeln, die sie bisher kennengelernt hben, gelten weiterhin. Folgende Integrle sind leicht zu lösen Übungen Benutzen Sie: &b c ; d&b e T fgh LT ifgh & cos ; Tfgh T ifgh sin ; &.) j c 4.) j c 7.) j 5 Q Y.) j H 5 Q Y 5.) j e 5 khlq Y 3.) j 5 khq Y 5 kh Y 6.) j c cos Y 8.) j c cos & Y 9.) T fgh LT ifgh & Y c j coscos Y c 0.)j sin Y.) j c sin & Y.) j c sincos Y Kommentr [K]: Ende der Sitzung vom Beispiele berechnet Uneigentliche Integrle 69

70 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Integrtionsgebiet ist unendlich groß. Ähnlich wie Summe unendlicher Reihen. Fläche unter der Kurve knn endlich groß sein (konvergent) oder unendlich groß sein (divergent) Berechnung von Integrlen Prtielle Integrtion Wir erinnern uns n die Produktregel bei der Ableitung d d d d d d ( f ( ) g( ) ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) f g f g Wenn wir beide Seiten integrieren bleibt ntürlich die Gleichheit erhlten. Definitionsgemäß ist d ( f ( ) g( ) ) die Stmmfunktion von ( f ( ) g( ) ). Dmit erhlten wir folgende Gesetzmäßigkeit: d ( f ) g( ) ) f g d f g d ( f ( ) g( ) ) f g d f g d ( bzw: Dmit lssen sich mnche Integrle leicht lösen. Beispiel 70

71 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ b e d? g( ) g ( ) e b f ( ) f g d e Beispiel b b f g d f ( ) e ( f ( ) g( ) ) b b [ e ] [( ) ] b e d e ( f ( ) g( ) ) sin d? g( ) g ( ) b f g d sin f ( ) f ( ) cos sin b [ cos( ) ] [ ( ) ] b cos( ) d cos sin( ) f g d Übungen Berechnen Sie: &b c ; d&b e T fgh LT ifgh & cos ; Tfgh T ifgh sin ; &.) j 5 Q Y.) j H sind Y Substitution Wir können die Kettenregel der Ableitung genuso benutzen wie die Produktregel. 7

72 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 7 [ ] b b d g g f g f g g f g d d g f dg d g f d d ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( Ansttt f und f benutzen wir F und f. [ ] b b d g g f g F ) ( )) ( ( )) ( ( D F die Stmmfunktion von f ist gilt ber uch [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b g g b g g dg g f g F Dmit erhlten wir die Substitutionsregel [ ] [ ] b b g g b g g b d g g f dg g f g F g F ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Beispiel

73 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Beispiel 3:?? g d Aufgben g d g 4 g dg [ ln g] 4 73

74 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 74

75 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Differentilgleichungen Wiederholung Die einfchste interierte Abbildung lutete Die dzu pssende Formel zur Berechnung beliebiger (t) lutete ; Beispiel Verzinsung mit 0% pro Jhr und t gibt die Anzhl der Jhre n. dnn berechnet sich ds Kpitl nch t Jhren zu:. ; Wir wollen nun berechnen, wie die Verzinsung ussähe, wenn die Zeitchse in Monten wäre. Gesucht wird dnn eine Funktion o o q ; Ds Strtkpitl ist ntürlich ds gleiche. Ds Kpitl nch einem Jhr soll ntürlich uch gleich sein. Eingesetzt in obige Gleichungen erhält mn: â ist die zwölfte Wurzel us. Alterntive Drstellung Mit e^(ln()) knn mn umformen zu: o o & /& o 5 stj ; o 5 stjo q wegen und lno ln folgt & lnlno o 5 & stj q Würden wir die Zeitchse in Tge umrechnen, lutet die Funktion: 75

76 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ oy 5 uvw stj In der Drstellung mit e-funktion und logrithmus ist die Umsklierung der Zeitchse einfch zu bewerkstelligen. In der klssischen Drstellung müssten wir die 365-te Wurzel berechnen. Übung Innerhlb von 4 Stunden verdoppelt sich die Anzhl von Bkterien einer Kultur. Wie sieht die Wchstumsfunktion us, wenn die Zeiteinheit Stunden, Minuten oder Sekunden sind. (h)o*^(h/4)o*^((/4)*h) (h) o*e^(ln(^0.5)*h)o*e^(0.5*ln()*h) (min) o*e^(/40*ln()*min) (sec) o*e^(/4400*ln()*sec) Übung Wie integriert mn y X Y Bedenken Sie, dss wir über t integrieren und nicht über. Bevor wir integrieren, bringen wir die Gleichung in eine hübschere Form y X 5 sth Y Die Stmmfunktion der e-funktion ist beknntermßen die e-funktion. y X 5 sth Y z y ln 5stH { Differentilgleichung In einer Differentilgleichung werden Zusmmenhänge zwischen Funktionen und deren Ableitungen beschrieben. Lösungen von Differentilgleichungen sind Funktionen, die genu diese Bedingungen erfüllen. Alle Nturgesetze beschreiben Veränderungen von Nturzuständen in der Rumzeit. Veränderungen werden durch Ableitungen beschrieben. Nturgesetze sind so formuliert, dss sie möglichst llgemein gelten. Dher hben lle Nturgesetze die Form von Differentilgleichungen. Durch den Einstz von Rndbedingungen werden sie dnn uf den jeweiligen Fll ngepsst. 76

