Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester Lineare Algebra 1. Zwölfte Woche, Rang(f) := dim Bild(f).

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1 Fakultät für Mathematik PD Dr Markus Perling Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 204 Lineare Algebra Zwölfte Woche, Der Rang einer Linearen Abbildung Auch in diesem Abschnitt sei K stets ein Körper Definition: Es seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung Dann definieren wir den Rang von f als Rang(f) := dim Bild(f) Für eine Matrix A Mat m n (K) setzen wir Rang(A) := Rang(φ A ) Satz: Es seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt: dim V = dim Kern(f) + Rang(f) Korollar: Eine Matrix A Mat n n (K) ist genau dann invertierbar, wenn gilt Rang(A) = n Satz: U (i) Es seien U, V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume mit dim V = n und g V f W lineare Abbildungen Dann gilt: Rang(f) + Rang(g) n Rang(f g) min(rang(f), Rang(g)) (ii) Sind A Mat m n (K) und B Mat n k (K), dann gilt: Rang(A) + Rang(B) n Rang(AB) min(rang(a), Rang(B)) Satz: (i) Es seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume und f, g Hom(V, W ) Dann gilt: Rang(f + g) Rang(f) + Rang(g) (ii) Für A, B Mat m n (K) gilt: Rang(A + B) Rang(A) + Rang(B) Satz: Es seien V, W endlich-dimensionale Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung Dann gibt es Basen B und C von V und W, so daß ( ) MC B r 0 (f) = r (n r) 0 (n r) r 0 (n r) (n r) (Wir schreiben hier 0 k l für die Nullmatrix in Mat k l (K))

2 Definition: Zwei Matrizen A, B Mat m n (K) heißen äquivalent, wenn es S GL n (K) und T GL m (K) gibt, so daß B = SAT Bemerkung: Man sieht leicht ein, daß die Äquivalenz tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf Mat m n (K) definiert Korollar: Zwei Matrizen A, B Mat m n (K) sind genau dann äquivalent, wenn gilt Rang(A) = Rang(B) ( ) r 0 Definition: r (n r) heißt Normalform einer Matrix A mit Rang(A) = 0 (n r) r 0 (n r) (n r) r bezüglich Äquivalenz Definition: Die Transpositionsabbildung ist gegeben als Abbildung Mat m n (K) Mat n m (K), A A t, die die Rolle von Zeilen und Spalten vertauscht, dh für A = (α ij ) i m j n gilt: A t heißt dann die Transponierte von A A t = (α ji ) j n i m Man überzeugt sich leicht davon, daß die Transpositionsabbildung linear ist Weiterhin sind folgende Eigenschaften erfüllt: (i) Für alle A Mat m n (K) gilt: (A t ) t = A (ii) Für alle A Mat m k (K) und B Mat k n (K) gilt: (AB) t = B t A t (iii) Für A GL n (K) gilt: A t GL n (K) und (A t ) = (A ) t Definition: Es sei A Mat m n (K) mit Spaltenvektoren a,, a n Dann bezeichnen wir mit SRang(A) := dim a,, a n den Spaltenrang von A Der Zeilenrang von A ist gegeben durch ZRang(A) := SRang(A t ) Es folgt unmittelbar aus der Definition, daß gilt: SRang(A) = Rang(A) und ZRang(A) = Rang(A t ) Proposition: Es seien A Mat m n (K), S GL n (K), T GL m (K) Dann gilt: ZRang(S A T ) = ZRang(A) und SRang(S A T ) = SRang(A), sowie Bild(φ A t S t) = Bild(φ A t) und Bild(φ AT ) = Bild(φ A ) Satz: Es sei A Mat m n (K) Dann gilt: Rang(A) = SRang(A) = ZRang(A)

