J. vom ScheidtlB. Fellenberg/U. Wöhrl. Analyse und Simulation stochastischer Schwingungssysteme

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1 J. vom ScheidtlB. Fellenberg/U. Wöhrl Analyse und Simulation stochastischer Schwingungssysteme

2 Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik Herausgegeben von Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. P. KaU, Zürich Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Band B. G. Teubner Stuttgart

3 Analyse und Simulation stochastischer Schwingungssysteme Von Prof. Dr. rer. nato Jürgen vom Scheidt Technische Universität Chemnitz-Zwickau Prof. Dr. rer. nato Benno Fellenberg Prof. Dr. rer. nato Ulrich Wöhrl Hochschule für Technik und Wirtschaft Zwickau (FH) 83 B. G. Teubner Stuttgart 1994

4 Prof. Dr. rer. nat. Jürgen vom Scheidt Von 1963 bis 1968 Studium der Mathematik an der Universität Leipzig, 1968 Diplom. Von 1968 bis 1971 Aspirant an der Universität Leipzig, 1971 Promotion, 1978 Habilitation. Von 1971 bis 1984 Oberassistent, später Hochschuldozent an der IH Zwickau, 1977 Mitarbeit im Wissenschaftlich-technischen Zentrum Automobilbau Chemnitz. Von o. Professor für Stochastik an der ehemaligen TH Zwickau Berufung zum o. Professor für Stochastik an der TU Chemnitz-Zwickau. Prof. Dr. rer. nat. Benno Fellenberg Von 1976 bis 1981 Studium der Mathematik an der Bergakademie Freiberg, 1981 Diplom. Von 1981 bis 1989 wiss. Assistent und später Oberassistent an der IH und TH Zwickau, 1983 Promotion, 1988 Habilitation. Im Sommersemester 1986 Forschungsaufenthalt an der Polnischen Akademie der Wissenschaften, 1989/90 Vertreter einer Professur an der FH Darmstadt. Von Hochschuldozent im FB Mathematik/Informatik an der ehemaligen TH Zwickau Berufung zum Professor für Mathematik an der HTW Zwickau (FH). Prof. Dr. rer. nato Ulrich Wöhrl Von 1969 bis 1973 Studium der Mathematik an der Universität Leipzig, 1973 Diplom. Von 1973 bis 1977 wiss. Assistent an der Universität Leipzig, von 1977 bis 1989 wiss. Assistent und später Oberassistent an der IH und TH Zwickau, 1979 Promotion, 1988 Habilitation. Von Hochschuldozent im FB Mathematik/Informatik an der ehemaligen TH Z\yickau Berufung zum Professor für Mathematik an der HTW Zwickau (FH). Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme VomScheidt, Jürgen: Analyse und Simulation stochastischer Schwingungssysteme von Jürgen VomScheidt ; Benno Fellenberg ; Ulrich Währl. Stuttgart : Teubner, 1994 (Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik ; Bd. 71) ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Fellenberg, Benno:; Währt, Ulrich:; GT Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Stuttgart 1994 Softcover reprint of the hardcover Ist edition 1994

