Diese 3 Signale haben als Anregungssignale am Eingang eines Systems besondere Bedeutung für die lineare Systemtheorie erlangt.

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1 Sprungfunkion, Rampenfunkion Delafunkion Diese 3 Signale haben als Anregungssignale am Eingang eines Sysems besondere Bedeuung für die lineare Sysemheorie erlang. Sprungfunkion: ( σ ( ), 1( ) ) Bild 2.3: Sprungfunkion a) σ () oder 1() b) σ ( - ) oder 1( - ) 0 0 Für = 0 ha σ( ) eine Unseigkei in Form eines Sprunges σ( ) 0 < 0 = 1 > 0. (2.11) Für =0 is sie in diesem Sinne nich definier. Häufig nimm man den rechsseiigen Grenzwer an der Sprungselle als Funkionswer der Höhe 1 hinzu. Soll ein Sprung der Höhe (Ampliude) A an der Selle =0 beschrieben werden, so schreib man dafür A σ( ). Technisch inerpreier symbolisier die Sprungfunkion Schalvorgänge.

2 17 Rampenfunkion ( ρ( ) ) Bild 2.4: Rampenfunkion ρ( ) = k, anα = k Für α= 45, anα = 1 erhäl man die Einheisrampe ρ ( ) = 0 = σ( ). (2.12) Die Muliplikaion mi σ( ) drück aus, daß ρ 1 ( ) Null is für <0 (vergleiche den Verlauf σ( )). Die Einheisrampe sell das Inegral der (Einheis-)Sprungfunkion σ( ) dar: ρ ( ) = σ( τ ) dτ = 1dτ =, 0. (2.13) 1 0 Mi den eingeführen Noaionen für σ ( ) 0 und ρ 1 ( ) kann man verschiedene Signalverläufe, die sich aus Geradensücken zusammensezen, günsig mahemaisch beschreiben (Übungsaufgaben ). Merken Sie sich in diesem Zusammenhang die einfache Regel: Die Sprungfunkion σ ( ) is ab dem Wer, ab dem das gesame Argumen ( ) negaive Were anzunehmen beginn, gleich Null. Die Delafunkion (Dirac-Impuls) δ( ) is eines der wichigsen Signale in der Theorie der linearen Syseme. Er sell die Absrakion eines sehr schmalen, inensiven Impulses dar, dessen Impulsbreie gegen Null geh und dessen Impulshöhe umgekehr, proporional mi der Impulsbreie wächs, wobei die Impulszeifläche immer Eins is: δ ( ) = 1. (2.14)

3 18 Einen solchen Grenzübergang kann man sich sehr vereinfach (und nich im Sinne einer Definiion von δ( )!!) wie folg vorsellen: Bild 2.5: Naive Deuung von δ( ) Die Delafunkion fäll aus dem Gebie der klassischen Analysis heraus; sie sell eine verallgemeinere Funkion oder Disribuion dar. Sie is nich im üblichen Sinne, wie man sons eine Zeifunkion f() ewa als Abbildung von -Weren der reellen Zeiachse definier, definierbar. Die Delafunkion δ( ) is nur durch ihre Wirkung im Inegranden eines Inegrals (x() beliebige ansändige Zeifunkion) definier: def x( ) δ ( ) = x( 0 ). (2.15) Dies kann man so deuen, als würde die in =0 aufreende Delafunkion δ( ) aus dem Verlauf von x() den Wer dieser Funkion bei =0, also x(0) ausblenden oder abasen und so dem Inegral diesen Wer x(0) zuordnen. Bild 2.6: Zur Ausblend- oder Abaseigenschaf von δ ( ) Da auch aus einer konsanen Funkion x( ) = cons. = x( 0) der Wer x(0) abgease wird, gil x( ) δ ( ) = x( 0 ) δ ( ). (2.16) Diesen Ausdruck kann man aber nur durch seine Wirkung uner dem Inegral erklären!

4 19 Bildlich wird die Delafunkion durch einen Pfeil dargesell, an den man daneben das Gewich oder die Inensiä (was in der naiven Deuung der Zeifläche uner der δ -Funkion ensprich) noier. Wenn die Delafunkion nich zum Zeipunk =0 aufri, sondern zum Zeipunk 0 und die Inensiä A ha, so schreib man f ( ) = A ( ) δ 0 und sell dies wie folg im Bild dar: Bild 2.7: f ( ) = A ( ) δ 0 Das folgende Bild provozier die Vorsellung von der Einführung einer verallgemeineren Differeniaion oder Ableiungsbildung für Zeifunkionen mi Sprungunseigkeien: Bild 2.8: Naive Einführung der verallgemeineren Differeniaion am Beispiel von σ( )

5 20 Die Ableiung einer Funkion bedeue geomerisch den Ansieg der Funkion. Der Ansieg der Sprungfunkion σ( 0 ) is überall Null mi Ausnahme an der Sprungselle: In = 0 is er nich definier (is er unendlich, da an 90 o = ). Der Verlauf δ( 0 ) in Bild 2.8 drück diesen Sachverhal in einer rech anschaulichen Form aus. Die Vorsellung von der verallgemeineren Ableiung kann man ausdehnen auf z.b. die folgende Signalfunkion: Bild 2.9: Zerlegung einer Signalfunkion x() mi Sprungselle in =0 in eine in 0 < seige und differenzierbare Funkion x ~ ( ) und eine Sprungfunkion x( + 0) σ( ) Wegen der Sprungselle in =0 is x() in 0 < nich differenzierbar. Zerleg man x() wie in Bild 2.9 dargesell in x ~ ( ) + x( +0) σ( ), so kann man die unendlich große Änderungsgeschwindigkei von x() in =0 durch die verallgemeinere Ableiung von x(), 0 < ausdrücken: Dx( ) = [ ~ ( ) + ( +0 ) σ ( ) ] D x x Dx ~ ( ) Dx ( + 0 ) σ ( ) = + dx ~ ( ) Dσ( ) = + x( + 0)

6 21 = dx ~ ( ) + x( + 0) δ ( ) übliche Ableiung gülig für 0< < gülig in =0 Dx( ) dx( ) = + x( + 0) δ ( ) gülig für 0 < (2.17) Das Gewich x(+0) der in =0 aufreenden Delafunkion is die Differenz zwischen rechsseiigem und linksseiigem Grenzwer von x() bei Annäherung an die Sprungselle =0: x( + 0) = lim x( 0 + ε ) lim x( 0 ε ) ε 0 ε 0 = x( + 0) x( 0) = x( + 0) 0 = x( + 0). x( = 0) Die hier im Zusammenhang mi der Delafunkion erläueren Sachverhale sind wichige Grundlagen für die Herleiung der Gewichsfunkion (δ-impulsanwor) linearer Syseme und die darauf aufbauenden Beschreibungsmehoden für die Signalüberragung in linearen Sysemen. Abschließend soll auf die folgende Kee von Beziehungen zwischen δ (), σ() und ρ 1() hingewiesen werden: σσ( ) = δ ( τ ) dτ 0 τ ρ1( ) = σ( τ ) dτ = δ ( λ) dλ d τ σ( τ ) (2.18) Da die Operaion des Inegrierens 2 f ( ) den Flächeninhal uner der Funkion f() 1 im Inervall 1 2 liefer, kann man sich anhand von Bild 2.10 die Güligkei dieser Beziehungen sofor klar machen:

7 22 Bild 2.10: ρ1( ), σ( ) und ihre Ensehung durch Inegraion von σ( ) bzw. δ () im Inervall 0 <