77 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Beispiel Lösung (t) C e^(αt) Allgemeine und spezielle Lösung 77

78 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Bei jeder Ableitung geht ein konstnter Term verloren. Dieser konstnte Term muss ls Rndbedingung wieder dzu kommen, um us der llgemeinen Lösung eine spezielle Lösung zu mchen.. Lösungsverfhren, Lösung durch Seprtion der Vriblen Gnz unmthemtisch ersetzen wir die Ableitung durch den Diffenzenquotient und dnn wieder durch ds Differentil und erhlten dmit Jetzt müssen wir uns noch der lässtigen Differentile d und dt entledigen. Ds mchen wir indem wir integrieren. G() sei eine Stmmfunktion von /f() Dnn erhlten wir : G( ( t)) G( ( to)) t to 78

79 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Diese Gleichung muss nun nur noch nch (t) ufgelöst werden. Beispiel 79

80 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 80

81 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Differentilgleichungen zweiter und höherer Ordnung Eine meiner Lieblingsdifferentilgleichungen beschreibt die Funktion f(,t) die eine Funktion zweier Vribler ist. Sie lutet: Y Y Y &, F & Y &, Alle Funktionen, die die Form f(c*t) oder die Form f(-c*t) hben, lösen diese Differentilgleichung. Numerische Integrtion von Differentilgleichungen 8

82 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ 8

83 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Linere Differentilgleichungen Die Ableitung und die Größe kommen nur in der ersten Potenz vor. Ds heißt verdoppelt sich, verdoppelt sich uch die Ableitung. d Gegenbeispiel: ( t) ( t) ( t). Hier tucht im Qudrt uf. Die Ableitung vervierfcht sich, dt wenn verdoppelt wird. Wir beschäftigen uns mit lineren Differentilgleichungen us folgenden Gründen..) Sie sind lösbr. Wenigstens mnche.) Einige Prozesse in der Ntur lssen sich dmit beschreiben. 3.) Befindet sich ein System im Gleichgewicht, können Abweichungen vom Gleichgewicht durch Tylorreihen drgestellt werden. Nimmt mn nur den lineren Term und vernchlässigt mn den Rest, kommt mn zu einer lineren DGL. In der Vergngenheit (bis etw 940) ht mn versucht, die Ntur mit solchen vereinfchten Systemen zu beschreiben. Alle Prozesse der Ntur, die sich so nicht beschreiben ließen, ht mn ignoriert. Seit es Computer gibt, die einem helfen, beschäftigt mn sich uch mit nichtlineren Systemen und versucht nichtlinere DGL im großen Mßstb zu lösen. 83

84 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Ws bedeutet nun ber Linerität? - Superpositionsprinzip und Linerkombintionen Lösung der homogenen LDGL.Ordnung Seprtion der Vriblen 84

85 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ d ( t) g( t) ( t) dt d dt g( t) ( t) ( t ) ( t 0) d ( t ) ln ( t) ln (0) G( t) G(0) ( t) ln G( t) G(0) (0) ( t) e (0) G(0) G( t ) ( t) (0) e e t to g( t ) dt e G(0) G( t ) Beispiel g(t) sei konstnt. Fll A g(t)α R G(t) α t drus folgt G(0)0 (t)(0) e α t Fll B g(t)i ω rein imginär G(t) i ω t ber immer noch G(0)0 (t)(0) e i ω t Denken Sie n e i ω t cos(ω t) i sin(ω t) Fll C g(t)α i ω komplee Zhl G(t) (α i ω) t ber immer noch G(0)0 (t)(0) e (α i ω) t 85

