EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER LINEAREN VEKTORRÄUME

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1 HOCHSCHULBÜCHER FÜR MATHEMATIK HERAUSGEGEBEN VON H. GRELL, K. MARUHN UND W. RINOW BAND 60 EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER LINEAREN VEKTORRÄUME VON H.BOSECK MIT 14 ABBILDUNGEN Zweite^ berichtigte Auflage j ' VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1967

2 INHALTSVERZEICHNIS I. Lineare Vektorräume ohne Metrik 1 1. Vektorräume 1 1. Einleitung 1 2. Der lineare Vektorraum 2 3. Beispiele (l -8 ) ' Das Rechnen in linearen Vektorräumen 9 5.* Axiomatische Beweise der Rechenregeln (I-VE)» 10 6.* Vektorräume über beliebigen Körpern (VII)» Aufgaben (1-5) : Teilräume Einleitung Lineare Teilräume; ein Kriterium Beispiele (l -4 ) Der Durchschnitt linearer Teilräume (I, II; 5 ) Die lineare Hülle; Linearkombinationen; lineare Abhängigkeit; die Summe linearer Teilräume; Erzeugendensysteme (III-VH; 6-9 ) Aufgaben (1-7) j Mannigfaltigkeiten Einleitung Lineare Mannigfaltigkeiten 26 3.* Beschreibung von Mannigfaltigkeiten; ein Kriterium (I) * Geometrische Veranschaulichung (1 ).» 29 5.* Der Durchschnitt linearer Mannigfaltigkeiten (II), 30 6.* Die Summe linearer Mannigfaltigkeiten (III) m Aufgaben (1-4) Die Basis...: Einleitung...'. ' Die Basis (I, II; 1 ) Lineare Unabhängigkeit (IH-VI; 2 ) Beziehungen zwischen den BegrifEen Basis und lineare Unabhängigkeit; der Austauschsatz (vii,viii) *.*.:.-':'.:': Aufgaben (IS) :'.':...".'.... '

3 XII Inhaltsverzeichnis 5. Endlichdimensionale Vektorräume Einleitung Die Dimension (I-V; 1, 2 ) Koordinaten; die Abbildung <P 8 (VI, VII; 3 ) 42 4.* Der Isomorphiebegriif; die Struktur n-dimensionaler Vektorräume,; eine Bemerkung Geometrische Veranschaulichung (4 ), Aufgaben (1-6) Teilräume endlichdimensionaler Vektorräume Einleitung Die Dimension linearer Teilräume (I III) Dimensionsbeziehungen für den Durchschnitt und die Summe linearer Teilräume (IV; 1, 2 ) 49 4.* Die direkte Summe (V-X), ' Aufgaben (1-5) 52 7.* Mannigfaltigkeiten in endlichdimensionalen Vektorräumen :.«53 1. Einleitung r Die Dimension linearer Mannigfaltigkeiten (I, II) Dimensionsbeziehungen für den Durchschnitt und die Summe linearer Mannigfaltigkeiten (III-V), Geometrische Veranschaulichung (1 ) Aufgaben (1-4), ;.., 56 II. Lineare Abbildungen von linearen Vektorräumen ohne Metrik Lineare Abbildungen 57, 1. Einleitung Lineare Abbildungen; Bild und Urbild; Kern (I-HI; 1-12 ) Der lineare Vektorraum J*(V, V 1 ); die Addition linearer Abbildungen und ihre Multiplikation mit reellen Zahlen (IV) Die Multiplikation linearer Abbildungen; die Inverse (V-VII; ) Der Rang und der Defekt linearer Abbildungen (VIII-X) 68 6.* Der Faktorraum (XI-XV).* Aufgaben (1-10) Lineare Abbildungen endlichdimensionaler Vektorräume Einleitung Lineare Abbildungen und Matrizen (I-IV; l -3 ) Der lineare Vektorraum st n, t ; die Addition von Matrizen und ihre Multiplikation mit reellen Zahlen; die Abbildung 0 e> ffl.; die Dimension des Vektorraumes J/ B. # (V, VI).' ' Die Multiplikation von Matrizen (VII) Zeilen- und Spaltenmatrizen und das Rechnen mit ihnen (4-8 ) Der Rang einer Matrix (VÜI-XI) Eine Methode zur Bestimmung des Ranges einer Matrix (XII, XIII; 9 ) Aufgaben (1-10).101