3 9 Der Gauß-Algorithmus Auch in diesem Abschnitt sei K ein Körper Im vorherigen Abschnitt haben wir Äquivalenz von Matrizen der Form B = SAT betrachtet, wobei A, B Mat m n (K), S GL m (K) und T GL n (K) Hier stellt sich die Frage, wie man etwas zu gegebenen A, B, die Matrizen S und T konkret berechnen kann Ein Hilfsmittel hierzu sind die sogenannten elementaren Zeilen- und Spaltentransformationen Elementare Zeilentransformationen Es sei eine Matrix A Mat m n (K) gegeben ) Multiplikation einer Zeile mit λ K : Für λ K und k m setzen wir: wenn i = j und i, j k, S k (λ) = (s ij ) i,j m, wobei s ij = λ wenn i = j = k, 0 sonst Also: S k (λ) = λ wobei λ als k-ter Diagonaleintrag auftaucht und alle nichtangegebenen Einträge gleich 0 sind Die Produktmatrix A = (α ij) := S k (λ)a hat dann Einträge α ij = { α ij wenn i k λα ij wenn i = k, dh die Einträge der k-ten Zeile von A werden mit λ multipliziert Man überlegt sich auch leicht, daß gilt: S k (λ)s k (λ ) = n, also gilt insbesondere, daß S k (λ) GL n (K) 2) Vertauschung zweier Zeilen:

4 Also: Für i j m setzen wir: wenn k = l und k / {i, j}, P ij = (p kl ) k,l m, wobei p ij = wenn {k, l} = {i, j}, 0 sonst P ij = wobei die von der Diagonalen abweichenden Elemente in der i-ten bzw j-ten Zeile liegen Diese Matrizen sind Spezialfälle der Permutationsmatrizen, die wir im vorherigen Abschnitt betrachtet haben Die Produktmatrix hat dann Einträge A = (α kl) := P ij A α kl wenn k / {i, j}, α kl = α jl wenn k = i, α il wenn k = j dh die Einträge der i-ten und j-ten Zeilen von A werden vertauscht Außerdem gilt: also gilt insbesondere, daß P ij GL n (K) P ij P ij = n, 3) Addition eines Vielfachen einer Zeile auf eine andere: Also: Für i j m und λ K setzen wir: wenn k = l, Q ij (λ) = (q kl ) k,l m, wobei q ij = λ wenn k = i und l = j, 0 sonst Q ij (λ) = λ

5 wobei also der einzige von 0 verschiedene Eintrag außerhalb der Diagonalen in der i-ten Zeile und j-ten Spalte mit Wert λ sitzt Die Produktmatrix A = (α kl) := Q ij (λ)a hat dann Einträge α kl = { α il + λα jl wenn k = i, α kl sonst dh die λ-fachen der Einträge der j-ten Zeile werden auf die i-ten Zeilen von A addiert Außerdem gilt: Q ij (λ)q ij ( λ) = n, also gilt insbesondere, daß Q ij (λ) GL n (K) Elementare Spaltentransformationen Analog zu den Zeilenoperationen können wir auch Spaltentransformationen definieren Dabei gilt folgendes: ) Multiplikation einer Spalte mit λ K : Wir definieren die Matrizen S k (λ) wie oben, allerdings diesesmal als n n-matrizen, also S k (λ) GL n (K) Die Multiplikation der k-ten Spalte von A mit λ entspricht dann einer Multiplikation von rechts mit S k (λ): AS k (λ) 2) Vertauschung zweier Spalten: Mit P ij wie oben mit i j n erhält man durch AP ij die Vertauschung der i-ten mit der j-ten Spalte 3) Addition eines Vielfachen einer Spalte auf eine andere: Mit AQ ij (λ) addiert man das λ-fache der i-ten Spalte auf die j-te Spalte Man beachte, daß hierbei die Rollen von i und j gegenüber der Zeilentransformation vertauscht sind Definition: Es sei A Mat m n (K) (i) A besitzt Zeilenstufenform (ZSF), falls es 0 r m und j < j 2 < < j r m gibt, so daß ) Für alle i r und j j i gilt: α ij = 0 2) Für alle r < i m und j n gilt: α ij = 0

