Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Transkript

1 Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg

2 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 78

3 Lineare : Einführung Beispiele linearer } 2x a) 1 3x 2 = 1 x x 1 + x 2 = 2 1 = x 2 = 1 } x b) 1 + x 2 = 4 L = x 1 + x 2 = 2 } x c) 1 x 2 = 1 unendlich viele Lösungen 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen 78

4 Lineare : Einführung Beispiele linearer } 2x a) 1 3x 2 = 1 x x 1 + x 2 = 2 1 = x 2 = 1 } x b) 1 + x 2 = 4 L = x 1 + x 2 = 2 } x c) 1 x 2 = 1 unendlich viele Lösungen 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix) 78

5 Allgemeines lineares Gleichungssystem Ein System von Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten Die a ij und b i heißen Koeffizienten des Gleichungssystems In Matrixform: Lösungsmenge: Ax = b L = {x : Ax = b} 79

6 Lösungsdarstellung Beispiel für Enddarstellung: x 1 + x 3 = 4 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 7 Dabei bezeichnet: ( ) ( ) ( ) x E R B = b x N x 1 x 2 x 3 x 4 kann nach Basisvariablen aufgelöst werden: x 1 = 4 x 3, x 2 = 7 3x 3 2x 4 (allgemeine Lösung) In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit x N = ( x3 x 4 ) = ( ) 0 0 x B = ( x1 x 2 ) = ( ) 4 = 7 ( ) 4 7 Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger in diese Form 80

7 Lösung von LGS Elementare Umformungen Das sind Umformungen der Koeffizientenmatrix, die die Lösung nicht verändern Erlaubt ist Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 0 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen von Zeilen oder Spalten Lösungsalgorithmus Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan: Systematische Umformungen nach obigem Prinzip, bis Darstellung der Koeffizientenmatrix in Einheits- und Restmatrix ensteht Algorithmus und Lösungsvarianten siehe Vorlesung 81

8

9

10 Invertierung von Matrizen Definition Gegeben: n n-matrix (quadratisch) Existiert eine n n-matrix X mit AX = XA = E, so heißt X die zu A inverse Matrix Schreibweise: X = A 1 AA 1 = A 1 A = E Inverse Matrizen und Falls A 1 existiert, gilt: Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ex = x = A 1 b Damit existiert genau eine Lösung und zwar: x = A 1 b 82

11 LGS und Orthogonalität Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus: Ansatz: Ax + Ey = 0 A 1 Ax + A 1 Ey = 0 Ex + A 1 y = 0 Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen folgendermaßen umformen: Orthogonale Matrizen (A E) ( E A 1) Eine n n-matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AA T = A T A = E Bei orthogonalen Matrizen A gilt also: A 1 = A T Mit A ist damit auch A T orthogonal 83

12

13 Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Sei M = {a 1,, a n } eine n-elementige Menge Dann: jede Anordnung (a p1,, a pn ) der Elemente a 1,, a n mit {p 1,, p n } = {1,, n} heißt eine Permutation Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion Also: Ausgehend von Permutation (a 1,, a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion Beispiel Gegeben: Menge {1,2,3} 84

14 Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Sei M = {a 1,, a n } eine n-elementige Menge Dann: jede Anordnung (a p1,, a pn ) der Elemente a 1,, a n mit {p 1,, p n } = {1,, n} heißt eine Permutation Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion Also: Ausgehend von Permutation (a 1,, a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion Beispiel Gegeben: Menge {1,2,3} Damit: Folgende 6 Permutationen: (1,2,3) ohne Inversion, (1,3,2), (2,1,3) mit je einer Inversion, (2,3,1), (3,1,2) mit je zwei Inversionen, (3,2,1) mit drei Inversionen 84

15 Definition Determinante PLUS Gegeben: A, eine n n-matrix Außerdem: (1,, n) sei geordnetes n-tupel der Zeilenindizes und p = (p 1,, p n) eine Permutation von (1,, n) mit v(p) Inversionen Determinante von A ist dann: Beispiele det A = p Gegeben: A als eine n n-matrix ( 1) v(p) a 1p1 a 2p2 a npn Für n = 1 gilt dann A = (a 11 ) sowie det A = det (a 11 ) = a 11 Für n = 2 enthält die Determinante 2! = 2 Summanden, nämlich: a 11 a 22 ohne Inversion und a 12 a 21 mit einer Inversion ( ) a11 a Damit: det A = det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a

16

17 Determinanten von 3 3-Matrizen PLUS Beispiel: Determinante einer 3 3-Matrix Für n = 3: Determinante hat 3! = 6 Summanden, nämlich a 11 a 22 a 33 ohne Inversion, a 12 a 23 a 31 und a 13 a 21 a 32 mit zwei Inversionen, a 11 a 23 a 32 und a 12 a 21 a 33 mit einer Inversion und a 13 a 22 a 31 mit drei Inversionen Es gilt: det A = a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Einfacher zu merken: Regel von Sarrus (siehe Vorl) 86

18 Zahlenbeispiel Determinanten PLUS Beispiel A = ( ) 5 4, B = 1 1 1, C = Zeigen Sie: det A = 2, det B = 6, det C = 0 87

19 Minor, Kofaktoren PLUS Gegeben: n n-matrix A mit n 2; Streiche Zeile i und Spalte j, Matrix mit n 1 Zeilen und n 1 Spalten: a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n a i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1 a i 1,n A ij = a i1 a i,j 1 a ij a i,j+1 a in a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1 a i+1,n a n1 a n,j 1 a nj a n,j+1 a nn nach dem Streichen heißt diese Matrix Minor Damit kann man das algebraische Komplement oder den Kofaktor d ij zur Komponente a ij von A berechnen: { d ij = ( 1) i+j det Aij für i + j gerade det A ij = det A ij für i + j ungerade (i, j = 1,, n) 88

20 Kofaktoren PLUS Entwicklungssatz von Laplace Entwicklungssatz für Determinanten Gegeben: A eine n n-matrix und D die Matrix der Kofaktoren Dann gilt für n = 2,3, det A det A 0 AD T = 0 0 det A Insbesondere wird mit: det A = a T i d i = a i1 d i1 + + a in d in (i=1,,n) = a jt d j = a 1j d 1j + + a nj d nj (j=1,,n) die Determinante von A nach der i-ten Zeile a T i a 1j j-ten Spalte a j = von A entwickelt a nj = (a i1,, a in ) bzw nach der 89

21

22 Beispiel: Entwicklungssatz PLUS Beispiele Zeigen Sie: A = det A = B = det B =