4 Inhaltsverzeichnis XIII 10. Lineare Gleichungssysteme ' Einleitung Lineare Vektorgleichungen und lineare Gleichungssysteme Die Existenz von Lösungen (I-V) Die Struktur der Lösungsmenge (VI-XI; 1, 2 ) Der Gaußsche Algorithmus zur Berechnung von Lösungen (3 ) < Aufgaben (1-6) Lineare Operatoren Einleitung Lineare Operatoren; der Gruppenbegriff; die Gruppe S?(K) der regulären linearen Operatoren (I, II; l -6 ) Reguläre quadratische Matrizen; die Inverse; die allgemeine lineare Gruppe GL{n) (III-V; 7, 8 ) Das Transformationsgesetz der Koordinaten beim Übergang zu einer neuen Basis (VI, VII) Das Transformationsgesetz der einer linearen Abbildung zugeordneten Matrix beim Übergang zu einer neuen Basis im Urbild- und Bildraum; die Normalform einer linearen Abbildung (VIII, IX) Das Transformationsgesetz der einem linearen Operator zugeordneten Matrix beim Übergang.zu einer neuen Basis; invariante Teilräume; Operatoren einfacher Struktur; Eigenwerte und Eigenvektoren (X-XVI; 9 ) * Projektionsoperatoren (XVII, XVIII; 10 )» Aufgaben (1-8) Der duale Vektorraum Einleitung Lineare Funktionale; der duale Vektorraum; das Klammersymbol (I-III; l -3 ) Annullatoren und Annullatorräume; * Beschreibung linearer Teilräume und Mannigfaltigkeiten durch Gleichungen * (IV-VI) Die adjungierte Abbildung; Rechenregeln; die transponierte Matrix; der Rang der transponierten Matrix (VII-X) Der adjungierte Operator; * kovariantes und kontravariantes Transformationsverhalten, (XI, XII) Aufgaben (1-6) Determinanten Einleitung Permutationen; die (I-IV; l -3 ) Multilinearformen; alternierende n-linearformen (V-IX) Die Determinante; Berechnung der Determinante (X-XII; 4-6 ) Unterdeterminanten und Adjunkte; Entwicklung der Determinante; die Cramersche Regel zur Berechnung linearer Gleichungssysteme; die Berechnung der Inversen einer regulären quadratischen Matrix (XIII-XVI; 7, 8 ) Der Multiplikationssatz der Determinante; die Determinante eines linearen Operators ; die charakteristische Gleichung und die charakteristische Funktion (XVII-XX) Weitere Methoden zur Berechnung der Determinante; die Schursche Gleichung (XXI) Aufgaben (1-9) 181

5 XIV Inhaltsverzeichnis 14. Büinearformen und quadratische Formen Einleitung Bilinearformen; quadratische Formen; symmetrische Büinearformen; symmetrische Matrizen (I-IV) Das Transformationsgesetz der Koeffizientenmatrix einer Bilinearform; die Normalform symmetrischer Büinearformen und quadratischer Formen; Rang und Signatur; der Trägheitssatz von SYLVESTER; definite und indefinite quadratische Formen (V-X; 1 ), * Bilinearformen und lineare Abbildungen von Via V*; kovariante und kontravariante Koordinaten; Transformationsgesetze (XI-XIII), 19S 5. Aufgaben (1-6).,. 200 III. Euklidische Vektorräume Der euklidische und der pseudo-euklidische zweidimensionale Vektorraum Einleitung ' Der euklidische zweidimensionale Vektorraum; das Skalarprodukt; die Norm eines Vektors; die Dreiecksungleichung; die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung; die Winkel zwischen zwei Vektoren; Isometrien; Charakterisierung der isometrischen Operatoren; Drehungen und Drehspiegelungen; zweireihige orthogonale Matrizen 0-IV; l -5 ) * Der pseudo-euklidische zweidimensionale Vektorraum; isotrope Vektoren; Klassifikation der anisotropen Vektoren; die Winkel zwischen anisotropen Vektoren gleicher Art; Isometrien; Charakterisierung der isometrischen Operatoren; hyperbolische Drehungen; zweidimensionale Lorentztransformationen (V-VII; 6 ), Aufgaben (1-4) Der n-dimensionale euklidische Vektorraum Einleitung Skalarprodukt und Norm; die Dreiecksungleichung, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung; Orthogonalität Orthonormalbasen; das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (I, II; 1, 2 ) Orthonormalsysteme; Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Gleichung (III, IV) Isometrien; die Struktur n-dimensionaler euklidischer Vektorräume (V, VI) Aufgaben (1-8) Die Gramsche Determinante Einleitung Gramsche Matrizen und die Gramsche Determinante (I) Orthogonalprojektion und Lot; Berechnung von Orthogonalprojektion und Lot (II, IH; 1 ), * Das Volumen eines Parallelepipeds (2, 3 ) * Die Methode der kleinsten Quadrate (4 ) Aufgaben (1-8) Lineare Operatoren in euklidischen Vektorräumen Einleitung Bilinearformen und lineare Funktionale in euklidischen Vektorräumen; der adjungierte Operator; orthogonale, symmetrische und schiefsymmetrische Operatoren; Eigenwerte und Eigenräume orthogonaler, symmetrischer und schiefsymmetrischer Operatoren (I-IX) 244

6 Inhaltsverzeichnis XV 3. Orthogonale, symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen; Drehungen (X-XTV; 1, 2 ) Das Transformationsgesetz der Koordinaten eines Vektors in einem euklidischen Vektorraum; das Transformationsgesetz der einem Operator zugeordneten Matrix in einem euklidischen Vektorraum (XV-XVII) * Projektoren; die orthogonale direkte Summe (XVIII, XIX), Aufgaben (1-7) Die Normalform symmetrischer, schiefsymmetrischer und orthogonaler Operatoren Einleitung Die Zerlegung der charakteristischen Funktion; ein- und zweidimensionale invariante Teilräume (I, II) Die Normalform symmetrischer Operatoren? * die Spektralzerlegung symmetrischer, Operatoren» (III-VII; 1 ) Die Normalform schiefsymmetrischer Operatoren (VIII-XI; 2 ) Die Normalform orthogonaler Operatoren; der Satz von EULER-D'ALEMBERT (XII-XVII; 3, 4 ) Aufgaben (1-8) Quadratische Formen auf euklidischen Vektorräumen Einleitung Quadratische Formen und symmetrische Operatoren (I) Hauptachsentransformation und metrische Normalform (II, III; l -3 ) Charakterisierung der Eigenwerte durch Extremalprinzipien (TV-VI) Eine Methode zur Durchführung der Hauptachsentransformation (4 ) * Multiplikative Zerlegung eines linearen Operators (VII, VIII; 5 ) « Aufgaben (1-4) 304 Sachverzeichnis 306

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