6 3) Für alle i r gilt: α iji 0 Eine Matrix in ZSF hat also folgende Gestalt: 0 0 α j 0 0 α 2j2 0 0 α 3j3 α rjr (ii) Eine ZSF heißt reduziert, falls zusätzlich gilt: 4) Für alle i r gilt: a iji = 5) Für alle i r und k < i gilt: a kji = 0 Eine Matrix in reduzierter ZSF hat also folgende Gestalt: Satz: (i) Jede Matrix A Mat m n (K) läßt sich durch endlich viele elementare Zeilentransformationen in eine reduzierte ZFS überführen (ii) Jede Matrix A Mat m n (K) läßt sich durch endlich viele elementare Zeilen- und Spaltentransformationen in Normalform überführen Zu (i): Zunächst bringt man A in ZSF, indem wir folgende 4-schrittige Prozedur anwenden: Schritt : Durchlaufe die Spalten von A von links nach rechts und von oben nach unten, bis der erste Eintrag a i j 0 gefunden ist: α i j 0 0

7 Findet man kein solches a i j, dann ist A die Nullmatrix und wir sind fertig Schritt 2: Ist i, dann vertausche die Zeilen und i Schritt 3: Nun ist a,j 0, dann addieren wir für alle 2 k m das a kj a j -fache der ersten Zeile auf die k-te Zeile: 0 0 α j Schritt 4: Betrachte nun die Untermatrix A, die aus den Einträgen der Matrix A rechts unterhalb von α j besteht, dh A = (α ij ) 2 i m Hat A mindestens eine Zeile, dann fahre j <j n mit Schritt und A fort Man überführt also mit endlich vielen Iterationen der Schritte bis 4 die Matrix A in ZSF Um eine reduzierte ZSF zu erhalten, führen wir noch folgende Schritte durch: ) Für alle i r multiplizieren wir die i-te Zeile mit a ij i 2) Für alle i r und alle k < i addieren wir das ( a kj )-fache der i-ten Zeile zur k-ten Zeile Zu (ii): Um A in Normalform zu überführen, bringen wir A zunächst in reduzierte ZSF Es bleiben dann folgende Spaltentransformationen durchzuführen: ) Für alle i r und alle j j i n addiere das ( a ij )-fache der j i -ten Spalte auf die j-te Spalte Das Ergebnis sieht dann so aus: ) Durch Spaltenvertauschung können wir diese Matrix nun in die endgültige Form ( ) r 0 r (n r) überführen 0 (n r) r 0 (n r) (n r)

8 Bezeichnen wir Z := {P ij i m} {Q ij (λ) λ K, i j m} {S k (λ) λ K, k m} GL m (K), dann können wir eine endliche Abfolge von Zeilentransformationen als endliches Produkt von Matrizen auffassen: S s S s S A, wobei S,, S s Z Ebenso, mit S := {P ij i n} {Q ij (λ) λ K, i j n} {S k (λ) λ K, k n} GL n (K) können wir eine endliche Abfolge von Spaltentransformationen als endliches Produkt von Matrizen auffassen: AT T 2 T t, mit T,, T t S Überführen wir also eine Matrix in (reduzierte) ZSF oder Normalform, so bleibt auf jeden Fall der Rang der Matrix erhalten Wir erhalten sogar eine explizite Methode, um S und T zu berechnen, so daß SAT = Normalform, nämlich, mit S = S s S und T = T T t, wobei S i und T j die Zeilen- und Spaltentransformationen repräsentieren, die dazu durchzuführen sind Bemerkung: Wenn man sich obige algorithmische Beschreibung zur Überführung in die Normalform genauer anschaut, dann sieht man, daß sich nach Überführung in die ZSF die Anzahl der Zeilen durch die restlichen Zeilen- und Spaltentransformationen nicht mehr ändert Den Rang einer Matrix entspricht also der Anzahl der Nichtnullzeilen der ZSF Literatur-/Lesevorschläge Jedes beliebige Buch oder sonstige Quelle zur Linearen Algebra