86 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ (t)(0) e α t e i ω t Lösung der inhomogenen LDGL.Ordnung Ht mn eine Lösung der inhomogenen DGL, ber diese Lösung psst nicht zu den Rndbedingungen, knn mn zu dieser Lösung eine Lösung der homogenen DGL so ddieren, dss die Rndbedingung erfüllt wird. Beispiel d dt ( t) g ( t) h Durch Rten und usprobieren erhlten wir eine spezielle Lösung für den Fll (t)const. d ( t) 0 dt g ( t) h 0 ( t) h g Die Lösung der homogenen DGL ist beknnt Wir bilden die llgemeine Lösung durch ddieren dieser speziellen Lösung mit der Lösung der homogenen DGL. ( t) (0) e gt h g Testen wir die Richtigkeit durch Einsetzen in die inhomogene DGL 86

87 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ d dt d dt d h ( t) dt g g (0) e g ( t) h q.e.d. gt gt (0) e g (0) e durch ddieren von 0-hh erhlten wird ( t) g (0) e gt gt h h g h h Lösung von homogenen DGL höherer Ordnung durch Eponentilnstz Dies ist die einzige Lösungsmethode von DGL, die mir in meiner Berufslufbhn mehrfch begegnet ist. Dher ist diese Methode für die Klusur relevnt. Gelöst werden. Es hndelt sich dbei um rten sttt wissen. Bei lineren DGL funktioniert es ber immer. Ein Grund mehr, dss linere DGL so beliebt sind. Beispiel vorrechnen: Mit dem Anstz (t)e^(λt) erhlten wir us 4.9 mλ ( t) γλ( t) k( t) 0 D (t) ungleich können wir die Gleichung durch (t) teilen und erhlten: mλ γλ k 0 Ds ist eine qudrtische Gleichung. Deren Lösungen sind beknnt: 87

88 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ γ λ γ λ γ 4mk m γ 4mk m Wir hben lso llgemeingültige Lösungen e e λ t λ t Ntürlich ist uch jede Linerkombintion us und eine gültige Lösung. Anhnd der Rndbedingungen knn mn die Lösung im Einzelfll bestimmen. Ws pssiert, wenn die Zhl unter der Wurzel negtiv ist? Dnn ist λ eine komplee Zhl. Wir ziehen die Wurzel von - vor die Wurzel. γ i 4mk γ λ m γ i 4mk γ λ m Der Relteil von λ und λ ist identisch. γ Re( λ) Re( λ ) m Der Imginärteil unterscheidet sich im Vorzeichen. Im( λ ) Im( λ ) 4mk γ m Schreibweise mit k und w ls Abkürzung Den imginären Anteil des Eponents knn mn nun noch mit folgendem Trick umformen: Unter Verwendung von 88

89 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Lssen sich zwei reellwertige Lösungen formulieren: 89

90 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Hrmonischer Oszilltor M c b homogene DGL Freiheitsgrd } ~F 0 inhomogene DGL Freiheitsgrd } ~F Lösungsnstz 5 Q homogene DGL Freiheitsgrd $ & C F 0 Lösung $C 4 F$& $ 4 F$& C Alle Funktionen wie der Anstz mit einem w wie oben sind ls Lösung zugelssen. Allgemeine Lösung L 5 Q 5 Q i 5 K &ƒ L 5 L ƒ K &ƒ 5 L ƒ K &ƒ ˆ Inhomogene Lösung Allgemeine Lösung der inhomogenedgl ist Summe us llgemeiner Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL. Sei F ) )~ 90

91 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ und )) 5 Q dnn ergibt sich eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL ls mit 5 Q bzw. $ & C F C F) C F) $ & C F C / F/ ) $ & C / F/ C / Q Q Q L Q K/ƒ ) mit & F/ D die Lösung der homogenen DGL durch die Dämpfung schnell bklingt, schreibt mn oft nur die spezielle Lösung der inhomogenen DGL ls Lösung. ) C / 0 0 $ C / 5Q die llgemeine Lösung lutet korrekt ls Summe dreier Lösungen. 5 K &ƒ L 5 L ƒ K L ƒ K C / &ƒ 5 &ƒ ˆ) 0 0 $ C / 5Q Übung Stellen Sie grphisch dr Betrg(/y) über der mit wo normierten Kreisfrequenz. Phse (/y) über der mit wo normieten Kreisfrequenz Jeweils für verschiedene Dämpfungen. 9

92 Fchhochschule Bingen, Studiengng Umweltschutz Sommersemester 0 Mthemtik_ Umformulierung und Normierung : y c m bωo C η jηd η jηd ω o D ω ω o Wo liegt der Schnittpunkt der Kurven mit unterschiedlicher Dämpfung? Übung. Eine Msse von 5 kg steht uf einer Sthlfeder ohne Dämpfung mit der Steifigkeit 000 N/m und ist über diese Feder n ds Fundment gekoppelt. Wie lutet die dzugehörende homogene Differentilgleichung? Ws ist die Eigenfrequenz? 9

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