5 Vorwort Der vorliegende Band richtet sich sowohl an Studenten der Mathematik, Mechanik, N atur- und Ingenieurwissenschaften als auch an Ingenieure, Mathematiker und Naturwissenschaftler in der Praxis und an Hochschulen. Er soll mit einem neuen Konzept der Behandlung stochastischer Systeme vertraut machen. Es basiert auf der Theorie schwach korrelierter Funktionen, deren theoretische Behandlung und Analyse Gegenstand der anwendungsorientierten Forschung der Verfasser sind. Die Erfahrungen aus Anwendungen in Drittmittelprojekten und der Realisierung von Kompaktkursen vor Postgradualstudenten und Vertretern der Praxis sind für uns Anlaß gewesen, die theoretischen Ergebnisse aufzubereiten und an praxisnahen Beispielen zu demonstrieren. Eine geschlossene, streng mathematische Darstellung der zugrundeliegenden Theorie liegt mit der Monographie VOM SCHEIDT [32] vor. Ein einführendes Beispiel im ersten Kapitel soll das Gesamtanliegen dieses Buches umreißen: Vorstellung eines geschlossenen Konzeptes von der mathematischen Model Iierung des technischen Problems und der stochastischen Eingangs/unktionen über die analytische Lösung und numerische Simulation der resultierenden Di/ /erentialgleichungssysteme bis zur stochastischen Analyse der Ausgangs/unktionen. Im ersten Kapitel werden dazu die benötigten Grundlagen der stochastischen Funktionen und der Theorie schwach korreliert er Funktionen bereitgestellt. Der Schwerpunkt liegt hier und in den weiteren Kapiteln auf einer lehrbuchgemäßen Darstellung. Notwendige Vorkenntnisse zu den Grundlagen der Stochastik werden in Form eines kurzen Repetitoriums bereitgestellt. Im zweiten Kapitel wird die auf der Theorie schwach korreliert er Funktionen basierende Methode vorgestellt, reale Eingangsfunktionen dynamischer Systeme mathematisch zu modellieren, zu approximieren und zu simulieren. Die mathematische Modellierung (diskreter) technischer Schwingungsvorgänge führt auf Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Behandlung Gegenstand des dritten Kapitels ist. Für lineare und nichtlineare Modelle werden stochastische Analyseverfahren angegeben, die Aussagen bezüglich stochastischer Momente, Verteilungen und Spektraldichten sowie zum Mittelungsproblem gestatten. Dabei werden analytische Methoden der Analysis zur Lösung der Anfangswertprobleme eingesetzt. Schließlich werden im vierten Kapitel Methoden der stochastischen Simulation von zufällig erregten Schwingungssystemen vorgestellt und sowohl zur Bestätigung der erhaltenen theoretischen Ergebnisse als auch zur Analyse ausgewählter Problemstellungen der Praxis eingesetzt. Die mathematische Darstellung der zugrundeliegenden theoretischen Ergebnisse ist bewußt kurz gehalten worden, um numerischen Beispielen und technischen Anwendungen Raum zu lassen. Beweise werden nur angegeben, wo sie

6 6 für das Verständnis der dargestellten Zusammenhänge notwendig oder lehrreich sind. Die Auswahl der Beispiele soll die Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten der erhaltenen Ergebnisse demonstrieren. Wir hoffen mit der gewählten Darstellungsform sowohl dem Studierenden als auch dem Anwender Rechnung zu tragen. Abschließend gilt der Dank unseren Mitarbeitern der Technischen Universität Chemnitz-Zwickau und der Hochschule für Technik und Wirtschaft Zwickau (FH) für die erwiesene Unterstützung und Begleitung des Projektes und seiner zugrundeliegenden wissenschaftlichen Arbeit. Weiterhin danken wir dem Verlag B.G. Teubner für die stets wohlwollende und förderliche Zusammenarbeit. Chemnitz, Zwickau, im Sommer 1994 J. vom Scheidt, B. Fellenberg, U. Wöhrl

7 Inhaltsverzeichnis 1 Stochastische Funktionen in der Technik Ein einführendes Beispiel Mathematische Modellierung mechanischer Schwingungsprobleme Grundlagen der Stochastik Repetitorium zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastische Funktionen Schwach korrelierte Funktionen Approximation und Simulation stochastischer Erregungen 2.1 Eindimensionale Erregungen Schwach korrelierte Erregungen Approximation von Erregungen mittels schwach korrelierter Funktionen Spezifizierung freier Parameter Zweidimensionale Erregung Modell für zwei korrelierte Erregungen Approximation eines zufälligen Feldes 2.3 Simulation Simulation von Zufallsgrößen und schwach korrelierten Funktionen Simulation der Approximationen von Erregungen 3 Analyse stochastischer Schwingungssysteme 3.1 Lineare Modelle Lösungsdarstellung Korrelations- und Spektralmethode Schwach korreliert verbundene Erregung Zeitverschobene schwach korrelierte Erregung Indirekte Erregung durch schwach korrelierte Prozesse 3.2 Nichtlineare Modelle Lösungsdarstellung nach der Störungsmethode Schwach korreliert verbundene Erregung Indirekte Erregung durch schwach korrelierte Prozesse

8 8 Inhaltsverzeichnis 4 Simulation stochastischer Schwingungssysteme Einführende Untersuchungen Simulation ausgewählter Ersatzsysteme Zweispurerregung an einem linearen Kraftfahrzeugmodell Nichtlinearer Einmassenschwinger mit schwach korrelierter Erregung Approximierte zeitversetzte Erregungen im nichtlinearen Modell Literaturverzeichnis 211 Sachverzeichnis 215

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