ISBN Auflage 2012

Transkript

1 Vorwort Das vorliegende Buch ist ein Arbeitsbuch für den Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe, in berufsbildenden Schulen sowie in der Berufsoberschule. Das Buch umfasst die drei traditionellen Gebiete der Mathematik: Analysis, Lineare Algebra und Stochastik. Kenntnisse über das Rechnen mit reellen Zahlen werden vorausgesetzt. Da aber Schüler mit unterschiedlichen Vorkenntnissen die gymnasiale Oberstufe besuchen, werden im Kapitel 1 Notwendiges Grundwissen Themen wie Potenzen und Logarithmen, Ungleichungen und Gleichungssysteme wiederholt. Neben der Behandlung mathematischer Gegenstände werden Begriffe aus der Ökonomie so weit beschrieben, dass die Lernenden die anwendungsbezogenen und fächerübergreifenden Lerninhalte verstehen und deren Problemstellungen lösen können. Der Stoff wird auf der Basis anwendungsorientierter und vollständig durchgerechneter Beispiele dargestellt. Dabei werden wichtige Methoden und Begriffe durch strukturierten Text unterstützt, sodass der Rechengang durch diese Gestaltung nicht unterbrochen wird. Während die Beispiele mithilfe verschiedener Methoden und Sozialformen des Unterrichts behandelt werden können, dienen die zum Stoff genau passenden Übungen dazu, in Stillarbeitsphasen den Stoff zu vertiefen und den Gedanken der Handlungsorientierung zu unterstützen. Die Lösungen dieser Übungen befinden sich im Anhang. Die Abschnitte des Buches sind als thematisch abgeschlossene Lerneinheiten konzipiert. Jede Lerneinheit schließt mit einer Anzahl von Aufgaben ab. Diese Aufgaben sind zum einen als Ergebnissicherung und Übung, zum anderen als Hausaufgaben gedacht. Exkurse ergänzen und vertiefen bestimmte Inhalte. Sie sind besonders gekennzeichnet. Die Abituraufgaben für grundlegendes und erhöhtes Anspruchsniveau bzw. für Grundkurs- und Leistungsfach dienen der unmittelbaren Vorbereitung zur Abiturprüfung. Im Zentralabitur wird die Bearbeitung verschiedener mathematischer Sachverhalte durch den Einsatz von GT-Rechnern unterstützt. Im Buch wird an ausgewählten Beispielen unter der Bezeichnung Einsatz des GTR die Nutzung des GTR TI-84 Plus ausführlich beschrieben. Der Einsatz des CAS-Rechners Nspire (Handheld) wird durch ein Glossar und mittels durchgerechneter Beispiele gestellter Klausuraufgaben aus den drei Gebieten am Ende des Buches vorgestellt. Eine CD ist beigefügt mit Aufgaben, die vom Schüler unter Verwendung von TI Nspire-CAS gelöst werden können. Die angegebenen Lösungswege sind zur Vereinfachung vorstrukturiert und können interaktiv bearbeitet werden. Die Verfasser

2 Inhaltsverzeichnis ANALYSIS 1 Notwendiges Grundwissen Zahlenmengen Algebraische Grundlagen Algebraische Gleichungen, lineare Gleichungssysteme Ungleichungen Das rechtwinklige Koordinatensystem Rationale Funktionen und ihre Anwendungen Der Funktionsbegriff Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen (Eigenschaften von Funktionen) Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung Begriff der Zahlenfolgen Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Zinseszinsrechnung Von Grenzwerten und Ableitungen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Steigung und Ableitung an der Stelle x Die Ableitungsfunktion f Bestimmung der Ableitungsfunktion mithilfe von Ableitungsregeln Kurven und ihre wichtigsten Punkte Extrema und Monotonie Wendepunkt und Krümmung Kurvendiskussion Einführung in die Kurvenscharen Wozu nützt die Differenzialrechnung? Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Bedingungen Extremwertprobleme Extremwertprobleme aus der Wirtschaftslehre Einführung in die Integralrechnung Die Stammfunktion Das bestimmte Integral Die Integralfunktion

3 8 Integrale, Flächeninhalte, Körpervolumen und Renten Berechnung von Flächeninhalten Volumenberechnung von Rotationskörpern Konsumenten- und Produzentenrente Neue Funktionen und ihre Ableitungen Problemstellung Produkt-, Quotienten- und Kettenregel Von gebrochenrationalen Funktionen und Wirtschaftlichkeit Von Wurzelfunktionen, Sparen und Konsumieren Exponential- und Logarithmusfunktionen Grundwissen über Exponential- und Logarithmus funktionen Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Wachstumsmodelle Produktionsslebensdauerzyklen Ergänzungen zur Integralrechnung Uneigentliche Integrale Partielle Integration Integration durch Substitution Zahlungsströme Zusammenfassende Aufgaben Differenzialgleichungen LINEARE ALGEBRA 12 Lineare Gleichungssysteme Einführung Das gaußsche Eliminationsverfahren Lösbarkeitsuntersuchungen von linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Anwendungen von linearen Gleichungssystemen Mit Matrizen rechnen und Vorgänge beschreiben Begriff und Schreibweisen von Matrizen Addition und Multiplikation von Matrizen Exkurs: Rang einer Matrix Exkurs: Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Exkurs: Matrizengleichungen Matrizen in Ökonomie und Prozessen Das Leontief-Modell Materialverflechtungen Markoff sche Prozesse Populationsdynamik und zyklisches Verhalten Lineare Optimierung Grafisches Lösungsverfahren Die Eckpunktmethode Das Simplex-Verfahren

4 STOCHASTIK 16 Daten darstellen und auswerten (beschreibende Statistik) Häufigkeitsverteilungen Regressions- und Korrelationsrechnung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsversuche, Ergebnisse und Ereignisse Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsversuchen Der Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängige Ereignisse Abzählverfahren Ziehen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Ziehen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Wahrscheinlichkeitsverteilung und Zufallsgröße Beschreibung von Zufallsgrößen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße (Zufallsvariable) Die Binomialverteilung Das Bernoulli-Experiment Rechnen mit der Binomialverteilung Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit (Testen von Hypothesen) Die Normalverteilung Näherungsformel von de Moivre-Laplace Der zentrale Grenzwertsatz Schätzen und Testen Schätzverfahren Testen von Hypothesen Tabellen zur Stochastik Lösungen zu den Übungen Analysis Kapitel 1 Notwendiges Grundwissen Kapitel 2 Rationale Funktionen und ihre Anwendungen Kapitel 3 Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung Kapitel 4 Von Grenzwerten und Ableitungen Kapitel 5 Kurven und ihre wichtigsten Punkte Kapitel 6 Wozu nützt die Differenzialrechnung? Kapitel 7 Einführung in die Integralrechnung Kapitel 8 Integrale, Flächeninhalte, Körpervolumen und Renten Kapitel 9 Neue Funktionen und ihre Ableitungen Kapitel 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen Kapitel 11 Ergänzungen zur Integralrechnung

5 Lösungen zu den Übungen Lineare Algebra Kapitel 12 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 13 Mit Matrizen rechnen und Vorgänge beschreiben Kapitel 14 Matrizen in Ökonomie und Prozessen Kapitel 15 Lineare Optimierung Lösungen zu den Übungen Stochastik Kapitel 16 Daten darstellen und auswerten (beschreibende Statistik) Kapitel 17 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Kapitel 18 Abzählverfahren Kapitel 19 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Zufallsgröße Kapitel 20 Die Binomialverteilung Kapitel 21 Die Normalverteilung Kapitel 22 Schätzen und Testen Abituraufgaben für grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau Analysis Abituraufgaben für grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau Lineare Algebra Abituraufgaben für grundlegendes und erhöhtes Anspruchsniveau Stochastik Nspire CAS Glossar mit Beispielen über ausgewählte Nspire CAS-Funktionen Nspire CAS in Klausuraufgaben Nspire CAS Glossar mit Beispielen über ausgewählte Nspire CAS-Funktionen Nspire CAS in Klausuraufgaben Nspire CAS Glossar mit Beispielen über ausgewählte Nspire CAS-Funktionen Nspire CAS in Klausuraufgaben Stichwortverzeichnis